Dưới đây là tuyển tập đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 tỉnh Đồng Tháp từ năm 2011 - 2009 này giúp các em học sinh ôn tập kiến thức, ôn tập kiểm tra, thi cuối kỳ, rèn luyện kỹ năng để các em nắm được toàn bộ kiến thức chương trình toán 12.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán 12 tỉnh Đồng Tháp 2001 - 2009
- TUY N T P
THI H C SINH GI I THPT C P T NH
MÔN TOÁN
NG THÁP
T N M H C 2000-2001
N N M H C 2008-2009
http://kinhhoa.violet.vn
Nguy n c Tu n
( NDTuanMAT )
Tháng 9 Năm 2009
© Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
- THI NĂM H C 2000 - 2001
Ngày thi: 25 tháng 11
Th i gian làm bài: 180 phút
Bài 1: Cho dãy s xác nh như sau:
n
1
un = ∑ ; ∀n ∈ Ν và n ≥ 1 .
i =1 i ( i + 1)( i + 2 )( i + 3 )
Tìm lim un .
x →+∞
1
Bài 2: Cho phương trình: y 3 − 9 y 2 + 11 y − = 0 (1)
3
a. Ch ng minh r ng tan 10 ; tan 50 ; tan 2 700 là 3 nghi m phân bi t c a phương
2 0 2 0
trình (1).
b. Tính P = tan 6 100 + tan 6 500 + tan 6 700 .
Bài 3: Tìm t t c các a th c P ( x) có h s nguyên sao cho ta có:
x.P ( x − 20) = ( x − 2000).P ( x) ; ∀x ∈ Ζ .
Bài 4: Cho hình chóp S . ABC nh S ; SA = x ; SB = y ; SC = z .
a. Ch ng minh r ng VS . ABC = x. y.z.VS . A ' B 'C ' ; v i SA ' = SB ' = SC ' = 1 ơn v dài.
A '; B '; C ' n m tương ng trên các tia SA; SB; SC .
b. Xác nh x, y, z di n tích xung quanh c a hình chóp S . ABC b ng 3k 2 ( k là
s th c cho trư c) và th tích c a nó l n nh t.
Bài 5: Cho a, b, c là 3 s th c dương và ab + bc + ca = abc .
Ch ng minh r ng:
a 2 + 2b 2 b 2 + 2c 2 c 2 + 2a 2
+ + ≥ 3.
ab bc ca
1
© Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
- THI NĂM H C 2001 - 2002
Ngày thi: 24 tháng 11
Th i gian làm bài: 180 phút
Bài 1: Cho 3 s th c dương a, b, c th a i u ki n abc = 1 .
Ch ng minh r ng:
1 + ab 2 1 + bc 2 1 + ca 2 18
+ + ≥ 3 3 3.
c 3
a 3
b 3
a +b +c
Bài 2: Cho x, y là 2 s th a mãn i u ki n:
x − 2 y −1 ≤ 0
x + 3y − 6 ≤ 0
2 x + y − 2 ≥ 0
a. Ch ng minh: x 2 + y 2 ≤ 10 .
b. Tìm t t c các giá tr c a x, y : x 2 + y 2 = 10 .
Bài 3: Cho phương trình: x n + x n −1 + x n − 2 + ... + x 2 + x − 1 = 0 (1), n nguyên dương.
a. Ch ng minh r ng v i m i n thì phương trình (1) có nghi m dương duy nh t xn .
b. Tìm lim xn .
x →+∞
Bài 4: Cho tam giác ABC có BC > CA > AB . G i D là m t i m n m trên o n BC .
Trên ph n n i dài c a BA v phía A ch n i m E . Bi t r ng BD = BE = CA . G i P là
giao i m c a ư ng tròn ngo i ti p tam giác EBD v i c nh AC . G i Q là giao i m
th hai c a BP v i ư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC . Ch ng minh r ng:
a. Tam giác AQC và tam giác EPD là hai tam giác ng d ng.
b. Ta có: BP = AQ + CQ .
Bài 5: Cho 3 tia Ox, Oy, Oz vuông góc v i nhau ôi m t t o thành góc tam di n Oxyz .
i m M c nh n m trong góc tam di n. M t m t ph ng (α ) qua M c t Ox, Oy, Oz
l n lư t t i A, B, C . G i kho ng cách t M n các m t ph ng ( OBC ) , ( OCA) , ( OAB )
l n lư t là a, b, c .
a. Ch ng minh tam giác ABC là tam giác nh n.
b. Tính OA, OB, OC theo a, b, c th tích t di n OABC là nh nh t.
2
© Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
- THI NĂM H C 2002 - 2003
Ngày thi: 24 tháng 11
Th i gian làm bài: 180 phút
Bài 1:
a. Cho 4 s th c dương a, b, c, d . Ch ng minh r ng:
a4 b4 c4 d4 a+b+c+d
+ + + ≥
( a + b ) ( a + b ) (b + c ) (b + c ) ( c + d ) (c + d ) ( d + a ) ( d + a )
2 2 2 2 2 2 2 2
4
.
b. Cho 6 s th c dương a, b, c, d , e, f . Ch ng minh r ng:
(a + b + c) + (d + e + f )
2 2
≤ a 2 + d 2 + b 2 + e2 + c 2 + f 2 .
Bài 2: Kí hi u Ν * là t p các s nguyên dương. Tìm t t c các hàm f : Ν* → Ν * th a
mãn ng th i hai i u ki n sau:
( i ) : f ( n + 1) > f ( n )
( ii ) : f ( f ( n ) ) = n + 2002, ∀n ∈ Ν *
Bài 3: Cho dãy {an } , n ∈ Ν * ư c xác nh b i:
a1 = a2 = 1; a3 = 2
a a + p v i p∈ Ν*.
an +3 = n + 2. n +1
an
nh p m i s h ng c a dãy {an } u là s nguyên.
Bài 4: Cho a th c f ( x ) = x n + a1 x n −1 + a2 x n − 2 + ... + an là a th c b c n ≥ 2 có các
nghi m th c b1 , b2 ,..., bn . Cho x > bi , ∀i = 1...n . Ch ng minh:
1 1 1
f ( x + 1) + + ... + ≥ 2n .
2
x − b1 x − b2 x − bn
Bài 5: Cho t di n ABCD có các c nh xu t phát t A ôi m t vuông góc v i nhau. G i
a là c nh l n nh t xu t phát t A và r là bán kính hình c u n i ti p t di n. Ch ng
minh r ng:
(
a ≥ 3+ 3 r . )
3
© Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
- THI NĂM H C 2003 - 2004
Ngày thi: 23 tháng 11
Th i gian làm bài: 180 phút
Bài 1: Gi i phương trình sau:
1 + 1 − x 2 (1 − x ) − (1 + x ) = 2 + 1 − x2 .
3 3
Bài 2:
3 2
a. Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a ( x + y + z ) bi t: y 2 + yz + z 2 = 1 − x .
2
b. Tìm các s nguyên a, b, c th a mãn b t ng th c:
a + b + c + 3 < ab + 3b + 2c .
2 2 2
Bài 3: Trong tam giác ABC ta d ng các ư ng phân giác trong AA ', BB ', CC ' ; giao
i m A ', B ', C ' l n lư t thu c các c nh BC , CA, AB . Các giao i m này l p thành tam
giác A ' B ' C ' . Ch ng minh r ng:
S A ' B 'C ' 2abc
= .
S ABC ( a + b )( b + c )( c + a )
Bài 4: Cho Ζ là t p các s nguyên. Cho hàm f : Ζ → Ζ th a mãn các i u ki n:
( i ) : f ( −1) = f (1)
( ii ) : f ( x ) + f ( y ) = f ( x + 2 xy ) + f ( y − 2 xy )
v i m i x, y ∈ Ζ .
a. Ch ng minh f ( − n ) = f ( n ) , ∀n ∈ Ν .
b. Tìm t t c các hàm f có tính ch t nói trên.
4
© Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
- THI NĂM H C 2004 - 2005
Ngày thi: 14 tháng 11
Th i gian làm bài: 180 phút
Bài 1: V i 3 s th c x, y, z tùy ý, ta t:
S = x + y + z ; P = xy + yz + zx ; Q = xyz .
a. Ch ng minh: x3 + y 3 + z 3 = S 3 − 3SP + 3Q .
b. Hãy bi u di n x 4 + y 4 + z 4 theo S , P và Q .
Bài 2: Tìm a th c f ( x ) có t t c các h s u là s nguyên không âm nh hơn 9 và
th a mãn f ( 9 ) = 2004 .
Bài 3: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có c nh AB là c nh chung. Hai m t ph ng
( ABCD ) và ( ABEF ) vuông góc v i nhau. Tìm v trí ư ng vuông góc chung c a hai
ư ng th ng AE và BD .
Bài 4: V i s nguyên dương a = a1a2 ...ak , k ∈ Ν * , ta t:
T ( a ) = a1 + a2 + ... + ak ( t ng các ch s c a a )
Dãy s { xn } , n ∈ Ν * xác nh như sau:
x = (T ( 2004 ) )2004
1
xn = (T ( xn −1 ) )
2004
Ch ng minh r ng dãy { xn } , n ∈ Ν * b ch n.
Bài 5: Tam giác ABC có 3 góc nh n n i ti p trong ư ng tròn tâm O bán kính R . Cho
AB = c; BC = a; CA = b . Ch n I là i m b t kì trong tam giác ABC ; g i x, y, z là các
kho ng cách t I n các c nh BC , CA, AB . Ch ng minh:
a 2 + b2 + c 2
x+ y+ z≤ .
2R
5
© Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
- THI NĂM H C 2005 - 2006
Ngày thi: 9 tháng 10
Th i gian làm bài: 180 phút
Bài 1: Tính t ng:
S = t an10 . t an20 + t an20 .t an30 + ... + t an20040. t an20050 .
Bài 2:
a. Cho P ( x ) là a th c v i h s nguyên sao cho:
P ( a ) = P ( b ) = P ( c ) = 1 v i a, b, c là các s nguyên ôi m t khác nhau. Ch ng
minh phương trình P ( x ) = 0 không có nghi m nguyên.
b. Tìm m t a th c f ( x ) b c 5 sao cho f ( x ) − 1 chia h t cho ( x − 1) và f ( x )
3
chia h t cho x3 .
Bài 3:
a. T ng c a 2 s nguyên dương b ng 2310. Ch ng minh r ng tích c a hai s này
không chia h t cho 2310.
b. Tìm nghi m nguyên ( x, y ) c a phương trình y = 2 x + y 2 + 2 ( 2 x + 1) y + 8 x .
Bài 4:
a. Cho tam giác ABC n i ti p ư ng tròn ( O ) . Các ư ng th ng v qua A, B, C
ôi m t song song, c t ư ng tròn ( O ) t i các i m A1 , B 1 , C1 ( khác v i
A, B, C ). Ch ng minh r ng tr c tâm các tam giác A1 BC , B1CA, C1 AB th ng hàng.
b. Cho tam giác ABC u c nh b ng 2 ơn v dài. ư ng th ng ( d ) không i qua
b t kì nh nào c a tam giác. G i α , β , γ là góc gi a ( d ) và theo th t v i các
ư ng th ng i qua các c nh BC , CA, AB c a tam giác u ABC . Tính:
M = sin α .sin β .sin γ + cos α .cos β .cos γ .
2 2 2 2 2 2
Bài 5: Cho dãy {un } , n nguyên dương, xác nh như sau:
u1 = 2
n
ui
u 2 − un . t Sn = ∑ .
un +1 = n + un i =1 ui +1 − 1
2005
Tìm lim S n .
x →+∞
6
© Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
- THI NĂM H C 2006 - 2007
Ngày thi: 22 tháng 10
Th i gian làm bài: 180 phút
Bài 1: Tìm t ng c a các s nguyên dương t m n n , k c m và n ( m < n ) , suy ra
t ng các s gi a 1000 và 2000 mà không chia h t cho 5.
x+2
Bài 2: Tìm t t c các s th c x sao cho k = là s nguyên.
x + 4x + 5
2
Bài 3: Ch ng minh r ng n u a, b, c là 3 c nh c a m t tam giác tương ng v i các nh
A, B, C thì:
a + b − 2c b + c − 2a c + a − 2b
+ + ≥ 0.
C A B
sin sin sin
2 2 2
Bài 4: Tìm t t c các a th c d ng f ( x ) = x3 + ax 2 + bx + c , v i a, b, c là các s nguyên,
sao cho a, b, c là nghi m c a f ( x ) .
1
Bài 5: Cho F (1) = F ( 2 ) = 1, F ( n + 2 ) = F ( n + 1) + F ( n ) và hàm s f ( x) = .
1+ x
( )
t: Gn ( x ) = x + f ( x ) + f ( f ( x ) ) + ... + f f (... f ( x ) ...) , trong s h ng sau cùng f l p
F (1) F ( 2) F ( n + 1)
l i n l n. Ch ng minh: Gn (1) = + + ... + .
F ( 2) F ( 3) F ( n + 2)
Bài 6: T i m P n m ngoài ư ng tròn cho trư c k hai ti p tuy n ti p xúc v i ư ng
tròn l n lư t t i A và B . Ch n i m S n m trên dây cung AB . Tia PS c t cung nh
2 PR.PQ
AB t i R và c t cung l n AB t i Q . Ch ng minh: PS = .
PR + PQ
Bài 7: Ch ng minh r ng m i s nguyên dương n tùy ý luôn bi u di n dư i d ng t ng
c a các s h ng 2 r 3s v i r , s là các s nguyên không âm.
7
© Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
- THI NĂM H C 2007 - 2008
Ngày thi: 14 tháng 10
Th i gian làm bài: 180 phút
Bài 1:
a. Tìm t t c các s nguyên m sao cho phương trình x 2 + ( m 2 − m ) x − m3 + 1 = 0 có
m t nghi m nguyên.
( ) ( )
x x
b. Gi i b t phương trình: log 2 2 − 1 + 3 + 1 − log 2 2 +1 ≤ 2.
Bài 2:
a. Gi i phương trình: 4sin 2 5 x − 4sin 2 x + 2 ( sin 6 x + s in4x ) + 1 = 0 .
b. Cho các s th c x1 , x2 ,..., xn th a mãn sin 2 x1 + 2sin 2 x2 + ... + n sin 2 xn = a , v i n
n ( n + 1)
là s nguyên dương, a là s th c cho trư c, 0 ≤ a ≤ . Xác nh các giá tr
2
c a x1 , x2 ,..., xn sao cho t ng S = s in2x1 + 2s in2x2 + ... + n s in2xn t giá tr l n
nh t và tìm giá tr l n nh t này theo a và n .
Bài 3:
a. Cho 3 s th c a, b, c th a abc = 1 . Ch ng minh:
1 1 1 3
+ 6 2 + 6 2 ≥ .
a6 (b2 + c2 ) b ( c + a 2 ) c ( a + b2 ) 2
b. Cho tam giác ABC nh n th a mãn i u ki n:
cot A ( cot A + 2 cot B ) A+ B
= 2 cot − cot B . Ch ng minh tam giác ABC là tam
A+ B 2
2 cot + cot B
2
giác cân.
Bài 4: Cho tam giác ABC , trên các c nh BC , CA, AB l n lư t l y các i m A ', B ', C '
sao cho AA ', BB ' và CC ' ng quy t i i m M . G i S1 , S 2 , S3 l n lư t là di n tích c a
MA ' MB ' MC '
các tam giác MBC , MCA, MAB và t = x, = y, = z.
MA MB MC
Ch ng minh r ng: ( y + z − 1) S1 + ( x + z − 1) S 2 + ( x + y − 1) S3 = 0 .
8
© Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
- Bài 5: Cho dãy {un } , n là s nguyên dương, xác nh như sau:
u1 = 1
1 + un 2 − 1 .
un +1 = , un > 0
un
n −1
π 1
Tính u n và ch ng minh r ng: u1 + u2 + ... + un ≥ 1 + 1 − .
4 2
Bài 6: Cho a th c f ( x ) = x3 + ax 2 + bx + b có 3 nghi m x1 , x2 , x3 và a th c
g ( x ) = x3 + bx 2 + bx + a . Tính t ng: S = g ( x1 ) + g ( x2 ) + g ( x3 ) theo a, b .
9
© Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
- THI NĂM H C 2008 - 2009
Ngày thi: 16 tháng 11
Th i gian làm bài: 180 phút
2 3
Câu 1: Gi i phương trình: ( tan x − cot x ) = tan 2 x + cot 2 x − 2 .
3
Câu 2: Cho tam giác ABC n i ti p ư ng tròn tâm I . G i D là trung i m c a c nh
AB , E là tr ng tâm c a tam giác ADC . Ch ng minh r ng n u AB = AC thì IE vuông
góc v i CD .
Câu 3: Tìm nghi m nguyên dương c a phương trình:
x2 − 2 y 2 = 1.
Câu 4: Cho dãy s { xn } , n ∈ Ν * ư c xác nh b i:
x1 = 1
x 2008 . Tìm gi i h n c a dãy un v i:
xn +1 = n + xn
2008
x1 2007
x2 2007 xn 2007
un = + + ... + .
x2 x3 xn +1
Câu 5: Cho n là s t nhiên, ch ng minh r ng: ( C0n ) + ( C1n ) + ... + ( Cnn ) = C2 n .
2 2 n 2
Câu 6:
1 1 1
a. Cho x, y, z ≥ 1 và + + = 2 . Ch ng minh r ng:
x y z
x + y + z ≥ x −1 + y −1 + z −1 .
b. Cho a th c f ( x ) = x3 − 3 x − 1 có 3 nghi m là a, b, c . Hãy tính:
1+ a 1+ b 1+ c
S= + + .
1− a 1− b 1− c
Câu 7: Cho i m A ( 0;3) và parabol ( P ) : y = x2 . G i M là m t i m thu c ( P ) có
hoành xM = a . Tìm a dài AM là ng n nh t. T ó ch ng t r ng n u o n
AM là ng n nh t thì AM vuông góc v i ti p tuy n t i M c a ( P ) .
10
© Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
- PH L C
THI CH N I TUY N D THI C P QU C GIA
NĂM H C 2008 – 2009
Ngày thi: 14 tháng 12
Th i gian làm bài: 180 phút
Câu 1: Gi i phương trình: (1 + t an10 )(1 + t an20 ) ... (1 + t an450 ) = 2 x .
Câu 2: Cho tam giác ABC có các góc u nh n. G i AH , BI , CK là các ư ng cao c a
tam giác ABC . Ch ng minh r ng:
S HIK
= 1 − cos 2 A − cos 2 B − cos 2 C .
S ABC
Câu 3: Cho a, b là hai s nguyên. Ch ng minh r ng:
A = ab ( a 2 + b 2 )( a 2 − b 2 ) chia h t cho 30.
Câu 4: Cho hàm s f : Ν* → Ν * th a mãn hai i u ki n:
f ( a.b ) = f ( a ) . f ( b )
. Trong ó a, b ∈ Ν*, ( a, b ) = 1 và p, q là s nguyên t .
f ( p + q) = f ( p) + f (q)
Ch ng minh r ng: f ( 2008 ) = 2008 .
Bài 5: Ch ng minh r ng n u n ch n thì 2n chia h t (*)
C2 n + 3C2 n + ... + 3k C22nk + ... + 3nC22nn .
0 2
Bài 6: Cho 3 s th c a, b, c . Ch ng minh r ng:
(a 2
+ 1)( b2 + 1)( c 2 + 1) ≥ ( ab + bc + ca − 1) .
2
Bài 7: Cho tam giác ABC cân t i A . ư ng tròn ( C ) ti p xúc v i ư ng th ng AB, AC
l n lư t t i B, C . M là i m tùy ý n m trên ư ng tròn ( C ) . G i d1 , d 2 , d3 l n lư t là
các kho ng cách t M n các ư ng th ng AB, AC , BC . Ch ng minh: d1.d 2 = d 32 .
11
(*) hi u là: C2 n + 3C2 n + ... + 3k C2 n + ... + 3nC2 n chia h t cho 2 n
0 2 2k 2n
© Nguy n c Tu n – Nickname: NDTuanMAT
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
