Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình vi phân đạo hàm riêng với quá khứ không ôtônôm

Chia sẻ: Kethamoi2 Kethamoi2 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn nghiên cứu sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm riêng có trễ (DPDE’s) với quá khứ không ôtônôm và phương trình vi phân riêng có trễ không ôtônôm. Cụ thể là, ta sử dụng lý thuyết nửa nhóm tiến hóa để thu được các kết quả trên tính đặt chỉnh cho phương trình DPDE’s tuyến tính và nửa tuyến tính với quá khứ không ôtônôm cũng như tính ổn định mũ và nhị phân mũ của các nghiệm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình vi phân đạo hàm riêng với quá khứ không ôtônôm

Mục lục Lời nói đầu 1 1 Bài toán đặt chỉnh đối với phương trình vi phân hàm với quá khứ không ôtônôm 3 1.1 Họ tiến hóa và toán tử liên quan . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Toán tử sinh và tính đặt chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Phổ và tính hyperbolic của phương trình vi phân riêng với quá khứ không ôtônôm 11 2.1 Phổ của toán tử không nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Phổ của toán tử nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Các phương trình vi phân đạo hàm riêng có trễ không ôtônôm 20 3.1 Tính đặt chỉnh và ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2 Tính nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33
MỞ ĐẦU Xuất phát từ ý tưởng của Brendle và Nagel khi nghiên cứu về phương trình vi phân có trễ với nhiễu dạng ∂ u(t, 0) = Bu(t, 0) + Φu(t, .), t>0 (0.1) ∂t ∂ ∂ u(t, s) = u(t, s) + A(s)u(t, s), t > 0 > s (0.2) ∂t ∂s u(0, s) = u0 (s) s 6 0; u0 (s) là hàm cho trước. Trong đó, hàm u(., .) lấy giá trị trong không gian Banach X, B là một toán tử tuyến tính trên X, và Φ gọi là toán tử trễ, là một toán tử tuyến tính từ một không gian các hàm lấy giá trị trên X trên R− vào X. Cuối cùng, A(s) là một toán tử (không bị chặn) trên X mà đối với nó bài toán Cauchy không ôtônôm   dx(t) = −A(t)x(t), t 6 s 6 0 dt (0.3)  x(s) = x ∈ X s là đặt chỉnh với cận mũ. Cụ thể là tồn tại một họ tiến hóa lùi bị chặn mũ U = (U (t, s))t6s60 giải (0.3), tức là nghiệm của (0.3) được cho bởi x(t) = U (t, s)x(s) với t 6 s 6 0. Những phương trình này mô tả hệ với trễ (0.1) tác động lên một quá khứ không otonom (0.2) và được giải bằng việc sử dụng phương pháp nửa nhóm trong không gian C0 (R− , X) trong [1] hoặc trong không gian Lp (R− , X) trong [4] Trong luận văn này, ta nghiên cứu phương trình vi phân riêng có trễ (DPDE’s) với quá khứ không ôtônôm (phương trình (0.1) và (0.2) ở trên) và phương trình vi phân riêng có trễ không ôtônôm (xem phương trình (3.1) ở dưới). Cấu trúc luận văn được chia làm 3 chương cùng với phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Các kết quả trong chương 1 và chương 2 được lấy từ [22]. Trong đó, ta sử dụng lý thuyết nửa nhóm tiến hóa được phát triển bởi Chicone và Latushkin [2], Schnaubelt [3,chap VI.9] và những người khác (xem [11,13]) để xác định một toán tử vi phân trừu tượng G trên C0 (R− , X) (xem định nghĩa 2.4). Sau đó ta sử dụng toán tử trễ Φ (và toán tử B) để định nghĩa một thu hẹp GB,Φ của G. Với thu hẹp này ta tính toán một cách chi tiết giải thức của nó và chỉ ra đánh giá Hille - Yosida. Theo cách này ta thu được một nửa nhóm (TB,Φ (t))t>0 mà giải (0.1) và (0.2) một cách dễ dàng 1
(xem [1, mục 1 và 2]). Ưu điểm của phương pháp này là sử dụng mô tả trực tiếp của các giải thức của các toán tử sinh nghĩa là thu được các đánh giá ổn định rõ ràng. Cụ thể là, ta có thể chỉ ra rằng ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm này, do vậy các nghiệm của (0.1) và (0.2) là ổn định dưới các sự nhiễu loạn nhỏ của toán tử trễ Φ. Các kết quả trong chương 3 được tác giả luận văn mở rộng các phương pháp trên để nghiên cứu phương trình có trễ không ôtônôm tổng quát. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Nguyễn Thiệu Huy thuộc khoa: Toán trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy về sự giúp đỡ khoa học mà thầy đã dành cho tôi và đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn. Nhân dịp này, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy phản biện, những người đã đọc và đóng góp ý kiến cho tôi để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thành viên lớp cao học giải tích trường Đại học Khoa học Tự nhiên ĐHQGHN khóa 2008 – 2010 đã phân tích, đóng góp rất nhiều ý kiến quý báu giúp tôi hoàn thành luận văn tốt hơn. Hà Nội, tháng 7 năm 2011 2
Chương 1 Bài toán đặt chỉnh đối với phương trình vi phân hàm với quá khứ không ôtônôm 1.1 Họ tiến hóa và toán tử liên quan Trong mục này, ta bắt đầu từ một họ tiến hóa U trên R− và mở rộng nó ra toàn R để định nghĩa nửa nhóm tiến hóa tương ứng trên C0 (R, X). Với hầu hết các định nghĩa này ta tham khảo từ tài liệu bởi Chicone và Latushkin [2] hoặc bài báo nghiên cứu bởi Schnaubelt ([18] hoặc [3, chap.VI.9]). Định nghĩa 1.1. Một họ các toán tử U = (U (t, s))t6s60 trên một không gian Banach X được gọi là một họ tiến hóa lùi (liên tục mạnh, bị chặn mũ) trên R− nếu (i) U (t, t) = Id và U (t, r)U (r, s) = U (t, s) với t 6 r 66 s 6 0. (ii) Ánh xạ (t, s) 7→ U (t, s)x là liên tục với mọi x thuộc X. (iii) Tồn tại các hằng số N > 1 và ω1 ∈ R sao cho ||U (t, s)|| 6 N eω1 (s−t) với t 6 s 6 0. Hằng số ω(U) := inf{α ∈ R : ∃H > 1 sao cho ||U (t, s)|| 6 Heα(s−t) ∀t 6 s 6 0} được gọi là cận tăng trưởng của U. Để định nghĩa một nửa nhóm tiến hóa tương ứng (ví dụ xem [2,11] 3
hoặc [3, chap.VI.9]) đầu tiên ta mở rộng (U (t, s))t6s60 thành họ tiến hóa lùi (U˜ (t, s))t6s trên R. Điều này có thể được làm bằng cách đặt  U (t, s)  với t 6 s 6 0, U˜ (t, s) := U (t, 0) với t 6 0 6 s,  U (0, 0) = I với 0 6 t 6 s. d Định nghĩa 1.2. Trên E˜ := C0 (R, X), nửa nhóm tiến hóa (T˜(t))t>0 tương ứng với (U˜ (t, s))t6s được cho bởi  U (s, s + t)f˜(s + t)  với s 6 s + t 6 0, (T˜(t)f˜)(s) := U˜ (s, s+t)f˜(s+t) = U (s, 0)f˜(s + t) với s 6 0 6 s + t, f˜(s + t)  với 0 6 s 6 s + t. với mọi f˜ ∈ E, ˜ s ∈ R, t > 0. Nửa nhóm này đã được chứng minh là liên tục mạnh trên E˜ (xem [3, Lemma.VI.9.10]). Ta ký hiệu toán tử sinh của nó là (G, ˜ D(G)). ˜ Các tính chất sau của toán tử này đã được chỉ ra trong trong [10, Lemma. 1] và [15, Theorem. 2.4] Bổ đề 1.3. Với u˜, f˜ trong E˜ và λ ∈ C các khẳng định sau đúng: (i) u˜ ∈ D(G) ˜ u = f˜ nếu và chỉ nếu u˜ và f˜ thỏa mãn phương ˜ và (λ − G)˜ trình tích phân Zs u˜(t) = eλ(t−s) U˜ (t, s)˜ u(s) + eλ(t−ξ) U˜ (t, ξ)f˜(ξ)dξ với t 6 s. (1.1) t ˜ D(G)) (ii) Toán tử (G, ˜ là một toán tử địa phương theo nghĩa với u˜ ∈ D(G) ˜ ˜ u](s) = 0 với ∀a < s < b. và u˜(s) = 0 với ∀a < s < b ta có [G˜ ˜ cho phép ta định nghĩa toán tử G trên E := C0 (R− , X). Lân cận của G n o ˜ ˜ ˜ Định nghĩa 1.4. Đặt D(G) = f |R− : f ∈ D(G) và định nghĩa ˜ f˜](t) với t 6 0 và f = f˜|R [Gf ](t) = [G − Tương tự với bổ đề (1.3) ta có mô tả sau của G. 4
Bổ đề 1.5. Cho u, f ∈ E và λ ∈ C. Khi đó u ∈ D(G) và (λ − G)u = f khi và chỉ khi u, f thỏa mãn Zs u(t) = eλ(t−s) U (t, s)u(s) + eλ(t−ξ) U (t, ξ)f (ξ)dξ với t 6 s 6 0. (1.2) t Chứng minh. Nếu u, f ∈ E thỏa mãn phương trình(1.2), thì ta mở rộng u, f trên toàn đường thẳng bởi ( u(t) với t 6 0 u˜(t) := eλt g(t) với t > 0. ( f (t) với t 6 0 f˜(t) := e−λt g 0 (t) với t > 0. Ở đây, g : R+ → X là khả vi liên tục với giá compact sao cho g(0) = u(0), g 0 (0) = −f (0). Khi đó u˜, f˜ thuộc E˜ = C0 (R, X). Tính toán cụ thể thu được u˜ và f˜ thỏa mãn phương trình (1.1). Do vậy, theo bổ đề (1.3), ta thu được đẳng thức (λ − G)˜ ˜ u = f˜ là đúng. Từ định nghĩa của G ta có u ∈ D(G) và (λ − G)u = f . Ngược lại, nếu u ∈ D(G) và (λ − G)u = f , theo định nghĩa của G, tồn tại u˜, f˜ ∈ C0 (R, X) sao cho u˜|R− = u, f˜|R− = f và (λ − G)˜ ˜ u = f˜. Theo bổ đề (1.3), u˜ và f˜ thỏa mãn phương trình (1.1). Giới hạn phương trình này trên R− ta có u, f thỏa mãn (1.2). Ta chú ý rằng toán tử G như thế được sử dụng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của họ tiến hóa trên nửa đường thẳng (xem [7,11,12]). Toán tử G trở thành một toán tử sinh chỉ khi thu hẹp của nó trên một tập xác định nhỏ hơn, chẳng hạn trên D := {u ∈ D(G) : [D(G)](0) = 0} (xem [11, bổ đề 1.1]). Tuy nhiên, với các ứng dụng sau ta xem xét trường hợp tổng quát hơn với giả thiết sau Giả thiết 1.6. Cho (B, D(B)) là toán tử sinh của một nửa nhóm liên tục mạnh (etB )t>0 trên không gian Banach X thỏa mãn ||etB || 6 M eω2 t với các hằng số M > 1 và ω2 ∈ R nào đó. Định nghĩa 1.7. Trên không gian E ta định nghĩa nửa nhóm tiến hóa (TB,0 (t))t>0 như sau ( U (s, s + t)f (s + t) với s + t 6 0, [TB,0 (t)f ] (s) = với ∀f ∈ E. U (s, 0)e(t+s)B f (0) với s + t > 0 5
Ta có thể kiểm tra được rằng (TB,0 (t))t>0 là liên tục mạnh, và ký hiệu toán tử sinh của nó là GB,0 . Khi đó ta có các tính chất sau của GB,0 và (TB,0 (t))t>0 . Mệnh đề 1.8. Các khẳng định sau đây là đúng: (i) Toán tử sinh của (TB,0 (t))t>0 được cho bởi D(GB,0 ) := {f ∈ D(G) : f (0) ∈ D(B) và (G(f ))(0) = Bf (0)} GB,0 f := Gf với f ∈ D(GB,0 ). (ii) Tập hợp {λ ∈ C : Reλ > ω(U) và λ ∈ ρ(B)} được chứa trong ρ(GB,0 ). Ngoài ra, với λ trong tập này, giải thức được cho bởi [R(λ, GB,0 )f ](t) = eλt U (t, 0)R(λ, B)f (0) Z0 + eλ(t−ξ) U (t, ξ)f (ξ)dξ với f ∈ E, t 6 0. t (iii) Nửa nhóm (TB,0 (t))t>0 thỏa mãn ||TB,0 (t)|| 6 Keωt với K := M N và ω := max{ω1 , ω2 } với các hằng số M, N, ω1 và ω2 xác định trong định nghĩa (1.1) và giả thiết (1.6). Chứng minh. (i). Điều này có thể được tìm trong [1. Proposition 2.8]. (ii). Quan sát thấy với f ∈ E, λ ∈ ρ(B) và Reλ > ω(U) hàm số Z0 u(t) := eλt U (t, 0)R(λ, B)f (0) + eλ(t−ξ) U (t, ξ)f (ξ)dξ, t60 t thuộc vào E và là nghiệm duy nhất của phương trình (1.2) với điều kiện ban đầu u(0) = R(λ, B)f (0). Điều kiện này là tương đương với (λ − B)u(0) = f (0) = [(λ − G)u](0) hoặc [Gu](0) = Bu(0), nghĩa là u ∈ D(GB,0 ) và u = R(λ, GB,0 )f . (iii) Điều này được suy ra một cách dễ dàng từ định nghĩa của (TB,0 (t))t>0 . 1.2 Toán tử sinh và tính đặt chỉnh Trong mục này, ta xét một toán tử tuyến tính bị chặn Φ : E → X gọi là toán tử trễ, và sử dụng nó để định nghĩa thu hẹp sau của toán tử G từ định nghĩa (1.4). 6
Định nghĩa 1.9. Toán tử (GB,Φ , D(GB,Φ ) trên E được cho bởi D(GB,Φ ) := {f ∈ D(G) : f (0) ∈ D(B), (Gf )(0) = Bf (0) + Φf } GB,Φ f := Gf với f ∈ D(GB,Φ ). Chúng ta nhắc lại rằng trong [1] các tác giả sử dụng các phương pháp ngoại suy từ [16], đã chứng minh rằng toán tử GB,Φ sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh (TB,Φ (t))t>0 . Trong mục này ta tính giải thức của GB,Φ và chỉ ra rằng nó thỏa mãn các điều kiện của định lý Hille - Yosida. Cách tiếp cận này cho phép ta thu được thông tin về tính ổn định của hệ dưới các nhiễu loạn nhỏ của toán tử trễ Φ. Với các ví dụ cụ thể về các toán tử trễ ta tham khảo [6]. Định lý 1.10. Cho eλ : X → E là một hàm được định nghĩa bởi [eλ x](t) := eλt U (t, 0)x với t 6 0, x ∈ X và Reλ > ω(U). Cho các hằng số K và ω được định nghĩa như trong mệnh đề (1.8). Khi đó các khẳng định sau là đúng: (i) Tập {λ ∈ C : Reλ > K||Φ|| + ω} ⊂ ρ(GB,Φ ) và với Reλ > K||Φ|| + ω giải thức của GB,Φ thỏa mãn R(λ, GB,Φ )(f ) = eλ R(λ, B)ΦR(λ, GB,Φ )f + R(λ, GB,0 )f, f ∈E (1.3) K (ii) ||R(λ, GB,Φ )|| 6 với Reλ > K||Φ|| + ω. (Reλ − K||Φ|| − ω) (iii) Với Reλ > K 2 ||Φ|| + ω ta có K ||R(λ, GB,Φ )n || 6 với ∀n ∈ N. (1.4) (Reλ − K 2 ||Φ|| − ω)n Chứng minh. (i). Chú ý rằng, với λ > K||Φ|| + ω, phương trình Z0 u(t) = eλt U (t, 0)R(λ, B)(f (0) + Φu) + eλ(t−ξ) U (t, ξ)f (ξ)dξ với t 6 0 t (1.5) tương đương với u = eλ R(λ, B)Φu + R(λ, GB,0 )f. (1.6) Nếu với mỗi f ∈ E và Reλ > K||Φ|| + ω phương trình này có một nghiệm duy nhất u ∈ E, khi đó u(0) = R(λ, B)(f (0)+Φu). Điều này tương 7
đương với (λ − B)u(0) = [(λ − G)u](0) + Φu hoặc [Gu](0) = Bu(0) + Φu. Vậy, theo bổ đề (1.5), u ∈ D(GB,Φ ) và u = R(λ, GB,Φ )f . Do vậy, để chứng minh (i) ta phải chỉ ra rằng, với mỗi f ∈ E và Reλ > K||Φ|| + ω, phương trình (1.6) có một nghiệm duy nhất u ∈ E. Cho Mλ : E → E là toán tử tuyến tính được định nghĩa bởi: Mλ := eλ R(λ, B)Φ. Vì λ thỏa mãn Reλ > K||Φ|| + ω, ta có Mλ bị chặn với K||Φ|| ||Mλ || 6 K||Φ|| + ω P (ii). Từ chuỗi Neumann (I − Mλ ) = n=0 thì ∞ ∞ X n K X ||R(λ, GB,Φ )|| = Mλ R(λ, GB,0 ) 6 ||Mλn || (Reλ − ω) n=0 n=0 ∞ n K X K||Φ|| K 6 = (Reλ − ω) n=0 Reλ − ω (Reλ − K||Φ|| − ω) (iii). Ta sẽ chứng minh điều này bằng quy nạp. Từ (1.3) ta thu được R(λ, GB,Φ )n = eλ R(λ, B)ΦR(λ, GB,Φ )n + R(λ, GB,0 )R(λ, GB,Φ )n−1 = eλ R(λ, B)ΦR(λ, GB,Φ )n + R(λ, GB,0 )eλ R(λ, B)ΦR(λ, GB,Φ )n−1 + R(λ, GB,0 )2 R(λ, GB,Φ )n−2 = ..... = eλ R(λ, B)ΦR(λ, GB,Φ )n + R(λ, GB,0 )eλ R(λ, B)ΦR(λ, GB,Φ )n−1 + R(λ, GB,0 )2 eλ R(λ, B)ΦR(λ, GB,Φ )n−2 + ... + R(λ, GB,0 )n . (1.7) Rõ ràng, (1.4) đúng với n = 1. Nếu (1.4) đúng với n − 1, ta chứng minh nó đúng với n. 8
Thật vậy, với Reλ > K 2 ||Φ|| + ω, từ (1.7) và giả thiết quy nạp ta có n K 2 ||Φ|| ||R(λ, GB,Φ ) || 6 ||R(λ, GB,Φ )n || Reλ − ω K 3 ||Φ|| + (Reλ − ω)2 (Reλ − ω − K 2 ||Φ||)n−1 K 3 ||Φ|| + + ... (Reλ − ω)3 (Reλ − ω − K 2 ||Φ||)n−2 K 3 ||Φ|| K + + (Reλ − ω)n (Reλ − ω − K 2 ||Φ||) (Reλ − ω)n Đặt a := Reλ − ω, b := Reλ − ω − K 2 ||Φ||, điều này cho kết quả 2 b K ||Φ|| 1 1 1 1 ||R(λ, GB,Φ )n || 6 K + + ... + n−2 + n a a2 b bn−1 abn−3 a a 1 1     2 −  K ||Φ||  an−1 bn−1  1 =K 2  1 1  + n ab a − a b K = n−1 (chú ý rằng a − b = K 2 ||Φ||). ab Vì vậy K K ||R(λ, GB,Φ )n || 6 = . bn (Reλ − ω − K 2 ||Φ||)n Vì GB,Φ được định nghĩa một cách chặt chẽ, ta thu được những kết quả sau. Hệ quả 1.11. Toán tử GB,Φ sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh (TB,Φ (t))t>0 thỏa mãn 2 ||TB,Φ (t)|| 6 Ke(K ||Φ||+ω)t với các hằng số K và ω được định nghĩa như trong mệnh đề (1.8). Hệ quả 1.12. Nếu họ tiến hóa lùi U và nửa nhóm (etB )t>0 là ổn định mũ và ||Φ|| là đủ nhỏ, thì nửa nhóm (TB,Φ (t))t>0 cũng ổn định mũ. Chứng minh. Giả sử rằng U và (etB )t>0 là ổn định mũ nghĩa là ω = ω max{ω1 , ω2 } < 0. Do đó, nếu ||Φ|| < − 2 , thì nửa nhóm (TB,Φ (t))t>0 K cũng ổn định mũ. 9
Trong ví dụ sau ta sẽ xác định "sự đủ nhỏ" của ||Φ|| rõ hơn. Ví dụ 1.13. Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn với biên trơn. Toán tử Dirichlet và Laplace sinh ra một nửa nhóm giải tích (et∆ )t>0 trên X := L2 (Ω). Khi đó ta đặt toán tử A(s) là A(s) := a(s)∆, với hàm a(.) ∈ L1loc (R− ) thỏa mãn a(.) > γ > 0 với hằng số γ nào đó. Những toán tử này sinh ra một họ tiến hóa lùi (U (r, s))r6s60 được cho bởi Rs ( a(τ )dτ )∆ U (r, s) = e r với r 6 s 6 0. Khi đó ta có Rs ( a(τ )dτ )λ0 ||U (r, s)|| = e r 6 eγλ0 (s−t) với r 6 s 6 0 λ0 < 0 là giá trị riêng lớn nhất của ∆. Do đó, ta có thể chọn trong định nghĩa (1.1) các hằng số N = 1 và ω1 = γλ0 < 0. Bây giờ ta định nghĩa toán tử trễ Φ bởi Z0 Φf := ϕ(s)f (s)ds với f ∈ E, ϕ(.) ∈ L1 (R) −∞ Khi đó ta có ||Φ|| 6 ||ϕ(.)||L1 . Bây giờ cho B sinh ra một nửa nhóm (etB )t>0 thỏa mãn ||etB || 6 M eω2 t với ω2 < 0. Từ định nghĩa của (TB,0 (t))t>0 ta thu được ||TB,0 (t)|| 6 M emax{γλ0 ,ω2 }t , t > 0. Do vậy, trong hệ quả (1.11) ta có thể chọn K = M . Do đó, nếu max{γλ0 , ω2 } ||ϕ(.)||L1 < − , M2 thì nửa nhóm (TB,Φ (t))t>0 là ổn định mũ. 10
Chương 2 Phổ và tính hyperbolic của phương trình vi phân riêng với quá khứ không ôtônôm Trong chương này lần đầu tiên ta tính toán phổ của nửa nhóm tiến hóa (TB,0 (t))t>0 và toán tử sinh của nó. Điều này sẽ được sử dụng để chứng minh sự ổn định của tính hyperbolic của nửa nhóm (TB,Φ (t))t>0 dưới những nhiễu nhỏ bởi toán tử trễ Φ. Đầu tiên ta so sánh TB,0 (t) với thu hẹp của nó trên không gian con C00 := {f ∈ E : f (0) = 0}. Thu hẹp này đã được nghiên cứu trong [11,18]. 2.1 Phổ của toán tử không nhiễu Bổ đề 2.1. Ký hiệu (T0 (t))t>0 là thu hẹp của (TB,0 (t))t>0 trên không gian C00 và cho G0 là toán tử sinh của nó. Khi đó các khẳng định sau đúng: (i) σ(TB,0 (t)) ⊆ σ(T0 (t)) ∪ σ(etB ) với t > 0. (2.1) (ii) σ(GB,0 ) ∪ σ(B) = σ(G0 ) ∪ σ(B). (2.2) Chứng minh. (i). Trang bị X ⊕ C00 với chuẩn ||(x, f )|| := ||f || + ||x|| với (x, f ) ∈ X ⊕ C00 . 11
Với một hàm giá trị thực liên tục cố định ϕ với giá compact thỏa mãn ϕ(0) = 1, ta xét toán tử tuyến tính J : E → X ⊕ C00 , f 7→ (f (0), f − ϕ(.)f (0)) Khi đó J là một phép đẳng cấu và nghịch đảo của nó được cho bởi J−1 : X ⊕ C00 → E, (x, f ) 7→ f + ϕ(.)x Do đó, họ toán tử etB 0 Tb(t) := JTB,0 (t)J−1 = (TB,0 (t) − etB )ϕ(.) T0 (t) lập thành một nửa nhóm thỏa mãn σ(Tb(t)) = σ(TB,0 (t)). Ta lấy λ ∈ ρ(T0 (t)) ∩ ρ(etB ). Toán tử λ − etB 0 (TB,0 (t) − etB )ϕ(.) λ − T0 (t) là khả nghịch với nghịch đảo (λ − etB )−1 0 −(λ − T0 (t))−1 [(TB,0 (t) − etB )ϕ(.)](λ − etB )−1 (λ − T0 (t))−1 Bởi vậy λ ∈ ρ(Tb(t)) = ρ(TB,0 (t)), nghĩa là ρ(T0 (t)) ∩ ρ(etB ) ⊆ ρ(TB,0 (t)) Từ đó ta có điều phải chứng minh. (ii). Theo mệnh đề (1.8) ta có ρ(G0 ) ∪ ρ(B) ⊆ ρ(GB,0 ). Do vậy σ(GB,0 ) ⊆ σ(G0 ) ∪ σ(B) (2.3) Ta còn cần chứng minh σ(G0 ) ⊆ σ(GB,0 ) ∪ σ(B) (2.4) Thật vậy, nếu λ − GB,0 là đơn ánh, kéo theoλ − G0 cũng là đơn ánh vì G0 là thu hẹp của GB,0 trên C00 . Bây giờ cho λ ∈ ρ(B) và λ − GB,0 là toàn ánh. Ta sẽ chỉ ra rằng λ − G0 cũng là toàn ánh. Thật vậy, cho f ∈ C00 bất kỳ. Khi đó, từ tính toàn ánh của λ − GB,0 , tồn tại một hàm u ∈ D(GB,0 ) sao cho (λ − GB,0 )u = f . Từ định nghĩa của GB,0 ta có 0 = f (0) = λu(0) − [GB,0 u](0) = (λ − B)u(0). 12
Do đó, u(0) = 0 và u ∈ C00 . Suy ra, (λ − G0 )u = (λ − GB,0 )u = f . Vì thế, λ − G0 là toàn ánh. Từ đó ta có ρ(GB,0 ) ∩ ρ(B) ⊆ ρ(G0 ) và thu được kết luận (2.4). Trong [11. Corollary. 2.4] định lý ánh xạ phổ được chứng minh là đúng với nửa nhóm (T0 (t))t>0 . Cụ thể hơn, ta có σ(G0 ) = {λ ∈ C : Reλ 6 ω(U)} và σ(T0 (t)) \ {0} = etσ(G0 ) , t>0 (2.5) Từ điều này và bổ đề (2.1) ta thu được kết quả sau: Định lý 2.2. Đẳng thức phổ [σ(TB,0 (t)) ∪ σ(etB )] \ {0} = [etσ(G0 ) ∪ σ(etB )] \ {0}, t > 0. (2.6) đúng với toán tử G0 như trong bổ đề (2.1). Chứng minh. Từ bổ đề (2.1) và (2.5) ta có [σ(TB,0 (t)) ∪ σ(etB )] \ {0} ⊆ [σ(T0 (t)) ∪ σ(etB )] \ {0} = [etσ(G0 ) ∪ σ(etB )] \ {0} = [etσ(G0 ) ∪ etσ(B) ∪ σ(etB )] \ {0} = [et(σ(G0 )∪σ(B)) ∪ σ(etB )] \ {0} = [et(σ(GB,0 )∪σ(B)) ∪ σ(etB )] \ {0} = [etσ(GB,0 ) ∪ etσ(B) ∪ σ(etB )] \ {0} ⊆ [σ(TB,0 (t)) ∪ σ(etB )] \ {0}. Vậy ta suy ra (2.6). Sử dụng đặc trưng phổ của nửa nhóm hyperbolic (xem [3. Định lý V.1.15]) từ định lý trên ta có hệ quả sau: Hệ quả 2.3. Nếu toán tử (B, D(B)) sinh ra một nửa nhóm hyperbolic (etB )t>0 và nếu họ tiến hóa lùi U là ổn định mũ, thì nửa nhóm (TB,0 (t))t>0 là hyperbolic. Chứng minh. Từ giả thiết U là nửa nhóm ổn định mũ ta có ω(U) < 0, kéo theo s(G0 ) < 0 do (2.5). Từ đó, σ(G0 ) ∩ iR = ∅. Từ tính hyperbolic của (etB )t>0 ta có ((etσ(G0 ) ) ∪ σ(etB )) ∩ eiR = ∅. Vậy từ (2.6) và [3. Theorem V.1.15] ta thu được tính hyperbolic của (TB,0 (t))t>0 . 13
2.2 Phổ của toán tử nhiễu Mục đích chính của mục này là chứng minh tính ổn định của tính hyperbolic của nửa nhóm (TB,Φ (t))t>0 dưới các nhiễu nhỏ của toán tử trễ Φ. Để làm được điều này, ta cần đặc trưng sau của tính hyperbolic của nửa nhóm. (xem [14. Theorem. 2.6.2]) Định lý 2.4. Cho (T (t))t>0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach X và A là toán tử sinh của nó. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (i) (T (t))t>0 là hyperbolic. (ii) iR ⊂ ρ(A) và N −1 n X 1 X X (C, 1) R(iω + ik, A)x := lim R(iω + ik, A)x N →∞ N k∈Z n=0 k=−n hội tụ với mọi ω ∈ R, x ∈ X. Ta chú ý rằng định lý trên được lấy từ [14. Theorem 2.6.2], trong khi chứng minh của nó là quan trọng theo Greiner và Schwarz [5. Theorem 1.1 và Corollary 1.2]. Một phiên bản liên tục của định lý trên được chứng minh bởi Kaashock và Verduyn Lunel trong [8. Corollary 4.1]. Để áp dụng định lý này ta phải tính giải thức R(λ, GB,Φ ) từ giải thức R(λ, GB,0 ). Điều này có thể được làm như sau: Bổ đề 2.5. Cho họ tiến hóa lùi U ổn định mũ và toán tử (B, D(B)) là toán tử sinh của mộtPnửa nhóm hyperbolic (etB )t>0 . Khi đó với ||Φ|| đủ nhỏ tồn tại một P dải mở chứa trục ảo và một hàm Hλ giải tích và bị chặn đều trên sao cho X R(λ, GB,Φ ) = Hλ R(λ, GB,0 ) với λ ∈ (2.7) Chứng minh. Từ [8. Theorem 4.1] và tính hyperbolic của (etB )t>0 , ta thu được rằng tồn tại các hằng số P1 , ν > 0 sao cho ||R(λ, B)|| 6 P1 với mọi Re|λ| < ν. Từ tính ổn định mũ của U, tồn tại các hằng số ω1 > 0 và K1 sao cho ||U (t, s)|| < K1 e−ω1 (s−t) với ∀t 6 s 6 0 (2.8) 14
Bây giờ lấy ω là số thực sao cho 0 < ω < min{ω1 , ν}. Khi đó, ta đặt P := {λ ∈ C : |Reλ| < ω} và P := sup P ||R(λ, B)||. (2.9) λ∈ Như trong chứng minh P của định lý (1.10), lần đầu tiên ta chỉ ra rằng với mỗi f ∈ E và λ ∈ phương trình (1.6) có duy nhất nghiệm u ∈ E. Cho Mλ : E → E là toán tử tuyến tính xác định P như sau Mλ := eλ R(λ, B)Φ với eλ như trong định lý (1.10). Với λ ∈ , toán tử này bị chặn và thỏa mãn 1 ||Mλ || 6 K1 P ||Φ|| < 1 nếu ||Φ|| < . K1 P Do vậy, toán tử I − Mλ là khả nghịch, và phương trình (1.6) có nghiệm duy nhất u = (I − Mλ )−1 R(λ, GB,0 )f . Đặt Hλ := (I − Mλ )−1 ta thu được R(λ, GB,Φ ) = Hλ R(λ, GB,0 ). Ngoài ra, chuỗi Neumann cho kết quả ∞ X −1 Hλ = (I − Mλ ) = Mλn , (2.10) n=0 do vậy ∞ ∞ X n X 1 ||Hλ || 6 ||Mλ || 6 (K1 P ||Φ||)n = n=0 n=0 1 − K1 P ||Φ|| P 1 với mọi λ ∈ và ||Φ|| < . Tính giải tích của Hλ suy ra từ tính giải K1 P P tích của Mλ và sự hội tụ đều của chuỗi Neumann (2.10) với mọi λ ∈ Bây giờ ta đi đến kết quả chính của chúng ta về nhị phân mũ của các nghiệm của phương trình (0.1) và (0.2). Định lý 2.6. Cho họ tiến hóa lùi U là ổn định mũ và toán tử (B, D(B)) là toán tử sinh của một nửa nhóm hyperbolic (etB )t>0 . Khi đó, với ||Φ|| đủ nhỏ, nửa nhóm (TB,Φ (t))t>0 là hyperbolic. Chứng minh. Từ hệ quả (2.3), nửa nhóm tiến hóa (TB,0 (t))t>0 là hyperbolic. 1 NP−1 P n Đầu tiên ta chứng minh rằng, với ||Φ|| đủ nhỏ, tổng R(iω + N n=0 k=−n 15
ik, GB,Φ ) là bị chặn trong L(E). Thực tế, từ bổ đề (2.5), ta có N −1 n 1 X X [R(iω + ik, GB,Φ )f ](s) N n=0 k=−n N −1 Xn 1 X 2 = [(1 + Miω+ik + Miω+ik + ...)R(iω + ik, GB,0 )f ](s) N n=0 k=−n N −1 n 1 X X = [R(iω + ik, GB,0 )f ](s) + N n=0 k=−n N −1 Xn 1 X + e(iω+ik)s U (s, 0)R(iω + ik, B)ΦR(iω + ik, GB,0 )f N n=0 k=−n +... (2.11) với s ∈ R− . Chú ý rằng nửa nhóm (TB,0 (t))t>0 là hyperbolic, do vậy e−2πiω ∈ ρ(TB,0 (2π)) với mọi ω ∈ R. Sử dụng công thức (xem [3.Lemma. II.1.9]) Zt R(λ, GB,0 )(1 − e−λt TB,0 (t)) = e−λt TB,0 (s)ds với λ ∈ ρ(GB,0 ) 0 ta thu được Z2π R(iω + ik, GB,0 ) = e−(iω+ik)t TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 dt 0 Số hạng đầu tiên của (2.11) bây giờ có thể được tính như sau N −1 n 1 X X R(iω + ik, GB,0 )f N n=0 k=−n N −1 n Z2π 1 X X = e−(iω+ik)t TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 f dt N n=0 k=−n 0 Z2π " N −1 n # 1 X X = e−ikt e−iωt TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 f dt N n=0 k=−n 0 Z2π = σN (t)e−iωt TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 f dt 0 16
Ở đây, N −1 n 1 X X −ikt σN (t) := e N n=0 k=−n Vì Z2π 1 − cos(N t) σN (t) = > 0 và σN (t)dt = 2π (2.12) N (1 − cos t) 0 (xem [5. Theorem. 1.1]), chuẩn của số hạng thứ nhất trong (2.11) có thể được ước lượng bởi N −1 n 1 X X R(iω + ik, GB,0 )f 6 C1 ||f || (2.13) N n=0 k=−n với ||(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 || sup {||TB,0 (t)||} C1 := 2π sup 06ω61 06t62π Bây giờ ta tính số hạng thứ hai của (2.11). Với s ∈ R− , ta có N −1 n 1 X X Miω+ik R(iω + ik, GB,0 )f (s) N n=0 k=−n N −1 Xn 1 X = e(iω+ik)s U (s, 0)R(iω + ik, B)ΦR(iω + ik, GB,0 )f N n=0 k=−n N −1 n Z2π 1 X X = e(iω+ik)s U (s, 0) e−(iω+ik)τ eτ B (1 − e2πB )−1 dτ N n=0 k=−n 0 Z2π ×Φ e−(iω+ik)t TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 f dt 0 Z2π Z2π " N −1 n # 1 X X = e−ik(t+τ −s) e−iω(t+τ −s) U (s, 0)eτ B (1 − e2πB )−1 N n=0 k=−n 0 0 × ΦTB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 f dτ dt Z2π Z2π = σN (t + τ − s)e−iω(t+τ −s) U (s, 0)eτ B (1 − e2πB )−1 0 0 × ΦTB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 f dτ dt. 17
Do vậy, sử dụng (2.8) và (2.12), chuẩn của số hạng thứ hai của (2.11) có thể được ước lượng bởi C1 K1 C2 ||Φ||||f || với C2 := 2π||(1 − e2πB )−1 || sup {||etB ||} (2.14) 06t62π và K1 , C1 tương ứng như trong (2.8) và (2.13) tương ứng. Bằng quy nạp, chuẩn của số hạng thứ n của (2.11) được ước lượng ∞ bởi C1 (K1 C2 ||Φ||)n ||f ||. Ngoài ra các chuỗi C1 (K1 C2 ||Φ||)n hội tụ nếu P n=0 1 −1 P 1 NP n ||Φ|| < . Do vậy, với các ||Φ|| này tổng R(iω + ik, GB,Φ ) K1 C2 N n=0 k=−n bị chặn trong L(E). P Bây giờ ta chứng minh sự hội tụ của (c, 1) R(iω + ik, GB,Φ )f với k∈Z ω ∈ R và f ∈ E. Điều này có thể làm được bằng cách sử dụng ý tưởng từ [5. Theorem. 1.1]. Từ [17. III.4.5], ta có điều kiện đủ để chỉ ra sự hội tụ trên một tập con trù mật. Từ iR ⊂ ρ(GB,Φ ) và định lý ánh xạ phổ cho phổ phần dư (xem [3. Theorem. IV.3.7]) ta thu được rằng e−2πiω không phụ thuộc vào phổ phần dư Rσ(TB,Φ (2π)). Điều này suy ra rằng (1 − e−2πiω TB,Φ (2π))E là một tập con trù mật của E. Cho f := (1 − e−2πiω TB,Φ (2π))g. Khi đó N −1 n 1 X X R(iω + ik, GB,Φ )(1 − e−2πiω TB,Φ (2π))g N n=0 k=−n N −1 n Z2π 1 X X = e−(iω+ik)s TB,Φ (s)gds. (2.15) N n=0 k=−n 0 Bây giờ e−iω TB,Φ (.)g là một hàm số liên tục với các hệ số Fourier Z2π 1 Qk = e−(iω+ik)s TB,Φ (s)gds. 2π 0 Do đó, từ định lý Fejer, tổng trong (2.15) hội tụ khi N → ∞. Do vậy khẳng định của định lý được suy ra từ định lý (2.4). Sự "đủ nhỏ" của Φ được tính toán trong ví dụ sau: Ví dụ 2.7. Ta xét trở lại ví dụ (1.13) với cùng họ tiến hóa lùi U (r, s) := Rs ( a(τ )dτ )∆ R0 er và cùng toán tử trễ Φf := ϕ(s)f (s)ds. Tuy nhiên, bây giờ −∞ 18
cho B sinh ra một nửa nhóm hyperbolic (etB )t>0 thỏa mãn ||R(λ, B)|| 6 P1 với |Reλ| < ω2 . (ví dụ ta có thể lấy B là một toán tử sectorial thỏa mãn σ(B) ∩ iR = ∅ như trong [9. Example. P 2.1.4] hoặc [19. Example. 4.2]). Lấy 0 < ω < min{−γλ0 , ω2 } và đặt := {λ ∈ C : |Reλ| < ω}, ( ) P := max sup {||R(λ, B)||}, 2π||(1 − e2πB )−1 || sup {||etB ||} 06t62π P λ∈ 1 Ta thu được rằng nửa nhóm (TB,Φ (t))t>0 là hyperbolic nếu ||ϕ(.)||L1 < . P 19