Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình và bất phương trình hàm trong lớp hàm lượng giác ngược

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là phương trình và bất phương trình hàm trong lớp hàm lượng giác ngược nhằm cung cấp thêm cho các em học sinh THPT, đặc biệt là các em học sinh khá, giỏi một tài liệu tham khảo về phương trình và bất phương trình hàm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình và bất phương trình hàm trong lớp hàm lượng giác ngược

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM HỮU QUYỀN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG LỚP HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015
Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu Phản biện 1: TS. Nguyễn Ngọc Châu Phản biện 2: GS.TS. Lê Văn Thuyết Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 27 tháng 6 năm 2015 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phương trình hàm và bất phương trình hàm là một chuyên đề quan trọng trong giải tích, đặc biệt là trong chương trình chuyên toán Trung Học Phổ Thông (THPT). Các đề thi học sinh giỏi Quốc gia, Olympic Quốc tế cũng thường xuất hiện bài toán sử dụng các tính chất của hàm lượng giác và lượng giác ngược, đó là những bài toán khó và khá mới mẻ với học sinh THPT. Những cuốn sách tham khảo cho học sinh về lĩnh vực này là không nhiều. Đặc biệt là trong các tài liệu sách giáo khoa dành cho THPT thì hàm lượng giác ngược chưa được trình bày một cách hệ thống và đầy đủ. Xuất phát từ thực tế đó, với sự hướng dẫn của GS. TSKH Nguyễn Văn Mậu, tôi chọn đề tài “ Phương trình và bất phương trình hàm trong lớp hàm lượng giác ngược” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình. Ngoài những kiến thức lý thuyết cơ bản, luận văn còn có thêm một số bài tập về phương trình và bất phương trình, đồng thời đưa vào các bài toán sử dụng tính chất hàm lượng giác ngược. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài: “Phương trình và bất phương trình hàm trong lớp hàm lượng giác ngược” nhằm cung cấp thêm cho các em học sinh THPT, đặc biệt là các em học sinh khá, giỏi một tài liệu tham khảo về phương trình và bất phương trình hàm.
2 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: Phương trình hàm lượng giác ngược và bất phương trình hàm lượng giác ngược. 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Các tính chất của hàm lượng giác ngược và các bài toán liên quan trong lĩnh vực phương trình và bất phương trình hàm 4. Phương pháp nghiên cứu Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu ( sách, báo và các tài liệu trên internet có liên quan đến đề tài luận văn ) để thu thập thông tin nhằm hệ thống lại các vấn đề một cách lôgic, tìm hiểu các bài toán, các ví dụ minh họa. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Làm rõ các nghiên cứu đã có, tìm hiểu sâu hơn phương trình và bất phương trình hàm. Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy. 6. Cấu trúc của luận văn: Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương : Chương 1: Hàm lượng giác ngược và các hệ thức liên quan Chương này trình bày một số tính chất của hàm số, các tính chất của hàm lượng giác ngược, các đẳng thức hàm sinh bởi hàm lượng giác ngược
3 Chương 2: Một số dạng phương trình hàm trong lớp lượng giác ngược Chương này trình bày các phương trình hàm sinh bởi hàm arcsin, arccos, arctan và arccot Chương 3: Bất phương trình hàm trong hàm lượng giác ngược Chương này trình bày các bất phương trình hàm cơ bản, các bất phương trình hàm cơ bản trong lớp hàm lượng giác ngược và một số dạng toán liên quan đến bất phương trình hàm.
4 CHƯƠNG 1 HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC VÀ CÁC HỆ THỨC LIÊN QUAN 1.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Xét hàm số f ( x ) với tập xác định D f Ì ¡ và tập giá trị R( f ) Ì ¡ Định nghĩa 1.1. Nếu với mỗi phần tử y thuộc miền giá trị T, tồn tại duy nhất 1 giá trị x Î X sao cho y = f ( x ) thì f được gọi là đơn ánh Định nghĩa 1.2. Hàm f ( x ) được gọi là hàm chẵn trên M, M Ì D f (gọi tắt là hàm chẵn trên M) nếu "x Î M Þ - x Î M và f ( - x) = f ( x ), " x Î M Định nghĩa 1.3. Hàm f ( x ) được gọi là hàm số lẻ trên M, M Ì D f (gọi tắt là hàm lẻ trên M) nếu "x Î M Þ - x Î M và f ( - x) = - f ( x ), " x Î M Định nghĩa 1.4. Cho hàm số f ( x ) và tập M( M Ì D f ). Hàm f ( x ) được gọi là hàm tuần hoàn trên tập M nếu tồn tại số dương a sao cho
5 ì"x Î M Þ x ± a Î M í (1.1) î f ( x + a ) = f ( x), "x Î M Số a dương nhỏ nhất thỏa mãn (1.1) được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm tuần hoàn f(x). Định nghĩa 1.5. Cho hàm số f ( x ) và tập M( M Ì D f ). Hàm f ( x) được gọi là hàm phản tuần hoàn trên tập M nếu tồn tại số dương a sao cho: ì"x Î M Þ x ± a Î M í (1.2) î f ( x + a ) = - f ( x), "x Î M Số a nhỏ nhất thỏa mãn (1.2) được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm phản tuần hoàn f ( x ) . Định nghĩa 1.6. Hàm f ( x ) được gọi là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a trên M nếu M Ì D f và a Î ¡ \{0; -1;1} ì"x Î M Þ a ±1 x Î M í (1.3) î f (a x) = f ( x), "x Î M Số a dương nhỏ nhất thỏa mãn (1.3) được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm tuần hoàn nhân tính f ( x ) . Định nghĩa 1.7. Hàm f ( x ) được gọi là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ a trên M nếu M Ì D f và
6 ì"x Î M Þ a ±1 x Î M í (1.4) î f (a x) = - f ( x), "x Î M Số a nhỏ nhất thỏa mãn (1.4) được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm phản tuần hoàn nhân tính f ( x ) Định nghĩa 1.8. Hàm số g gọi là hàm số ngược của hàm số f và ký hiệu là f -1 nếu: f ( g ( x )) = x với mọi x thuộc miền xác định của g g ( f ( x )) = x với mọi x thuộc miền xác định của f Mọi hàm số đơn ánh đều có hàm ngược. Mọi hàm số đơn điệu nghiêm ngặt đều có hàm ngược Định nghĩa 1.9. Tập A Ì ¡ được gọi là trù mật trong ¡ , ký hiệu A = ¡ nếu "x, y Î ¡ , ( x < y ) luôn tồn tại a Î A, sao cho x
7 Nhận xét 1.1. Từ các hàm lượng giác cơ bản như y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x, theo định lí trên, ta có các hàm lượng giác ngược tương ứng trong các khoảng đồng biến hoặc nghịch biến của chúng. é p pù æ p pö Trong ê - ; , (hay trong ç - ; ÷ ), hàm số y = sin x ë 2 2 úû è 2 2ø (hay y = tan x) là hàm đồng biến, liên tục nên khi đó tồn tại hàm ngược y = arcsin x (hay y =arctan x) như sau: ì y = arcsin x ï x = sin y ìsin(arcsin x) º x ïï ï p p ï í -1 £ x £ 1 Û í- £ arcsin x £ ï ï 2 2 ï- p £ y £ p ïî-1 £ x £ 1 ïî 2 2 ì y = arctan x ï x = tan y ì tan(arctan x) º x ïï ï p p ï í-¥ £ x £ ¥ Û í- £ arctan x £ ï ï 2 2 ï- p £ y £ p ïî-¥ £ x £ ¥ ïî 2 2 Trong [ 0; p ] (hay trong ( 0; p ) ) hàm số y = cos x (hay y =cot x) là hàm nghịch biến, liên tục nên khi đó tồn tại hàm ngược y = arccos x (hay y =arccot x) như sau: ì y = arccos x ìcos(arccos x) º x ï ï í x = cos y Û í0 £ arccos x £ p ï-1 £ x £ 1, 0 £ y £ p ï -1 £ x £ 1 î î
8 và ì y = arccot x ìcos(arccot x) º x ï ï í x = cot y Û í0 < arccot x < p ï-¥ < x < ¥, 0 < y < p ï-¥ < x < ¥ î î 1) arcsin ( - x ) = - arcsin x, "x Î [ -1;1] 2) arccos ( - x ) = p - arccos x, "x Î [ -1;1] 3) arctan ( - x ) = - arctan x 4) arccot ( - x ) = - arccot x Để khảo sát các hàm lượng giác ngược, ta cũng cần phải biết tính đạo hàm các cấp của chúng. Định lý 1.2. Giả sử hàm y = f ( x) thoả mãn các điều kiện của Định lí 1.1 về sự tồn tại hàm ngược và tại điểm x = x0 hàm số có đạo hàm f ¢ ( x0 ) hữu hạn và khác 0. Khi đó đối với hàm ngược x = g ( y ) tại điểm tương ứng y0 = f ( x0 ) cũng tồn tại đạo hàm và có giá trị bằng 1 . f ¢ ( x0 ) Vậy ta có công thức đơn giản 1 x 'y = y 'x
9 Bây giờ ta chuyển qua tính đạo hàm của các hàm lượng giác ngược. Để thuận lợi trong tính toán, ta đổi vai trò x và y. Công thức trên khi đó sẽ được viết thành: 1 yx ' = xy ' p p + Hàm y=arcsinx , ( -1 < x < 1 ) với - < y< (hàm 2 2 ngược của hàm x=siny). p p Khi đó ta có x y ' = cos y > 0 với - < y< . 2 2 Theo công thức trên ta có: 1 1 1 1 yx ' = = = = x y ' cosy 1 - sin y 2 1 - x2 (Ta bỏ đi các giá trị x = ±1 vì đối với các giá trị tương ứng p y=± thì đạo hàm x y ' = cos y = 0 ). Vậy hàm y=arcsinx là hàm 2 đồng biến. 2x Lại có y '' = > 0 với 0
10 + Hàm y=arccosx ,( -1 < x < 1 ) với 0 < y < p (hàm ngược của hàm x=cosy) Ta có x y ' = - siny với 0 < y < p 1 1 1 1 Khi đó y x ' = =- =- =- 0 với x>0 và y '' < 0 với x0 và lồi với x
11 1.3. MỘT SỐ ĐẲNG THỨC HÀM SINH BỞI HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC a) Hàm f ( x) = arcsin x có các tính chất f ( x) + f ( y ) = f ( x 1 - y 2 + y 1 - x 2 ), "x, y Î [-1;1]. b) Hàm g ( x) = arccos x có tính chất g ( x) + g ( y ) = g ( xy - 1 - x 2 1 - y 2 ), "x, y Î [-1,1]. c) Hàm h( x) = arctan x có tính chất x+ y h( x) + h( y ) = h( ), "x, y Î ¡, xy ¹ 1. 1 - xy d) Hàm p( x) = arccot x có tính chất xy - 1 p ( x ) + p ( y ) = p( ), "x, y Î ¡, x + y ¹ 0. x+ y 1.4. MỘT SỐ BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN Bài toán 1 (Phương trình hàm Cauchy) Tìm hàm f ( x) liên tục trên tập số thực và thỏa f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ; "x, y Î ¡ Bài giải. Giả sử tồn tại hàm số f ( x) thỏa mãn yêu cầu đề bài
12 Cho x = y = 0 , ta có f ( 0 ) = 0. Cho y = - x , ta được f ( - x ) = - f ( x ) Vậy hàm f ( x) là hàm số lẻ nên ta chỉ cần xác định biểu thức của f ( x) với x > 0 Cho y = x , suy ra f ( 2 x ) = 2 f ( x ) , "x Î ¡. Giả sử với k nguyên dương, f ( kx ) = kf ( x ) , "x Î ¡ Khi đó f ( ( k + 1) x ) = f ( kx + x ) , "x Î ¡, "k Î ¥ Từ đó theo nguyên lý quy nạp, ta có f ( nx ) = nf ( x ) , "x Î ¡ .Ta kết hợp với tính chất f ( - x ) = - f ( x ) thu được f ( mx ) = mf ( x ) , "m Î ¢, "x Î ¡ æxö æ x ö æ x ö Lại có f ( x ) = 2 f ç ÷ = 22 f ç 2 ÷ = ... = 2 n fç n÷ è2ø è2 ø è2 ø æ x ö 1 Từ đó suy ra: f ç n ÷ = n f ( x ) , "n Î ¢, "x Î ¡ è2 ø 2 Kết hợp các điều trên lại ta được æmö m f ç n ÷ = n . f (1) , "m Î ¢, n Î ¥ + è2 ø 2
13 Sử dụng giả thiết liên tục của hàm f ( x) suy ra f ( x ) = ax, "x Î ¡, a = f (1) Thử lại, ta thấy hàm f ( x) = ax thỏa mãn yêu cầu đề bài Vậy, hàm f ( x) = ax là hàm cần tìm Bài toán 2 (Phương trình hàm Cauchy dạng mũ) Xác định các hàm f ( x) liên tục trên ¡ thỏa mãn điều kiện sau: f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) ; "x, y Î ¡ . Bài giải. Ta có thể nhận thấy f º 0 là một nghiệm của bài toán Xét trường hợp f ¹ 0 , khi đó tồn tại x0 Î ¡ sao cho f ( x0 ) ¹ 0 Theo đề ta có f ( x0 ) = f ( x + ( x0 - x)) = f ( x) f ( x0 - x) ¹ 0 "x Î ¡ Suy ra f ( x) ¹ 0, "x Î ¡ 2 æ x x ö é æ x öù Mặt khác f ( x) = f ç + ÷ = ê f ç ÷ ú > 0, "x Î ¡ è 2 2 ø ë è 2 øû Ta đặt g ( x) = ln f ( x) Þ f ( x) = e g ( x ) . Khi đó g ( x) là hàm liên tục trên ¡ và
14 g ( x + y ) = ln f ( x + y ) = ln [ f ( x) f ( y )] = ln f ( x) + ln f ( y ) = g ( x) + g ( y ), "x, y Î ¡ Theo bài toán 1 thì g ( x) = bx, b Î ¡ tùy ý. Suy ra f ( x) = ebx = a x , a > 0 Vậy nghiệm của bài toán là f º 0 hoặc f ( x) = a x , a > 0 Bài toán 3: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f ( x + y ) + f ( x - y ) = 2 cos x cos y, "x, y Î ¡. Bài toán 4: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f ( x + y ) + f ( x - y ) = 2sin x sin y, "x, y Î ¡. Bài toán 5: Tìm hàm f , g : ¡ ® ¡ thỏa mãn f ( x + y ) + g ( x - y ) = 2sin x sin y, "x, y Î ¡. Bài toán 6: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f ( x + y ) - f ( x - y ) = 2sin x sin y, "x, y Î ¡. Bài toán 7: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f ( x + y ) + f ( x - y ) = 2 cos x sin y, "x, y Î ¡. Bài toán 8: Tìm hàm f , g : ¡ ® ¡ thỏa mãn f ( x + y ) + g ( x - y ) = 2 cos x sin y, "x, y Î ¡. Bài toán 9: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn
15 f ( x + y ) + f ( x - y ) = 2sin x cos y, "x, y Î ¡. Bài toán 10: Tìm hàm f , g : ¡ ® ¡ thỏa mãn f ( x + y ) + g ( x - y ) = 2sin x cos y, "x, y Î ¡. Bài toán 11: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f ( x + y ) + f ( x - y ) = 2 f ( x) cos y, "x, y Î ¡. Bài toán 12: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f ( x - y ) - f ( x + y ) = 2 g ( x) sin y, "x, y Î ¡. Bài toán 13: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn sin( x + y ) = f ( x) sin y + f ( y ) sin x, "x, y Î ¡. Bài toán 14: Tìm hàm f , g : ¡ ® ¡ thỏa mãn sin( x + y ) = f ( x)sin y + g ( y ) sin x, "x, y Î ¡. Bài toán 15: Tìm hàm f , g : ¡ ® ¡ thỏa mãn f ( x + y ) = g ( x) sin y + g ( y ) sin x, "x, y Î ¡. Bài toán 16: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f ( x + y ) f ( x - y ) = sin 2 x - sin 2 y, "x, y Î ¡. Bài toán 17: Tìm hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f ( x + y ) f ( x - y ) = f ( x) 2 - sin 2 y, "x, y Î ¡.
16 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG LỚP HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC 2.1. PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI HÀM ARCSIN Bài toán 18. Tìm các hàm f ( x) xác định và liên tục trên [-1,1] và thỏa mãn điều kiện f ( x) + f ( y ) = f ( x 1 - y 2 + y 1 - x 2 ), "x, y Î [-1,1]. 2.2. PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI HÀM ARCCOS Bài toán 19. Tìm các hàm f ( x) xác định và liên tục trên [-1,1] và thỏa mãn điều kiện f ( x) + f ( y ) = f ( xy - 1 - y 2 1 - x 2 ), "x, y Î [-1,1] 2.3. PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI HÀM ARCTANG Bài toán 20. Tìm các hàm f ( x) xác định, liên tục trên ¡ và thỏa mãn điều kiện x+ y f ( x) + f ( y ) = f ( ), "x, y Î ¡, xy ¹ 1. 1 - xy Bài toán 21. Xác định hàm f ( x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn điều kiện
17 x- y f ( x) - f ( y ) = f ( ), "x, y Î ¡, | xy |< 1. 1 + xy 2.4. PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI HÀM ARCCOTANG Bài toán 22. Tìm các hàm f ( x) xác định, liên tục trên ¡ và thỏa mãn điều kiện xy - 1 f ( x) + f ( y ) = f ( ), "x, y Î ¡ : x + y ¹ 0. x+ y 2.5. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM Bài toán 23. Tìm tất cả hàm f ( x) liên tục trên R và thỏa mãn f ( x ) f ( y ) - f ( x + y ) = sinxsiny,"x,y Î ¡ Bài toán 24. Tìm tất cả hàm f ( x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn ìï f ( x + y ) + f ( x - y ) = 2 f ( x ) f ( y ) , "x, y Î ¡ í ïî f ( 0 ) = 1, $x0 Î ¡ : f ( x0 ) < 1 Bài toán 25. ( IMO 2002) Tìm tất cả các hàm f : ¡ ® ¡ thỏa f ( f ( x) + y ) = 2 x + f ( f ( y ) - x )
18 Bài toán 26.(IMO 2004)Tìm tất cả các hàm f : [1; +¥ ) ® [1; +¥ ) thỏa f ( xf ( y )) = yf ( x); "x, y Î [1; +¥ ) Bài toán 27. ( IMO 2005) Tìm tất cả các hàm f : ¡ + ® ¡ + thỏa f ( x) f ( y ) = 2 f ( x + yf ( x) ) "x, y Î ¡ + Bài toán 28. ( IMO 2007) Tìm tất cả các hàm f : ¡ + ® ¡ + sao cho f ( x + f ( y ) ) = f ( x + y ) + f ( y ), "x, y Î ¡ + Bài toán 29. ( IMO 2008) Tìm các hàm f : (0; +¥) ® (0; +¥) thỏa mãn f ( p) 2 + f (q)2 p 2 + q 2 = . f (r 2 ) + f ( s 2 ) r 2 + s 2 Bài toán 30. ( IMO 2009) Tìm tất cả các hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn với mọi x, y thuộc ¡ thì: f ( [ x ] y ) = f ( x) [ f ( y ) ] trong đó [ x ] chỉ số nguyên lớn nhất không vượt quá x.