Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Infimum của phổ của toán tử Laplace-Beltrami trên miền giả lồi bị chặn với Metric Bergman

Chia sẻ: Kethamoi2 Kethamoi2 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung trình bày một số kiến thức về giải tích phức nhiều biến; cận dưới nhỏ nhất của phổ của toán tử Laplace-Beltrami trên miền giả lồi bị chặn. Luận văn đã chứng minh một cách chi tiết các kết quả chính trong bài báo của Song-Ying Li và My-An Tran([16]). Các kết quả bao gồm, chứng minh các ước lượng cận trên và cận dưới cho phổ của toán tử Laplace–Beltrami trên các miền giả lồi đặc biệt. Từ đó đưa ra các áp dụng để đánh giá cận trên của giá trị phổ trên các miền giả lồi với metric K¨ahler-Einstein và metric Bergman.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Infimum của phổ của toán tử Laplace-Beltrami trên miền giả lồi bị chặn với Metric Bergman

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - o0o - - - - - - - - TRẦN THỊ MAI INFIMUM CỦA PHỔ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE-BELTRAMI TRÊN MIỀN GIẢ LỒI BỊ CHẶN VỚI METRIC BERGMAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - o0o - - - - - - - - TRẦN THỊ MAI INFIMUM CỦA PHỔ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE-BELTRAMI TRÊN MIỀN GIẢ LỒI BỊ CHẶN VỚI METRIC BERGMAN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THẠC DŨNG HÀ NỘI - 2015
Mục lục Phần mở đầu 1 1 Một số kiến thức về giải tích phức nhiều biến 3 1.1 Hàm đa điều hòa dưới và miền giả lồi . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Miền giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Toán tử Laplace-Beltrami trên đa tạp K¨ahler . . . . . . . . 5 2 Cận dưới nhỏ nhất của phổ của toán tử Laplace-Beltrami trên miền giả lồi bị chặn 9 2.1 Ước lượng cận dưới của λ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Ước lượng cận trên của λ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Giá trị cực đại của λ1 trên một vài miền đặc biệt . . . . . . 19 Kết luận 22 Tài liệu tham khảo 23 1
Phần mở đầu Cho (M n , g) là một đa tạp K¨ahler n chiều với metric K¨ahler n X g= gij dzi ⊗ dz j . i,j=1 Giả sử n X ∂2 ij ∆g = −4 g i,j=1 ∂zi ∂z j là toán h tửit Laplace-Beltrami tương ứng với metric g . Ở đây ta dùng ký −1 hiệu g ij = gij . Khi đó, cận dưới nhỏ nhất của phổ của toán tử Laplace-Beltrami được xác định bởi   n ij ∂f ∂f  Z X  ∞ λ1 (∆g , M ) = inf 4 g dVg : f ∈ C0 (M ), kf kL2 = 1  M i,j=1 ∂zi ∂z j  trong đó dVg là dạng thể tích trên M tương ứng với metric K¨ahler g . Bài toán đặt ra là tính giá trị λ1 hoặc cho một đánh giá về λ1 . Tất nhiên việc đánh giá này là phụ thuộc vào đa tạp M và metric K¨ahler g . Người ta đã chứng minh được rằng khi M là đa tạp compact và ∆g là toán tử elliptic đều thì λ1 (∆g ) là giá trị riêng dương đầu tiên của ∆g với điều kiện biên Dirichlet. Việc nghiên cứu λ1 có nhiều ứng dụng trong các bài toán hình học và vật lý... Luận văn này trình bày một cách chi tiết các kết quả chính trong bài báo của Song-Ying Li và My-An Tran ([16]). Nội dung chính của luận văn là đưa ra các ví dụ về đa tạp K¨ahler đầy đủ mà đối với chúng giá trị chính xác của λ1 có thể tính toán được. Nói một cách cụ thể, ta sẽ ước lượng chính xác λ1 (∆u ) trên các miền D là miền giả lồi bị chặn trong Cn với 1
∂ 2u metric K¨ahler uij dzi ⊗ dz j , trong đó uij = với u là hàm đa điều ∂zi ∂z j hòa dưới chặt, vét cạn miền D. Trong trường hợp tổng quát, khi D là miền giả lồi bị chặn thì việc tính được chính xác giá trị của λ1 (∆u ) là rất phức tạp. Vì thế, chúng ta cần phải đưa vào những điều kiện phụ khác nhau đối với hàm u vét cạn trên D. Nhờ các điều kiện đó, chúng ta sẽ xấp xỉ cận trên và cận dưới của λ1 bằng cách xây dựng các hàm đặc biệt và tiến hành phân tích trên miền con của D. Luận văn bao gồm hai chương. Trong chương mở đầu, tôi nhắc lại một vài kiến thức cơ bản về hàm đa điều hòa dưới, miền giả lồi và toán tử Laplace-Beltrami trên đa tạp K¨ahler. Trong chương hai, tôi xét ước lượng cận dưới và cận trên của cận dưới nhỏ nhất của phổ của toán tử Laplace- Beltrami. Ước lượng cận dưới được xét trong mục 2.1, ước lượng cận trên được trình bày trong mục 2.2. Đặc biệt, trong mục 2.2 tôi đưa ra một cách chứng minh khác cho Định lý 2.2. Chứng minh này là mới và đơn giản hơn so với chứng minh trong bài báo gốc. Trong mục 2.3, tôi đưa ra các ước lượng của cận dưới nhỏ nhất của phổ trên các miền giả lồi đặc biệt với metric K¨ahler-Einstein và metric Bergman. 2
Chương 1 Một số kiến thức về giải tích phức nhiều biến 1.1 Hàm đa điều hòa dưới và miền giả lồi 1.1.1 Hàm đa điều hòa dưới Định nghĩa 1.1. Giả sử Ω là một miền trong Cn , u : Ω → R là một hàm thuộc lớp C 2 . Khi đó u được gọi là hàm đa điều hòa dưới nếu và chỉ nếu n X ∂ 2u (z)ξi ξ j ≥ 0 ∀z ∈ Cn , ξ = (ξ1 , ..., ξn ) ∈ Cn . i,j=1 ∂zi ∂z j ∂ 2u Do uij = =
+ =uij (xi xj + yi yj )). Vì vậy, nếu u là hàm đa điều hòa dưới thuộc lớp C 2 thì n X
Ω được gọi là miền giả lồi chặt tại p nếu dạng Levi xác định dương chặt ∀ξ 6= 0. Ω là miền giả lồi chặt nếu Ω là miền giả lồi chặt tại mọi điểm của nó. 1.2 Toán tử Laplace-Beltrami trên đa tạp K¨ ahler Giả sử M là một đa tạp Riemann định hướng, n chiều và Ωp (M ) là một không gian p-dạng trên M , đặt d : Ωp (M ) ⇒ Ωp+1 (M ) là toán tử vi phân thông thường, p ≥ 0. Giả định rằng ds2 = i,j gij dxi ⊗ dxj là một P metric Riemann trên T ∗ M ⊗ T ∗ (M ), (gij ) là ma trận thực cấp n và xác định dương chặt. Khi đó ds2 chứa một metric Riemann trên T (M )⊗T (M ) xác định bởi X ∂ ∂ dS 2 = g ij ⊗ i,j ∂xi ∂xj trong đó (g ij ) là ma trận nghịch đảo của (gij ). Ln Giả sử d∗ là toán tử liên hợp của d trên p p=0 Ω (M ) tương ứng với P metric Riemann i,j gij dxi ⊗ dxj nghĩa là d∗ : Ωp (M ) → Ωp−1 (M ) và Z ∗ (dα, β) = (α, d β) = < dα, β >ds2 ∗ ∀α ∈ Ωp−1 (M ), β ∈ Ωp (M ) M trong đó * là toán tử Hogde. Định nghĩa 1.4. Toán tử Hogde-Laplace trên Ωp (M ) là ∆H = −(dd∗ + d∗ d) : Ωp (M ) → Ωp (M ). Toán tử Hogde-Laplace được liên hệ với toán tử Laplace-Beltrami như sau. Với mọi hàm trơn f , ta có thể định nghĩa gradient của nó là ∂f ∂ Of := gradf := g ij ∂xi ∂xj 5
trong đó g = det(gij ). Khi đó với mọi trường véc tơ X ta có < gradf, X >= X(f ) = df (X). ∂ Mặt khác, toán tử div tác động lên một trường véc tơ Z = Z i được ∂xi định nghĩa là 1 ∂ √ j divZ := ( gZ ). g ∂xj Định nghĩa 1.5. Toán tử Laplace-Beltrami trên Ωp (M ) là ∆f = −div(gradf ). Khi đó, chúng ta biết rằng trên không gian các hàm khả vi trên M , ta có ∆ = −∆H . Dễ dàng nhận thấy rằng √ ∂2 1 ∂ ∂f ∆f = − √ gg ij i = −g ij f + ... g ∂xj ∂x ∂xi ∂xj Vì (gij ) là xác định dương chặt, −∆f là một toán tử elliptic. Định nghĩa 1.6. Giả sử M là một đa tạp phức với tọa độ địa phương z = (z1 , ..., zn ). Một metric Hermit trên M được xác định bởi hik (z)dzj ⊗ dz k zk trong đó hjk (z) là ma trận Hermit, xác định dương và phụ thuộc vào z . Ngoài ra, các hàm thành phần hjk (z) là các hàm trơn. Dạng vi phân song bậc (1, 1) xác định bởi i h (z)dzj ∧ dz k 2 jk được gọi là dạng K¨ahler của metric Hermit. 6
Định nghĩa 1.7. Một metric Hermit hjk dzj ⊗ dz k được gọi là một metric K¨ahler nếu với mọi z tồn tại một lân cận U của z và một hàm F : U → R i với hjk dzj ∧ dz k = ∂∂F , ∂∂F được gọi là dạng K¨ahler, F được gọi là thế 2 vị K¨ahler. Giả sử hjk dzj ⊗ dz k là một metric K¨ahler trên một đa tạp phức M . Do mỗi metric Hermit đều cảm sinh ra một metric Riemann nên ta có thể định nghĩa toán tử Laplace-Beltrami tương ứng với metric Riemann < v, w >R,h . Trong metric này, toán tử Laplace-Beltrami có dạng n ∂2 1 ∂ ij ∂ X ∆ = −4 hh = −4 hij i , h ∂zi ∂z j i,j=1 ∂z ∂z j trong đó h = det(hjk ). Công thức trên có thể suy ra trực tiếp nhờ sử dụng kết quả sau ([16]) n n X ∂ ij X ∂ (hh ) = (hhij ) = 0. i=1 ∂zi j=1 ∂z j Lưu ý rằng, chúng ta sẽ dùng công thức này để chứng minh một công thức tích phân cho toán tử Laplace–Beltrami trong chương sau. Định nghĩa 1.8. Cho Ω ⊂ M là một tập con mở. Một số thực dương λ được gọi là một giá trị riêng của toán tử ∆ đối với bài toán Dirichlet trên Ω nếu tồn tại một hàm trơn v ∈ C ∞ (Ω) sao cho ∆v = λv. Hàm v khi đó được gọi là một hàm riêng của ∆ ứng với giá trị riêng λ. Do ∆ là toán tử elliptic tự liên hợp, nhờ lý thuyết phương trình đạo hàm riêng chúng ta biết rằng tập hợp các giá trị riêng {λk }∞ k=1 lập thành một dãy tăng 0 < λ1 < λ2 ≤ . . . λk ≤ . . . và lim λk = ∞. k→∞ Trong giải tích phức nhiều biến, chúng ta biết rằng nếu D là hình cầu đơn vị Bn trong Cn và u(z) = − log(1 − |z|2 ) thì n X 2 ds = uij dzi ∧ dz j i,j=1 7
vừa là metric Bergman đồng thời cũng là metric K¨ahler-Einstein trên Bn . Chúng ta sẽ chỉ ra rằng λ1 (Bn ) = n2 . Để tính giá trị chính xác của λ1 (∆u ) trên Bn , chúng ta sẽ đồng thời đánh giá cận trên và cận dưới của nó. Trước hết, chúng ta giả thiết f (z) = n (1 − |z|2 ) 2 . Khi đó, áp dụng nguyên lý Rayleigh ta có 2 R Bn | 5 f | λ1 ≤ R 2 = n2 . Bn |f | Đồng thời áp dụng Mệnh đề 9.2 trong [8] ta lại có λ1 ≥ µ > 0 nếu tồn tại một hàm dương h sao cho ∆u h ≥ µh. Thực tế, hàm f định nghĩa ở trên luôn thỏa mãn điều kiện ∆u f ≥ n2 f . Do vậy λ1 (∆u ) = n2 trên Bn (xem [16]). 8
Chương 2 Cận dưới nhỏ nhất của phổ của toán tử Laplace-Beltrami trên miền giả lồi bị chặn 2.1 Ước lượng cận dưới của λ1 Nhắc lại, giả sử D là một miền giả lồi bị chặn trong Cn với hàm xác định r(z) ∈ C 2 (Cn ) và u(z) = − log(−r(z)) là hàm đa điều hòa dưới chặt trong D. Khi đó, toán tử Laplace-Beltrami ∆u tương ứng với metric K¨ahler uij dzi ⊗ dz j trên D xác định bởi n X ∂2 ij ∆u = −4 u (2.1) i,j=1 ∂zi ∂z j trong đó [uij ]t = H(u)−1 = [uij ]−1 . Bổ đề 2.1. Giả sử Ω ⊂ Cn và uij dzi ⊗ dz j là metric K¨ ahler bất kỳ trên 2 Ω, trong đó uij = ∂ij u và u ∈ C (Ω) là hàm đa điều hòa dưới chặt. Đặt 9
f (z) = e−αu(z) với α > 0. Khi đó (i) ∆u f (z) = 4αf (z) n − α|∂u|2u , (2.2) trong đó n X n X |∂u|2u = ij u ui uj = uij ∂i u∂j u. (2.3) i,j=1 i,j=1 (ii) Nếu r(z) = −e−u(z) là hàm đa điều hòa dưới chặt thì |∂u|2u < 1 trong Ω. (iii) Giả thiết rằng Ω bị chặn với ∂Ω ∈ C 1 . Khi đó với h1 , h2 ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) thì Z (h2 ∆u h1 − h1 ∆u h2 ) dVu Ω      n n ∂h1  ∂h2  Z X X =4 h2 − uij νi − h1 − uij νj g(z)dσ(z). ∂Ω i,j=1 ∂z j i,j=1 ∂z i (2.4) Trong đó g(z) = detH(u), dVu (z) = g(z)dv(z), và ν(z) = (ν1 (z), ..., νn (z)) là véc tơ pháp tuyến phức hướng ngoài ∂Ω sao cho |ν(z)|2 = 4. Đặc biệt, nếu    ∆u h1 (z) ≥ 0 trong Ω          h1 (z) = 0 trên ∂Ω       h2 (z) ≥ 0 trên ∂Ω   thì Z (h2 ∆u h1 − h1 ∆u h2 ) dVu ≥ 0. (2.5) Ω 10
Chứng minh. Chú ý rằng n X uij −αuij + α2 ui uj ∆u f (z) = −4f (z) i,j=1 = 4αf (z) n − α|∂u|2u . Vậy (i) được chứng minh. Tiếp theo, ta chứng minh (ii). Sử dụng các ký hiệu n X n X n X |∂r|2r = ij r ui uj , i r = ij r rj và j r = rij ri , i,j=1 j=1 i=1 bằng cách tính toán trực tiếp, ta có ! r r i j 1 i j rr uij = − rij − , uij = −r rij − . r r |∂r|2r − r Do −r(z) > 0 với mọi z ∈ Ω nên |∂r|2r < 1, ∀z ∈ Ω. |∂r|2r − r Vậy (ii) đã được chứng minh. Tiếp theo, ta chứng minh (iii). Từ định nghĩa của ∆u , ta có n n ∂ 2 h1 X ij X ∂ 2 h2 h2 ∆u h1 = −4h2 u , h1 ∆u h2 = −4h1 uij . i,j=1 ∂z i ∂z j i,j=1 ∂zi ∂z j Do đó R Ω (h2 ∆u h1 − h1 ∆u h2 ) dVu   n 2 n 2 ∂ h1 ∂ h2  Z X X = 4 −gh2 uij + gh1 uij dv. Ω i,j=1 ∂z i ∂z j i,j=1 ∂z i ∂z j Đặt ∂ 2 h1 2 ij ∂ h2 Pn ij Pn J := −gh2 i,j=1 u + gh1 i,j=1 u , ∂z i ∂z j ∂z i ∂z j Pn ∂ Pn ij ∂h1 Pn ∂ Pn ij ∂h2 K := i=1 h2 − j=1 u g − j=1 h1 − i=1 u g . ∂zi ∂z j ∂z j ∂zi 11
Ta sẽ chứng minh được rằng K = J . Như vậy, ta có Z (h2 ∆u h1 − h1 ∆u h2 ) dVu Ω   n 2 n 2 ∂ h1 ∂ h2  Z X X = 4 −gh2 uij + gh1 uij dv Ω i,j=1 ∂z i ∂z j i,j=1 ∂z i ∂z j (   " n n n n # ) ∂  ∂h1  ∂ ∂h2 Z X X X X =4 h2 −uij g − h1 −uij g dv. Ω i=1 ∂z i j=1 ∂z j j=1 ∂z j i=1 ∂z i Áp dụng định lý Stokes, ta có Z (h2 ∆u h1 − h1 ∆u h2 ) dVu Ω   Z (X n n n " n # ) X ∂h 1  X X ∂h 2 =4 h2 −uij g νi − h1 −uij g νj dσ ∂Ω i=1 j=1 ∂z j j=1 i=1 ∂z i      n n ∂h1  ∂h2  Z X X =4 h2 − uij νi − h1 − uij νj gdσ. ∂Ω i,j=1 ∂z j i,j=1 ∂z i Vậy (2.4) đã được chứng minh. Trong trường hợp đặc biệt, nếu    ∆u h1 ≥ 0 trong Ω     h1 = 0 trên ∂Ω   thì theo Nguyên lý cực đại cho phương trình elliptic, ta có n X ∂h1 − uij νi ≥ 0, trên ∂D. i,j=1 ∂z j Giả thiết thêm h2 ≥ 0 trên ∂D, từ khẳng định (2.4), ta nhận được Z (h2 ∆u h1 − h1 ∆u h2 ) dVu ≥ 0. Ω Vậy bổ đề đã được chứng minh xong. 12
Mệnh đề 2.1. Giả sử Ω là một miền bất kỳ trong Cn và u ∈ C 2 (Ω) là hàm điều hòa dưới chặt. Nếu |∂u|2u ≤ β trong Ω (2.6) với hằng số β > 0 nào đó thì n2 λ1 (∆u , Ω) ≥ (2.7) β trong đó λ1 (∆u , Ω) là cận dưới nhỏ nhất của phổ dương của toán tử ∆u trên Ω. Chứng minh. Đặt f (z) = e−αu(z) với z ∈ Ω, α > 0. Theo Bổ đề 2.1, ta có ∆u f (z) = 4α(n − α|∂u|2u )f (z) ≥ 4α(n − αβ)f (z), z ∈ Ω. Ta sẽ chứng minh rằng, trên Ω, ta có λ1 (∆u , Ω) ≥ 4α(n − αβ), α > 0. Thật vậy, ∀ > 0, giả sử Ω ⊂ Ω là một miền con compact của Ω sao cho ∂Ω ∈ C ∞ và Ω ↑ Ω khi → 0+ . Giả sử λ1 ()là giá trị riêng dương đầu tiên của bài toán Dirichlet đối với ∆u với hàm riêng v(z) trên Ω . Khi đó do tính chất chính quy của v mà hàm v(z) dương trên Ω . Hơn nữa v = 0 trên ∂Ω . Sử dụng bất đẳng thức (2.4) cho các hàm    h1 = v   ,   h2 = f   ta có Z Z 0≤ (f ∆u v − v∆u f )dVu = [f λ1 ()v − v4αf (n − α|∂|2u )]dVu Ω Ω Z Z ≤ λ1 () f vdVu − 4α(n − αβ) f vdVu Ω Ω Z = [λ1 () − 4α(n − αβ)] f vdVu . Ω 13
Do f , v là các hàm dương trong Ω nên λ1 () − 4α(n − αβ) ≥ 0. Điều này tương đương với λ1 () ≥ 4α(n − αβ). Vì vậy λ1 (∆u , Ω) = lim inf λ1 () ≥ 4α(n − αβ). →0 Do đó n2 n n λ1 (∆u , Ω) ≥ max{4α (n − αβ)} = 4 n− β = . α>0 2β 2β β Vậy mệnh đề được chứng minh xong. Chú ý 2.1. Để thuận tiện, chúng ta sẽ sử dụng các ký hiệu λ1 (∆u , D), λ1 (D) và λ1 thay thế cho nhau để chú thích lại infimum của phổ dương của ∆u trên D. Nhắc lại rằng, ở đây chúng ta đang giả sử α và β là các hằng số dương, dVu là dạng thể tích trên D tương ứng với metric K¨ ahler Pn n i,j=1 uij dzi ⊗ dz j , dv là dạng thể tích Lebesgue trên C và dσ là dạng Hausdorff trên siêu mặt bất kỳ trong D. 2.2 Ước lượng cận trên của λ1 Giả sử J là toán tử Fefferman được định nghĩa trong [3] thì    r ∂r  J(r) = − det   ,  ∗ (∂r) H(r) trong đó ∂ 2r ∂r = [r1 , ..., rn ], (∂r)∗ = [r1 , ..., rn ]t và H(r) = [rij ] = . ∂zi ∂z j 14
Do r(z) = −e−u(z) nên ∂r = uz e−u , (∂r)∗ = (uz e−u )t , rij = uij e−u − ui uj e−u . Từ định nghĩa của J(r) ta có    u11 . . . u1n    J(r) = e−(n+1)u det  .. . . ..  .    . . .      un1 . . . unn Đặt    u11 . . . u1n    .. ..  .   H(u) :=   . ... .      −u un1 . . . unn e Khi đó J(r) = e−(n+1)u detH(u). Một cách tương đương, ta có J(r) J(r) J(r) detH(u) = = = . e−(n+1)u (−1)n+1 [(−e−u )n+1 ] (−1)n+1 rn+1 Vậy, từ đó ta kết luận n+1 1 detH(u) = J(r) . −r Từ khẳng định trên, ta dễ dàng nhận được J(r) dVu = detH(u)dv = dv. (−r)n+1 Định lý 2.1. Nếu |∂u|2u ≤ β trên D và r ∈ C 2 (D) ∩ C 0,1 (D) với J(r) bị chặn trên D thì λ1 (D) ≤ βn2 . (2.8) 15
Chứng minh. Ta sẽ ước lượng cận trên của λ1 thông qua đặc trưng biến phân của λ1 bằng cách xây dựng hàm thử phù hợp f và thay vào định n nghĩa của λ1 . Để làm như vậy, trước hết, ta chọn α = + với > 0 rất 2 nhỏ và f (z) = (−r(z))α . Khi đó, Z Z |f (z)|2 dVu = (−r(z))2α dVu D D J(r) Z = (−r(z))n+2 dv D (−r(z))n+1 J(r)(z) Z = dv(z) < +∞ D (−r(z))1−2 vì (−r(z)) ≈ dist(z, ∂D) khi z ở gần ∂D và J(r) là bị chặn trên D. Do đó, theo đặc trưng biến phân của λ1 , ta có R Pn ij (Of, Of )u D4 i,j=1 u ∂i f ∂j f dVu λ1 ≤ = . (f, f )u (f, f )u Với cách chọn hàm f như trên, ta thấy rằng ∂f ∂i f = = [(−r(z))α ]0zi = −α(−r)α ∂i u. ∂zi Tương tự ∂f ∂j f = = [(−r(z))α ]0z j = α(−r(z))α−1 (−r(z))z0 j ∂z j α−1 −α(−r)α rj ∂u = −α(−r) rj = = −α(−r)α = −α(−r)α ∂j u. r ∂z j Vì vậy, R Pn ij 2 2α D 4 i,j=1 u α (−r) ∂i u∂j udVu λ1 ≤ (f, f )u 4α2 (−r)2α |∂u|2u dVu R D ≤ (f, f )u 4α2 |f (z)|2 |∂u|2u dVu R D ≤ (f, f )u |f (z)|2 dVu R ≤ 4α2 β D = 4α2 β. (f, f )u 16
n n+ n 2 Khi α = + → thì λ1 ≤ 4 β = n2 β. 2 2 2 Định lý được chứng minh xong. Với mỗi > 0, đặt D := {z ∈ D : r(z) < −}. (2.9) Chú ý rằng ∂D ∈ C 2 , D ↑ D khi → 0+ . Khi đó ta có một ước lượng cận trên của λ1 như sau. Định lý 2.2. Nếu lim |∂u|2u = β và ∂Dt J(r)(z)dσ(z) là một hàm liên R z→∂D tục theo t trên [0, 1], thì λ1 (D) ≤ n2 β. (2.10) n Chứng minh. Với α := + s (s > 0, rất nhỏ) và γ > 0, ta đặt 2    [−r(z)]s {[−r(z)]γ − γ } nếu z ∈ D\D   f (z) = .   0 nếu z ∈ / D\D   Trước hết, ta thấy rằng Z (f, f )u = |f (z)|2 dVu D (−r)n+2s [(−r)γ − γ ]2 J(r) Z = dv D\D (−r)n+1 [(−r)γ − γ ]2 J(r) Z = dv < +∞ D\D (−r)1−2s vì −r(z) ≈ dist(z, ∂D) nếu z ở gần ∂D và J(r) bị chặn trong D\D . Tiếp theo, ta đặt Z C := J(r)(z)dσ(z). ∂D Do lim |∂u|2u = β và z→∂D Z Z lim J(r)(z)dσ(z) = J(r)(z)dσ(z) = C t→0 ∂Dt ∂D 17