Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Sử dụng phương pháp lyapunov để nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính bị nhiễu

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Thêm vào BST

Báo xấu

120
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của bản luận văn này là trình bày lại một số kết quả liên quan tới việc phát triển và cải tiến các phương pháp quen thuộc đã biết trong lý thuyết định tính của phương trình vi phân (chẳng hạn phương pháp số mũ Lyapunov hay phương pháp tập bất biến của hệ động lực) và sử dụng chúng cho việc nghiên cứu tính ổn định của chuyển động theo Lyapunov hoặc theo Lagrange.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Sử dụng phương pháp lyapunov để nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính bị nhiễu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - HÀ THỊ LY SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - HÀ THỊ LY SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - 2015
Mục lục Mở đầu 3 1 Sử dụng các phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân. 5 1.1 Khái niệm về tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân 6 1.1.1 Hệ rút gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Định nghĩa và các tính chất chính của số mũ đặc trưng Lyapunov 8 1.3 Số mũ đặc trưng của hàm ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Phổ Lyapunov và phép biến đổi Lyapunov đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Phổ của hệ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Phép biến đổi Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.3 Một số ví dụ về phương pháp số mũ . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Phương pháp hàm Lyapunov trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.1 Các hàm xác định dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.2 Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định . . . . . . . 16 1.5.3 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận . . . 17 1.5.4 Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định . . . . . 17 1.6 Các ví dụ về phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov- Badanov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ động lực 20 2.1 Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều và một vài khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1 Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều . . . . . . 21 2.1.2 Định nghĩa tập bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.3 Tập ω− giới hạn của hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.4 Chuyển động ổn định theo Lagrange . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.5 Điểm đứng yên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Khái niệm số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Badanov. . . . . . 22 2.2.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2 Tính ổn định của tập V của hệ động lực f (p, t) . . . . . . . 24 1
2.2.3 Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Kết luận 30 2
Mở đầu Trong các mô hình ứng dụng của lý thuyết phương trình vi phân, chúng ta thường gặp các bài toán liên quan đến các hệ phương trình vi phân phi tuyến hoặc một tập nghiệm nào đó của các phương trình vi phân. Trong các trường hợp này nếu sử dụng các phương pháp thông thường để nghiên cứu hệ động lực tuyến tính hoặc hệ phương trình vi phân tuyến tính có thể sẽ gặp nhiều khó khăn, phức tạp. Từ lâu, người ta đã xây dựng được nhiều phương pháp khác nhau để vượt qua các khó khăn trên (xem [4], [8], [1] ). Mục đích của bản luận văn này là trình bày lại một số kết quả liên quan tới việc phát triển và cải tiến các phương pháp quen thuộc đã biết trong lý thuyết định tính của phương trình vi phân (chẳng hạn phương pháp số mũ Lyapunov hay phương pháp tập bất biến của hệ động lực ) và sử dụng chúng cho việc nghiên cứu tính ổn định của chuyển động theo Lyapunov hoặc theo Lagrange. Nội dung của luận văn có thể chia làm hai phần chính - Phần thứ nhất trình bày lại các kết quả cơ bản về phương pháp số mũ Lyapunov và phương pháp hàm Lyapunov. - Phần thứ hai của bản luận văn dành cho việc trình bày lý thuyết số mũ đặc trưng tổng quát Lyapunov - Badanov và tính ổn định của hệ động lực tổng quát trong không gian mêtric. Bố cục luận văn gồm hai chương: Chương 1: Sử dụng các phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân. Chương 2: Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov - Badanov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ động lực. Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS. Đặng Đình Châu. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy - người đã dành nhiều thời gian và công sức để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc hoàn thành bản luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, 3
trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội về kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian tôi học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn phòng Sau đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục học tập và bảo vệ luận văn. Cuối cùng tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân đã là chỗ dựa vững chắc cho tôi trong cuộc sống và học tập. Mặc dù đã có nhiều sự cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để bản luận văn được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 10 năm 2015 Hà Thị Ly 4
Chương 1 Sử dụng các phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân. Bài toán nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình vi phân là một trong những bài toán cơ bản của lý thuyết định tính phương trình vi phân. Để xác lập các điều kiện đủ cho tính ổn định của các nghiệm hoặc tập nghiệm của hệ phương trình vi phân ta có thể sử dụng các phương pháp của nhà toán học Nga A.M. Lyapunov. Phương pháp này được Lyapunov xây dựng từ năm 1918 (xem [2] ) và ngày nay đã được phát triển thành một lý thuyết khá hoàn thiện và có khả năng áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học tự nhiên. Trong chương 1 của bản luận văn này, chúng tôi sẽ dành cho việc trình bày lại một số kết quả cơ bản nhất của các phương pháp nghiên cứu tính ổn định chuyển động của Lyapunov. Đó là phương pháp số mũ Lyapunov (xem [4] ) và phương pháp hàm Lyapunov (xem [4], [8] ). Dựa vào các phương pháp cơ bản này người ta có thể mở rộng và phát triển thành các phương pháp mới để áp dụng cho một số dạng của hệ động lực quen thuộc (xem [10] ). Một trong các mở rộng thú vị của các phương pháp Lyapunov mà chúng tôi sẽ đề cập tới trong bản luận văn này là phương pháp số đặc trưng tổng quát Lyapunov- Badanov (xem [6], [11] ). Phương pháp này sẽ được giới thiệu trong chương 2. Một trong những vấn đề thường được thảo luận sâu sắc trong các công trình nghiên cứu gần đây là "bình luận " về tính ưu việt hoặc các hạn chế còn để lại trong các phương pháp nghiên cứu tính ổn định. Trong khuôn khổ của một bản luận văn thạc sĩ chúng tôi xin phép không trình bày một cách chi tiết vấn đề này. Chúng tôi sẽ dành sự quan tâm nhiều hơn cho việc xây dựng các ví dụ với mục tiêu là ứng dụng các phương pháp đã được trình bày trong chương này cho bài toán nhiễu. 5
Trước khi đi vào các phương pháp, chúng tôi đưa ra một số khái niệm về tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân. 1.1 Khái niệm về tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân 1.1.1 Hệ rút gọn Trong không gian Banach B xét hệ phương trình vi phân dy = Y (t, y) , (1.1) dt (0,1) với Y ∈ Cty (Ω) và Ω = {(t, y) |a < t < ∞, y ∈ B} . Trong đó, mỗi điểm (t0 , y0 ) đối với hệ (1.1) với điều kiện ban đầu y (t, t0 , y0 ) = y0 . Trong chương này ta giới hạn chỉ xét nghiệm thực. Giả sử η = η (t) (a < t0 < ∞) là nghiệm của hệ (1.1) và ta cần nghiên cứu tính ổn định của nó. Gọi UH(η(t)) là lân cận của nghiệm đó sao cho UH(η(t)) ⊂ B với t ∈ [0, +∞), trong đó UH(η(t)) = {t0 ≤ t < +∞ : ky − η (t)k < H < ∞} . Ta đặt x = y − η (t) , tức x là nghiệm lệch của nghiệm y đối với nghiệm η .Vì η˙ ≡ Y (t, η (t)) , nên ta nhận được phương trình vi phân đối với x dx = G (t, x) , (1.2) dt trong đó, (0,1) G (t, x) = [Y (t, x + η (t)) − Y (t, η (t))] ∈ Ctx (H0 ) , H0 = {a < t < ∞, kxk < H1 < +∞} . Hơn nữa, rõ ràng G (t, 0) = 0. Do đó, hệ (1.2) có nghiệm tầm thường x = 0 tương ứng với nghiệm đã cho η = η (t). Hệ (1.2) được gọi là hệ rút gọn (hoặc hệ phương trình của chuyển động bị nhiễu). Như vậy, sự nghiên cứu tính ổn định của nghiệm η = η (t) được đưa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm tầm thường x ≡ 0. 6
1.1.2 Các khái niệm về ổn định Để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân chúng ta thường áp dụng các phương pháp của Lyapunov. Đó là phương pháp số mũ Lyapunov hoặc phương pháp hàm Lyapunov. Trước hết chúng tôi sẽ nhắc lại các khái niệm về sự ổn định của nghiệm tầm thường của hệ (1.2) được định nghĩa như sau. Định nghĩa 1.1. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.2) được gọi là ổn định theo Lyapunov khi t → +∞ nếu ∀ε > 0, t0 ∈ R+ ; ∃δ = δ (t0 , δ) > 0: ∀x0 ∈ H0 ; kx0 k < δ ⇒ kx (t, t0 , x0 )k < ε; ∀t ≥ t0 . Định nghĩa 1.2. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.2) được gọi là ổn định đều theo Lyapunov nếu số δ trong định nghĩa (1.2) có thể chọn không phụ thuộc vào t0 . Định nghĩa 1.3. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.2) được gọi là ổn định tiệm cận khi t → ∞ nếu (i) Nghiệm tầm thường x ≡ 0 là ổn định. (ii) Tồn tại ∆ > 0 sao cho với mọi x0 ∈ H0 và kx0 k < ∆ thì lim kx (t, t0 , x0 (t))k = 0. t→+∞ Định nghĩa 1.4. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.2) được gọi là ổn định tiệm cận đều khi t → +∞ nếu (i) Nghiệm tầm thường x ≡ 0 là ổn định đều. (ii) Tồn tại ∆ = ∆ (t0 ) > 0 (không phụ thuộc vào t0 ) sao cho với mọi x0 ∈ H0 và kx0 k < ∆ thì lim kx (t, t0 , x0 (t))k = 0. t→∞ Định nghĩa 1.5. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.2) được gọi là ổn định mũ khi t → ∞ nếu như mọi nghiệm x (t) = x (t, t0 , x0 ) của phương trình (1.2) luôn thỏa mãn bất đẳng thức kx (t)k ≤ M.e−λ(t−t0 ) . kx0 k ; ∀t ≥ t0 , trong đó M ,λ là các hằng số dương không phụ thuộc vào cách chọn x0 . Định nghĩa 1.6. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.2) được gọi là ổn định mũ đều khi t → ∞ nếu như số M ở trên không phụ thuộc vào t0 . Nhận xét: 1. Nghiệm ổn định đều suy ra ổn định theo Lyapunov. 2. Nghiệm ổn định tiệm cận đều suy ra ổn định đều. 3. Nghiệm ổn định mũ suy ra ổn định tiệm cận và nghiệm ổn định tiệm cận suy ra ổn định theo nghĩa Lyapunov. Trên đây là một số khái niệm về tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân. Mục tiếp theo chúng tôi trình bày các phương pháp để xét tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân. Trước tiên là phương pháp số mũ Lyapunov. 7
A. Phương pháp số mũ Lyapunov 1.2 Định nghĩa và các tính chất chính của số mũ đặc trưng Lyapunov Cho một hàm giá trị phức f (t) xác định trên khoảng [t0 , +∞). Định nghĩa 1.7. Định nghĩa về số mũ đặc trưng Lyapunov. Số ( hoặc ký hiệu ±∞ ) được xác định bởi công thức 1 χ [f ] = lim ln |f (t)| , (1.3) t→∞ t được gọi là số mũ đặc trưng Lyapunov của hàm f (t) (hay số mũ đặc trưng). Quy ước: χ [0] = −∞. Lưu ý một số tính chất: 1. χ [f ] = χ [|f |] . 2. χ [cf ] = χ [f ] ; |c| = 6 0. 3. Nếu |f (t)| ≤ |F (t)| với t ≥ a thì χ [f ] ≤ χ [F ] . Định lý 1.1. Số mũ đặc trưng của một tổng hữu hạn các hàm fk (t), k = 1, 2, ..., n không vượt quá số lớn nhất trong số các số mũ đặc trưng của các hàm đó và trùng với số đó nếu chỉ có một hàm số có số mũ đặc trưng bằng với số lớn nhất đó. Định lý 1.2. Số mũ đặc trưng của tích một số hữu hạn các hàm fk (t), k = 1, 2, ..., n không vượt quá tổng các số mũ đặc trưng của các hàm đó, tức là " n # n Y X χ fk (t) ≤ χ [fk (t)]. (1.4) k=1 k=1 Định nghĩa 1.8. Số mũ đặc trưng của f (t) được gọi là chặt nếu tồn tại giới hạn hữu hạn 1 lim ln |f (t)| = α. (1.5) t→∞ t Định lý 1.3. Hàm f (t) có số mũ đặc trưng chặt khi và chỉ khi 1 χ [f ] + χ = 0. (1.6) f 8
Chú ý 1.1. Trong trường hợp này hiển nhiên f (t) 6= 0 với t > T . Định lý 1.4. Nếu một hàm f (t) có số mũ đặc trưng chặt thì số mũ đặc trưng của tích của các hàm f (t) và g(t) bằng tổng các số mũ đặc trưng của chúng. χ [f g] = χ [f ] + χ [g] . (1.7) 1.3 Số mũ đặc trưng của hàm ma trận Ta xét ma trận F (t) = {fij (t)} , i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., m; m ≤ n, được xác định trên [t0 , ∞). Định nghĩa 1.9. Số (hoặc ký hiệu ±∞ ) được xác định bởi công thức χ [F ] = max χ [fij ] , i,j được gọi là số mũ đặc trưng của ma trận F (t). Định lý 1.5. Số mũ đặc trưng của một tổng hữu hạn các ma trận không vượt quá số lớn nhất trong số các số mũ đặc trưng của ma trận thành phần và trùng với số đó nếu chỉ có một ma trận có số mũ đặc trưng lớn nhất đó. Định lý 1.6. Số mũ đặc trưng của một tích hữu hạn các ma trận không vượt quá tổng của các ma trận thành phần, tức là "N # N Y X χ Fs (t) ≤ χ [Fs (t)]. s=1 s=1 1.4 Phổ Lyapunov và phép biến đổi Lyapunov đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.4.1 Phổ của hệ tuyến tính Đầu tiên ta chứng minh một định lý có tính tổng quát. Định lý 1.7. Nghiệm không tầm thường của hệ chuẩn tắc x˙ = f (t, x) , x ∈ Rn , kf (t, x)k ≤ L kxk , có số mũ đặc trưng hữu hạn. Chú ý 1.2. Với điều kiện bắt buộc đối với vế phải của hệ, nghiệm của hệ xác định với mọi t ∈ R. 9
Bây giờ ta xét hệ tuyến tính x˙ = A (t) x, x ∈ Rn , A ∈ C [t0 , ∞) . (1.8) Định lý 1.8. Nếu sup kA (t)k ≤ M thì nghiệm không tầm thường x(t) của hệ t tuyến tính (1.8) có số mũ đặc trưng hữu hạn và −M ≤ χ [x] ≤ M . Định lý 1.9. Các hàm véc tơ x1 (t), x2 (t), ..., xm (t) được định nghĩa trên khoảng [t0 , ∞), có các số mũ đặc trưng hữu hạn và khác nhau là độc lập tuyến tính. Hệ quả 1.1. Các nghiệm của một hệ tuyến tính không thể có nhiều hơn n số mũ đặc trưng khác nhau. Định nghĩa 1.10. Tập hợp tất cả các số mũ đặc trưng riêng ( tức là khác +∞ và −∞ ) của các nghiệm của một hệ vi phân được gọi là phổ của hệ đó. Chú ý 1.3. Một hệ không tuyến tính có thể có một phổ hữu hạn tx˙ = x ln x ⇒ x = exp ct. Bổ đề 1.1. Số mũ đặc trưng của một nghiệm có thể được tính bằng cách dùng dãy số nguyên theo công thức 1 χ [x] = lim ln |x (n)| , (1.9) n→∞ n ở đây n là số tự nhiên. Hệ quả 1.2. Đối với nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của hệ (1.8) các mệnh đề sau đây luôn đúng. a. Nếu các số mũ Lyapunov χ[x] < 0 thì nghiệm tầm thường của hệ (1.8) là ổn định tiệm cận. b. Nếu A(t) = (aij )n×n và phương trình đặc trưng |A − λI| = 0 có phần thực của các giá trị riêng là âm, tức là Reλj (A) < 0 thì hệ đã cho là ổn định tiệm cận theo số mũ đăc trưng Lyapunov. 1.4.2 Phép biến đổi Lyapunov Xét hệ x˙ = A (t) x, (1.10) ở đây x ∈ Rn , A ∈ C [t0 , ∞) , sup kA (t)k ≤ M, t≥t0 và phép biến đổi x = L(t)y, (1.11) Trong đó L(t) là ma trận không suy biến và khả vi liên tục với t ≤ t0 . Thay (1.11) vào hệ (1.10) ta thu được hệ tuyến tính y˙ = B(t)y. (1.12) B (t) = L−1 (t) A (t) L (t) − L−1 (t) L˙ (t) . (1.13) 10
Định nghĩa 1.11. Phép biến đổi (1.11) được gọi là phép biến đổi Lyapunov nếu: 1. L ∈ C 1 [t0 , ∞). ˙ 2. L(t), L− 1(t), L(t) bị chặn với mọi t ≤ t0 . Ma trận L(t) có các tính chất này được gọi là ma trận Lyapunov. Chú ý một số tính chất của phép biến đổi Lyapunov. 1. Các phép biến đổi Lyapunov tạo thành một nhóm. 2. Các phép biến đổi Lyapunov không làm thay đổi số mũ đặc trưng. 3. Rt Rt lim 1 ReSpA (τ ) dτ = lim 1 ReSpB (τ ) dτ , t→∞ t t0 t→∞ t t0 1 Rt 1 Rt lim t ReSpA (τ ) dτ = lim t ReSpB (τ ) dτ . t→∞ t0 t→∞ t0 Nhận xét 1.1. Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dạng x˙ = A(t)x, t ≥ 0, x ∈ Rn . (1.14) Do phép biến đổi Lyapunov L(t) không làm thay đổi số mũ đặc trưng nên chúng ta có thể ứng dụng tính chất này để nghiên cứu tính ổn định của nghiệm tầm thường của hệ (1.14) trong trường hợp sau đây. Giả sử nhờ phép biến đổi Lyapunov hệ (1.14) có thể đưa được về hệ y˙ = By, trong đó B = (bij )m×n là ma trận hằng . (1.15) Như chúng ta đã biết nếu tất cả các nghiệm đặc trưng λj (B) của hệ (1.15) đều có phần thực âm, tức là Reλj (B) < 0, j = 1, 2, ..., n, khi đó nghiệm tầm thường của (1.15) là ổn định tiệm cận thì từ tính giới nội của L(t) và L−1 (t) ta có thể suy ra tính ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường của hệ (1.14). 1.4.3 Một số ví dụ về phương pháp số mũ Ví dụ 1.1. Xét phương trình tiến hóa (xem [3], [5] ). Z t u(t) = T (t − s)x + T (t − τ )F (τ, u(τ ))dτ. (1.16) s Ta lấy f (t, x) = F (t)x, 11
trong đó F : R+ → B là ánh xạ tuyến tính bị chặn thỏa mãn điều kiện Z +∞ kF (t)kdt < ∞, (1.17) 0 thì ta có thể nhận được một hệ động lực tuyến tính u : ∆T × B → B, trong đó ∆T = {(t, s) : T ≥ t ≥ s ≥ 0}. Hệ động lực này được xác định bởi U (t, s) : x → u(t). Trong đó u(t) là nghiệm của (1.16). Hệ động lực này được gọi là họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh (xem [3] ) có các tính chất sau đây: a. Với mỗi (t, s) ∈ ∆T , U (t, s) : B → B là tuyến tính và bị chặn, b. U (t, t) = I , c. U (t, τ ) = U (t, s)U (s, τ ), ∀(t, s) ∈ ∆T . Để nghiên cứu tính ổn định của họ các toán tử tiến hóa ta có thể áp dụng phương pháp số mũ tổng quát hoặc số mũ Boole (xem [8] ). Tuy nhiên trong trường hợp đơn giản ta có thể sử dụng trực tiếp phương pháp số mũ Lyapunov. Ví dụ tiếp theo sẽ minh họa cho điều đó. Ví dụ 1.2. Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường của hệ  x˙ = −2x + y + 1 xy,  2 1+t 1 (1.18)  y˙ = −x − 2y + 2 (x2 + y 2 ). 2+t Ta thấy Z +∞ Z +∞ 1 1 dt < +∞; dt < +∞, ∀t ∈ R+ . (1.19) 0 1 + t2 0 2+t2 Vì vậy, để xét tính ổn định của hệ (1.18) ta xét hệ thu gọn ( x˙ = −2x + y, (1.20) y˙ = −x − 2y. Ta có |A − λE| = (2 + λ)2 + 1. Khi đó ma trận A có 2 giá trị riêng là λ1 = −2 + i; λ2 = −2 − i. Hệ nghiệm cơ bản là (x1 (t), y1 (t)) = (e−2t cost, −e−2t sint), (x2 (t), y2 (t)) = (e−2t sint, e−2t cost). 12
Nghiệm tổng quát của hệ có dạng ( x(t) = C1 x1 (t) + C2 x2 (t), y(t) = C1 y1 (t) + C2 y2 (t). Do đó ( x(t) = C1 e−2t cost + C2 e−2t sint, y(t) = −C1 e−2t sint + C2 e−2t cost. Nên ta có ( x(t) = e−2t (C1 cost + C2 sint), y(t) = e−2t (−C1 sint + C2 cost). Vì
χ [x(t)] = lim 1t ln
e−2t (C1 cost + C2 sint)
= −2, t→∞