Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hàm riêng của biến đổi chính tắc tuyến tính OF(a,b,c,d) cho trường hợp |a+d|>=2

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Thêm vào BST

Báo xấu

44
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong luận văn này tác giả sẽ tìm hiểu về trường hợp đặc biệt biến đổi tích phân Fourier và ứng dụng của nó trong quang học. Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệu. Chương mở đầu là kiến thức chuẩn bị, chúng ta sẽ nhắc lại biến đổi chính tắc tuyến tính và các trường hợp biến đổi đặc biệt của biến đổi này, hàm riêng của biến đổi Fourier phân thứ, một số kết quả đã được xây dựng về các hàm riêng của LCT. Cuối cùng trình bày hai tính chất quan trọng sẽ được dùng trong suốt luận văn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hàm riêng của biến đổi chính tắc tuyến tính OF(a,b,c,d) cho trường hợp |a+d|>=2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------- TĂNG THỊ ĐỨC HÀM RIÊNG CỦA BIẾN ĐỔI CHÍNH TẮC TUYẾN TÍNH OF (a,b,c,d) CHO TRƯỜNG HỢP |a + d| > 2 Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS.NGUYỄN MINH TUẤN HÀ NỘI - 2016
Mục lục Lời nói đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Biến đổi chính tắc tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Hàm riêng của biến đổi Fourier phân thứ (FRFT) . . . . . . . . . 7 1.3 Một số tính chất quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Hàm riêng của biến đổi chính tắc tuyến tính OF (a,b,c,d) cho trường hợp |a + d| > 2 9 2.1 Hàm riêng của LCT cho trường hợp |a + d| = 2 . . . . . . . . . . . 9 2.1.1 Trường hợp a + d = 2 và b = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.2 Trường hợp a + d = −2 và b = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.3 Hàm riêng của LCT khi {a, b, c, d} = {±1, b, 0, ±1} . . . . . . 11 2.1.4 Trường hợp a + d = 2 và b 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.5 Trường hợp a + d = −2 và b 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Hàm riêng của LCT khi |a + d| > 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.1 Hàm riêng của LCT khi {a, b, c, d} = {±σ −1 , 0, 0, ±σ} . . . . 19 2.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.3 Trường hợp a + d < −2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Ứng dụng trong bài toán tạo ảnh 27 3.1 Quan hệ giữa biến đổi LCT và hệ quang học . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Giải thích bài toán tạo ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Kết luận 33 1
Tài liệu tham khảo 34 2
Lời nói đầu Toán học giải tích là một trong những chuyên ngành nghiên cứu quan trọng hàng đầu của toán học hiện đại. Nó bao gồm nhiều lĩnh vực được mọi người quan tâm, nghiên cứu. Và biến đổi Fourier là một trong số đó vì nó có rất nhiều ứng dụng khoa học, ví dụ như trong vật lý, số học, xác suất, thống kê, hải dương học, hình học và nhiều lĩnh khác. Ngày nay các nhà khoa học vẫn đang cố gắng khám phá ra những kết quả có tầm quan trọng nhằm nâng cao được ứng dụng của nó. Trong luận văn này chúng ta sẽ tìm hiểu về trường hợp đặc biệt biến đổi tích phân Fourier và ứng dụng của nó trong quang học. Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệu. Chương mở đầu là kiến thức chuẩn bị, chúng ta sẽ nhắc lại biến đổi chính tắc tuyến tính và các trường hợp biến đổi đặc biệt của biến đổi này, hàm riêng của biến đổi Fourier phân thứ, một số kết quả đẫ được xây dựng về các hàm riêng của LCT. Cuối cùng ta trình bày hai tính chất quan trọng sẽ được dùng trong suốt luận văn. Chương hai, phần đầu ta trình bày hàm riêng của LCT trong trường hợp |a + d| = 2. Trong trường hợp này ta trình bày hàm riêng của LCT khi a + d = 2 và b = 0; a + d = −2 và b = 0; {a, b, c, d} = {±1, b, 0, ±1}; a + d = 2 và b 6= 0; a + d = −2 và b 6= 0. Phần hai, ta trình bày hàm riêng của LCT trong trường hợp |a + d| > 2. Trong trường hợp này ta trình bày hàm riêng của LCT khi {a, b, c, d} = {±σ −1 , 0, 0, ±σ}; a + d > 2; a + d < −2. Trong chương cuối ta trình bày quan hệ của LCT với hệ quang học và giải quyết bài toán tạo ảnh . Các kết quả chính của luận văn dựa trên bài báo "Eigenfuntions of linear 3
canonical transform" Soo-Chang Pie và Jian-Jiun Ding. Trong quá trình thực hiện luận văn tôi đã nhận được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn. Các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học trường đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội đã giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức để có thể hoàn thành luận văn và khóa học một cách tốt đẹp. Bên cạnh đó còn có sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô phòng Sau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi hoàn thành các thủ tục bảo vệ, các thầy cô và các bạn trong seminar Toán Giải Tích đã có những góp ý hữu ích để tôi hoàn thành luận văn tốt nhất. Cuối cùng, tôi xin gửi lời biêt ơn tới gia đình, người thân đã luôn động viên, ủng hộ tôi trong suốt thời gian học tập và hoàn thành khóa luận. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Hà Nội, tháng 10 năm 2015 Tăng Thị Đức 4
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Biến đổi chính tắc tuyến tính (LCT)[1]-[4] là biến đổi tích phân với bốn tham số {a, b, c, d}. Biến đổi LCT được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1970 [5], [6]. Một số phép toán như, biến đổi Fourier (Fourier transform-FT), biến đổi Fourier phân thứ (fractional Fourier transform-FRFT)[7]-[9], biến đổi Fresnel [10] và phép toán co giãn là trường hợp đặc biệt của LCT. Trong một số bài báo, phép biến đổi LCT được gọi là phép biến đổi Fourier afin (affine Fourier transform-AFT) [2],[11], biến đổi Fresnel tổng quát [12], công thức Collins [6], biến đổi ABCD [3] (ABCD transform), hoặc biến đổi Fourier và biến đổi Fresnel. Phép biến đổi LCT được ứng dụng trong phân tích hệ rada, phân tích hệ môi trường Grin, thiết kế máy lọc và nhiều ứng dụng khác. Ta xét một số trường hợp đặc biệt của LCT. Ví dụ, hàm riêng của FRFT là hàm Hermite được nhân thêm với exp(−t2 /2). Hàm riêng của LCT khi {a, b, c, d} = {1, b, 0, 1} (trường hợp này LCT trở thành biến đổi Fresnel) là hàm tuần hoàn (hàm tuần hoàn này gọi là hiệu ứng Talbot[16],[17]). Trong trường hợp {a, b, c, d} = {1/d, 0, 0, 1} (trong trường hợp này LCT trở thành phép toán co giãn) hàm riêng là hàm Frac [18],[19] (fractal). Những hàm này bất biến với phép toán co giãn. Trong luận văn này ta sẽ tổng quát các kết quả đã được xây đựng và suy ra hàm riêng của LCT cho tất cả các trường hợp. Sau đó, hàm riêng của LCT được sử dụng để giải thích hiện tượng tạo ảnh trong quang học. Ta sử dụng ký hiệu OF (a,b,c,d) hoặc OF(a,b,c,d) cho biến đổi chính tắc tuyến tính. Phần đầu của luận văn tôi sẽ trình bày lại một cách ngắn gọn kiến thức về biến đổi chính tắc tuyến tính, hàm riêng của biến đổi Fourier phân thứ và một số kết quả đã được xây dựng về các hàm riêng của LCT, tính chất suy ra hàm 5
riêng của LCT. 1.1 Biến đổi chính tắc tuyến tính Định nghĩa 1.1.1. Biến đổi chính tắc tuyến tính được định nghĩa như sau ∞ r Z (a,b,c,d) 1 (i/2)(d/b)u2 2 OF (f (t)) = e . e−i(u/b)t e(i/2)(a/b)t f (t)dt i2πb −∞ nếu b 6= 0, (1.1) (a,b,c,d) √ (i/2)cdu2 OF (f (t)) = d.e f (d.u) nếu b = 0, . LCT thỏa mãn tính chất cộng tính (a ,b ,c ,d ) (a ,b ,c ,d ) (a ,b3 ,c3 ,d3 ) OF 1 1 1 1 OF 2 2 2 2 (f (t)) = OF 3 (f (t)), trong đó a3 b 3 a b a b = 2 2 . 1 1 . (1.2) c3 d3 c2 d 2 c1 d1 a) Biến đổi Fourier (FT). ∞ r Z (0,1,−1.0) 1 (i/2)(0/1)u2 2 OF (f (t)) = e e−i.u.t .e(i/2)(0/−1)t .g(t)dt i2π −∞ b) Biến đổi Fourier phân thứ (FRFT). Biến đổi chính tắc tuyến tính (LCT) là biến đổi Fourier phân thứ (FRFT) khi {a, b, c, d} = {cos α, sin α, − sin α, cos α} [7]-[9] r 1 − i cot α (i/2) cot α.u2 OFα (f (t)) = e 2π Z ∞ 2 × e−i. csc α.ut e(i/2) cot αt f (t)dt. (1.3) −∞ Biến đổi Fourier phân thứ thỏa mãn tính chất cộng tính OFα OFβ (f (t)) = OFα+β (f (t)). Biến đổi Fourier phân thứ với hiệu số pha không đổi √ (cos α,sin α,− sin α,cos α) OFα (f (t)) = eiα .OF (f (t)). (1.4) 6
c) Biến đổi Fresnel. Biến đổi Fresnel là phép toán mô tả việc truyền ánh sáng đơn sắc qua môi trường trong suốt. Biến đổi Fresnel được định nghĩa như sau Z ∞Z ∞ z ei2πz/λ 2 2 OFresnel (f (x, y)) = . ei(π/λz)((u−x) +(v−y) ) f (x, y)dxdy, (1.5) iλz −∞ −∞ Biến đổi chính tắc tuyến tắc tuyến tính LCT là biến đổi Fresnel 1-D khi {a, b, c, d} = {1, zλ/2π, 0, 1} ∞ r Z (1,zλ/2π,0,1) 1 (i/2)(2π/zλ)u2 2 OF (g(t)) = e e−i(2πu/zλ)t .e(iπ/zλ)t g(t)dt izλ −∞ ∞ ei2πz/λ Z 2 −2ut+t2 = √ . ei(π/λz) .eu g(t)dt iλz −∞ i2πz/λ Z ∞ z e 2 OFresnel(t) (g(t)) = √ . ei(π/λz).(u−t) g(t)dt. (1.6) iλz −∞ Biến đổi Fresnel 1-D với hiệu số pha không đổi z (1,zλ/2π,0,1) OFresnel(t) (f (x)) = eiπz/λ .OF (f (t)). (1.7) d) Phép toán co giãn. Biến đổi chính tắc tuyến tính LCT là phép toán co giãn khi {a, b, c, d} = {σ −1 , 0, 0, σ} (σ −1 ,0,0,σ) √ 2 OF (g(t)) = σ.e(i/2).0.σ.u g(σ.u) √ = σ.g(σ.u). (σ −1 ,0,0,σ) σ p OSc (g(t)) = sgn(σ).OF (g(t)). 1.2 Hàm riêng của biến đổi Fourier phân thứ (FRFT) Trong [7], Namias chỉ ra biến đổi Fourier phân thứ có hàm riêng 1 2 φm (t) = p √ .e−t /2 .Hm (t) m ∈ [0, 1, 2, 3, ...], (1.8) 2m m! π ở đây Hm (t) là hàm Hermite cấp m dm −t2 2 Hm (t) = (−1)m .et e , (1.9) dtm và giá trị riêng tương ứng của φm (t) là exp(−imα) OFα (φm (t)) = e−i.m.α .φm (t). 7
Hàm riêng của FRFT có tính chất trực giao Z ∞ φm (t).φn (t)dt = δm,n . −∞ Phần cuối chương trình bày lại các tính chất quan trọng được sử dụng trong luận văn. 1.3 Một số tính chất quan trọng Tính chất 1.3.1. Giả sử ad − bc = a1 d1 − b1 c1 = a2 d2 − b2 c2 = 1, và −1 a b a1 b 1 a2 b 2 a1 b1 = c d c1 d 1 c2 d2 c1 d 1 a1 b 1 a2 b 2 d1 −b1 = c1 d 1 c2 d2 −c1 a1 . (1.10) Khi đó a + d = a2 + d 2 . Tính chất (1.4.2) là một tính chất quan trọng, đưa ra một cách xây dựng hàm riêng cho các phép biến đổi LCT. Cụ thể, thay vì xây dựng hàm riêng cho với bộ tham số {a, b, c, d} bất kỳ ta chỉ cần xây dựng hàm riêng cho LCT với bộ tham số {a2 , b2 , c2 , d2 }. Trong đó các tham số {a2 , b2 , c2 , d2 } được lựa chọn sao cho hàm riêng của LCT tương ứng là dễ dàng được xây dựng. Xuyên suốt phần trình bày của luận văn, tính chất này sẽ được sử dụng để xây dựng cho hàm riêng của LCT. Chương 2 của luận văn sẽ đi vào trình bày chi tiết việc xây dựng hàm riêng cho LCT trong các trường hợp cụ thể. 8
Chương 2 Hàm riêng của biến đổi chính tắc tuyến tính OF (a,b,c,d) cho trường hợp |a + d| > 2 2.1 Hàm riêng của LCT cho trường hợp |a + d| = 2 2.1.1 Trường hợp a + d = 2 và b = 0 Từ ad − bc = 1, trong trường hợp a + d = 2 và b = 0, tham số {a, b, c, d} của LCT có dạng a b 1 0 = . c d c 1 Trong trường hợp này LCT trở thành phép nhân (1,0,c,1) 2 OF (f (t)) = ei.c.u /2 .f (u). Hàm riêng của phép toán nhân có dạng ∞ √ X ϕ(t) = E −1 An .δ(t − tn ), n=−∞ ở đây ∞ X E= |An |2 . n=−∞ Nếu sn thỏa mãn điều kiện 2 2 2 2 · · · = e(i/2)c.s−1 = e(i/2)c.s0 = e(i/2)c.s1 = e(i/2)c.s2 = · · · , thì (1,0,c,1) 2 OF (ϕ(t)) = ei.c.s0 /2 .ϕ(u). 9
Do đó, ta kết luận hàm riêng của LCT trong trường hợp a + d = 2 và b = 0 phải có dạng ∞ " ! √ r X 4nπ φc,h B (t) = E −1 . An .δ t − +h |c| n=0 ∞ r !# X 4mπ + Bm .δ t + +h , (2.1) |c| m=0 4π 06h< |c| , An , Bm tùy ý ∞ X E= |An |2 + |Bn |2 , n=0 với giá trị riêng tương ứng là ich λc,h = exp . (2.2) 2 2.1.2 Trường hợp a + d = −2 và b = 0 Trong trường hợp này ta có tham số {a, b, c, d} có dạng sau a b −1 0 = . c d c −1 Khi đó, công thức của LCT trong trường hợp này trở thành (1,0,c,1) 2 OF (f (t)) = (−1)1/2 .e−i.c.u /2 .f (−u). Đây là sự tổ hợp của phép nhân và phép nghịch đảo. Hàm riêng trong trường hợp này là đối xứng hoặc phản đối xứng ∞ √ X c,h p φC (t) = E −1 . An . δ t − 4nπ|c|−1 + h n=0 p +δ t+ 4nπ|c|−1 +h , (2.3) hoặc ∞ √ X φc,h p C (t) = E −1 . An . δ t − 4nπ|c|−1 +h n=0 p −δ t+ 4nπ|c|−1 + h , (2.4) 10
4π ở đây 0 6 h < c , An tùy ý ∞ X E=2 |An |2 , n=0 với giá trị riêng tương ứng cho công thức (2.3) và (2.4) lần lượt là ich λc,h = (−1)1/2 exp , 2 ich λc,h = −(−1)1/2 exp . (2.5) 2 2.1.3 Hàm riêng của LCT khi {a, b, c, d} = {±1, b, 0, ±1} Ta biết rằng với tham số {a, b, c, d} là biến đổi 1-D Fresnel [xem công thức (1.7) và (1.8)]. Biến đổi Fresnel mô tả ánh sáng đơn sắc qua môi trường trong suốt. Từ lý thuyết của hiệu ứng Talbot [16], [17], nếu giả thiết ánh sáng đầu vào là hàm tuần hoàn f (x, 0). Khi đó, f (x, 0) = f (x + q, 0) sau khi qua môi trường trong suốt cường độ ánh sáng ở khoảng cách N.z tương tự cường độ ánh sáng lúc ban đầu |f (x, N.z)| = |f (x, 0)|, 2q 2 z= khoảng cách Talbot, N là số nguyên. λ Như vậy, kết hợp công thức (1.7) và (1.8) ta có thể kết luận e(t) tuần hoàn với 2 chu kỳ của q . Khi đó, hàm riêng của LCT với tham số {1, Nπq , 0, 1}, N là số nguyên, có dạng (1,Sq 2 /π,0,1) OF (e(t)) = τ.e(t) nếu e(t) = e(t + q). (2.6) Xét ma trận 1 b A= . 0 1 Đa thức đặc trưng của A
1−λ b
det(A − λE2 ) =
= (λ − 1)2 . 0 1 − λ
Đa thức có đủ nghiệm thực λ1 = λ2 = 1. Khi đó, phương trình trên có thể viết lại như sau (1,b,0,1) OF (e(t)) = e(t), 11