Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về tính lồi đa thức của một số tập hợp trong Cn

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

37
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn gồm hai chương. Chương 1 bao gồm các kiến thức chuẩn bị về hàm chỉnh hình, một số định lý xấp xỉ, hàm đa điều hòa, đa tạp thuần túy thực, vành chỉnh hình, đại số đều. Chương 2 của luận văn tập trung vào phát biểu và chứng minh định lý về điều kiện để mọi tập con compact của hợp hai n−phẳng thực trong Cn là tập lồi đa thức. Sau đây là tóm tắt của luận văn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về tính lồi đa thức của một số tập hợp trong Cn

Tóm tắt luận văn Các tập lồi đa thức có vai trò quan trọng trong lý thuyết các hàm số của hàm nhiều biến phức, đặc biệt liên quan đến bài toán xấp xỉ. Trong giải tích cổ điển, chúng ta đã biết đến định lý Stone-Weirstrass về xấp xỉ các hàm liên tục bởi các đa thức trên các tập con compact trong Rn . Trong giải tích hàm nhiều biến phức, theo định lý Oka-Weil nếu K là một tập lồi đa thức trong Cn thì một hàm chỉnh hình trong một lân cận của K có thể xấp xỉ đều trên K bởi các đa thức. Một tập con compact X của Cn gọi là lồi đa thức nếu với mỗi điểm z ∈ Cn \ X tồn tại đa thức P sao cho |P (z)| > sup{|P (x)| : x ∈ X}. Không phải mọi tập con compact của Cn đều là lồi đa thức, vì vậy một vấn đề đặt ra là với điều kiện nào thì một tập hợp trong Cn là lồi đa thức. Trong luận văn này, tác giả đề cập đến điều kiện để mọi tập con compact của hợp hai n-phẳng thực trong Cn là tập lồi đa thức. Luận văn gồm hai chương: Chương 1 bao gồm các kiến thức chuẩn bị về hàm chỉnh hình, một số định lý xấp xỉ, hàm đa điều hòa, đa tạp thuần túy thực, vành chỉnh hình, đại số đều. Trong chương này tác giả đưa ra một số ví dụ đơn giản về các tập lồi đa thức trong Cn , đồng thời phát biểu và chứng minh bổ đề Kallin về điều kiện để hợp của hai tập lồi đa thức không nhất thiết rời nhau là tập lồi đa thức. Tác giả cũng đưa ra áp dụng bổ đề Kallin 1
để xét tính lồi đa thức của hợp các hình cầu trong Cn . Chương 2 của luận văn tập trung vào phát biểu và chứng minh định lý về điều kiện để mọi tập con compact của hợp hai n−phẳng thực trong Cn là tập lồi đa thức. Trong trường hợp điều kiện của định lý này không được thỏa mãn, tác giả đưa ra định lý về bao lồi đa thức của các tập con compact của hợp của hai n−phẳng thực trong Cn và hai định lý về xấp xỉ đều các đa thức. Cuối chương này là ví dụ về một cặp đa tạp con thuần túy thực trong C2 giao nhau chỉ tại gốc có hợp là tập lồi đa thức nhưng hợp của các không gian tiếp xúc tại 0 có các tập con compact không lồi đa thức. 2
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình Giả sử Ω là tập mở trong Cn , ta có thể đồng nhất Cn với R2n . Xét hàm f : Ω → C, f ∈ C 1 (Ω), zj = xj + iyj , j = 1, ..., n. n n X ∂f X ∂f df = dxj + dyj j=1 ∂x j j=1 ∂y j n n X ∂f X ∂f = dzi + dzj , j=1 ∂z j j=1 ∂zj trong đó ∂f 1 ∂f ∂f = −i , ∂zj 2 ∂xj ∂yj ∂f 1 ∂f ∂f = +i . ∂zj 2 ∂xj ∂yj Định nghĩa 1.1. Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy xác định trong Ω với x, y ∈ Rn . Hàm f được gọi là R2n -khả vi tại z0 = x0 + iy0 nếu các hàm u(x, y) và v(x, y) khả vi tại (x0 , y0 ). Định nghĩa 1.2. Hàm f được gọi là Cn -khả vi tại z0 ∈ Ω nếu f là 3
R2n -khả vi tại z0 và f thỏa mãn phương trình Cauchy-Riemann: ∂f (z0 ) = 0, j = 1, ..., n, ∂zj Pn ∂f tức là df = dzj . j=1 ∂zj Định nghĩa 1.3. Hàm f được gọi là chỉnh hình tại z0 ∈ Ω nếu nó là Cn -khả vi trong một lân cận nào đó của z0 . Hàm f được gọi là chỉnh hình trên Ω nếu f chỉnh hình tại mọi z0 ∈ Ω. Hàm f được gọi là chỉnh hình trên tập compact K ⊂ Ω nếu tồn tại tập mở ω sao cho K ⊂ ω ⊂ Ω và f chỉnh hình trên ω. Hàm f chỉnh hình trên toàn bộ Cn được gọi là hàm nguyên. Đối với hàm chỉnh hình ta có tính chất sau: Định lý 1.1. Nguyên lý môđun cực đại. Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền bị chặn D và liên tục trên D. Khi đó hoặc f là hàm hằng hoặc f chỉ đạt cực đại trên biên bD của D. 1.2 Hàm đa điều hòa Định nghĩa 1.4. Hàm thực n biến u(x1 , x2 , ..., xn ) khả vi liên tục cấp hai trên tập mở D ⊂ Rn được gọi là hàm đa điều hòa nếu ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 4u(x) = 2 (x) + 2 (x) + ... + 2 (x) = 0, ∂x1 ∂x2 ∂xn với mọi x ∈ D. Định lý 1.2. Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y) là hàm chỉnh hình trên miền Ω ⊂ Cn , với z = x + iy và x, y ∈ Rn . Khi đó u(x, y) và v(x, y) là các hàm đa hàm điều hòa trên Ω. 4
Định lý 1.3. Nguyên lý cực đại. Giả sử u : D → R là hàm đa điều hòa, trong đó D ⊂ Cn . Nếu K là tập con compact của D thì f |K đạt giá trị cực đại và cực tiểu trên biên bK của K. Trong trường hợp D là tập liên thông, nếu f đạt cực đại địa phương tại điểm z0 ∈ D thì nó là hằng số trong lân cận nào đó của z0 . 1.3 Một số định lý xấp xỉ Định lý 1.4. Định lý Stone-Weirstrass. Mỗi hàm số liên tục f (x) trên một tập compact X ⊂ Rn là giới hạn đều của một dãy các đa thức với hệ số hữu tỉ. Định lý 1.5. Định lý Runge. Cho K là tập con compact trong C và C \ K là tập liên thông, f là hàm chỉnh hình trên K. Khi đó f là giới hạn đều trên K của một dãy các đa thức. Định lý 1.6. Định lý Mergelyan. Giả sử K là tập compact trong C và C \ K là tập liên thông. Khi đó với mọi hàm f : K → C liên tục sao cho f |int(K) : int(K) → C là hàm chỉnh hình có thể xấp xỉ đều trên K bởi các đa thức. 1.4 Khái niệm tập lồi đa thức và một số ví dụ Định nghĩa 1.5. Tập K ⊂ Cn được gọi là tập lồi nếu với mọi z0 ∈ Cn \K, tồn tại phiếm hàm tuyến tính l : Cn → R sao cho: l(z0 ) = 1 và 5
l(z) < 1 với mọi z ∈ K. Mở rộng khái niệm tập lồi là khái niệm tập lồi đa thức. Định nghĩa 1.6. Tập con compact X của Cn được gọi là lồi đa thức nếu với mỗi điểm z ∈ Cn \ X tồn tại đa thức P sao cho: |P (z)| > sup{|P (x)| : x ∈ X}. Ta ký hiệu kP kX = sup{|P (x)| : x ∈ X}. Định nghĩa 1.7. Nếu X là tập con compact của Cn , bao lồi đa thức của X là tập b = {z ∈ Cn : |P (z)| ≤ kP kX với mọi đa thức P }. X Sau đây là một số ví dụ đơn giản về các tập lồi đa thức trong Cn . Ví dụ 1.1. Mọi tập K compact và lồi trong Cn đều là lồi đa thức. Ví dụ 1.2. Giả sử K là tập con compact trong C. Khi đó K là tập lồi đa thức khi và chỉ khi C\K là tập liên thông. Ví dụ 1.3. Mọi tập compact K ⊂ Rn đều lồi đa thức. Từ ví dụ 1.2 và định lý Runge, ta có mọi hàm f chỉnh hình trên một tập lồi đa thức trong C có thể xấp xỉ đều bởi các đa thức. Liệu kết quả này có đúng trong trường hợp tổng quát Cn không? Định lý Oka-Weil đã trả lời cho câu hỏi này. Định lý 1.7. Định lý Oka-Weil. Nếu tập compact K trong Cn là tập lồi đa thức và nếu f là hàm chỉnh hình trong một lân cận của K thì với mọi > 0 tồn tại đa thức P sao cho k f − P kK < . 6
1.5 Đại số đều Cho X là tập compact trong Cn . Ký hiệu : C(X) = {f : X → C, f liên tục}. K P(X) = {f ∈ C(X), ∃ dãy đa thức {Pn } : Pn ⇒ f }. A(X) = {f liên tục, chỉnh hình trong phần trong của X}. B(V ) = {f chỉnh hình trên V, với V là tập mở trong Cn }. Định nghĩa 1.8. Một C-đại số A được gọi là đại số Banach nếu (A, k·k) là không gian Banach thỏa mãn kxyk ≤ kxk.kyk với mọi x, y ∈ A và k1k = 1. Định nghĩa 1.9. Giả sử X là không gian compact, Hausdorff, mỗi đại số con có đơn vị, tách điểm, đóng của đại số C(X) được gọi là một đại số đều trên X. Điều kiện tách điểm có nghĩa là với hai điểm phân biệt x, x0 ∈ X, tồn tại hàm f thuộc đại số đó sao cho f (x) 6= f (x0 ). Ví dụ 1.4. C(X), P(X), A(X), B(V ) là các đại số đều trên X. Định nghĩa 1.10. Giả sử A là một đại số Banach giao hoán, mỗi phiếm hàm tuyến tính ϕ : A → C, ϕ 6= 0 và thỏa mãn ϕ(f.g) = ϕ(f ).ϕ(g) được gọi là một đặc trưng của A. Định lý 1.8. Giả sử X là không gian compact Hausdorff và ϕ là một đặc trưng của C(X). Khi đó tồn tại duy nhất x ∈ X sao cho ϕ(f ) = f (x) với mọi f ∈ C(X). 7
Định lý 1.9. Nếu X là một tập con compact của Cn thì mỗi đặc trưng ϕ của P(X) đều có dạng f 7−→ fb(z) với duy nhất z ∈ X. b Khi đó ϕ(f ) = f (z) với mọi f ∈ P(X). Từ hai định lý 1.8 và 1.9 ta có: Định lý 1.10. Nếu P(X) = C(X) thì X là tập lồi đa thức. Trước khi đưa ra định nghĩa biểu diễn độ đo của đặc trưng của một đại số đều, ta nhắc lại định lý Haln-Banach và định lý biểu diễn Riesz. Định lý 1.11. Định lý Haln-Banach. Một phiếm hàm tuyến tính liên tụcf xác định trên một không gian con M của không gian định chuẩn X bao giờ cũng có thể thác triển thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên toàn thể X sao cho kF k = kf k. Định lý 1.12. Định lý biểu diễn Riesz. Cho Λ là hàm tuyến tính dương trên C(X). Khi đó tồn tại một σ-đại số M trên X chứa tất cả các tập Borel trong X và tồn tại duy nhất độ đo dương µ là biểu diễn của Λ theo nghĩa: a) Λ(f ) = X f dµ với mọi f ∈ C(X). R b) µ(K) < ∞ với mọi tập compact K ⊂ X. c) Với mọi E ∈ M ta có µ(E) = inf{µ(V ) : V ⊂ E, V mở}. d)µ(E) = sup{µ(K) : K ⊂ E, Kcompact }, với mọi tập mở E và với mọi E ∈ M có µ(E) < ∞. e) Nếu E ∈ M, A ⊂ E với µ(E) = 0 thì A ∈ M. 8
Định nghĩa 1.11. Cho A là đại số đều trên không gian compact Haus- dorff X và ϕ là một đặc trưng của A. Một độ đo Borel hữu hạn µ trên X với dµ = 1 được gọi là độ đo biểu diễn cho ϕ nếu với mỗi f ∈ A, R R ϕ(f ) = X f (x)dµ(x). 1.6 Bổ đề Kallin Đối với hai tập lồi compact rời nhau trong Cn thì hợp của chúng là lồi đa thức vì chúng có thể được tách bởi hàm tuyến tính. Một cách tổng quát, hợp của hai tập lồi đa thức trong Cn chưa chắc là tập lồi đa thức. Ví dụ sau chỉ ra hợp của hai tập compact, lồi chỉ có một điểm chung không là tập lồi đa thức. Ví dụ 1.5. Xét hai tập hợp X1 = {z ∈ C2 : z1 = z2 , |z2 | ≤ 2}, X2 = {z ∈ C2 : z1 = 2z2 , |z2 | ≤ 2}. Bổ đề Kallin sau đây đưa ra điều kiện để hợp của hai tập lồi đa thức không nhất thiết rời nhau là tập lồi đa thức. Bổ đề 1.1. Bổ đề Kallin. Cho X1 , X2 là các tập con lồi đa thức của Cn và p là đa thức sao cho \ các tập con lồi đa thức Yj = (p(X j )), j = 1, 2 của C giao nhau nhiều nhất tại điểm gốc là điểm biên của mỗi tập. Nếu tập p−1 (0) ∩ (X1 ∪ X2 ) là lồi đa thức thì X = X1 ∪ X2 là tập lồi đa thức. Nếu thêm điều kiện P(X1 ) = C(X1 ) và P(X2 ) = C(X2 ) thì P(X) = C(X). Áp dụng bổ đề trên, Kallin đã chứng minh được kết quả sau: 9
Định lý 1.13. Hợp của ba hình cầu đóng rời nhau là tập lồi đa thức. Kallin cũng chứng minh được rằng hợp của ba đa đĩa đóng rời nhau không lồi đa thức. Khudaiberganov và Kytmanov cũng đưa ra ví dụ hợp của ba ellipsoid đóng rời nhau không lồi đa thức. Liệu hợp của bốn hình cầu đóng rời nhau có là tập lồi đa thức hay không? Vấn đề này vẫn chưa có câu trả lời. Tuy nhiên, nếu tâm của các hình cầu thuộc Rn , ta có kết quả sau: Định lý 1.14. Tập X là hợp hữu hạn của các hình cầu đóng có phần trong rời nhau, tâm là các điểm thuộc Rn là lồi đa thức. 1.7 Đa tạp thuần túy thực Định nghĩa 1.12. Một C 1 đa tạp con Σ của một tập con mở trong Cn được gọi là thuần túy thực nếu với mỗi điểm p ∈ Σ thì không gian tiếp xúc Tp (Σ) không chứa bất kỳ đường thẳng phức nào, tức là Tp (Σ) ∩ iTp (Σ) = {0}. Bổ đề 1.2. ∂/∂x1 |p , ..., ∂/∂xn |p , ∂/∂y1 |p , ..., ∂/∂yn |p là cơ sở của Tp (Σ). Ví dụ 1.6. Đặt M (A) = (A + iI)Rn . M (A) là đa tạp thuần túy thực khi và chỉ khi i không là giá trị riêng của A. Định lý 1.15. Cho X là tập compact trong Cn và ánh xạ R = (R1 , R2 , ..., Rn ) : X → Cn thỏa mãn điều kiện Lipschitz: tồn tại c ∈ (0, 1), |R(z) − R(z 0 )| < c|z − z 0 | với mọi z, z 0 ∈ X. Xét Ω là một lân cận của X và ánh xạ Φ : Ω → C2n 10
xác định bởi Φ(z) = (z, z + R(z)). Khi đó Φ(X) là tập lồi đa thức trong C2n . 1.8 Vành chỉnh hình Định nghĩa 1.13. Tập con compact E của Cn được gọi là vành chỉnh hình trong Cn nếu E là ảnh của vành Ω = {1 ≤ |λ| ≤ r} qua ánh xạ 1-1, liên tục F sao cho F chỉnh hình trong phần trong của Ω. Định nghĩa 1.14. Nếu Ej = Fj (Ωj ), 1 ≤ j ≤ m là các vành chỉnh hình trong Cnj , và Σnj = n thì E1 × ... × Em gọi là đa vành chỉnh hình trong Cn . Biên S của đa vành chỉnh hình E1 × ... × Em là bE1 × ... × bEm , trong đó bEj = Fj ({|λ| = 1} ∪ {|λ| = rj }). Định nghĩa 1.15. Hàm liên tục g trên S được gọi là thác triển chỉnh hình vào đa vành nếu g ◦ F chỉnh hình trên Ω1 × ... × Ωm , với F = (F1 , ..., Fm ). 11
Chương 2 Tính lồi đa thức của hợp hai n-phẳng thực trong Cn 2.1 Tính lồi đa thức của hợp hai n-phẳng thực trong Cn Định lý 2.1. Nếu A là ma trận thực n × n sao cho A + iI khả nghịch thì mọi tập con compact của Rn ∪ M (A) là lồi đa thức khi và chỉ khi A không có giá trị riêng thuần ảo có môđun lớn hơn 1. Nếu tất cả các tập con compact của Rn ∪ M (A) là lồi đa thức thì với mọi tập con compact X của Rn ∪ M (A) đều có P(X) = C(X). Để chứng minh định lý ta sử dụng các bổ đề sau: Bổ đề 2.1. Giả sử S là ma trận thực n × n không suy biến. Khi đó S −1 (M (A) ∪ Rn ) = M (S −1 AS) ∪ Rn . 12
Bổ đề 2.2. Nếu λ ∈ R và An = (aij )n×n sao cho: ajj = λ, 1 6 j 6 n ai,i+1 = 1, 16i6n−1 aij = 0, trong trường hợp còn lại, thì mọi tập con compact X của M (An ) ∪ Rn là lồi đa thức và P(X) = C(X).   s −t Bổ đề 2.3. Cho s, t ∈ R và nếu s = 0 thì |t| ≤ 1. Cho C =  . t s Với n = 2k và Dk là ma trận cỡ n × n có các khối Aij . Trong đó Aij là các ma trận 2 × 2: Ajj = C, 16j6k Ai,i+1 = I, 16i6k−1 Aij = 0, trong trường hợp còn lại. Khi đó mọi tập con compact X của M (Dk ) ∪ Rn là tập lồi đa thức và P(X) = C(X). Hệ quả 2.1. Nếu kAk < 1 thì mọi tập con compact X của Rn ∪ M (A) là lồi đa thức và P(X) = C(X). Trong trường hợp điều kiện của định lý 2.1 không được thỏa mãn, ta có kết quả sau: Định lý 2.2. Nếu A là ma trận thực n × n sao cho i không là giá trị riêng của A và k là số giá trị riêng của A (kể cả bội) có dạng ti, t > 1. Khi đó tồn tại họ k-tham số các mặt bậc hai phức (2n − k)-chiều thực trong Cn mà mỗi mặt bậc hai đó đều chứa bao lồi đa thức của một tập con compact của M (A) ∪ Rn . 13
2.2 Xấp xỉ đa thức Định lý 2.2 chỉ ra số chiều của bao lồi đa thức của một tập con compact của M (A) ∪ Rn luôn bị chặn bởi 2n − k. Chú ý rằng mỗi vành chỉnh hình trong chứng minh định lý 2.1 nằm trong một mặt bậc hai ở định lý 2.2. Trong phần này là hai định lý về xấp xỉ đều các đa thức trên các tập con compact của hợp hai không gian con thuần túy thực. Khi ma trận A chỉ có một giá trị riêng có dạng ti, với t > 1 và đây là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng, ta có kết quả sau: Định lý 2.3. Cho A là ma trận thực n × n mà đa thức đặc trưng có dạng p(λ) = (λ2 + t2 )q(λ), trong đó t > 1 và q là đa thức bậc n − 2 không có nghiệm dạng ti, t ≥ 1. Khi đó tồn tại họ một-tham số các vành chỉnh hình trong Cn có biên nằm trong M (A) ∪ Rn sao cho mọi hàm f liên tục trên M (A) ∪ Rn là giới hạn đều của một dãy các đa thức trên các tập con compact của M (A) ∪ Rn nếu và chỉ nếu f có thể thác triển chỉnh hình vào mỗi vành. Nếu k > 1 việc đưa ra công thức của các hàm liên tục trên M (A)∪Rn là giới hạn đều của các đa thức là rất khó. Tuy nhiên, chúng ta có thể đưa ra kết quả thay thế sau: Giả sử n = 2k. Trong trường hợp này dạng  chuẩnJordan thực của 0 −tj ma trận A có các khối (B1 , ..., Bk ) với Bj =   và tj > 1. Ta có tj 0 2k không gian con thuần túy thực của Cn có dạng E1 ... Ek , trong L L đó Ej là R2 hoặc M (Bj ). Ký hiệu X là hợp của 2k không gian con này. Định lý 2.4. Nếu X xác định như trên, tồn tại họ k-tham số các đa vành chỉnh hình trong Cn có biên nằm trong X, có tính chất: hàm f liên 14
tục là giới hạn đều của các đa thức trên các tập con compact của X khi và chỉ khi f thác triển tới một hàm chỉnh hình trên mỗi đa vành. 2.3 Ví dụ Sau đây là ví dụ về một cặp đa tạp con thuần túy thực Σ1 và Σ2 của C2 thỏa mãn: a) Σ1 ∩ Σ2 = {0}. b) Mỗi tập con compact của Σ1 ∪ Σ2 là lồi đa thức. c) T0 (Σ1 ) ∩ T0 (Σ2 ) = {0}. d) T0 (Σ1 ) ∪ T0 (Σ2 ) có tập con compact mà bao lồi đa thức của nó không chứa trong T0 (Σ1 ) ∪ T0 (Σ2 ). Đặt Σ1 = {(z, 2z) : z ∈ C}, Σ2 = {(z, z + 4i z|z|2 : |z| < 1)}. 15