Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số vấn đề trong lý thuyết toán tử ngẫu nhiên tuyến tính

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài nghiên cứu nhằm nắm bắt được những kết quả cơ bản của thế hệ trước đã đạt được và cố gắng rút ra những kết luận, nhận xét của riêng mình. Từ đó trang bị cho mình vốn kiến thức và phương pháp nghiên cứu để có thể đi sâu hơn nữa với môn Lý thuyết xác suất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số vấn đề trong lý thuyết toán tử ngẫu nhiên tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- VŨ DANH ĐƯỢC MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG LÝ THUYẾT TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- VŨ DANH ĐƯỢC MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG LÝ THUYẾT TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. Đặng Hùng Thắng Hà Nội – 2015
Lời nói đầu Nhà toán học Pierre-Simon Laplace năm 1812 đã từng nói về vai trò của môn lý thuyết xác suất: "Cần nhớ rằng môn khoa học bắt đầu từ việc xem xét các trò chơi may rủi lại hứa hẹn trở thành đối tượng quan trọng nhất của tri thức loài người. Phần lớn những vấn đề quan trọng nhất của đời sống thực ra chỉ là những bài toán của lý thuyết xác suất". Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính là một chuyên đề khá mới của môn Lý thuyết xác suất, nghiên cứu về các hàm ngẫu nhiên tuyến tính. Do đó, tôi đã chọn đề tài "Một số vấn đề trong lý thuyết toán tử ngẫu nhiên tuyến tính" để làm đề tài luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình. Tìm hiểu vấn đề này, tôi mong muốn nắm bắt được những kết quả cơ bản của thế hệ trước đã đạt được và cố gắng rút ra những kết luận, nhận xét của riêng mình. Từ đó trang bị cho mình vốn kiến thức và phương pháp nghiên cứu để có thể đi sâu hơn nữa với môn Lý thuyết xác suất. Với khả năng và thời gian có hạn nên tôi chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trên không gian Hilbert và thác triển của nó. Cấu trúc luận văn gồm phần mở đầu, danh sách các ký hiệu, 3 chương (chương 1-2-3), tài liệu tham khảo. Nội dung chính của các chương được tóm tắt như sau: Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị của luận văn. Trong chương này, tác giả nêu những khái niệm cơ bản về biến ngẫu nhiên, kỳ vọng của biến ngẫu nhiên, sự hội tụ của biến ngẫu nhiên, hàm ngẫu nhiên, toán tử tuyến tính và toán tử Hilbert - Schmidt. Đây là các kết quả quan trọng nhất để nghiên cứu toán tử ngẫu nhiên tuyến tính ở các chương sau. Chương 2: Trình bày về toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trong không gian 1
Hilbert. Đây là một trong hai chương chính của luận văn. Chương này được chia làm ba phần: Phần đầu nói về các khái niệm cơ bản liên quan đến toán tử ngẫu nhiên tuyến tính như toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, toán tử ngẫu nhiên tuyến tính yếu, toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn và tích các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính. Phần hai nghiên cứu về hàm đặc trưng của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính, toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Gauss. Phần cuối, nghiên cứu về tính hội tụ của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính. Chương 3: Nghiên cứu về thác triển của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính. Chương này được chia làm hai phần: Phần đầu nêu những thác triển liên quan đến toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn. Phần hai trình bày một cách chi tiết một phương pháp thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính. Qua đây, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học của mình là GS. TSKH. Đặng Hùng Thắng. Người đã đưa ra đề tài và hướng dẫn tận tình giúp tôi trong suốt quá trình nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã luôn quan tâm và tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tôi cũng như các học viên cao học khác trong quá trình học tập. Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân đã động viên tôi hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 9 năm 2015 Học viên Vũ Danh Được 2
Mục lục Lời nói đầu 1 Danh sách các ký hiệu 5 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Biến ngẫu nhiên và sự hội tụ của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Sự hội tụ của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Hàm ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Hàm ngẫu nhiên Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Toán tử Hilbert - Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính trong không gian Hilbert 16 2.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.1 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính yếu . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.4 Tích của các toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . 25 2.2 Hàm đặc trưng của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . . 27 2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3
2.2.2 Hàm đặc trưng của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . 29 2.2.3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Gauss . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Sự hội tụ của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.1 Sự hội tụ yếu của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . 36 2.3.2 Sự hội tụ của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . 37 3 Thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 40 3.1 Thác triển của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . 40 3.2 Một phương pháp khác thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . 47 3.2.1 Miền xác định của thác triển của một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.2 Trường hợp Φei là độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 4
Danh sách các ký hiệu (Ω, F , P) - không gian xác suất Dη(ω) - phương sai của biến ngẫu nhiên Eη(ω) - kỳ vọng của biến ngẫu nhiên H - không gian Hilbert tách được L(X, Y ) - tập hợp các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y L(H) - tập hợp các toán tử tuyến tính từ H vào H 0 (Ω) - tập hợp các hàm đo được x(ω) từ Ω vào H (còn gọi là các biến ngẫu nhiên LH H−giá trị) LY0 (Ω) - tập hợp các hàm đo được x(ω) từ Ω vào Y (còn gọi là các biến ngẫu nhiên Y −giá trị) (x, y) - tích vô hướng của hai phần tử x và y với x, y ∈ H. 5
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Biến ngẫu nhiên và sự hội tụ của biến ngẫu nhiên 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1. Giả sử (Ω, F ) là một không gian đo, R = (−∞; +∞), B(R) là σ−đại số các tập Borel của trục thực R. Hàm thực X = X(ω) xác định trên Ω, lấy giá trị trên R gọi là hàm F −đo được hay biến ngẫu nhiên nếu {ω : X(ω) ∈ B} = X −1 (B) ∈ F với mỗi B ∈ B(R) Ví dụ 1.1.1. Ký hiệu hàm chỉ tiêu của tập A là 1A , 1A (ω) = 1 nếu ω ∈ A, 1A (ω) = 0 P nếu ω ∈ / A. Cho Ai ∈ F , i ∈ I (I không quá đếm được) và Ai = Ω, khi đó với i∈I (xi )i∈I ⊂ R, X X(ω) = xi 1Ai (ω) i∈I gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc. Khi I hữu hạn thì X được gọi là biến ngẫu nhiên đơn giản. Định nghĩa 1.1.2. Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω, F , P), nhận giá 6
trị trên R = (−∞; +∞). Hàm số F (x) = FX (x) = P(X < x), x∈R được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X. Định nghĩa 1.1.3. Cho X là biến ngẫu nhiên đơn giản có dạng n X X= xk 1Ak k=1 trong đó xk ∈ R, Ak ∈ F , k = 1, ..., n và Ak Al = (k 6= l). Với mỗi biến ngẫu nhiên X như trên, kí hiệu EX là một số được xác định bởi n X EX = xk P(Ak ) k=1 Số này được gọi là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X. Định nghĩa 1.1.4. Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất, G là σ−đại số con của F , X là biến ngẫu nhiên khả tích. Kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên X với G đã cho là một biến ngẫu nhiên, ký hiệu là E(X|G), thỏa mãn các điều kiện sau: 1. E(X|G) là G−đo được; 2. E(X|G) thỏa mãn đẳng thức Z Z E(X|G)(ω)P(dω) = X(ω)P(dω), A∈G (1.1) A A Bổ đề 1.1.1. (Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện). Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất, G là σ−đại số con nào đó của F 1. Nếu c là hằng số thì E(c|G) = c (h.c.c); 2. X ≤ Y (h.c.c) ⇒ E(X|G) ≤ E(Y |G) (h.c.c); 3. |E(X|G)| ≤ E(|X||G) (h.c.c); 7
4. a, b là các hằng số và aEX + bEY xác định thì E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G) (h.c.c) 5. E(X|{, Ω}) = EX (h.c.c); 6. E(X|F ) = X (h.c.c); 7. E(E(X|G)) = EX (h.c.c); 8. E E(X|G2 )|G1 = E(X|G1 ) = E E(X|G1 )|G2 (h.c.c) nếu G1 ⊂ G2; 9. Nếu X độc lập với G (nghĩa là σ(X) và G độc lập) thì E(X|G) = EX (h.c.c); 10. Nếu Y là G−đo được và E|Y | < ∞, E|X.Y | < ∞ thì E(XY |G) = Y E(X|G) (h.c.c). Chứng minh. 1. Hiển nhiên. R R 2. Với X ≤ Y h.c.c suy ra XdP ≤ Y dP với mọi A ∈ G. Suy ra: A A Z Z E(X|G)dP ≤ E(Y |G)dP, ∀A ∈ G A A Suy ra E(X|G) ≤ E(Y |G) h.c.c 3. Vì −|X| ≤ X ≤ |X| nên −E(|X||G) ≤ E(|X||G) ≤ E(X|G). Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 4. Với A ∈ G thì Z Z Z (aX + bY )dP = a XdP + b Y dP = A A A Z Z Z = a E(X|G)dP + b E(Y |G)dP = (aE(X|G) + bE(Y |G))dP A A A 5. EX đo được đối với σ−đại số {∅, Ω} và nếu A = ∅ hoặc A = Ω thì có Z Z XdP = EXdP A A Đó là điều phải chứng minh. 6. Hiển nhiên. 8
Tài liệu tham khảo 1. Skorokhod, A. V. (1984), Random Linear Operators, Reidel Publishing Com- pany, Dordrecht. 2. Gikhman, I. I., Skorokhod, A. V. (1975), Theory of Random Processes, I. Moscow, ’Nauka’, pp. 664. 3. Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2009), Lý thuyết xác suất, Nhà Xuất Bản Giáo Dục, Hà Nội. 4. Đặng Hùng Thắng (2013), Xác suất nâng cao, Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội. 5. Thang, D. H., Thinh, N. (2004), Random bounded operators and their exten- sion, Kyushu J. Math, 58, pp. 257 - 276. 6. Thang, D. H., Cuong, T. M. (2009), Some procedures for extending random operators. 7. Hoffmann - Jorgensen, J. (1977), Probability in Banach spaces, Lecture Notes in Math, 598, pp. 1 - 186. 8. Dorogovtsev, A. A. (1986), On application of Gaussian random elements, Theor. veroyat. i primen., 30, pp. 812 - 814. 9. Woyczynski, W. A. (1978), Geometry and martingales in Banach space II, Advances in Probab., 4, pp. 267 - 517. 10. Thang, D. H. (1987), Random operator in Banach space, Probab. Math. Statist., 8, pp. 155 - 157. 11. Thang, D. H., Cuong, T. M. (2009), A method of extending random operators, 60
Acta Mathematica Vietnamica, 34, pp. 201 - 212. 12. Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội. 61