Trọng tâm kiến thức và phương pháp giải toán - Đại số lượng giác: Phần 1

Chia sẻ: ViTsunade2711 ViTsunade2711 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:347

Thêm vào BST

Báo xấu

48
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cuốn sách Trọng Tâm Kiến Thức Và Phương Pháp Giải Toán Đại Số Lượng Giác là một trong những cuốn sách trong bộ sách Trọng Tâm Kiến Thức Và Phương Pháp Giải Toán của tác giả Nguyễn Phú Khánh, Cuốn sách góp phần truyền cảm hứng cũng như giúp đỡ các em học sinh trong quá trình học tập và ôn luyện. Phần 1 sẽ mang đến các chủ đề như: Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn, cách giải phương trình bậc ba, bậc bốn tổng quát, bất phương trình, hệ phương trình,... Mời các bạn cùng tham khảo để nắm nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Trọng tâm kiến thức và phương pháp giải toán - Đại số lượng giác: Phần 1

N G U Y ÊN PH Ú KHÁNH (Tái bản Ịần thứ nhâU TRỌNG TÂM a:, k iế n th ứ c PHƯƠNG PHÁP9 ^ NHÀ XUẤT BẢN GĐG H à N ội ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ Nộ7
N G U Y ỄN PH Ú KHÁNH (Tái bản lần thứ nhẩt) TRỌNG TÂM KIẾN THỨC PHƯƠNG PHÁP — \ 1 ‘SS "•'•1 \ l â □ y [ 1} hl ĐM H à N ội niHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội Điện thoại: Biên tập: (04) 39714896; Quản lý xuất bản: (04) 39728806; Tổng biên tập: (04) 39715011 Fax; (04) 39729436 Chịu trách nhiệm xu ất bản: G iám đốc - Tổng biên tập: TS. PH Ạ M T H Ị TRÂM B iên tập: HẢI NHƯ C hế bản: N H À SÁCH H Ồ N G ÂN T rìn h bày bia: N H À SÁCH H ồ N G Â N Đối tác liên kết xuất bản: N H À SÁCH H Ồ N G ÂN 20C N guy ễn T h ị M in h K h ai - Q1 - TP. Hồ C hí M in h SÁCH LIÊN KÊT TRONG TÂM KlẾN THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ LƯỢNG GIÁC__________________________________________ Mã số: 1L - 68ĐH2015 In 1.000 cuô'n, khổ 17 X 24cm tại Công ti cổphần Văn hóa Văn Lang. Địa chỉ: số6 Nguyễn Trung Trực - P5 - Q. Bình Thạnh - TP, Hồ Chí Minh Sô xuất bản: 268- 2016/CXB,IPH/30 - 53/ĐHQGHn ’ Quyêt định xuất bản số; 144 LK-TN/QĐ - NXBĐHQGHN, In xong và nộp lưu chiểu quý I năm 2016.
n â ẻ ã íầ c ù Đại thi hào VVilliam A.VVard từng nói: "Người thầy trung bình chi biết nói, người thầy giỏi biết cách giải thích, người thầy xuất chúng biết cách minh họa, còn người thầy v ĩ đại biết cách truyên cảm hứng”. Và tác giả thực sự hi vọng cuốn sách này sẽ trở thành ng u ồ n cảm h ứ n g cũng n h ư tư liệu b ổ ích cho các bạn thí sinh trong kì thi Đ ại học sắp tới. Nội d u n g cuốn sách được trình bày theo từ ng vấn đề, tương ứ n g từ n g chương, bài gần giống sách giáo khoa và câu trúc đ ề thi Đại học của Bộ Giáo dục và Đ ào tạo (theo chương trình giảm tải hiện hành). "T rọng tâm k iế n thứ c và p h ư ơ n g p h áp giải toán: Đ ại số và Lượng giác" là một trong nhữ ng cuốn thuộc bộ sách "Trọng tâm kiên thức và phương pháp giải toán", do tác giả biên soạn. Bộ sách gồm 6 tập: Tập I: K hảo sát hàm số và ứ n g d ụ n g đạo hàm Tập II: H àm số m ũ - Logarit, Tích p h ân , Đ ại số tổ hợp, Xác suất - số phứ c Tập III: Đ ại số và Lượng giác Tập IV: H ìn h học trong k h ô n g gian Tập V: H ìn h học tro n g tọa độ Tập VI: Bất đẳng thứ c và b ài toán max - m in tro n g các bài kiểm tra, thi học k ì và tro n g kì th i tuyển sin h Đ ại học Với cách viết khoa học và sinh động giúp bạn đọc tiếp cận với m ôn Toán m ột cách tự nhiên, không áp lực, bạn đọc trở nên tự tm và năng động hơn; hiểu rõ bản châ't, biết cách phân tích đ ể tìm ra trọng tâm của vâh đ ề và biết giải thích, lập luận cho từ ng bài toán. Sự đa dạng của hệ thống bài tập và tình hu ô h g giúp bạn đọc luôn hứ ng thú khi giải toán. Trong sách, các ví d ụ m inh họa được chọn lọc, sắp xếp từ dễ đến khó và dẫn dắt đến n h ữ ng bài toán thi Đại học. Tác giả chú trọng gợi m ở lời giải đ ể bạn đọc 3
khám phá, bạn đọc sẽ ngạc nhiên với con đường tìm tòi của m ình và đư a ra phưcmg pháp giải đầy thú vị, sau mỗi lời giải chúng tôi đều có các lời bình, đúc kết kũứi nghiệm . N hững câu hỏi m ở trong sách có nội d u n g cơ bản bám sát sách giáo khoa và câu trúc đ ề thi Đại học, đổng thời phân chia bài tập thàrửi các dạng toán có lời giải chi tiết. H iện nay đ ề thi Đại học không khó, tổ hợp của nhiều vân đ ề đơn giản, như ng chứa nhiều câu hỏi m ở nếu không nắm chắc lý thuyết sẽ lúng túng trong việc tìm lời giải bài toán. Với m ột bài toán, không nên thỏa m ãn ngay với m ột lời giải m ình vừa tìm được mà phải cố gắng tìm nhiều cách giải n h ất cho bài toán đó, m ỗi m ột cách giải sẽ có thêm phần kiến thức mới ôn tập. Khi giải m ột bài toán, thay vì dùng thời gian đ ể lục lọi trí nhó, thì ta cần phải suy nghĩ phân tích đ ể tìm ra phư ơng pháp giải quyết bài toán đó. Đối với Toán học, không có h a n g sách nào là thừa. Từng trang, từ ng dòng đều phải hiểu. Môn Toán đòi hỏi phải kiên nhẫn và bền bỉ ngay từ lứiững bài tập đơn giản nhâ't, nhữ ng kiến thức cơ bản nhâ't, vì chúih n h ữ ng kiến thức cơ bản mới giúp bạn đọc hiểu được nhữ ng kiến thức nâng cao sau này. Giờ đây, chúng tôi chợt nh ớ tới câu nói của Ludvvig Van Beethoven: "Giọt nước có th ể làm mòn tảng đá, không phải vì giọt nước có sức mạnh, mà do nước chảy liên tục ngày đêm. Chi có sự phấn đâu không mệt mỏi mới đem lại tài năng. Do đó ta có thê’khẳng định, không nhích từng bước thì không bao giờ có th ể di xa ngàn dặm". Mặc dù tác giả đã d àn h nhiều tâm huyết cho cuôh sách, song sự sai sót là điều khó ữ án h khỏi. C húng tôi rất m ong nhận được sự phản biện và góp ý quý báu của quý độc giả đ ể nh ữ n g lần tái bản sau cuôh sách được hoàn thiện hơn. Tác giả
CHỦ ĐÊ 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH A. CHUẨN KIẾN THỨC TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có tập xác định lần lượt là Df và Dg. Đặt D = Dj n Dg. Mệnh đề chứa biến "f(x) = g(x)" được gọi là phương trình một ẩn; X được gọi là ẩn sô"(hay ân) và D gọi là tập xác định của phưcmg trình. Xq e D gọi là m ộ t n g h i ệ m của p h ư o T i g t r ì n h f(x) = g ( x ) n ế u "f(xg) = g(xQ)" là m ệ n h đề đúng. Chú ý: Các nghiệm của phưong trình f (x) = g(x) là các hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g (x ). 2. PhưoTig trình tương đương, phương trình hệ quả. a) Phương trình tương đương: Hai phương trình (x) = gj (x) và Ỉ2 (x) = g 2 (x) được gọi là tưong đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Kí hiệu là (x) = g, (x) (x) = g 2 (x). Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phưcmg trình gọi là phép biên đôi tương đương. b) Phương trình hệ quả; Í2 (x) = g 2 (x) gọi là phương trình hệ quả của phương trình (x) = g^ (x) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phưong trình (^) = gi là (^) ^ Bi (^) h (x) = 82 (^) c) Các định lý: Định lý 1: Cho phưong trình f (x) = g(x) có tập xác định D; y = h(x) là hàm số xác định trên D. Khi đó trên D, phương trình đã cho tương đưong với phương trình sau: 1) f(x) + h(x) = g(x) + h(x) 2) f(x).h(x) = g(x).h(x) nếu h(x) 0 với mọi X e D. Định lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả cùa phương trình đã cho. f(x) = g (x )^ f^ (x ) = g^(x).
Lưu ý: Khi giải phương trình, ta cần chú ý: • Đặt điều kiện xác định(đkxđ) của phương trình và khi tìm được nghiệm của phương trình phải đôì chiếu với điều kiện xác định. • Nêu hai vê'của phương trình luôn cùng dấu thì bình phương hai v ế của nó ta thu được phương trình tương đương. • Khi biêh đổi phương trình thu được phương trình hệ quả thì khi tìm được nghiệm của phương trình hệ quả phải thử lại phương trình ban đầu đê’loại bỏ nghiệm ngoại lai. B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: TÌM ĐIỂU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH. Ị Phương pháp giải - Điều kiện xác định của phương trình bao gổm các điều kiện đê giá trị của f (x), g(x) cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài) - Điều kiện đ ể biểu thức . 7 f ũ ) xác định là f (x) > 0 • xác đinh là f (x) íit 0 f(x) xác định là f (x) > 0 7f(x) Các ví dụ Ví dụ 1. Tim điều kiện xác địiứi của phương trình sau: 1. x + ^ =1 2.1 + x^ - 4 x+1 3. 1 + V 2 x -3 - V 3 x -2 4. V 4 -2 x x ^ -3 x + 2 Lời giải. 1. Điều kiện xác định của phương trình là x^ - 4 0 » x^ 4 X ±2 . , , , 0 íx 3. Điều kiên xác đinh của phương trình là ] ^ ^ -í 2 3 - 3x - 2 > 0 x>ỉ 3 4. Điều kiện xác định của phương trình là
x0 x0 3 4 x 0 < = > - ( x - 3)^ > 0 X= 3. Thay X= 3 vào thây thỏa mãn phương trình. Vậy tập nghiệp của phương trình là s = Ị s Ị . x>0 3. Điều kiện xác định của phương trình là x>2 X< -3 5-3x>0 X< - 1- 3 x _ _= -5 . Nếu X5^ 3 thì (*) -^ o -i 3x-5>0 x> — 3 Vậy điều kiện xác định của phương ữình là X= 3 hoặc X: Thay X= 3 và X= — vào phương trinh thây chỉ có X= 3 thỏa mãn. Vậy tập nghiệm của phương trình là s = Ị s Ị .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tim điều kiện xác định của phương trình sau: 1. - — 2 . 1 +^ / ) ^ ^ =^ / ) n ’ x^-x-1 x+1 3. l + V 2 x - 4 = V 2 - 4 x 4. „ V 2 x - 6- x^ - 3x + 2 Bài 2: Tim điều kiện xác định của phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó: 1. 4x + 2 \l4 x -3 = 2 y Ịịx -3 + 3 2. x^+x-l +x=l 3. yíĩx + V x - 2 = y j2 -x + 2 4. Vx^ - 4x^ + 5 x - 2 + X = \l2 - x Bài 3: Giải các phương trình: 1. 2 x - V x - 8 ==Vs - X +16 2. 3x + Vx - 8 = n/ 4 - x Dạnp 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG p h é p BIEN ĐỔI t ư ơ n g đ ư ơ n g v à h ệ q u ả Phương pháp giải Đê giải phương ưìrửi, ta thực hiện các phép biên đổi đê’ đưa về phương trình tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một sô' phép biến đổi thường sử dụng: • Cộng (trừ) cả hai v ế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình, ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho. • Nhân (chia) vào hai vê'với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trìiứi tương đương với phương trình đã cho. • Bình phương hai vê' của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho. • Bình phương hai vê' của phương trình (hai vê' luôn cùng dâ'u) ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho. Các ví dụ___________________________________________________________________ Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: ,1. 11 + ——1 = — ------- 5 „ x^ 1 /— r 2. -J=== = —f= = = -^Jx-2 x -3 x ^ -x -6 Vx-2 Vx-2 3. Vx + 3 ( x ^ - 3 x ^ + 2 ) = 0 4. Vn/ x -l ( x^ - X- 2 ) = 0 Lời giải. X 3 ị x^3 1. ĐKXĐ: [x^-x-6í*0 [x;*-2 Với điều kiện đó phương trình tương đương với 8
1 + —^ _ = 7-- :Ậ.----TT (x -3 ) ( x + 2 ) + X + 2 = 5 x^ = 9 X = ±3 . x - 3 ( x - 3 ) ( x + 2) V y Đôì chiêu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là X = - 3 . 2. ĐKXĐ: X > 2 Vói điều kiện đó phương trình tương đương với x^ = l - ( x - 2 ) < » x ^ + x - 3 = 0x= Đôì chiêh với điều kiện ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn. Vậy phương trình vô nghiệm. 3. ĐKXĐ: X > - 3 . , 4 x V s =0 Phương trình tương đương với x'^ -3x^ +2 = 0 X = -3 X = -3 X = -3 0 x^ - 1 = 0 x = ±l ( x2 - i ) ( x 2 - 2 ) = 0 ^ LV 1 x^ -2 = 0 X = ±yỈ2. Đô'i chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là X = -3, X = ±1 và X = ±\Ỉ2 . x>0 íx>0 4. ĐKXĐ: ị r- 1. Vx-1>0 X>1 X= 1 v>/x- 1 = 0 Với điều kiện đó phương trình tương đương với x = - l x^-x-2 =0 x=2 ĐỎI chiêu với điều kiện ta cỏ nghiệm của phương trình là X = 1 và X = 2 ■ Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: 1. n/2 x - 3 = V4x^ -1 5 2. -3 x + 4 = 8 - 3 x 3. l2x + 1| = |x —2 I 4. |2x + l| = x - l ■ Lời giải. 2x-3>0 1. ĐKXĐ: , n 4x^ - 1 5 > 0 Vói điều kiện (*) phương trình tương đương với Ụ lx - 3 j 2x - 3 = 4x^ -1 5 o 4x^ - 2 x - 1 2 = 0x = - Ệ hoặc X = 2 . 2 Thay vào điều kiện {*) ta thây chi có X = 2 thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm duy nhâ't X= 2.
^ 3Ý 7 2. ĐKXĐ: - 3x + 4 > 0 o X- — 1 + — > 0 (luôn đúng với mọi X) Bình phương hai vê' của phương trình ta được x^ - 3x + 4 = (8 - 3x)^ x^ - 3x + 4 = 9x^ - 48x + 64 q 2 45 ± Vl05 16 Thay vào phương trình ta thấy chi có X = và đó là nghiệm duy nhất của phương trình. 3. Phương trình tương đương với (|2x + 1| = ^|x - 2 ^ 4x^ + 4x +1 = x^ - 4x + 4 « 3x^ + 8 x - 3 = 0 o x = -3 hoặc X = Ậ . 3 Vậy phương trình có hai nghiệm là X = -3 và X = —. 4. ĐKXĐ: x - l > 0 < = > x > l ( * ) . T a c ó |2x + l| = x - l=> (2x + = (x - 1)^ 4x^ + 4x +1 = x^ - 2x +1 3x^ + 6x = 0 :=> X = -2 hoặc X = 0 . Đô'i chiếu vối điều kiện (*) ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn. Vậy phương trình vô nghiệm.____________________________________________ Ví dụ 3. Tim nghiệm (x; y) với X là số nguyên dương của phương trình sau: V2 0 - 8X + - y2 = y n/7 - 4x Lời giải. , ... , . . , ^ . Í 20- 8x>0 7 Néu phương trinh có nghiệm (x; yj thì X phải thỏa mãn j o X< —. Vì X là số nguyên dương nên X = 1 . Thay X = 1 vào phương trình ta được \ỈĨ2 +-ịỏ - y^ = y\/3 (*). Điều kiện xác định của phương trình (*) là 6 - y^ > 0. {*) => - y^ = x/3(y - 2) => 6 - y^ = 3(y - 2)^ => 4y^ - 1 2 y + 6 = 0 => y = Thử vào phương trình {*) thấy chỉ có y = là thỏa mãn. 3 + ^/3 Vậy phương trình có nghiệm là 1; Ví dụ 4.Tim m để cặp phương trình sau tương đưcmg; 10
1. mx^ - 2 ( m - l ) x + m - 2 = 0 ( l ) v à ( m - 2 ) x “ -3x + m^- 15 = 0 (2) 2. 2 x - + m x - 2 = 0 (3)và 2x^+(m + 4 ) x ^ + 2 ( m - l ) x - 4 = 0 (4) Lời giải. 1. Giá sử hai phương trình (1) và (2) tương đương. Ta có (l) o (x - l)(mx - i n + 2 ) = 0 o x = l hoặc mx - m + 2 = 0. Do hai phương trình tương đưong nên X = 1 là nghiệm của phương trình (2). Thay X = 1 vào phương trình (2) ta được (m -2 ) - 3 + m^ -15 = 0 + m - 2 0 = 0 o m = - 5 hoặc m = 4 . 7 7 Với m = -5; Phương trình (1) trở thành -5x + 12x - 7 = 0c5>x=— hoăc X = 1 . 5 7 10 Phương trình (2) trờ thàn h -7 x -3 x + 10 = 0 o x = - — hoặcx = l. Suy ra hai phương trình không tương đương 1 hoặc Với m = 4 : Phương trình (1) trờ thành 4x 7 -6 x + 2 = 0 o x = — X = 1. Phương trình (2) trở thành 2x 2 -3 x + l = 0 o x = — 1 hoặc X = 1 . Suy ra hai phương trình tương đưong Vậy m = 4 thì hai phương trình tưong đưong. 2. Giả sử hai phương trình (3) và (4) tương đương. Ta có 2x^ + (m +4)x^ + 2(m - l)x - 4 = 0 o (x + 2)Ị2x^ + mx - 2j = 0 o X = -2 hoặc 2x^ + mx - 2 = 0. Do hai phưong trình tương đưong nên X = -2 cũng là nghiệm của phương trình (3). Thay X = -2 vào phương trình (3) ta được 2(-2)^ + m( - 2 ) - 2 = 0 o m = 3. Với m = 3 phương trình (3) trờ thành 2x 2 + 3 x - 2 = 0 o x = -2 hoặc X = -1 . Phương trình (4) trở thành 2x^ + 7x^ + 4 x - 4 = 0(x + 2)^ (2x + 1) = ũ o X = -2 hoặc X = —. Suy ra phương trình (3) tương đương với phương trình (4). Vậy m = 3 thì hai phương trình tương đương. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải các phương trình sau: 2x 1 /r 2. 2 -x 4 _x^ 11
3. n/ ^ ( x^ -16) = 0 4. =0 -2x-3 Bài 2: Giải các phương trình sau: 1. Vx-2 = Vx^ - 8 2. Vsx^ - x - 9 = x - l . 3. |2x + 3| = |2x - 3| 4. |2x - 1| = 3x - 4 Bài 3: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương: 1. y} +mx-1 = 0 (l)và ( m - l ) x ^ + 2 ( m - 2 ) x + m - 3 = 0 (2) 2. (2m-2)x^ - ( 2m + l)x + m ^ + m - 1 7 = 0 ( 3 ) v à ( 2 - m) x ^ + 3x + 1 5 - = 0 (4) HƯỚNG DẢN GIẢI: D ạn g 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH Bàil: 1 . ĐKXĐ: x^ - x - 1 ; é 0 o x 7 ^ ^ ^ ^ . 2 Íx-1>0 2. ĐKXĐ: { X > 2. Ị x -2> 0 Í2x-4>0 3 . ĐKXĐ: OX£0. 2 - 4x > 0 x>3 2x-6>0 4. ĐKXĐ: , o « X>3 x^ -3x + 2;í0 Bài 2: 3 - 3 1. ĐKXĐ: X > - . Dê thấy X = — là nghiệm của phương trình. 2. ĐKXĐ: -x^ + X - 1 > 0 - | X- ị —> 0 C5>X £ 0 1) 4 Vậy tập nghiệp của phương trình là s = 0 . x>0 3. ĐKXĐ: - x - 2>0x = 2. Thử lại phương trình thấy X = 2 thòa mãn 2-x>0 Vậy tập nghiệm cùa phương trình là s = Ị 2j . X= 1 4. DKXĐ: Ịx’ - 4 x ^ + 5 x - 2 > 0 ^ ( x - l f ( x - 2)> 0 [ 2-x>0 [ x
Bài 3 1. Xét phương trình: 2 x - V x - 8 = VS-X +16. (1) íx-8>0 jx>8 Điều kiện : < o _ Cí> X = 8. 8-x>0 x 0 íx>8 Điêu kiện: < o 1 X e 0. [4-x>0 [x2x = l - ( 3 - x ) o x = -2 (thỏa mãn) 3. ĐKXĐ; X> -1 ^ỉx +ì= 0 x = -l Phương trình tương đương với X -16 = 0 x = ±4 Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm cứa phương trình là X = -1 và X =4. [ X
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẪT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN A. CHUẨN KIẾN THỨC TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Đ ịnh nghĩa. • Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0 với a, b là sô' thực và a ÍẾ0 • Phương trình bậc hai một ẩn phương trình có dạng ax^ + bx + c = 0 với a, b, c là sô' thực và a 0 2. Giải và biện luận phương trình ax + b = 0 (1). • Nê'u a^O : (l) X= ■■—. Do đó phương trình có nghiệm duy nhất X= - — a ■ a • Nêu a = 0 : phương trình (1) trở thành Ox + b = 0 Thl: Với b = 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x e M Th2; Với b 0 phương trình vô nghiệm 3. Giải và biện luận phương trình ax^ + bx + c = 0 • Nếu a = 0 : trở về giải và biện luận phương trình dạng (1) • Nếu a^O : A = b^ - 4ac -b ± VÃ T hl: A > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt X : 2a b Th2: A = 0 phương trình có nghiệm kép X = - 2a Th3: A < 0 phương trình vô nghiệm. 4. Đ ịnh lí Vi-ét và ứng dụng, a) Đ ịnh lí Vi-ét. Hai sô' Xj và X2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax^ + bx + c = 0 khi và chỉ b khi chúng thỏa mãn hệ thức Xj + X2 và X|X2 = —. a b) ứ n g dụng. • Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai • Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức f (x) = ax^ + bx + c có hai nghiệm Xj và X2 thì nó có thê’phân tích thành nhân tử f(x) = a ( x - X j ) ( x - X 2 ). • Tìm hai sô'khi biê't tổng và tích của chúng: Nê'u hai sô'có tổng là s và tích là p thì chúng là nghiệm của phương trình x^ - Sx + p = 0 . • Xét dâu của các nghiệm phương trình bậc hai: 14
Cho phương trình bậc hai ax^ + bx + c = 0 (**), kí hiệu s= , p = —. Khi đó: a a + Phương trình (*) có hai nghiệm trái dâu khi và chi khi p < 0 ' a >0 + Phương trình Ợ) có hai nghiệm dương khi và chi khi ■p > 0 s>0 A >0 + Phương trình (*) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi - p > 0 s
• Khi m = 3: Phương trình trở thành Ox = 6 suy ra phương trình vô nghiệm • Khi m = -3 : Phương trình trở thành Ox = 0 suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi Xe R + Với m^ - 9 ^ 0 c í > m7 í ± 3 : Phương trình tương đương với X= ^ = —-— . m2_9 m - 3 Kết luận: m = 3: Phương trình vô nghiệm m = -3 : Phương trình nghiệm đúng với mọi X&M 1 m ±3: Phương trình có nghiệm X= - m -3 3. Phương trình tương đương với (m + l ) ^ - 3 m - 7 X= 2 + m o m - m- 6 2+m + Với m^ - m - 6 = 0 o m = -2 hoặc m = 3: • Khi m = 3; Phương trình trở thành Ox = 5 suy ra phương trình vô nghiệm • Khi m = -2 : Phương trình trở thành Ox = 0 suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi x e M . + Với m^ - m - 6íẾ0míẾ-2 và míẾ3: ^ . m +2 1 Phương trình tương đương với X= — ----------= -------- . m^ - m - 6 rn - 3 Kê't luận: m = 3: Phương trình vô nghiệm m = -2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x e M m 3 và m ^ - 2 : Phương trình có nghiêm X= — — ______m - 3 ____________________________ Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình sau với a,b là tham sô': 1. a ^ ( x - a ) = b ^ ( x - b ) 2. b ( a x - b + 2) = 2(ax + l) Lời giải. 1. Ta có a^ ( x - a ) = b^ ( x - b ) Ịa^ - b ^ j x = a^ - b ^ + Với a^ - b^ = 0 a = ±b • Khi a = b : Phương trình trở thành Ox = 0 suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi x e M . • Khi a = - b và b 0 : Phương trình trớ thành Ox = -2b^ suy ra phương trình vô nghiệm (Trường hợp a = -b ,b = 0 => a = b = 0 thì rơi vào trường hợp a = b ) 2 i2 ^ a^-b^ a ^ + a b + b^ + Với a -b ?iOaíẾ±b: Phương trình tương đương với X = a^ -b ' a +b 16
Kết luận: a = b : Phương trình nghiệm đúng với mọi x e M a = - b và b ?!=0 : Phương trình vô nghiệm a ít ±b : Phương trình có nghiêm là X= ------—------- a +b 2. Ta có b ( a x - b + 2) = 2(ax + l) a ( b - 2 ) x = b^ - 2 b + 2 a =0 + VỚĨ a ( b - 2 ) = 0 b=2 • Khi a = 0 : Phương trình trờ thành Ox = b^ - 2b + 2 , do b^ - 2b + 2 = (b - 1)^ +1 > 0 nên phương trình vô nghiệm. • Khi b = 2 : Phương trình trở thành Ox = 2 suy ra phương trình vô nghiệm 3^0 +2 ( ; Phương trình tương đương với X= — ^ ^ . Kết luận: a = 0 hoặc b = 2 thì phương trình vô nghiệm. _ . . ............................................... . b ^ -2 b + 2 a ÌẾ0 và b íí 2 thì phương trình có nghiệm là X= ,(b-2) Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình sau với a,b là tham sô': 1. (m^ - m)x = 2x + m^ -1 2. m (4mx - 3m + 2) =: x(m +1) Lời giải. 1. Ta có (m^ - m)x = 2x + m^ -1 (m^ - m - 2)x = m^ -1 | m5 ^ - l Phương trình có nghiệm duy nhâ't a 0 hay m ^ - m - 2 í t 0 ' » m;í2 Vậy với m íí -1 và m 2 thì phương trình có nghiệm duy nhâ't 2. Ta có m ( 4 m x - 3 m + 2) = x(m + l ) o Ị 4 m ^ - m - l j x = 3m^ - 2 m 1±VĨ7 Phương trình có nghiệm duy nhâ't a 0 hay 4m^ - m - l ? t 0 < ^ m ì t o 1 "ỉ" Vậy với m ^ — thì phương trình có nghiệm duy nhâ't 8 Ví dụ 4. Tìm m đ ể đổ thị hai hàm sô' sau không cắt nhau y = (m + 1) x^ + 3m^x + m và y = (m + l)x^ + 12x + 2 Lòi giải. 17
Đổ thị hai hàm sô' không cắt nhau khi và chi khi phương trình (m + l)x^ +ớm +3m^xX+ m = (m ++ I^x l)x^ -h +12x 1ZX + 2 vô nghiệm í m^ - 4 = 0 ím = ±2 sỊm ^ - 4 j x = 2 - m vô nghiệm I 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt X: 2a Th2: A = 0 phương trình có nghiệm kép X: 2a Th3: A < 0 phương trình vô nghiệm. Các ví dụ Lời giải. 18
1. Ta có A = 1 - 4m Với A > 0 C5>1 - 4m > 0 o m < —: Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 ± Vl - 4m X= 1 , , , Với A = 0 o 1 - 4m = 0 m = —: Phương trình có nghiệm kép X= — Với A < 0 1 - 4m < 0 m > - : Phương trình vô nghiệm Kết luận m < —: Phương trình có hai nghiệm phân biệt X = ^ 1 1 m = —: Phương trình có nghiệm kép X = — m > —: PhưoTig trình vô nghiệm 2. + THI :Với m + l = 0m = - l khi đó phương trình trở thành 2 x - 3 = 0x = ; + TH2: Với m + l7t0m#-l khi đó phương trình trên là phương trình bậc hai Ta có A '= m ^ - ( m - 2 ) ( m + l) = m + 2 Khi A > 0 o m + 2>0m>-2, khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt m ± Vm + 2 X = --------- ------------ . m +1 Khi A = 0m + 2 = 0 o m = -2 khi đó phương trình có nghiệm l à X =2. Khi A