Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Mở rộng phương trình hàm Cauchy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> <br /> TRẦN THỊ THẮM<br /> <br /> MỞ RỘNG PHƯƠNG TRÌNH<br /> HÀM CAUCHY<br /> <br /> Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP<br /> Mã số: 60.46.01.13<br /> <br /> TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> <br /> ĐÀ NẴNG - 2015<br /> <br /> Công trình được hoàn thành tại<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học: TS.CAO VĂN NUÔI<br /> <br /> Phản biện 1: PGS. TSKH. Trần Quốc Chiến<br /> <br /> Phản biện 2: TS. Hoàng Quang Tuyến<br /> <br /> Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn<br /> tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13<br /> tháng 12 năm 2015<br /> <br /> Có thể tìm hiểu luận văn tại:<br /> - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng<br /> - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng<br /> <br /> 1<br /> MỞ ĐẦU<br /> 1. Tính cấp thiết của đề tài<br /> Lý thuyết phương trình hàm là một trong những lĩnh vực<br /> nghiên cứu quan trọng của giải tích toán học. Việc giải phương trình<br /> hàm có lẽ là một trong những bài toán lâu đời của giải tích. Nhu cầu<br /> giải phương trình hàm xuất hiện ngay khi bắt đầu có lý thuyết hàm<br /> số, nhiều phương trình hàm xuất phát từ nhu cầu thực tế của toán học<br /> hoặc của các ngành khoa học khác.<br /> Phương trình hàm cũng là một chuyên đề quan trọng trong<br /> chương trình toán ở các trường THPT chuyên. Trong các kì thi<br /> olympic toán quốc gia và quốc tế, olympic khu vực, thường xuất hiện<br /> các dạng toán khác nhau liên quan đến phương trình hàm. Để giải nó<br /> ta không những cần nắm vững lý thuyết mà còn cần rất nhiều kỹ<br /> năng. Tuy nhiên, cho đến nay, học sinh các lớp chuyên, các lớp chọn<br /> còn biết rất ít các phương pháp đề giải các phương trình hàm. Đặc<br /> biệt, chúng ta còn rất ít cuốn sách về chuyên đề phương trình hàm và<br /> ứng dụng của chúng.<br /> Các bài toán về phương trình hàm rất phong phú và đa dạng,<br /> bao gồm các loại phương trình tuyến tính và phi tuyến tính, phương<br /> trình hàm một ẩn hàm và phương trình nhiều ẩn hàm, phương trình<br /> hàm một biến và phương trình hàm nhiều biến…<br /> Phương trình hàm Cauchy có một vai trò quan trọng trong<br /> mảng toán về phương trình hàm. Rất nhiều phương trình hàm được<br /> giải quyết rất gọn gàng nhờ phép biến đổi đưa về phương trình hàm<br /> Cauchy. Và khi xây dựng các công thức tính diện tích hình chữ nhật,<br /> công thức Logarit, công thức lãi đơn, lãi kép…ta sẽ bắt gặp phương<br /> trình hàm Cauchy.<br /> <br /> 2<br /> Từ những vấn đề trên, tôi đã quyết định chọn đề tài nghiên<br /> cứu: “Mở rộng phương trình hàm Cauchy”.<br /> 2. Mục tiêu nghiên cứu<br /> Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu các mở rộng của<br /> phương trình hàm Cauchy.<br /> Nội dung của đề tài được chia thành 2 chương:<br /> -<br /> <br /> Chương 1 giới thiệu về lịch sử phát triển và mở rộng<br /> phương trình hàm Cauchy.<br /> <br /> -<br /> <br /> Chương 2 giới thiệu về các ứng dụng của phương trình<br /> hàm Cauchy.<br /> <br /> 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu<br /> Đối tượng nghiên cứu của luận văn là phương trình hàm<br /> Cauchy.<br /> Phạm vi nghiên cứu của luận văn là xây dựng cơ sở lý thuyết<br /> và hệ thống các mở rộng của phương trình hàm Cauchy và các ứng<br /> dụng của phương trình hàm cauchy.<br /> 4. Phƣơng pháp nghiên cứu<br /> a. Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả<br /> nghiên cứu liên quan đến phương trình hàm Cauchy và ứng dụng.<br /> b. Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi<br /> các kết quả đang nghiên cứu. Trao đổi qua email, blog, forum với các<br /> chuyên gia về các ứng dụng của phương trình hàm.<br /> <br /> 3<br /> CHƢƠNG 1<br /> MỞ RỘNG CÁC PHƢƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY<br /> 1.1.<br /> <br /> VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN PHƢƠNG<br /> <br /> TRÌNH HÀM<br /> Trong chương này, ta tóm lược đôi nét về lịch sử phát triển của<br /> phương trình hàm trong sự phát triển chung của Toán học và mở rộng<br /> các phương trình hàm Cauchy.<br /> 1.1.1. Nicole Oresme (1323 – 1382)<br /> Nicole Oresme là một nhà toán học người Pháp, ông là một<br /> trong những nhà khoa học lớn thời Trung cổ, ông có những nghiên<br /> cứu quan trọng cho khoa học thời Phục hưng. Năm 1348, Nicole<br /> Oresme giành được học bổng của đại học Paris, cũng chính năm đó ở<br /> Châu Âu đã xảy ra nạn dịch Cái chết đen làm chết hơn 1/3 dân số của<br /> Châu Âu. Năm 1355, ông đã có bằng thạc sĩ và được bổ nhiệm làm<br /> hiệu trưởng của trường Đại học Navarre của Pháp. Ông là nhà khoa<br /> học lớn nhất ở thế kỉ XIV. Ở giai đoạn khó khăn, dịch bệnh như vậy<br /> mà ông đã làm những điều quá sức phi thường, thật là một điều<br /> không tưởng.<br /> Phương trình hàm đã được các nhà khoa học nghiên cứu từ<br /> rất sớm. Ngay từ thế kỉ XIV, nhà toán học Nicole Oresme đã xác<br /> định hàm số bậc nhất như một nghiệm của phương trình hàm. Cụ thể<br /> là, ông đã đặt bài toán tìm hàm số f ( x) thỏa mãn với mọi<br /> x, y, z  , đôi một phân biệt, phương trình hàm như sau:<br /> y  x f  y  f  x<br /> <br /> z  y f  z  f  y<br /> <br /> (1.1)<br /> <br />