Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hệ thức lượng giác và ứng dụng trong chương trình Toán bậc trung học

1<br /> <br /> BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> -----✠ ✆ ✟-----<br /> <br /> 2<br /> <br /> Công trình ñược hoàn thành tại<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Ngọc Châu<br /> <br /> LÊ MINH CHÂU<br /> <br /> Phản biện 1: ………………………………………..<br /> <br /> HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG<br /> DỤNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH<br /> TOÁN BẬC TRUNG HỌC<br /> <br /> CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP<br /> MÃ SỐ: 60.46.40<br /> <br /> TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> <br /> Đà Nẵng – Năm 2011<br /> <br /> Phản biện 2: ………………………………………..<br /> <br /> Luận văn sẽ ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận<br /> văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà<br /> Nẵng vào ngày …tháng …năm 2011.<br /> <br /> Có thế tìm hiểu luận văn tại:<br /> - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng<br /> - Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng<br /> <br /> 3<br /> <br /> 4<br /> <br /> - Ứng dụng các hệ thức lượng giác ñể giải một số lớp bài toán<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> 1. Lý do chọn ñề tài<br /> Lượng giác là một trong các chủ ñề toán học quan trọng và có<br /> <br /> thuộc chương trình bậc trung học phổ thông.<br /> 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu<br /> - Chương trình Toán bậc trung học, ñặc biệt là bộ môn lượng giác.<br /> <br /> nhiều ứng dụng trong nhiều ngành khoa học. Trong chương trình<br /> <br /> - Các hệ thức lượng giác.<br /> <br /> toán bậc phổ thông, lượng giác xuất hiện trong cả hai phạm vi ñại số<br /> <br /> - Các ứng dụng của hệ thức lượng giác trong chương trình toán<br /> <br /> và hình học. Trước hết với tư cách một ñối tượng nghiên cứu, sau ñó<br /> với tư cách một công cụ ñể giải quyết nhiều dạng toán khác nhau.<br /> Theo chương trình Toán phổ thông hiện hành của nước ta, lượng giác<br /> ñược ñưa vào giảng dạy theo thứ tự: Lớp 9: lượng giác trong tam<br /> giác. Lớp 10: lượng giác trong ñường tròn, và lượng giác trong hàm<br /> số ñược dạy ở lớp 11. Nói chung học sinh phổ thông ñược làm quen<br /> nhiều về lượng giác, ñặc biệt là hệ thức lượng giác, tuy nhiên với một<br /> thời lượng không nhiều và chỉ ở một mức ñộ nhất ñịnh. Trong các ñề<br /> thi tuyển sinh Đại học, cao ñẳng hàng năm, thi học sinh giỏi toán<br /> trong và ngoài nước thường có những bài toán mà lời giải của chúng<br /> có thể tìm ñược bằng phương pháp sử dụng các hệ thức lượng giác.<br /> Với mục ñích tìm hiểu “hệ thức lượng giác” và hệ thống một cách<br /> <br /> bậc trung học<br /> 4. Phương pháp nghiên cứu<br /> - Nghiên cứu tư liệu: qua sách báo, giáo trình, sách giáo khoa, các<br /> tạp chí toán học tuổi trẻ, cùng một số tài liệu khác từ internet.<br /> - Phân tích, tổng hợp, hệ thống các hệ thức lượng giác và khảo sát<br /> ứng dụng của nó qua các bài toán thuộc chương trình bậc trung học.<br /> - Trao ñổi, thảo luận với người hướng dẫn.<br /> 5. Nội dung luận văn<br /> Ngoài phần mở ñầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo,<br /> nội dung luận văn ñược chia thành 2 chương<br /> <br /> ñầy ñủ những ứng dụng của “hệ thức lượng giác” trong chương trình<br /> <br /> Chương 1: Các hệ thức lượng giác.<br /> <br /> toán bậc trung học, tôi chọn ñề tài luận văn của mình là: “Hệ thức<br /> <br /> Trình bày sơ lược các kiến thức lượng giác như: một số ñịnh<br /> <br /> lượng giác và ứng dụng trong chương trình Toán bậc trung học”<br /> <br /> nghĩa, tính chất, các công thức lượng giác, các hệ thức lượng giác và<br /> <br /> 2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu<br /> <br /> một số bất ñẳng thức ñại số ñể làm cơ sở cho chương sau.<br /> <br /> - Tìm hiểu các kiến thức cơ bản về lượng giác, ñặc biệt là các hệ<br /> thức lượng giác.<br /> - Hệ thống và phân loại các dạng bài toán có thể dùng hệ thức<br /> lượng giác ñể giải.<br /> <br /> Chương 2: Ứng dụng của hệ thức lượng giác.<br /> Chương này trình bày một số ứng dụng của hệ thức lượng giác<br /> trong chương trình toán bậc trung học phổ thông. Cụ thể là những bài<br /> toán về tam giác, tứ giác, về số phức và những bài toán hình học<br /> không gian.<br /> <br /> 5<br /> <br /> Chương 1. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC<br /> Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về các hàm lượng<br /> <br /> 6<br /> <br /> góc và số ño góc. Việc thay thế<br /> <br /> π<br /> 1800<br /> <br /> bằng 1 ñơn vị radian làm ñơn<br /> <br /> giản ñi nhiều trong tính toán và ñã ñược sử dụng rộng rãi ñến nay.<br /> <br /> giác, các hệ thức lượng giác và một số bất ñẳng thức ñại số ñể làm cơ<br /> <br /> 1.1.2.1. Các công thức tính ñộ dài cung và chuyển ñổi<br /> <br /> sở cho chương sau. Các chứng minh chi tiết có thể xem trong [5], [9],<br /> <br /> Cung tròn bán kính R có số ño a0 ( 0 ≤ a ≤ 3600) thì có ñộ dài là:<br /> πaR<br /> l =<br /> .<br /> 180<br /> <br /> [15].<br /> 1.1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC<br /> 1.1.1. Các hàm lượng giác<br /> <br /> 1800 = π rad,<br /> <br /> a0 =<br /> <br /> πa<br /> <br /> 1800<br /> <br /> rad ( 0 ≤ a ≤ 3600),<br /> <br /> tỷ lệ chiều dài hai cạnh của tam giác vuông chứa góc ñó, hoặc tỷ lệ<br /> <br />  180α  ( 0 ≤ α ≤ 2π ), l = Rα.<br /> rad = <br /> <br />  π <br /> 1.1.2.2. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác<br /> 1.1.2.3. Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan ñặc biệt<br /> Hai góc ñối nhau: Hai góc ñối nhau thì có cos bằng nhau; sin,<br /> <br /> chiều dài giữa các ñoạn thẳng nối các ñiểm ñặc biệt trên ñường tròn<br /> <br /> tan, cot ñối nhau.<br /> <br /> Hàm lượng giác là các hàm toán học của góc hoặc cung, thường<br /> ñược dùng khi nghiên cứu tam giác, các hiện tượng có tính chất tuần<br /> hoàn. Các hàm lượng giác của một góc thường ñược ñịnh nghĩa bởi<br /> <br /> 0<br /> <br /> ñơn vị.<br /> <br /> sin(-α) = - sinα ;<br /> <br /> cos(-α) = cosα<br /> <br /> Định nghĩa<br /> <br /> tan(-α) = - tanα ;<br /> <br /> cot(-α) = - cotα<br /> <br /> Cho tam giác ABC vuông tại A, có số ño góc B bằng α. Lúc ñó:<br /> - Tỷ số giữa cạnh ñối của góc B và cạnh huyền ñược gọi là sin<br /> của góc α, ký hiệu sinα.<br /> - Tỷ số giữa cạnh kề của góc B và cạnh huyền ñược gọi là cosin<br /> của góc α, ký hiệu cosα.<br /> - Tỷ số giữa cạnh ñối và cạnh kề của góc B ñược gọi là tang của<br /> góc α, ký hiệu tanα (hay tgα).<br /> - Tỷ số giữa cạnh kề và cạnh ñối của góc ñược gọi là cotang của<br /> góc α, ký hiệu cotα (hay cotgα).<br /> 1.1.2. Góc và cung lượng giác<br /> Trong lượng giác học không thể thiếu vấn ñề căn bản nhất, là<br /> <br /> Hai góc hơn kém nhau π: Hai góc hơn kém nhau π thì sin,<br /> cos ñối nhau; tan và cot bằng nhau.<br /> sin(α + π) = -sinα ;<br /> <br /> cos(α + π) = - cosα<br /> <br /> tan(α + π) = tanα ;<br /> <br /> cot(α + π) = cotα<br /> <br /> Hai góc bù nhau: Hai góc bù nhau thì sin bằng nhau, cos, tan<br /> và cot ñối nhau.<br /> sin(π - α) = sinα ;<br /> <br /> cos(π - α) = - cosα<br /> <br /> tan(π - α) = - tanα ;<br /> <br /> cot(π - α) = - cotα<br /> <br /> Hai góc phụ nhau: Hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng<br /> cosin góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.<br /> <br /> 7<br /> <br /> sin(<br /> <br /> π<br /> 2<br /> <br /> π<br /> <br /> 8<br /> <br /> - α) = cosα ;<br /> <br /> cos(<br /> <br /> - α) = cotα ;<br /> <br /> cot(<br /> <br /> π<br /> 2<br /> <br /> - α) = sinα<br /> <br /> π<br /> <br /> - α) = tanα<br /> 2<br /> 2<br /> 1.1.3. Các công thức lượng giác<br /> 1.1.3.1. Công thức cộng<br /> cos(α ± β) = cosαcosβ m sinαsinβ<br /> sin(α ± β) = sinαcosβ ± sinβcosα<br /> tan α + tan β<br /> tan α − tan β<br /> tan(α + β) =<br /> ; tg(α - β) =<br /> 1 − tan α tan β<br /> 1 + tan α tan β<br /> tan(<br /> <br /> cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α<br /> sin2α = 2sinαcosα<br /> <br /> 2 tan α<br /> 1 − tan 2 α<br /> <br /> (a ≠<br /> <br /> π<br /> 2<br /> <br /> + kπ, k ∈ Z )<br /> <br /> 1.1.3.3. Công thức hạ bậc<br /> sin2α =<br /> <br /> 1 − cos2α<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> cosα + cosβ = 2cos α + β cos α − β<br /> 2<br /> 2<br /> α<br /> −<br /> β<br /> cosα - cosβ = - 2sin α + β sin<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> tanα ± tanβ =<br /> <br /> sin(α ± β )<br /> ; cotα + cotβ = sin(α + β )<br /> cosα cosβ<br /> s inα sin β<br /> <br /> 1.1.4. Định lý hàm sin, ñịnh lý hàm cosin, ñịnh lý hàm tang<br /> <br /> 1.1.3.2. Công thức nhân ñôi<br /> <br /> tan2α =<br /> <br /> 1.1.3.6. Công thức biến ñổi tổng thành tích<br /> α −β<br /> sinα + sinβ = 2sin α + β cos<br /> 2<br /> 2<br /> α<br /> −<br /> β<br /> α<br /> +<br /> β<br /> sinα - sinβ = 2cos<br /> sin<br /> <br /> ; cos2α =<br /> <br /> 1.1.4.1. Định lý hàm số sin<br /> <br /> a<br /> b<br /> c<br /> =<br /> =<br /> = 2R<br /> sin A<br /> sin B<br /> sin C<br /> <br /> 1.1.4.2. Định lý hàm số cosin<br /> Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:<br /> <br /> 1 + cos2α<br /> 2<br /> <br /> 1.1.3.4. Công thức góc nhân ba<br /> sin3α = - 4sin3α + 3sinα ; cos3α = 4cos3α - 3cosα<br /> 3 tan α − tan 3 α<br /> tan3α =<br /> 1 − 3 tan 2 α<br /> 1.1.3.5. Công thức biến ñổi tích thành tổng<br /> cosαcosβ = 1 [cos(α + β) + cos(α - β)]<br /> 2<br /> 1<br /> sinαsinβ =<br /> [cos(α - β) - cos(α + β)]<br /> 2<br /> sinαcosβ = 1 [sin(α - β) + sin(α + β)]<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> a = b2 + c2 - 2bccosA; b2 = a2 + c2 - 2accosB; c2 = a2 + b2 - 2abcosC<br /> Định lý hàm số sin và ñịnh lý hàm số cosin là phương tiện chủ<br /> yếu trong các bài toán giải tam giác.<br /> - Khi biết ba cạnh a, b, c ta sử dụng ñịnh lý hàm sin ñể tính các<br /> góc.<br /> Chẳng hạn, ñể<br /> tính<br /> góc<br /> A, ta có: a2 = b2 + c2 - 2bccosA<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> b +c −a<br /> ⇔ cos A =<br /> 2bc<br /> Góc B cũng ñược suy ra bằng cách tương tự, hoặc sau khi ñã tính<br /> ñược góc A, có thể dùng công thức nhận ñược từ ñịnh lý hàm sin:<br /> b sin A<br /> asinB = bsinA ⇒ sinB =<br /> a<br /> <br /> 9<br /> <br /> - Khi ñã biết 2 cạnh b, c và góc A xen giữa chúng, có thể dùng<br /> ñịnh lý hàm cos ñể tính cạnh a:<br /> a22 = b22 + c2 - 2bccosA. Để tính góc<br /> 2<br /> a +c −b<br /> b sin A<br /> B, có thể sử dụng: cos B =<br /> hoặc sinB =<br /> .<br /> 2ac<br /> a<br /> - Khi biết một cạnh và hai góc, ta có thể dùng ñịnh lý hàm sin ñể<br /> tính hai cạnh còn lại.<br /> - Khi biết hai cạnh và một góc không xen giữa, ta dùng ñịnh lý<br /> hàm sin ñể tính một trong 2 góc kia, và cũng dùng ñịnh lý hàm sin ñể<br /> tính cạnh còn lại (hoặc dùng ñịnh lý hàm cosin sau khi ñã tính góc).<br /> 1.1.4.3. Định lý hàm số tang<br /> Trong tam giác ABC, ta luôn có:<br /> A−B<br /> tan<br /> a−b<br /> A−B<br /> 2<br /> =<br /> = tan<br /> tan C<br /> A+B<br /> a+b<br /> 2<br /> 2<br /> tan<br /> 2<br /> B−C<br /> tan<br /> b−c<br /> B-C<br /> 2<br /> =<br /> = tan<br /> tan A<br /> 2<br /> b+c<br /> 2<br /> B+C<br /> tan<br /> 2<br /> C−A<br /> tan<br /> c−a<br /> B<br /> 2<br /> =<br /> = tan C − A tan<br /> c+a<br /> 2<br /> C+ A<br /> 2<br /> tan<br /> 2<br /> Chú thích.<br /> Định lý hàm số tang ñược Viète phát biểu vào khoảng năm 1850.<br /> Nó là hệ quả của ñịnh lý hàm số sin. Tuy nhiên, vào thời Viète, kết<br /> <br /> 10<br /> <br /> góc thứ ba, tiếp theo, chẳng hạn biết b, dùng ñịnh lý hàm số tang ñể<br /> giải ra a, rối dùng hệ thức tương tự ñể có c.<br /> 1.2. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN<br /> Trong một tam giác ABC bất kỳ, ta có các hệ thức sau:<br /> 1.2.1. Đẳng thức lượng giác<br /> Bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác<br /> a<br /> b<br /> c<br /> R=<br /> =<br /> =<br /> 2sin A<br /> 2sin B<br /> 2sin C<br /> Bán kính ñường tròn nội tiếp tam giác<br /> <br /> A;<br /> 2<br /> C<br /> r = ( p − c ) tan<br /> 2<br /> r = ( p − a ) tan<br /> <br /> A<br /> B<br /> C<br /> sin sin<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> Bán kính ñường tròn bàng tiếp tam giác<br /> <br /> ra = p tan<br /> <br /> A<br /> ;<br /> 2<br /> <br /> rb = p tan<br /> <br /> a 2 + b2 c2<br /> −<br /> 2<br /> 4<br /> <br /> sin. Ngày nay, không ai còn lưu giữ ñược chứng minh của Viète.<br /> <br /> ma2 + mb2 + mc2 =<br /> <br /> cosin và ñịnh lý hàm số sin. Thật vậy, nếu biết 2 góc, ta cũng có ñược<br /> <br /> B ;<br /> C<br /> rc = p tan<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> Đường phân giác trong của tam giác<br /> A<br /> C<br /> B<br /> 2bc cos<br /> 2ab cos<br /> 2ac cos<br /> 2; l =<br /> 2<br /> 2;l =<br /> la =<br /> c<br /> b<br /> b+c<br /> a+c<br /> a+b<br /> Đường trung tuyến của tam giác<br /> b2 + c 2 a 2 ;<br /> a2 + c2 b2 ;<br /> ma2 =<br /> −<br /> mb2 =<br /> −<br /> 2<br /> 4<br /> 2<br /> 4<br /> <br /> quả này ñược chứng minh ñộc lập chứ không thông qua ñịnh lý hàm<br /> <br /> hợp biết ñược 2 góc và một cạnh, mà không cần sử dụng ñịnh lý hàm<br /> <br /> B;<br /> 2<br /> <br /> r = 4 R sin<br /> <br /> mc2 =<br /> <br /> Định lý hàm số tang có thể ñược dùng ñể giải tam giác trong trường<br /> <br /> r = ( p − b ) tan<br /> <br /> 3 2<br /> (a + b2 + c2)<br /> 4<br /> <br /> Diện tích tam giác<br /> <br /> S =<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> abc<br /> a.ha = b.hb = c.hc ; S =<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 4R<br /> <br />