Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ứng dụng công thức Viète trong giải toán bậc phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> TRỊNH THỊ NGỌC HIỀN<br /> <br /> ỨNG DỤNG CÔNG THỨC VIÈTE TRONG<br /> GIẢI TOÁN BẬC PHỔ THÔNG<br /> <br /> Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp<br /> Mã số: 60.46.01.13<br /> <br /> TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> <br /> Đà Nẵng – Năm 2015<br /> <br /> Công trình được hoàn thành tại<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU<br /> <br /> Phản biện 1: TS. Lê Hải Trung<br /> Phản biện 2: PGS. TS. Trần Đạo Dõng<br /> <br /> Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp<br /> Thạc sĩ Toán học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 12 tháng 12<br /> năm 2015<br /> <br /> Có thể tìm hiểu luận văn tại:<br />  Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng<br />  Thư viện trường Đại học .........., Đại học Đà Nẵng<br /> <br /> 1<br /> MỞ ĐẦU<br /> 1. Lý do chọn đề tài<br /> Đa thức là một trong các khái niệm cơ bản của đại số nói riêng<br /> và của toán học nói chung. Bài toán tìm nghiệm của đa thức, của<br /> phương trình đại số bằng căn thức đã được các nhà toán học quan<br /> tâm nghiên cứu trong nhiều thế kỷ. Mặc dù lời giải của bài toán này<br /> cho đến nay chỉ mới tìm được đối với các đa thức bậc nhỏ hơn 5,<br /> nhưng nhiều tính chất về nghiệm của đa thức đã được phát hiện. Một<br /> trong những tính chất đó là mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ tử<br /> của đa thức, nó được thể hiện bằng một công thức nổi tiếng – Công<br /> thức Viète.<br /> Ứng dụng của công thức Viète khá phong phú và hiệu quả.<br /> Trong chương trình toán bậc phổ thông, học sinh đã được học công<br /> thức Viète đối với tam thức bậc hai. Với các trường chuyên và lớp<br /> chọn, học sinh còn được học công thức Viète đối với đa thức bậc ba,<br /> tuy nhiên với một thời lượng không nhiều và chỉ ở một mức độ nhất<br /> định. Với mục đích tìm hiểu và hệ thống hóa những ứng dụng của<br /> công thức Viète trong chương trình toán học phổ thông, tôi chọn đề<br /> tài cho luận văn thạc sĩ của mình là: “ Ứng dụng công thức Viète<br /> trong giải toán bậc phổ thông”.<br /> 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu<br /> - Tìm hiểu, nghiên cứu các ứng dụng của công thức Viète<br /> trong giải toán.<br /> - Hệ thống và phân loại các bài toán có thể giải được bằng<br /> công thức Viète.<br /> - Định hướng việc ứng dụng công thức Viète cho từng lớp<br /> bài toán.<br /> <br /> 2<br /> 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu<br /> - Đa thức một ẩn, đa thức nhiều ẩn, đa thức đối xứng, phương<br /> trình, hệ phương trình đối xứng.<br /> - Công thức Viète và các ứng dụng trong chương trình toán<br /> bậc phổ thông.<br /> - Các dạng toán phổ thông được giải bằng công thức Viète.<br /> 4. Phƣơng pháp nghiên cứu<br /> - Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu có nội dung liên<br /> quan đến đề tài luận văn, đặc biệt là các tài liệu liên quan đến công<br /> thức Viète.<br /> - Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài luận<br /> văn.<br /> - Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng<br /> dẫn, của chuyên gia và của các đồng nghiệp.<br /> 5. Cấu trúc luận văn<br /> Ngoài phần mở đầu và kết luận nội dung của luận văn được<br /> chia thành hai chương:<br /> Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị<br /> Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ sở về đại số, giải tích<br /> và lượng giác đủ để làm cơ sở cho chương sau.<br /> Chương 2. Những Ứng dụng của Công thức Viète<br /> Chương này là nội dung chính của luận văn, trình bày các ứng<br /> dụng của công thức Viète trong giải toán bậc phổ thông.<br /> <br /> 3<br /> CHƢƠNG<br /> CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ<br /> 1.1. ĐA THỨC MỘT ẨN<br /> 1.1.1. Xây dựng vành đa thức một ẩn<br /> Giả sử A là một vành giao hoán, có đơn vị kí hiệu là 1. Ta<br /> gọi P là tập hợp các dãy (a0 , a1 , ..., an , ...) trong đó ai  A, với<br /> mọi i <br /> <br /> và ai  0 tất cả trừ một số hữu hạn.<br /> <br /> Trên P ta định<br /> <br /> nghĩa hai phép toán cộng và nhân như sau:<br /> <br /> (a0 , a1 ,..., an , ...)  (b0 , b1 ,..., bn , ...)  (a0  b0 , a1  b1 ,..., an  bn , ...) (1.1)<br /> (a0 , a1 ,..., an , ...)  (b0 , b1 ,..., bn , ...)  (c0 , c1 , ..., cn , ...)<br /> với ck  a0bk  a1bk  ...  ak b0 <br /> <br />  ab ,<br /> <br /> i  j k<br /> <br /> i<br /> <br /> (1.2)<br /> <br /> k  0, 1, 2,...<br /> <br /> j<br /> <br /> Vì các ai và bi bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn nên các<br /> <br /> ai  bi và các cũng bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn, nên (1.1)<br /> và (1.2) xác định hai phép toán trong P.<br /> Tập P cùng với hai phép toán cộng và nhân ở trên là một vành<br /> giao hoán có đơn vị. Phần tử không của phép cộng là dãy (0, 0, ...) ,<br /> phần tử đơn vị của phép nhân này là (1, 0, 0, ...) . Xét dãy<br /> x  (0, 1, 0, ..., 0, ...)  P . Theo quy tắc của phép nhân trong P, ta có:<br /> <br /> x2  (0, 0, 1, 0, ..., 0, ...) , x3  (0, 0, 0, 1, 0,..., 0,...) , ... , xn  (0, ..., 0, 1, 0,..., 0,...)<br /> n<br /> <br /> Ta quy ước x0  (1, 0, 0,...) .<br /> Mặt khác, xét ánh xạ:<br /> <br /> A P<br /> a<br /> <br /> (a, 0, 0,...) .<br /> <br /> Dễ dàng kiểm chứng được ánh xạ này là một đơn cấu vành, do<br /> <br />