Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình tích phân Volterra

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

53
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung của luận văn được trình bày trong ba chương. Chương 1 trình bày phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải giải phương trình Volterra loại hai với vế phải và nhân là những hàm liên tục. Chương 2 trình bày phép biến đổi tích phân Laplace và vận dụng phép biến đổi này giải phương trình tích phân Volterra dạng chập trên nửa trục thực. Chương 3 trình bày về nghiệm tường minh của một số phương trình tích phân dạng Volterra là phương trình tích phân Abel và một số phương trình Volterra khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình tích phân Volterra

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ THU HÀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA BẢN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ THU HÀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA BẢN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN NGỌC HÀ NỘI, 2015
Mục lục Mở đầu 1 1 Phương trình tích phân Volterra loại hai tổng quát và phương pháp xấp xỉ liên tiếp 3 1.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Phương trình tích phân Volterra dạng chập và biến đổi Laplace 7 2.1 Tích phân Gamma và tích phân Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Phương trình Volterra trên nửa trục . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3 Nghiệm tường minh của một số phương trình tích phân dạng Volterra 15 3.1 Phương trình tích phân Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1.1 Phương trình tích phân Abel loại một . . . . . . . . . . . . 15 3.1.2 Phương trình tích phân Abel loại hai . . . . . . . . . . . . 16 3.1.3 Phương trình tích phân dạng Abel . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1.4 Phương trình tích phân Abel với nhân tổng quát . . . . . . 17 3.2 Phương trình Volterra với các nhân đa thức hay phân thức hữu tỷ 18 3.2.1 Đạo hàm theo tham số trong tích phân xác định . . . . . 18 3.2.2 Nhân đa thức bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2.3 Nhân đa thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2.4 Nhân đa thức bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2.5 Nhân lũy thừa bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2.6 Nhân phân thức hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3 Phương trình Volterra với nhân căn thức hay lũy thừa phân . . . 21 3.3.1 Nhân căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2
3.3.2 Nhân lũy thừa phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3
Mở đầu Nhiều vấn đề trong toán học(phương trình vi phân với điều kiện biên hay điều kiện ban đầu, phương trình đạo hàm riêng), cơ học, vật lí và các ngành kĩ thuật khác dẫn đến những phương trình trong đó hàm chưa biết chứa dưới dấu tích phân. Những loại phương trình đó được gọi là phương trình tích phân. Phương trình tích phân là công cụ toán học hữu ích trong nhiều lĩnh vực nên được quan tâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác nhau như sự tồn tại nghiệm, sự xấp xỉ nghiệm, tính chỉnh hay không chỉnh, nghiệm chỉnh hóa,... Lý thuyết tổng quát của các phương trình tích phân tuyến tính được xây dựng ở buổi giao thời của các thế kỉ XIX, XX, chủ yếu là ở trong các công trình của Volterra, Fredholm và Hilbert, v.v.. Phương trình tích phân tuyến tính có dạng Z b αu(x) + K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b, (1) a trong đó u(x) là hàm cần tìm (ẩn hàm), f(x) và K(x, y) là những hàm cho trước và tương ứng được gọi là vế phải và nhân (hạch) của phương trình đã cho, α là hằng số đã cho. Phương trình (1) được gọi là phương trình loại 1 hay loại 2, tùy thuộc vào α = 0, hay α 6= 0 tương ứng. Thông thường, trong trường hợp (a, b) là khoảng hữu hạn và K(x, y) là hàm liên tục hay khả tích trong hình chữ nhât (a, b) × (a, b) thì phương trình (1) được gọi là phương trình Predholm. Nếu trong phương trình (1), cận trên a, hay cận dưới b được thay bởi x, biến thiên trong một khoảng nào đó, thì phương trình được gọi là phương trình tích phân voltetrra. Như vậy, phương trình tích phân Volterra có dạng Z x λu(x) + K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b, , (2) a Z b λu(x) + K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b. (3) x 1
Ở đây, có thể xảy ra trường hợp là b = +∞. Nếu K(x, y) có dạng K(x-y) thì phương trình tích phân được gọi là phương trình tích chập. Mục đích của luận văn này là tìm hiểu và học các phương pháp giải hình thức các phương trình tích phân Volterra. Nội dung của luận văn được trình bày trong ba chương: Chương 1 trình bày phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải giải phương trình Volterra loại hai với vế phải và nhân là những hàm liên tục . Chương 2 trình bày phép biến đổi tích phân Laplace và vận dụng phép biến đổi này giải phương trình tích phân Volterra dạng chập trên nửa trục thực. Chương 3 trình bày về nghiệm tường minh của một số phương trình tích phân dạng Volterra là phương trình tích phân Abel và một số phương trình Volterra khác. 2
Chương 1 Phương trình tích phân Volterra loại hai tổng quát và phương pháp xấp xỉ liên tiếp Chương này trình bày phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải giải phương trình Volterra loại hai với vế phải và nhân là những hàm liên tục. Nội dung của chương này được hình thành chủ yếu từ tài liệu [??]. 1.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Định lý 1.1. (Định lý xấp xỉ liên tiếp) Cho λ là một tham số phức và cho f (x) là một hàm liên tục có giá trị phức xác định trên [a, b]. Cho K(x, t) là một hạch liên tục có giá trị phức xác định trên tam giác T (a, b), với K(x, t) ≡ 0 nếu x < t. Khi đó với mỗi giá trị của λ nghiệm liên tục duy nhất của phương trình tích phân Volterra là Zx Φ(x) = f (x) + λ K(x, t)Φ(t)dt a được cho bởi Zx Φ(x) = f (x) + λ R(x, t, λ)f (t)dt a trong đó hạch giải thức R(x, t, λ) là duy nhất ∞ X R(x, t, λ) = λm−1 Km (x, t) m=1 3
Một kết quả đáng lưu ý trong định lý này là Φ(x) ≡ 0 nếu f (x) ≡ 0. Một kết quả khác cũng đáng lưu ý là các hạch Volterra không có giá trị riêng, từ chuỗi giải thức là một hàm hoàn toàn theo λ. Độ lớn của sai lệch do xấp xỉ Φn (x) trong ước tính nghiệm Φ(x) có thể được ước lượng đều giống như ước lượng thiết lập trong chứng minh. Với mỗi x ∈ [a, b] ta có ∞ |λ| M (b − a)m X |Φ(x) − Φn (x)| ≤ |λ| M kf k1 m! m=n Tổng ở vế phải có thể được ước lượng bởi dạng Lagrange còn lại của chuỗi lũy thừa. Làm tương tự ta có được ước lượng đều [|λ| M (b − a)]n kΦ(x) − Φn (x)k∞ ≤ eb n! Do đó độ lớn của sai lệch sẽ nhỏ như mong muốn với n đủ lớn. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp thiết lập chắc chắn sự tương đương giữa việc giải một phương trình tích phân Volterra của loại thứ hai với việc tính toán hạch giải thức R(x, t, λ) từ hạch K(x, t) đã cho. Những ví dụ sau đây sẽ chứng minh sự tương đương này. 1.2 Các ví dụ Ví dụ 1.1. Xét phương trình tích phân tuyến tính Zx Φ(x) = f (x) + λ xtΦ(t)dt 0 Một tích phân sơ cấp biểu diễn Zx x3 − t3 K2 (x, t) = xs.stds = xt( ) 3 t Dễ dàng thấy trong trường hợp tổng quát ta có 3 m−1 xt x − t3 Km (x, t) = (m − 1)! 3 Do đó hạch giải thức là ∞ x3 − t3 X m−1 R(x, t, λ) = λ Km (x, t) = xt. exp λ 3 m=1 4
Một kết quả của định lý là nghiệm của phương trình tích phân là Zx 3 3 x −t Φ(x) = f (x) + λ xt. exp λ f (t)dt 3 0 Đặc biệt nếu f (x) = x và λ = 1 thì nghiệm của phương trình Zx Φ(x) = x + xtΦ(t)dt 0 là Zx x3 − t3 3 Φ(x) = x + xt exp tdt = xex /3 3 0 Ví dụ 1.2. Nếu một hạch có thể phân chia dưới dạng K(x, t) = a(x)b(t) thì các hạch lặp của nó có thể dễ dàng tính được. Thật vậy Zx K2 (x, t) = a(x)b(s)a(s)b(t)ds t Zx = K(x, t) K(s, s)ds t = K(x, t)(L(x) − L(t)) trong đó L(s) là một nguyên hàm của K(s, s). Lặp lại lần nữa ta có (L(x) − L(t))2 K3 (x, t) = K(x, t) 2! Trong trường hợp tổng quát ta có: (L(x) − L(t))n−1 Kn (x, t) = K(x, t) (n − 1)! Do đó hạch giải thức được cho bởi R(x, t, λ) = K(x, t) exp {λ (L(x) − L(t))} Chú ý rằng tất cả hạch lặp và hạch giải thức đều phân chia. Do đó nghiệm của phương trình tích phân Zx Φ(x) = f (x) + λ a(x)b(t)Φ(t)dt 0 5
có dạng Zx Φ(x) = f (x) + λ a(x)b(t) exp {λ(L(x) − L(t))} f (t)dt 0 Trong ví dụ trước K(x, t) = xt. Sử dụng phương pháp này ta tính được nguyên hàm Z Z 3 s L(s) = K(s, s)ds = s2 ds = 3 Do đó x3 − t3 R(x, t, λ) = xt. exp λ 3 Kết quả này đúng chính xác so với kết quả đã tính ở ví dụ trên. Một ví dụ khác về tính khả dụng của phương pháp này, xét với hạch đơn giản K(x, t) = ex−t . Từ K(s, s) = 1, L(s) = s. Vì thế hạch giải thức được xác cho bởi R(x, t, λ) = ex−t eλ(x−t) = e(λ+1)(x−t) 6
Chương 2 Phương trình tích phân Volterra dạng chập và biến đổi Laplace Chương này trình bày phép biến đổi tích phân Laplace và vận dụng phép biến đổi này giải phương trình tích phân Volterra dạng chập trên nửa trục thực. Nội dung của chương này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [??], [??]. 2.1 Tích phân Gamma và tích phân Beta • Tích phân Gamma Tích phân Gamma (Hàm Gamma) với biến phức z = x + iy(i2 = −1) được xác định theo công thức Z ∞ Γ(z) = e−t tz−1 dt, Rez > 0. 0 • Tích phân Beta Có một số định nghĩa tương đương của hàm Beta B(p, q) (hàm Beta)được định nghĩa theo công thức Z 1 B(p, q) = up−1 (1 − u)q−1 du, 0 trong đó p và q dương để tích phân tồn tại. 2.2 Biến đổi Laplace • Định nghĩa 7
Cho f (t) xác đinh trên [0, ∞). Biến đổi Laplace của f (t) được cho bởi tích phân suy rộng Z∞ ZA −st F (s) := L{f(t)} = e f (t)dt = lim e−st f (t)dt. A→∞ 0 0 Tích phân sẽ tồn tại nếu f (t) liên tục từng mảnh trên [0, A] với mọi A và có cấp tăng không quá dạng mũ. • Các tính chất của biến đổi Laplace Tính chất 2.1. Cho các hàm gốc fk có các chỉ số tăng là λk , biến đổi Laplace là Fk , k = 1, 2, ..., n. Khi đó biến đổi Laplace của hàm tổ hợp tuyến tính f của các hàm fk X n f (t) = ck fk (t) , k=1 ck là hằng số, là hàm F định bởi n X F (p) = ck Fk (p) (2.1) k=1 Với miền xác định Rep > max αk . Tính chất 2.2. Cho hàm gốc f có chỉ số tăng là λ0 ,L [f ] = F (p) , và c > 0 là hằng số. Khi đó 1 p L [t → f (ct)] = p → F , Rep > cα0 (2.2) c c Tính chất 2.3. Cho L [f (t)] = F (p) , Rep > a0 . Đặt 0 nếu t < τ fτ (t) = f (t − τ ) nếu t ≥ τ Khi đó L (fτ ) = p 7→ e−pτ F (p) , Rep > α0 (2.3) Tính chất 2.4. Cho L (f ) = F , f có chỉ số tăng là α0 , λ là hằng số. Khi đó L eλt f (t) = F (p − λ) , Rep > α0 + Reλ (2.4) 8
Tính chất 2.5. Cho L (f ) = F . Giả sử f (k) tồn tại và là hàm gốc, f (k−1) 0+ tồn tại, ∀k = 1, n , thì ta có " # f 0+ f + 0+ f (n − 1) 0+ L f (n) = pn F (p) − − 2 −···− n (2.5) p p p Tính chất 2.6. Cho L (f ) = F , f có chỉ số tăng là α0 . Ta có L (−t)n f (t) = F (n) (p) , n ∈, Rep > α0 . (2.6) Tính chất 2.7. Cho L (f ) = F và f liên tục. Rt Khi đó, ánh xạ t 7→ 0 f (τ )dτ cũng là hàm gốc (nếu f liên tục thì ánh xạ này là nguyên hàm của f ) và Z t F (p) L f (τ )dτ = (2.7) 0 p f (t) Tính chất 2.8. Giả sử R (f ) = F , và t → t là hàm gốc. Khi đó Z ∞ f (t) L = F (u)du (2.8) t p R∞ Rz Trong đó , p = lim . Rez→∞ p • Tích chập Laplace. Nếu f (t) và g(t) khả tích trên [0; ∞) thì tích chập của f (t) và g(t) được định nghĩa bởi tích phân Zt (f ∗ g)(t) = f (t − u)g(u)du 0 Định lý 2.1. Giả sử L (f ) = F , L (g) = G , f và g lần lượt là các hàm gốc có các chỉ số tăng là α0 và β0 , liên tục từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của R+ . Nếu ta xem f và g xác định trên R , triệt tiêu trên khoảng (−∞, 0) thì tích chập f ∗ g cũng là hàm gốc có chỉ số tăng γ0 ≤ max {α0 , β0 } và L [f ∗ g] = F.G (2.9) • Công thức biến đổi Laplace ngược 9
Định lý 2.2. Cho hàm F thỏa mãn các điều kiện sau (i) F giải tích trong miền Rep > α0 . (ii) Khi |p| → ∞ trong mỗi miền Rep > α0 , thì hàm F tiến về 0 đều theo −π π arg p ∈ 2 , 2 . (iii) Với mọi x > α0 tồn tại hằng số dương M, sao cho x+i∞ Z |F (x + iy)| dy ≤ M . (2.10) x−i∞ Khi đó hàn F xác định trên Rep > α0 là biến đổi Laplace của hàm f định bởi x+i∞ Z 1 f (t) = ept F (p) dp, x > α0 2πi x−i∞ Định lý dưới đây cho phép ta tìm hàm gốc của một hàm chính qui tại vô cực. Định lý 2.3. Giả sử rằng thác triển giải tích của F lên nửa mặt phẳng trái là một hàm giải tích đơn trị. Giả sử L (f ) = F và p = ∞ là điểm chính qui của F, i.e., F có khai triển tại vô cực như sau ∞ X cn F (p) = (2.11) pn n=1 Khi đó ∞ X tn f (t) = cn+1 , t > 0. (2.12) n! n=0 2.3 Phương trình Volterra trên nửa trục Ví dụ 2.1. Nếu hạt nhân là tách được, thì phương trình tích phân kỳ dị thường được biến đổi thành phương trình đạo hàm riêng hoặc hệ tuyến tính các phương trình đạo hàm riêng. 10
Xét phương trình tích phân kỳ dị Volterra Z x φ(x) = ex + 2 e−3(x−t) φ(t)dt. −∞ Nếu ta nhân vào phương trình này e3x rồi lấy đạo hàm, ta thu được phương trình tuyến tính cấp một φ0 (x) + φ(x) = 4ex sau khi thực hiện phép rút gọn. Nghiệm của phương phương vi phân này tùy thuộc vào điều kiện ban đầu rằng φ0 (0) + φ(0) = 4. Sau khi giải phương trình này, ta thu được nghiệm φ(x) = (φ(0) − 2)e−x + 2ex . Ví dụ 2.2. Phương trình tích phân kỳ dị Volterra loại hai Z +∞ φ(x) = f (x) + k(x − t)φ(t)dt, x mà có hạt nhân là tích chập hoặc hạt nhân sai phân, có thể được giải với biến đổi Laplace, mặc dù nghiệm có thể không là duy nhất. Công thức biến đổi cần thiết là Z +∞ L K(x − t)φ(t)dt = K(−s)Φ(s), (2.13) x trong đó Z +∞ K(−s) = k(−x)esx dx và Φ(s) = L{φ(x)}. 0 Để giải thích quá trình này, xét phương trình tích phân Z +∞ φ(x) = 3e−x + 2 ex−t φ(t)dt. x Vì k(x) = ex , K(−s) = 1/(1 − s). Sau khi biến đổi phương trình tích phân, rút gọn, ta tìm được 3 6 Φ(s) = − , s + 1 (s + 1)2 từ đó ta kết luận rằng φ(x) = 3e−x − 6xe−x . Tuy nhiên, nghiệm này không duy nhất. Giả sử tồn tai hai nghiệm phân biệt, cụ thể φ1 (x) và φ2 (x). Nếu ta đặt δ(x) = φ1 (x) − φ2 (x), thì δ(x) phải thỏa mãn phương trình Z +∞ δ(x) = 2 ex−t δ(t)dt. x 11
Sau khi biến đổi phương trình tích phân này thành phương trình vi phân, ta thu được δ 0 (x) + δ(x) = 0. Do đó, δ(x) = ce−x , trong đó c là hằng số tùy ý. Suy ra nghiệm tổng quát nhất của phương trình tích phân có dạng φ(x) = φ(0)e−x − 6xe−x . Nếu phương trình tích phân được biến đổi thành phương trình vi phân theo quán trình tóm tắt như trong ví dụ trước thì nghiệm tổng quát này thu được một cách trực tiếp. Ví dụ 2.3. Xét phương trình tích phân Zx 1 sin (x − t) Φ(t)dt = x sin x (2.14) 2 0 với K(x, t) = sin(x − t). Nếu phương pháp biến đổi Laplace được miêu tả trong các mục trước áp dụng trong phương trình này ta được 1 s L {Φ (x)} = 2 s2 +1 (s2 + 1) s L {Φ (x)} = s2 +1 từ đây ta kết luận được φ(x) = cosx. Nhận xét 2.1. Nếu ta lấy đạo hàm theo x hai vế phương trình tích phân (2.14) ta được phương trình Volterra loại một sau: Zx 1 1 cos(x − t)Φ (t) dt = x cos x + sinx. (2.15) 2 2 0 Bây giờ lấy đạo hàm hai vế phương trình (2.15) ta được phương trình Volterra loại hai Zx 1 Φ (x) − sin (x − t) Φ(t)dt = cos x − x sin x. (2.16) 2 0 Các phương trình (2.15), (2.16) cũng có nghiệm Φ(x) = cos x như phương trình (2.16)và có thể được tìm bằng cahs sử dumgj biến đổi Laplace. 12
Ví dụ 2.4. ( Phương trình tích phân Abel trên nửa trục). Phương trình Abel là phương trình tích phân dạng Volterra với nhân có kỳ dị yếu lũy thừa. Xét phương trình tích phân Abel loại một trên nửa trục Z x 1 f (x) = α φ(t)dt, 0 < x < ∞, (2.17) 0 (x − t) trong đó 0 < α < 1. Chúng ta sẽ giải phương trình (3.1) bằng phương pháp biến đổi Laplace. Nếu F (s) = L{f (x)} và Φ(x) = L{φ(x)}, thì ta có phương trình biến đổi Γ(1 − α) F (s) = Φ(s), s1−α mà có thể được sắp xếp lại dưới dạng Φ(s) s−α Γ(α) sin(απ) Γ(α) = F (s) = F (s). s Γ(1 − α)Γ(α) π sα Đảo ngược lại, ta thu được Z x sin(απ) L φ(t)dt = L{xα−1 }L{f (x)} 0 π Z x sin(απ) 1 = L f (t)dt , π 0 (x − t)1−α từ đó ta kết luận rằng Z x sin(απ) d 1 φ(x) = f (t)dt . π dx 0 (x − t)1−α Ví dụ 2.5. Xét phương trình tích phân Volterra Zx ex−t Φ (t) dt = sinx 0 Từ ex−t là một hạch chập , ta có thể áp dụng biến đổi Laplace cho phương trình này. Sau một số bước đơn giản ta tìm được s−1 L {Φ (x)} = = L {cos x − sinx} s2 + 1 từ đây ta có thể kết luận Φ (x) = cos x − sinx là nghiệm duy nhất của phương trình. Mặt khác tích phân Zx ex−t Φ (t) dt = cos x 0 13
không có nghiệm liên tục trên một đoạn có dạng [0, b] với b bất kì, từ cos x 6= 0. Tuy nhiên ta vẫn có thể sử dụng biến đổi Laplace cho phương trình này, ta được s 1 L {Φ (x)} = 1 − − 2 = L {δ (x) − cos x − sinx} s2 +1 s +1 từ đây ta kết luận Φ (x) = δ (x) − cos x − sinx là một nghiệm của phương trình, trong đó δ (x) là hàm δ -Dirac 14
Chương 3 Nghiệm tường minh của một số phương trình tích phân dạng Volterra Chương này trình bày về nghiệm tường minh của một số phương trình tích phân dạng Volterra là phương trình tích phân Abel, phương trình Volterra với các nhân đa thức hay phân thức hữu tỷ, phương trình Volterra với nhân căn thức hay lũy thừa phân, v.v.. Nội dung của chương này được hình chủ yếu từ các tài liệu [??], [??]. 3.1 Phương trình tích phân Abel 3.1.1 Phương trình tích phân Abel loại một Phương trình tích phân Abel loại một là phương trình có dạng Z x 1 f (x) = φ(t)dt, (3.1) 0 (x − t)α trong đó 0 < α < 1. Abel đã chứng minh rằng có thể tim được nghiệm của phương trình này bằng cách sử dụng chuỗi vô hạn. Trong mục này sẽ trình bày hai phương pháp tìm nghiệm hình thức của phương trình Abel, đó là phương pháp chuỗi lũy thừa và phương pháp sử dụng biến đổi Laplace. 15
3.1.2 Phương trình tích phân Abel loại hai Phương trình tích phân Abel loại hai có dạng Z x 1 φ(x) = f (x) + λ √ φ(t)dt. 0 x−t √ Giả sử φ(x) liên tục tại x = 0. Nếu ta thay x bởi s, nhân với ds/ x − s, và lấy tích phân theo s, ta thu được Z x Z x 1 1 √ φ(s)ds = √ f (s)ds 0 x−s 0 x−s Z xZ s 1 +λ √ √ φ(t)dtds. 0 0 x−s s−t Tiếp theo, nếu ta đổi thứ tự tích phân trong tích phân kép và sau đó nhân với λ, ta được Z x Z x Z x 1 1 λ √ φ(s)ds = λ √ f (s)ds + λ2 π φ(t)dt. 0 x−s 0 x−s 0 Sau khi lấy phương trình cuối trừ đi phương trình Abel, ta được Z x φ(x) = g(x) + λ2 π φ(t)dt. 0 trong đó ta đặt Z x 1 g(x) = f (x) + λ √ f (s)ds. 0 x−s Sau khi đạo hàm, ta thấy rằng φ(x) phải thỏa mãn phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất φ0 (x) − λ2 πφ(x) = g 0 (x). Lấy tích phân phương trình vi phân này, ta có Z x 2 2 e−λ πx φ(x) − φ(0) = e−λ πt 0 g (t)dt. 0 Lấy tích phân từng phần cho vế phải, suy ra Z x −λ2 πx −λ2 πx 2 e φ(x) − φ(0) = e g(x) − g(0) + λ π 2 e−λ πx g(t)dt. 0 Nhưng vì φ(0) = g(0), cuối cùng ta có Z x 2 2 φ(x) = g(x) + λ π eλ π(x−t) g(t)dt. 0 16