Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tích phân xác định và ứng dụng trong hình học và vật lý

1<br /> <br /> 2<br /> <br /> BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> <br /> Công trình ñược hoàn thành tại<br /> <br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br />


  <br /> <br /> NGUYỄN THỊ KIM HUYỀN<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HẢI TRUNG<br /> <br /> TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH<br /> <br /> Phản biện 1: TS. Nguyễn Duy Thái Sơn.<br /> <br /> VÀ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ<br /> <br /> Phản biện 2: PGS. TS Nguyễn Gia Định<br /> <br /> Chuyên nghành: Phương pháp Toán sơ cấp<br /> Mã số:<br /> <br /> 60. 46. 40<br /> <br /> Luận văn sẽ ñược bảo vệ trước hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp<br /> thạc sĩ khoa học họp tại Đà Nẵng vào ngày 26 tháng 11 năm 2011<br /> <br /> TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> <br /> Có thể tìm hiểu luận văn tại:<br /> - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng.<br /> - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.<br /> Đà Nẵng – Năm 2011<br /> <br /> 3<br /> <br /> 4<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> <br /> chương sau khi áp dụng các phép tính của tích phân xác ñịnh trong<br /> hình học và vật lý.<br /> Chương 2: Ứng dụng của tích phân xác ñịnh trong hình học và vật<br /> lý: xác ñịnh diện tích của hình phẳng trong hệ tọa ñộ Đề - các và hệ<br /> tọa ñộ cực; thể tích của vật thể nhận ñược khi quay quanh trục Ox,<br /> Oy; xác ñịnh ñộ dài của ñường cong; xác ñịnh trọng tâm của ñường<br /> cong, trọng tâm của vật thể; moment của vật thể, áp suất của chất<br /> lỏng lên bề mặt của phiến mỏng; công cần bỏ ra ñể nâng một vật lên<br /> một ñộ cao nào ñó...<br /> <br /> 1. Lý do chọn ñề tài<br /> Trong chương trình toán học phổ thông và ñại học vấn ñề về tích<br /> phân chiếm một vị trí quan trọng và không thể thiếu ñược trong khối<br /> kiến thức của bất kỳ học sinh – sinh viên nào. Với tính ñặc thù và ñộ<br /> hay, khó, cùng với sự ñòi hỏi về tư duy trừu tượng cao, các bài toán<br /> liên quan ñến tích phân trở thành một trong những chuyên ñề quan<br /> trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp và tuyển sinh ñại<br /> học, cao ñẳng, trung cấp.... Hơn thế, lý thuyết và các bài toán về tích<br /> phân còn có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn và là công cụ tính<br /> toán hữu hiệu khoa học lý thuyết. Vì vậy tôi chọn ñề tài : Tích phân<br /> xác ñịnh và ứng dụng trong hình học và vật lý.<br /> 2. Mục tiêu nghiên cứu<br /> Tìm hiểu, xem xét cụ thể, hệ thống về tích phân xác ñịnh, tích<br /> phân suy rộng cùng với một vài ứng dụng trong hình học và vật lý.<br /> 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu<br /> 3.1. Đối tượng nghiên cứu<br /> Tích phân xác ñịnh, tích phân suy rộng và ứng dụng trong hình học<br /> và vật lý.<br /> 3.2. Phạm vi nghiên cứu<br /> Thực hiện nghiên cứu tích phân xác ñịnh và ứng dụng của tích<br /> phân xác ñịnh trong hình học và vật lý của các hàm một biến thực.<br /> 4. Phương pháp nghiên cứu<br /> Nghiên cứu các tài liệu, sách tham khảo, chuyên khảo về tích phân<br /> và ứng dụng của tích phân xác ñịnh trong hình học và vật lý.<br /> 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của ñề tài<br /> Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết. Luận án có thể sử dụng như là tài<br /> liệu tham khảo dành cho học sinh, sinh viên và giáo viên giảng dạy<br /> phần tích phân xác ñịnh thuộc môn toán khối phổ thông trung học.<br /> 6. Cấu trúc luận văn<br /> Ngoài phần mở ñầu và kết luận, luận văn ñược chia làm 02<br /> chương:<br /> Chương 1: Các kiến thức cơ sở<br /> Trình bày các kiến thức cơ bản về tích phân xác ñịnh: ñịnh nghĩa<br /> tích phân xác ñịnh, các tính chất của tích phân xác ñịnh, các ñịnh lý<br /> về giá trị trung bình ñối với tích phân xác ñịnh.... Là cơ sở cho<br /> <br /> 5<br /> <br /> 6<br /> <br /> CHƯƠNG 1<br /> KIẾN THỨC CƠ SỞ<br /> <br /> Hiển nhiên tổng các diện tích của n hình chữ nhật biểu diễn gần<br /> ñúng diện tích cần tìm S của hình thang cong AabB ñã cho. Nói một<br /> <br /> 1.1. Bài toán diện tích hình thang cong<br /> Cho hàm số y = f(x) , xác ñịnh liên tục trên khoảng ñóng [a, b] ,<br /> ngoài ra giả sử f(x) không âm trên [a, b] . Xét hình thang cong<br /> AabB là hình giới hạn bởi ñồ thị của hàm số f(x) trên [a, b] , các<br /> ñường thẳng x = a, x = b và trục hoành Ox, ta ñặt vấn ñề ñịnh nghĩa<br /> diện tích S của hình thang cong AabB.<br /> <br /> cách khác, ta có thể viết: S ≈<br /> <br /> n<br /> <br /> ∑ f(ξ )∆x<br /> i<br /> <br /> i<br /> <br /> .<br /> <br /> i=1<br /> <br /> Ta nhận thấy nếu số ñoạn chia càng nhiều sao cho ñộ lớn của các<br /> n<br /> <br /> ñoạn chia càng nhỏ thì tổng<br /> <br /> ∑ f(ξ )∆x<br /> i<br /> <br /> i<br /> <br /> càng gần giá trị ñúng S.<br /> <br /> i=1<br /> <br /> Từ ñó có thể nói rằng khi chuyển giới hạn n → ∞ sao cho<br /> <br /> ∆x i → 0 (i = 1, n) thì giá trị giới hạn của tổng chính là diện tích S<br /> cần tìm của hình thang cong AabB ñã cho:<br /> n<br /> <br /> S=<br /> <br /> lim<br /> <br /> max∆x i →0<br /> <br /> ∑ f(ξ )∆x<br /> i<br /> <br /> i<br /> <br /> (1.1)<br /> <br /> i=1<br /> <br /> 1.2. Định nghĩa tích phân xác ñịnh<br /> Cho hàm số f(x) xác ñịnh và bị chặn trong khoảng ñóng [a, b] ,<br /> chia [a, b] thành n ñoạn nhỏ bởi các ñiểm chia<br /> Hình 1.1<br /> Ta chia ñoạn [a, b] thành n ñoạn nhỏ bởi các ñiểm chia:<br /> <br /> x 0 ≡ a < x1 < x 2 < ... < x i-1 < x i < ... < x n ≡ b.<br /> Các ñiểm chia x i (i = 0, 1, ..., n) ñược chọn tuỳ ý theo thứ tự<br /> tăng dần và ñiểm ñầu<br /> <br /> x0<br /> <br /> trùng với a, ñiểm cuối cùng<br /> <br /> x n trùng với b.<br /> <br /> Từ các ñiểm chia x i (i = 0, 1, ..., n) ta dựng các ñường thẳng<br /> <br /> x = x i , như thế ta ñã chia hình thang cong AabB thành n hình thang<br /> cong nhỏ Pi −1x i −1x i Pi (i = 1, n) (Hình 1.1), mỗi hình thang cong nhỏ<br /> ñó<br /> <br /> có<br /> <br /> ñáy<br /> <br /> là<br /> <br /> ∆x i = x i − x i −1 (i = 1, n) . Chọn các ñiểm<br /> <br /> ξi ∈ [x i −1 , x i ] . Thay mỗi hình thang cong nhỏ Pi −1x i −1x i Pi (i = 1, n)<br /> bằng một hình chữ nhật có cùng ñáy ∆x i và chiều cao là f(ξi ) . Diện<br /> tích các hình chữ nhật là:<br /> f(ξ1 )∆x1 , f(ξ 2 )∆x 2 ,..., f(ξ i )∆x i ,..., f(ξ n )∆x n .<br /> <br /> x 0 ≡ a < x1 < x 2