ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀ VI PHÂN TRONG TÍNH TOÁN HÌNH HỌC

Chia sẻ: Nguyễn Quốc Thắng | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

169
lượt xem 26
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'ứng dụng của tích phân và vi phân trong tính toán hình học', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀ VI PHÂN TRONG TÍNH TOÁN HÌNH HỌC

Ch ¬ng 6 øng dông cña TÝch © n vi © n ph vµ ph trong tÝnh to¸n h×nh häc 6.1 øng dông cña tÝch © n ph x¸c Þ n h. ® 1. DiÖn tÝch h×nh ¼ n g ph a. H×nh ¼ n g ph giíih¹n bëi êng ® cho trong to¹ ®é §Òc¸c ®∙ Nh nªu ë Çn íc, mi Ò n ¼ n g h×nh ra ph tr ph lµ thang cong giíih¹n bëi c¸c êng ® x=a, x=b, Ox, y=f(x) víi f(x) lµ m hµ liªn tôc, ® ¬ n trÞ trªn [a,b] vµ f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ [ a, b] cã diÖn tÝch tÝnh bëi c«ng thøc: b S = ∫ f ( x)dx a Do Ô ®ã d dµng thÊy, Ò n ¼ n g mi ph giíih¹n bëi c¸c êng ® x=a, x=b, Ox, y=f(x) trong m ®ã hµ f(x) liªn tôc, ® ¬n trÞ trªn [a,b] vµ f ( x) ≤ 0 ∀x ∈ [a, b] diÖn cã tÝch lµ: b S = − ∫ f ( x )dx a Ò n ¼ n g Mi ph giíih¹n bëi c¸c êng ® x=a, x=b, Ox, y=f(x) trong m ®ã hµ f(x) liªn tôc, ¬n ® trÞ trªn [a,b] cã diÖn tÝch lµ: b S = ∫ | f ( x ) | dx (1) a Mi Ò n ph ¼ n g îc ® giíih¹n bëi c¸c êng ® x=a, x=b, 1 (x), y=f2 (x) trong ®ã y=f c¸c m y=f1 (x), hµ y=f2 (x) liªn tôc, ® ¬ n trÞ trªn [a,b] ∀x ∈ [ a, b] diÖn cã tÝch lµ: b S = ∫ f 2 ( x) − f1 ( x) dx (2) a H ×nh 18 T ¬ng Ò n ¼ n g tù, mi ph giíih¹n bëi c¸c êng y=c, ® y=d, Oy, vµ x=g(y), trong m ®ã hµ g(y) liªn tôc, ® ¬ n trÞ trªn [c,d] cã diÖn tÝch lµ: d S = ∫ g ( y ) dy (3) c DiÖn tÝch cña Ò n ¼ n g îc mi ph ® giíih¹n bëi c¸c êng ® y=c, y=d, x=g 1 (y),x=g 2 (y) trong ®ã c¸c hµ m x=g 1 (y),x=g 2 (y) liªn tôc, ® ¬n trÞ trªn [c,d] ∀y ∈ [c, d ] lµ: d S = ∫ g 2 ( y ) − g1 ( y ) dy (4) c VÝ dô 6.1: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph ¼ n g giíih¹n bëi c¸c êng ® cong: Trang -1
y=2x2 y=x} a. { , Ta cã: 2 − x2 = x ⇔  x =1 x + x − 2 = 0 ⇔  2  x = −2 V Ëy H ×nh 19 1 1 S = ∫ | 2 − x 2 − x | dx = ∫ (2 − x 2 − x) dx −2 −2  1 9 x3 x 2 =  2x −   −2 =  −  3 2 2 2 {y=(x+1) , b. x=sinπ y, y=0} Tõ cã x= y − 1 , x≤ 1 y=(x+1)2 nªn ∈[0,1] . ta y cã: ∫ [sin πy − ] 1  2 1 S= y + 1 dy =  +  ×nh H 20 0 π 3 VÝ dô 6.2: TÝnh diÖn tÝch h×nh ¼ n g ph giíih¹n bëi Elip x2 y2 + = 1 a2 b2 Do h×nh Elip ®èi xøng qua hai trôc to¹ ®é nªn tÝnh ta diÖn tÝch theo ét Ç n m ph t cña h×nh n» m trong gãc Ç n ph t thø nhÊt. Trong gãc Ç n ph t thø nhÊt, Ç n ph h×nh ¼ n g ph giíih¹n bëi hai b trôc to¹ ®é vµ cung elip ph ¬ng cã tr×nh y = a2 − x2 . V Ëy a a a b b S =4 ∫ 0 a a 2 − x 2 dx = 4 a ∫ 0 a 2 − x 2 dx 4b x a2 x a = [ a −x + 2 2 arcsin ]| = πab a 2 2 a 0 b. MiÒn ¼ n g ph giíih¹n bëi c¸c êng ® cho íid¹ng d tham sè Òn ¼ n g Mi ph giíih¹n bëi c¸c êng ® x=a, x=b, Ox, êng vµ ® cong cho bëi ¬ng ph tr×nh tham sè:  x = x (t )  víi a=x(t1 ),b=x(t2 ),t
vµ trôc Ox. H ×nh 21 Ta cã x ∈ [0,2aπ ] y=a(1cos vµ do t),dx=a(1cos t)dt nªn: 2π 2π a2 S = a ∫ (1 − cos t ) dt = 2 2 ∫ (3 − 4 cos t + cos 2t )dt 0 2 0 2 a 2π = (6t − 8 sin t + sin 2t ) | = 3a 2π 4 0 VÝ dô 6.4: TÝnh diÖn tÝch giíih¹n bëi êng ® Axtroit 2 2 2 x +y =a 3 3 3 Ph ¬ng tr×nh tha m cña êng sè ® Axtroitlµ:  x = a cos 3 t  t ∈ [0,2π ] 3 víi  y = a sin t Do h×nh ®∙ cho ®èi xøng qua hai trôc to¹ ®é nªn ta ch Ø cÇn tÝnh theo ét Ç n m ph t diÖn tÝch cña h×nh n» m trong gãc Çn ph t thø nhÊt: ×nh H 22 π π 2 2 S = 4 ∫ | y (t ).x' (t ) | dt = 12a 2 ∫ sin 4 t cos 2 tdt 0 0 π 2 2 3a = 8 ∫ (2 − cos 2t − 2 cos 4t + cos 6t )dt 0 π 3a  2 sin 2t sin 4t sin 6t  2 3a 2π =  2t − 8  2 − 2 + 6 0  = 8 | b. MiÒn ¼ n g ph giíih¹n bëi c¸c êng ® cho trong to¹ ®é cùc X Ðt Ò n ¼ n g h×nh mi ph lµ qu¹t cong cho trong to¹ ®é cùc, giíih¹n bëi c¸c tia O A, B O cã ph ¬ng tr×nh ϕ = α , ϕ = β vµ ® êng cong cã ph ¬ng tr×nh r = r (ϕ ) trong ®ã hµ m r = r (ϕ ) lµ hµ m sè liªn tôc trªn ®o¹n [α , β ] . Chia ®o¹n [α , β ] thµnh ph Çn n bëi c¸c ®iÓ m chia: α = ϕ 0 < ϕ1 < ϕ 2 <  < ϕ n = β ®ã gãc AOB îc Khi ® chia thµnh gãc n nhá sè ∆ϕ i = ϕ i − ϕ i −1 , i = 1,..., n cã ®o vµ h×nh qu¹t ®∙ cho îc ® chia thµnh n h×nh qu¹t con. oi G tªn vµ diÖn tÝch cña h×nh qu¹t con thø ∆S i , i lµ i = 1,..., n . Chän ξ i ∈ [ϕ i −1 , ϕ i ] tuú ý, Khi ®ã xÊp xØ ∆S i lµ diÖn tÝch cña qu¹t trßn vÏ trªn gãc ∆ϕ i víib¸n kÝnh lµ r = r (ξ i ) , ta cã: 1 ∆S i ≈ r 2 (ξ i )∆ϕ i 2 Trang -3
×nh H 23 Nh vËy diÖn tÝch h×nh qu¹t cong xÊp xØ lµ: n 1 S ≈ ∑ r 2 (ξ i )∆ϕ i i =1 2 Do m r = r (ϕ ) liªn tôc ®o¹n [α , β ] nªn m r = r (ϕ ) ®o¹n [α , β ] 2 hµ trªn hµ còng liªn tôc trªn do ®ã kh¶ tÝch trªn ®o¹n [α , β ] . V Õ ph¶i cña c«ng thøc xÊp xØ trªn tæng lµ tÝch © n ph cña m hµ r = r (ϕ ) øng víiph © n ho¹ch cña ®o¹n [α , β ] . Nh vËy, khi cho n → ∞ sao cho max ∆ϕ i → 0 2 ta cã: β 1 2 S = ∫ r (ϕ )dϕ 2α (7) Ý V dô 6.5: TÝnh diÖn tÝch h×nh ¼ n g ph giíih¹n bëi êng ® h×nh tim r = a (1 + cos ϕ ) ( H× nh Cac ®i«it) Do h×nh ¼ n g ph ®èi xøng qua Ox nªn cã: ta H ×nh 24 π π 1 2 S = 2. 20 ∫ 0 ∫ a (1 + cos ϕ ) 2 dϕ =a 2 (1 + 2 cos ϕ + cos 2 ϕ ) dϕ π 3 cos 2ϕ ∫ = a ( + 2 cos ϕ + ) dϕ 2 0 2 2 3ϕ sin 2ϕ π 3 2 = a ( 2 2 + 2 sin ϕ + 4 0 2 | ) = πa Ý V dô 6.6: TÝnh diÖn tÝch h×nh ¼ n g ph giíih¹n bëi êng m nitscat ® Le (§êng hoa hång hai c¸nh): (x 2 + y 2 )2 = a 2 (x2 − y 2 ) Chuy Ó n sang to¹ ®é cùc:  x = a cos ϕ   y = a sin ϕ tr×nh r = a cos 2ϕ . 2 2 ® êng cong cho ph ¬ng ®∙ cã lµ H ×nh 25 π π Do h×nh ¼ n g ph ®èi xøng qua Oy nªn tÝnh ta theo nöa bªn ph¶i trôc Oy, øng − víi ≤ϕ ≤ 4 4 (v× cos 2ϕ ≥ 0 ).Nh vËy: Trang -4
π π 4 4 π 1 sin 2ϕ S = 2. 2 ∫π r 2 dϕ = a 2 ∫π cos 2ϕdϕ = a 2 2 | π =a 4 − 2 − − 4 4 4 2. §é dµi êng ® cong ¼ n g ph a. §êng cong trong to¹ ®é §Òc¸c Cho hµ m sè f(x) liªn tôc vµ cã ®¹o hµ m liªn tôc trªn ®o¹n [a,b]. Gi¶ sö r»ng ®å thÞ hµ m y=f(x) lµ cung B. A Chia cung B thµnh cung A n nhá bëi c¸c ®iÓ m chia A = A0 ( x 0 , y 0 ), A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x 2 , y 2 ),..., An ( x n , y n ) = B sao cho: a = x 0 < x1 < x 2 <  < x n = b . Khi ®ã ®é dµi B A xÊp xØ b»ng ®é dµi cña êng ® gÊp khóc A0 A1  An . Khi cho c¹nh sè cña ® êng gÊp khóc A0 A1  An t¨ng lªn v« h¹n sao cho ®é dµi cña c¹nh lín nhÊt cña nã dÇn tíi 0 th× ®é dµi ® êng gÊp khóc A0 A1  An dÇn tíi ®é dµi s cña cung A B, do ®ã ®é dµi s cña cung B giíih¹n: A lµ n s = lim ∑ Ai −1 Ai trong λ ®ã = max Ai −1 Ai . 1≤i ≤ n λ →0 i =1 víi Ai −1 Ai ®é lµ dµi cña ®o¹n th¼ng Ai −1 Ai . H ×nh 26 äi ∆xi G = xi − xi −1 ; ∆y i = f ( xi ) − f ( xi −1 ) lµ chiÕu cña c¸c ®o¹n th¼ng Ai −1 Ai xuèng c¸c trôc to¹ ®é, theo c«ng thøc Pitago cã: ta Ai −1 Ai = (∆xi ) 2 + (∆y i ) 2 ¸p dông Þ n h Largange ® lý cho m hµ f(x) trªn ®o¹n [ xi −1 , xi ] ta cã: ∆y i = f ( xi ) − f ( xi −1 ) = f ' (ξ i )∆xi , ξ i ∈ [ xi −1 , xi ] Suy Ai −1 Ai ra = 1 + f ' 2 (ξ i ) ∆xi . ®ã Do n s = lim ∑ 1 + f ' 2 (ξ i )∆xi λ →0 i =1 V× f’(x)liªn tôc trªn [a,b] nªn 1 + f ' 2 ( x) kh¶ tÝch trªn [a,b],do ®ã ®é dµi ® êng cong ® îc cho bëi c«ng thøc: b s = ∫ 1 + f ' 2 ( x) dx (8) a Gi¶ sö M(x,f(x))lµ ®iÓ m bÊt trªn êng kú ® cong, khi ®ã ®é dµi cung M A lµ: x s ( x ) = ∫ 1 + f ' 2 (u ) du (9) a LÊy © n vi ph hai ® îc: vÕ ta ds= 1 + f ' 2 ( x) dx C«ng thøc trªn gäi c«ng lµ thøc © n vi ph cung trong Òc¸c. to¹ ®é § N Õ u êng ® cong cho bëi ¬ng ph tr×nh x= ϕ (y), ≤ y≤ d c th× ®é dµi êng ® cong lµ: Trang -5
d s= ∫ c 1 + ϕ ' 2 ( y) dy VÝ dô 6.7: TÝnh ®é dµi cung cho bëi a2 a. y=a ln (0 ≤ x ≤ b < a ) a2 − x2 b b 4a 2 x 2 a2 + x2 a+b s= ∫ 1+ (a 2 − x 2 ) 2 dx = ∫ 0 2 a −x 2 dx = a ln a−b −b 0 x = y x ∈ [−1,1] 2 b. víi Ta cã x' = 2 y , vµ êng ® cong ®èi xøng qua Ox nªn ®é dµi cña êng ® cong lµ: 1  1 1 s = 2 ∫ 1 + 4 y 2 dy =  y 1 + 4 y 2 + ln 2 y + 1 + 4 y 2   2 0 | 0 1 = 5+ ln(2 + 5 ) 2 b. §êng cong cho bëi ¬ng ph tr×nh tha m sè Gi¶ ® êng sö cong ph ¬ng cã tr×nh tham sè  x = x (t )  t ∈ [α , β ]  y = y (t ) dy y ' (t ) Do dx=x'(t)dtvµ f ' ( x) = = , ta c«ng cã thøc: dx x' (t ) β s = ∫ x ' 2 (t ) + y ' 2 (t ) dt (10) α C«ng thøc © n vi ph cung khi ®ã lµ: ds= x' 2 (t ) + y ' 2 (t ) dt VÝ dô 6.8: TÝnh ®é dµi cung giíih¹n bëi 2 2 2 a. §êng Axtroit x 3 +y =a 3 3 (Xe m h×nh 22) Tha m ho¸ ® îc sè ta  x = a cos 3 t  víi t ∈ [0,2π ] 3  y = a sin t Ta x' (t ) = −3a cos t sin t , y ' (t ) = 3 sin t cos t . 2 2 cã Suy ra xt ' 2 + y t ' 2 = 9a 2 cos 4 t sin 2 t + 9a 2 sin 4 t cos 2 t 3a sin 2t π =| 3a sin t cos t |= (v× t ∈ [0, ] ). 2 2 Do Axtroitlµ êng ® cong ®èi xøng qua hai trôc to¹ ®é nªn tÝnh ta theo gãc Ç n ph t thø nhÊt. Nh vËy: π 2 π 3a sin 2t s=4 ∫ 2 dt = −3a cos 2t | 2 0 = 6a 0 b. ét M nhÞp êng ® Xycloit (Xe m h×nh 21)  x = a(t − sin t )  t ∈ [0,2π ] víi  y = a (1 − cos t ) Ta cã xt ' = a (1 − cos t ) , y t ' = − a sin t nªn Trang -6
2π 2π s= ∫ a (1 − cos t ) + a sin t dt = a ∫ 2 − 2 cos t dt 2 2 2 2 0 0 2π t t 2π = a ∫ 2 sin dt = − 4a cos | = 8a 0 2 20 c. §êng cong cho trong to¹ ®é cùc N Õ u êng ® cong ph ¬ng cã tr×nh: r = r (ϕ ), ϕ ∈ [α , β ] Dïng Ðp ph chuy Ó n to¹ ®é:  x = r (ϕ ) cos ϕ   y = r (ϕ ) sin ϕ ta a ¬ng ® ph tr×nh êng ® cong vÒ d¹ng tham sè. Do: x ' (ϕ ) = r ' (ϕ ) cos ϕ − r (ϕ ) sin ϕ y ' (ϕ ) = r ' (ϕ ) sin ϕ + r (ϕ ) cos ϕ Khi ®ã: x' 2 (ϕ ) + y ' 2 (ϕ ) = r 2 (ϕ ) + r ' 2 (ϕ ) cho nªn cã ta c«ng thøc: β s = ∫ r 2 (ϕ ) + r ' 2 (ϕ ) dϕ (11) α C«ng thøc © n vi ph cung khi ®ã lµ: ds= r 2 + r ' 2 dϕ VÝ dô 6.9: TÝnh ®é dµi êng ® C¸c®i«it (Xe m h×nh 24) r = a(1 + cos ϕ ) V× êng ® C¸c®i«it ®èi xøng qua trôc Ox nªn tÝnh ta theo ®é dµi cña nöa bªn trªn trôc Ox π π s = 2 ∫ r + r ' dϕ = 2 ∫ a (1 + cos ϕ ) + a sin ϕ dϕ 2 2 2 2 2 2 0 0 π π ϕ ϕπ = 2a ∫ 2 + 2 cos ϕ dϕ = 4a ∫ cos dϕ = 8a sin | = 8a 0 0 2 2 0 3. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ Cho ét m vËt thÓ giíih¹n bëi c¸c Æ t m x=a, x=b(a
®o¹n [ xi −1 , xi ] . Do S(x) liªn tôc nªn khi ∆xi = xi − xi −1 ®ñ nhá, x∈ [ xi −1 , xi ] hµ m S(x) cã gi¸ trÞ thay ® æi kh«ng ®¸ng kÓ. LÊy ξ i ∈ [ xi −1 , xi ] tuú ý, cã thÓ coi S ( x) ≈ S (ξ i ) ,∀x ∈ [ xi −1 , x i ] . X Ê p xØ i 1, n ) V (i= víih×nh tru ø n g ®¸y S (ξ i ) vµ ® cã lµ chiÒu cao ∆xi = xi − xi −1 : Vi ≈ S (ξ i ) ∆x i lµ Khi ®ã h×nh trô ban Ç u thÓ ® cã tÝch xÊp xØ : n V ≈ ∑ S (ξ i ) ∆xi i =1 Cho n → ∞ sao cho d → 0 , n Õ u nh vÕ ph¶i dÇn ét tíim giíih¹n h÷u h¹n th× gäi ta giíih¹n ®ã lµ thÓ tÝch cña vËt thÓ cho: ®∙ n V = lim ∑ S (ξ i )∆xi n →∞ i =1 d →0 m Do hµ S(x) îc ® gi¶ thiÕt liªn tôc lµ trªn [a,b] nªn còng kh¶ tÝch trªn ®ã v× vËy cã ta c«ng thøc b V = ∫ S ( x )dx (12) a VÝ dô 6.10: a.TÝnh thÓ tÝch cña elipxoit: x2 y2 z 2 + + ≤ 1 . a2 b2 c2 C ¾t elipxoit bëi Æ t ¼ n g m ph vu«ng gãc víi trôc Ox t¹i®iÓ m cã hoµnh thuéc ®é x ®o¹n [ a,a].Khi thu îc ®ã ta ® thiÕt diÖn giíih¹n bëi elip ph ¬ng cã tr×nh y2 z2 x2 + 2 = 1 − 2 ⇔ b2 c a y2 z2 + =1 2 x2 x2 b (1 − 2 ) c (1 − 2 ) 2 a a  x2  diÖn tÝch thiÕt diÖn lµ S ( x) = πbc1 − 2  . H ×nh  a  28   Do ®ã elipxoitcã thÓ tÝch: a  x2   x3  a 4πabc V = πbc ∫ 1 − 2  a dx = πbc x − 2  | =    −a − a   3a  3 b. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ ph Ç n lµ chung cña hai h×nh trô: 2 2 2 2 2 2 x +z =a vµ y +z =a Ç n V× ph thÓ tÝch vËt thÓ ®èi xøng qua gèc to¹ ®é, nªn ta ch Ø cÇn xÐt ph Çn vËt thÓ trªn gãc ph © n t¸m thø nhÊt. Chän thiÕt diÖn lµ giao cña vËt thÓ vµ m Æ t ph ¼ n g c ¾t vu«ng gãc víitrôc Oz. M Æ t ¾t h×nh c lµ vu«ng c¹nh: cã a2 − z2 Do ®ã diÖn tÝch Æ t ¾t ×nh m c lµ: H 29 2 2 S(z)=a z V Ëy cã ta thÓ tÝch vËt thÓ lµ: a 1 3 a 16a 3 ∫ 2 2 2 a V= 8 ( a − z )dz = 8(a z 0 − z 0)= 0 3 3 4. Ó Th tÝch vËt thÓ trßn xoay Trang -8
a. Cho h×nh ph ¼ n g giíi h¹n bëi x=a, x=b, Ox, y=f(x) víi f(x) liªn tôc trªn [a,b]. Khi quay h×nh ph ¼ n g trªn quanh trôc Ox ® îc ét ta m h×nh trßn xoay. ThiÕt diÖn t¹o bëi h×nh trßn xoay Æ t ¼ n g víim ph vu«ng gãc víitrôc t¹i®iÓ m x ∈ [ a, b] lµ ét Ox m h×nh nh H× 30 trßn cã b¸n kÝnh R = f (x ) cho nªn diÖn tÝch cña thiÕt diÖn lµ S ( x) = π . f 2 ( x ) . Tõ ®ã, ta thu ® îc c«ng thøc tÝnh thÓ tÝch h×nh trßn xoay: b V = π ∫ f 2 ( x) dx (13) a T ¬ng b. tù, khi quay h×nh ¼ n g ph giíih¹n bëi y=c, y=d, Oy, x=g(y) víi g(y) liªn tôc trªn [c,d] quanh trôc ® îc ét Oy ta m h×nh trßn xoay thÓ cã tÝch lµ d V = π ∫ g 2 ( y )dy c Ý V dô 6.11: TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay thu îc ® khi quay quanh trôc Oy h×nh ¼ n g ph giíih¹n bëi Ox, Oy, x+y=2. Ta cã: x + y = 2 ⇔ x = 2 − y ×nh 31 H 2 π 2 8π Nh vËy: V = π ∫ (2 − y ) 2 dy = − (2 − y ) 3 | = 0 3 0 3 VÝ dô 6.12: TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay thu îc ® khi quay quanh trôc Ox h×nh ¼ n g ph giíih¹n bëi trôc ét Ox vµ m nhÞp Xycl«it  x = a(t − sin t )  t ∈ [0,2π ]  y = a (1 − cos t ) Do y = a (1 − cos t ) , dx = a (1 − cos t ) dt . Suy ra: 2πa 2π V =π ∫y 2 ( x)dx = π ∫ a 3 (1 − cos t ) 3 dt 0 0 2π = πa ∫ (1 − 3 cos t + 3 cos 3 2 t − cos 3 t ) dt 0 2π 2π 5 3 = πa ∫ ( − 3 cos t + cos 2t )dt − πa 3 ∫ (1 − sin 2 t )d (sin t ) 3 0 2 2 0 5 3 2π sin 3 t 2π = πa 3 ( t − 3 sin t + sin 2t ) | − πa 3 (sin t − ) | = 5π 2 a 3 2 4 0 3 0 5. DiÖn tÝch Æ t m trßn xoay Ðt X cung B ¬ng A cã ph tr×nh y=f(x), trong ®ã f(x) vµ ®¹o m hµ f'(x)cña nã x¸c Þ n h ® vµ liªn tôc trªn [a,b].Khi quay cung B A quanh trôc thu îc ét Æ t Ox ta ® m m trßn xoay. Trang -9
H ×nh 32 X Ðt êng tr hîp f ( x) ≥ 0 , ∀x ∈ [ a, b] . Chia cung B thµnh n ph Ç n c¸c ®iÓ m A bëi chia A = A0 ( x 0 , y 0 ), A1 ( x1 , y1 ), A2 ( x 2 , y 2 ),..., An ( x n , y n ) = B sao cho a = x 0 < x1 < x 2 <  < x n = b . Æt ∆xi § = xi − xi −1 vµ d = max ∆xi . Khi quay quanh Ox ®o¹n th¼ng Ai −1 Ai sinh m ét m Æ t ra nãn côt trßn xoay diÖn cã tÝch lµ: S i= πAi −1 Ai [ f ( x i −1 ) + f ( x i )] trong Ai −1 Ai = 1 + f ' 2 (ξ i ) ∆x i . V× ®ã vËy, khi quay quanh êng Ox ® gÊp khóc A0 A1  An sinh ra m ét Æ t m trßn xoay diÖn cã tÝch n n Sn = ∑ S =∑ π i =1 i i =1 1 + f ' 2 (ξ i ) [ f ( xi −1 ) + f ( xi )]∆xi n = ∑ 2π i =1 1 + f ' 2 (ξ i ) . f (ξ i ) ∆xi Do f(x) vµ f'(x)liªn tôc trªn [a,b] nªn : n S = lim n →∞ ∑ 2π i =1 1 + f ' 2 (ξ i ) . f (ξ i ) ∆xi b ∫ = 2π f ( x) 1 + f ' 2 ( x) dx a Khi f(x) dÊu cã bÊt ta kú cã: b S = 2π ∫ | f ( x) | 1 + f ' 2 ( x) dx (14) a Khi quay quanh trôc Oy cung B ¬ng A cã ph tr×nh x = g ( y ) , c ≤ y ≤ d trong ®ã g(y) vµ g'(y) liªn tôc trªn [c,d] ta îc ét Æ t ® m m trßn xoay diÖn cã tÝch tÝnh theo c«ng thøc: d ∫ S = 2π | g ( y ) | 1 + g ' 2 ( y ) dy c VÝ dô 6.13: a. TÝnh diÖn tÝch cña Æ t m trßn xoay t¹o bëi cung y = x 2 giíih¹n gi÷a c¸c giao ®iÓ m cña nã êng víi® th¼ng y=x khi quay quanh trôc Ox. Ta diÖn cã tÝch cÇn tÝnh lµ: 1 ∫ S = 2π x 2 1 + 4 x 2 dx 0 § æi biÕn 2x=sht ta cã: 2dx=cht x=0: dt, t=0, x=1: t = ln(2 + 5 ) , 1 + 4 x 2 = cht Do ®ã: ln( 2 + 5 ) ln( 2 + 5 ) π π ch4t − 1 ∫ ∫ 2 S= sh tdt = dt 16 0 16 0 2 π  sh 4t  9π 5 π =  − 2t  ln( 2+ 0 5) = − ln(2 + 5 ) 64  2  16 32 b. TÝnh diÖn tÝch Æ t m trßn xoay khi quay êng ® Axtroit:  x = a cos 3 t  víi t ∈ [0,2π ] 3  y = a sin t quanh trôc Ox. Ta cã: x ' 2 (t ) + y ' 2 (t ) = 3a sin t cos t , do tÝnh ®èi xøng nªn: Trang -10
π π 2 2 12 2 S= 2π ∫ y(t ) 0 ∫ x' 2 + y ' 2 dt = 12πa 2 sin 4 t cos tdt = 0 5 πa c. TÝnh diÖn tÝch Æ t m trßn xoay khi quay êng m nitscat ® Le (x2 +y 2 )2 =a 2 (x2 y2 ), (x>0, y>0) quay quanh trôc Ox. Chuy Ó n sang to¹ ®é cùc:  x = r cos ϕ   y = r sin ϕ π Ta îc: ® r= a cos 2ϕ , (0≤ϕ ≤ ) 4 Xe m ph ¬ng ®ã lµ tr×nh tham cña sè x,y ϕ ta theo cã: a2 x 'ϕ + y 'ϕ = r 2 + r ' 2 = 2 2 cos 2ϕ V Ëy π 4 S = 2π ∫y 0 r 2 + r ' 2 dϕ π 4 a2 ∫ = 2π a cos 2ϕ sin ϕ 0 cos 2π dϕ π 4 π ∫ = 2πa 2 sin ϕdϕ = −2πa 2 cos ϕ 0 4 0 = πa 2 ( 2 − 2 ) 6.2 ×nh H häc © n vi ph trong Æ t ¼ n g m ph 1. cong §é a. §Þnh ngh Üa Cho ® êng cong L, kh«ng tù giao nhau vµ cã tiÕp tuyÕn t¹i äi ®iÓ m. Trªn L chän m ét m chiÒu lµm chiÒu d¬ng, trªn tiÕp tuyÕn cña M, chän ét íng L t¹i ta m h øng víihíng d¬ng cña L vµ gäi tiÕp lµ tuyÕn d¬ng. N Õ u t¹i çi ®iÓ m M 0 trªn ta vÏ m ét tiÕp m L tuyÕn d ¬ng th× khi tiÕp ®iÓ m di chuy Ó n m ét ∩ ®o¹n ∆s = M 0 M trªn ® êng cong, tiÕp tuyÕn d¬ng sÏ quay m ét gãc ∆α nµo ® Ê y. §êng cong L ∩ trªn cung M 0 M cµng cong Õ u n ∆α cµng gãc lín. ∆α Ng êi ta gäi tû sè , lµ ®é cong trung b×nh cña ® êng ∆s ∩ cong trªn cung M M ®ã ∆α lµ . Trong gãc gi÷a hai tiÕp tuyÕn 0 ∩ hai m ót cña cung M d¬ng t¹i 0 ∆ M , s lµ ®é dµi cña cung ®ã, ký hiÖu: ∆α C tb= H ×nh 33 ∆s HiÓn nhiªn , ∆ s Ø ∆α ch phô thuéc ® êng cong m µ kh«ng phô thuéc h Ö to¹ ®é biÓu diÔn ® êng cong L. Tõ kh¸i niÖ m ®é cong trung b×nh cã Þ n h ta ® ngh Ü a ®é cong ét t¹im ®iÓ m. Trang -11
§Þnh ngh Ü a 1: §é cong t¹i®iÓ m 0 M trªn êng ® cong lµ L giíih¹n, Õ u n cã, cña ®é cong trung ∩ b×nh trªn cung M M khi M dÇn Õ n 0 ® M trªn Ký L. hiÖu ®é cong 0 C( M 0 ) cã: t¹iM lµ ta 0 ∆α dα C( M 0 )= lim C tb = lim = M →M 0 ∆s →0 ∆s ds b. C«ng thøc tÝnh ®é cong N Õ u gäi α gãc lµ cña tiÕp tuyÕn 0 t¹iM cña êng ® cong víichiÒu L d¬ng trôc Ox, khi ®ã: dy tgα = y ' = dx Hay α=arctg y’ dα y" = dx 1 + y ' 2 (i) N Õ u ® êng cong cho bëi ph ¬ng tr×nh y=y(x), tõ biÓu thøc vi ph © n cung ds ds = 1 + y ' 2 ( x )dx hay = 1 + y ' 2 ta cã: dx dα dα dx y" = = 3 ds dx ds (1 + y ' ) 2 2 y" V Ëy: C( M)= 3 (1) (1 + y ' 2 ) 2 (ii)N Õ u êng ® cong ph ¬ng cã tr×nh tham sè:  x = x (t )   y = y (t ) dy y 't Do: = nªn dx x't  2 (1 + y ' ) = 2 ( x' t + y ' t 2 ) 2  x't  (2)  d 2 y x' t y"t 2 − y ' t x"t 2  y" x = 2 = 3  dx x' t Thay vµo (1) ® îc ta biÓu thøc phô thuéc t: x' y"− y ' x" C( M) = 3 (3) ( x' + y ' ) 2 2 2 (ii ) N Õ u êng i ® cong ph ¬ng cã tr×nh trong to¹ ®é cùc: ϕ r=r( ) Chuy Ó n to¹ ®é cùc Ò vÒ to¹ ®é § c¸c theo c«ng thøc:  x = r (ϕ ) cos ϕ   y = r (ϕ ) sin ϕ xe m ph ¬ng ®ã lµ tr×nh ϕ cã: tham cña theo . Ta sè L x' (ϕ ) = r ' cos ϕ − r sin ϕ y ' (ϕ ) = r ' sin ϕ + r cos ϕ x" (ϕ ) = r" cos ϕ − 2r ' sin ϕ − r cos ϕ y" (ϕ ) = r" sin ϕ + 2r ' cos ϕ − r sin ϕ  2  x' + y ' = r ' + r 2 2 2 Do  (4)  x' y"− y ' x" = r 2 + 2r ' 2 −rr"  Trang -12
Thay vµo (3) îc ® biÓu thøc phô ϕ thuéc : r 2 + 2r ' 2 −rr" C( M) = 3 (5) (r + r ' ) 2 2 2 VÝ dô 6.14: a. TÝnh ®é cong cña êng ® Parabol y=ax 2 t¹igãc O. Do y’=2ax, y”=2a nªn t¹ix=0 cã: ta y" C= 3 =2 a (1 + y ' 2 ) 2 Nh vËy Õ u cµng n a lín th× Ø n h ® cña Parabol cµng cong. b. TÝnh ®é cong t¹i®iÓ m bÊt cña êng kú ® Xycloit  x = a(t − sin t )  (a>0)  y = a (1 − cos t ) Ta cã: x’=a(1 cos t), y’=a sint x”=a sin t, y”=a cos t V Ëy x' y"− y ' x" cos t − 1 1 C= 3 = 3 = t 4a sin ( x' 2 + y ' 2 ) 2 2 2 .a (1 − cos t ) 2 2 c. TÝnh ®é cong ϕ cña ® êng t¹i®iÓ m =0 C¸c®i«it:r=a(1+cos ϕ ) Ta cã: r=a(1+cos ϕ ) t¹i =0, ϕ r=2a r’= a ϕ ϕ =0, sin t¹i r’=0 cos ϕ t¹i =0, r”= a ϕ r”=a Do ®ã: r 2 + 2r ' 2 −rr" 4a 2 + 2a 2 3 C= 3 = 3 = (r + r ' ) 2 2 2 8a 4a 2. §êng trßn chÝnh khóc khóc m vµ t© a. §Þnh ngh Üa T¹i m çi ®iÓ m M cña ® êng cong L, vÒ phÝa lâm cña ® êng cong, trªn ® êng vu«ng gãc víi tiÕp tuyÕn t¹i ( ta sÏ gäi lµ ph¸p M 1 tuyÕn cña t¹iM), L lÊy ®iÓ m I sao cho: MI= . §êng trßn m t© C (M ) 1 I,b¸n kÝnh R= ® îc gäi ® êng lµ trßn chÝnh khóc cña t¹iM. L C (M ) T © m I cña êng ® trßn chÝnh khóc H× nh 34 1 îc ® gäi khóc m lµ t© øng víiM, b¸n kÝnh R= cña êng ® trßn chÝnh khóc gäi khóc lµ b¸n C (M ) kÝnh. §êng trßn chÝnh khóc t¹iM cña cã L chung tiÕp tuyÕn víiL t¹iM vµ t¹iM chóng cã cïng ®é 1 cong M)= C( . T¹i l©n cËn cña M xÊp xØ L bëi êng ® trßn chÝnh khóc sÏ tèt h¬n xÊp xØ R b»ng tiÕp tuyÕn t¹iM. b. To¹ ®é cña khóc m t© Gi¶ sö t¹iM(x,y), khóc m t© I cã to¹ ®é (X,Y). Ta cÇn t×m biÓu thøc cña (X,Y) qua (x,y). Gi¶ L ph ¬ng sö cã tr×nh y=f(x). Trang -13
G äi η , ) to¹ ®é ( ξ lµ c¸c ®iÓ m trªn ph¸p tuyÕn cña t¹iM, ¬ng L ph tr×nh ph¸p tuyÕn cña t¹iM L lµ 1 η−y=− (ξ − x ) y' V× khóc m t© I(X,Y) m n» trªn ph¸p tuyÕn nªn cã: ta 1 Y−y=− ( X − x) (6) y' V× MI= R nªn: (Xx)2 +(Yy)2 = R 2 (7) Tõ hai ¬ng ph tr×nh trªn suy ra: y ' (1 + y ' 2 ) 1 + y'2 X = x± , Y = y y" y" N Õ u y”>0 êng lâm ® L nªn Y>y, vËy: 1 + y'2 Y = y+ y" N Õ u y”
xy"− y 2 y y" = − = 2 x2 x T¹i x=1, y=1 cã: y’= 1, y”=2. Ëy: ta V 3 3 (1 + y ' ) 2 (1 + 1) 2 2 R= = = 2 y" 2 To¹ ®é khóc m t© lµ:  − 1(1 + 1) X = 1−  2 =2  Y = 1 + 1 + 1 = 2   2 Ph ¬ng tr×nh cña êng ® trßn chÝnh khóc lµ: 2 2 (x +(y2) =2 2) 3. §êng tóc Õ. b §êng th©n khai §Þnh ngh Ü a 2 : Ng êi ta gäi ® êng tóc b Õ cña ® êng cong L lµ quü tÝch, n Õ u cã, cña c¸c khóc m t© cña êng ® ®ã. vËy Nh c¸c ¬ng ph tr×nh (8), (9), (10) ph ¬ng lµ tr×nh tha m sè cña êng ® cong tóc Õ ¬ng b t øng khi ¬ng L cã ph tr×nh trong to¹ Ò ®é § C¸c, ¬ng ph tr×nh tha m ¬ng sè vµ ph tr×nh trong to¹ ®é cùc. VÝ dô 6.16: T× m b¸n kÝnh chÝnh khóc êng vµ ® tóc Õ b cña Elip  x = a cos t  (a>b>0)  y = b sin t Ta cã: x’= sin a t, y’= cos x”= a b t, cos y”= b t, sin t. 3 3 1 ( x' 2 + y ' 2 ) 2 (a sin t + b cos t ) 2 2 2 2 2 R= = = C x' y"− y ' x" ab Ph ¬ng tr×nh tha m cña sè tóc Õ b lµ:  a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t a 2 − b 2  X = a cos t − b cos t = cos 3 t  ab a  2 2 2 2 2 2 Y = =b sin t − a sin t a sin t + b cos t = b − a sin 3 t   ab b N Õ u Æ t c2 =a 2 b 2 cã: ® – ta  c2  X= cos 3 t  a  2 Y = − c sin 3 t   b §ã ph ¬ng lµ tr×nh cña Æ t m axtroitlÖch. §Þnh ngh Ü a Õ u êng 3: N ® cong L nhËn êng ® cong Γ lµm êng nh ® H× 35 tóc Õ b th× L ® îc gäi ® êng lµ th©n khai Γ cña . Tõ vÝ dô trªn thÊy ta Elip  x = a cos t  (a>b>0)  y = b sin t lµ th©n khai cña axtroitlÖch: Trang -15
 c2 x =  cos 3 t a  (c2 =a 2 b 2 ) – c2  y = sin 3 t   b Ta thõa nhËn c¸c tÝnh chÊt sau © y ® cña êng ® tóc Õ b vµ th©n khai. TÝnh chÊt 1: Ph¸p tuyÕn çi t¹im ®iÓ m M(x,y) cña êng ® cong tiÕp L lµ tuyÕn cña êng ® tóc b Õ Γ cña L t¹ikhóc m I t© øng víiM. Nh vËy tóc Õ Γ b cña ét êng m ® cong L ® êng lµ tiÕp xóc êng víihä ® ph¸p tuyÕn cña L t¹i c¸c khóc m. t© TÝnh chÊt 2: §é dµi cña ét m cung Γ b»ng sè trªn êng ® trÞ tuyÖt ®èi cña hiÖu c¸c khóc m t© b¸n kÝnh cña th©n khai L cña nã t¹i hai m ót cña cung Êy, n Õ u däc theo cung Êy khóc b¸n kÝnh biÕn thiªn ¬ n ® ®iÖu. Nãi c¸c kh¸c, Õ u n gäi ∆δ sè lµ gia cña ét m cung Γ ∆ lµ gia t¬ng øng cña khóc trªn , vµ R sè b¸n kÝnh trªn th©n khai cña nã th×: ∆δ = ∆R 6.3 ×nh H häc © n vi ph trong kh«ng gian 1. §êng cong trong kh«ng gian T ¬ng nh tù trong Æ t ¼ n g, äi êng m ph m ® cong trong L kh«ng gian Ò u thÓ ® cã biÓu diÔn b»ng ph ¬ng cã tr×nh tham sè:  x = x(t )   y = y (t ) t ∈ [α , β ]  z = z (t )  VÝ dô 6.17: LËp ¬ng ph tr×nh quü ®¹o cña ®iÓ m M m n» trªn Æ t m trô trßn xoay cã trôc Oz b¸n kÝnh cã a, chuy Ó n ®éng võa quay trßn Ò u ® quanh trôc Oz víi vËn ω tèc , võa tÞnh tiÕn däc theo Oz víivËn tèc kh«ng æi Q u ü ® k. ®¹o nµy îc ® gäi ® êng lµ ®inh trô èc xoay. H× nh chiÕu vu«ng gãc trªn Æ t ¼ n g m ph Oxy cña äi m ®iÓ m M(x,y,z) trªn quü ®¹o Ò u m ® n» trªn êng ® trßn m b¸n t© O, kÝnh a thuéc Æ t ¼ n g m ph Êy. äi p lµ G h×nh chiÕu cña M(x,y,z) trªn Oxy cã: ta → r = OM = OP + PM ChiÕu vÐc ®ã t¬ xuèng c¸c trôc ® ¬c: to¹ ®é ta x=a cos ϕ , y=a ϕ , sin z=kt ×nh H 36 Trong t thêi gian ®ã lµ chuy Ó n ®éng cña ®iÓ m lÖ M tû víigãc ϕ quay cña P O quanh O, do ϕ ®ã: ϕ = ω t hay t = . ϖ Coi t tham ta ph ¬ng lµ sè cã tr×nh tham cña êng sè ® xo¸y ®inh lµ: èc  x = a cosϖ t   y = a sin ϖ t  z = kt  Cßn Õu n dïng gãc ϕ lµm m ta îc ¬ng quay tha sè ® ph tr×nh:   x = a cos ϕ   y = a sin ϕ  k  z = ϕ = bϕ  ϖ 2. cong §é T ¬ng nh tù trong Æ t ¼ n g, gäi m ph ta ®é cong cña L t¹iM giíih¹n, Õ u lµ n cã: Trang -16
∆α dα C( M 0 )= lim C tb = lim = M →M 0 ∆s →0 ∆s ds N Õ u L ph ¬ng cã tr×nh tham sè:  x = x (t )   y = y (t )  z = z (t )  Khi ®ã: 2 2 2 x' y ' y' z ' z ' x' + + C( M)= x" y" y" z" z" x" 3 ( x' 2 + y ' 2 + z ' 2 ) 2 VÝ dô 6.18: tÝnh ®é cong t¹i®iÓ m bÊt cña êng kú ® ®inh èc. Sö dông ¬ng ph tr×nh ϕ ta theo cã: x’=a ϕ , sin y’=a cos ϕ , z’=b x”=a cos ϕ , y”= sinϕ , a z”=0 Do: − a sin ϕ a cos ϕ = a2 − a cos ϕ − a sin ϕ a cos ϕ b b − a sin ϕ = ab sin ϕ , = −ab cos ϕ − a sin ϕ 0 0 − a cos ϕ x' 2 + y ' 2 + z ' 2 = a 2 sin 2 ϕ + a 2 cos 2 ϕ + b 2 = a 2 + b 2 Nªn cã: ta a C( M)= a + b2 2 V Ëy ®é cong cña êng ¾ n ® xo ®inh t¹im éi èc ®iÓ m Ò u ® b»ng nhau. Bµi tËp ¬ng ch 6 A. øng dông tÝch © n ph trong h×nh häc 1. TÝnh diÖn tÝch Ò n ¼ n g mi ph giíih¹n bëi c¸c êng ® cho trong Ö h to¹ ®é vu«ng gãc {y=x 2 +4, xy+4=0} 1. 2. {y=2xx2 , x+y=0} 3. {y=2 x, y=2, x=0} 3 2. {y=x y=x, y=2x.} , 3. x2 +y 2 =4x, y2 =2x} { 4. { 2 =x 3 y=4, y , x=0} x2 y2 x2 y2 5. + 2 = 1, 2 + 2 = 1 a2 b b a 2. TÝnh diÖn tÝch h×nh ¼ n g ph giíih¹n bëi c¸c êng ® cho bëi ¬ng ph tr×nh tham sè  x = 3t 2  1.   y = 3t − t 3   c2  x= cos 3 t  a 2.  2 c = a2 − b2  y = c sin 3 t   b Trang -17
 x = a cos t  3.  a sin 2 t y =  2 + sin t  x = a ( 2 cos t − cos 2t ) 4.   y = a (2 sin t − sin 2t ) 3 . TÝnh diÖn tÝch h×nh ¼ n g ph cho bëi to¹ ®é cùc p π ϕ 1. r = , ϕ= ,π = 1 − cos ϕ 4 2 2. r + ϕ = 1 2 2  2at r = 1 + t 2  3.  ϕ = πt   1+ t2 4. B»ng c¸ch chuy Ó n qua to¹ ®é cùc Æ c ¬ng ho ph tr×nh tham sè, tÝnh diÖn tÝch Ò n mi giíih¹n bëi 1. 2 =a 2 cos2 ϕ êng m nixcat r (® Le ) 2. { r=a(1cos ϕ ), r=a (§êng C¸c®i«t êng vµ ® trßn) 3. {r=a(1 cos ϕ ) +y =2ax(§êng ,x 2 2 C¸c®i«t êng vµ ® trßn) 4. {r=a(1+cos ϕ ), 2 +y 2 =2ay(§êng x C¸c®i«t êng vµ ® trßn) 5 5. 4 +y 4 =a 2 y, (§ Æt y=tx) x x 6. (x2 +y 2 )2 =2a 2 xy 7. (x2 +y 2 )2 =a 2 x2 +b 2 y2 8. x4 +y 4 =a 2 (x2 +y 2 ) 5. TÝnh ®é dµi êng ® cong π 1. y= lncos , 0 ≤ x ≤ a < x 2 a + a2 − x2 2. y= a ln − a2 − x2 , 0 < b ≤ x ≤ a x 6. TÝnh ®é dµi êng ® cong  x = a ( 2 cos t − cos 2t ) 1.   y = ( 2 sin t − sin 2t  x = a cos 5 t  2.   y = a sin 5 t   c2 x = cos 3 t  a  3. 2 c = a2 − b2  y = c sin 3 t   b  x = a (cos t + t sin t ) 4.  0 ≤ t ≤ 2π  y = a (sin t − t cos t )  x = (t 2 − 2) sin t + 2t cos t  5.  0 ≤ t ≤π  y = ( 2 − t 2 ) cos t + 2t sin t  7. TÝnh ®é dµi êng ® cong cho trong to¹ ®é cùc 1. r=3+2cos ϕ r = 1 + cos t  2.  t 0 ≤ t ≤T
3. ϕ = r, 0 ≤ r ≤ 5 6 r=a ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π (§êng 4. Acsimet) p π 7 5. r = , ϕ ≤ 1 + cos ϕ 2 8. TÝnh ®é dµi êng ® cong cho bëi ¬ng ph tr×nh x 2 =2(x1)3 , ch ¾ n 1. 3y bëi y2 = 3 8 2. (y arcsin 2 =1x2 x) 9 3. 9ay 2 =x(x3a)2 10 3 =x 2 4. 5y trong h×nh trßn x2 +y 2 =6 9. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ giíih¹n bëi c¸c Æ t m 2 1. Pa roboloit z=4x vµ c¸c Æ t ¼ n g m ph to¹ ®é x2 y2 c 2. 2 + 2 = 1, z = x, z = 0 a b a 10. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay 1. y +x4=0 khi 2 quay quanh Oy 2. y=sin (0 ≤ x ≤ π ) x khi quay quanh Oy, vµ khi quay quanh Ox. 3. y=x 2 , y=4 khi quay quanh êng x=2. ® 4. (x2 +y 2 )2 =a 2 (x2 y2 ) khi quay quanh Ox. 11. TÝnh diÖn tÝch Æ t m trßn xoay 1. T¹o bëi cung y=x 2 giíih¹n bëi giao ®iÓ m cña ® êng y=x khi ©y nã víi qu quanh Ox. 2 2 bëi  x  +  y  = 1 khi 3 3 2. Giíih¹n     quay quanh Ox. a  a 3. M ét nhÞp cña Xycloit x=a(t sint),y=a(1cos t) khi quay quanh Ox vµ khi quay quanh Oy. 4. r=a(1+cos ϕ ) khi quay quanh trôc cùc. 5. r2 =a 2 cos2 ϕ khi quay quanh trôc cùc. B. øng dông Ðp ph tÝnh © n vi ph trong h×nh häc 12. TÝnh ®é cong cña 1. b 2 x2 +a 2 y2 =a 2 b 2 t¹i(0,b) vµ (a,0) 2. xy=12 t¹i (3,4) 2 2 3.  x  3 +  y  3 = 1     t¹i®iÓ m bÊt trªn êng kú ® cong. a a  x = a ( 2 cos t − cos 2t ) 4.  t¹i®iÓ m bÊt trªn êng kú ® cong.  y = a (2 sin t − sin 2t )  x = a cos 5 t  5.  t¹i®iÓ m bÊt trªn êng kú ® cong.  y = a sin 5 t   c2 x = cos 3 t  a 6.  2 c = a 2 − b 2 t¹i®iÓ m bÊt trªn êng kú ® cong.  y = c sin 3 t   b r=a(1+cos ϕ ) 7. t¹i®iÓ m bÊt trªn êng kú ® cong. 8. r2 =a 2 cos2 ϕ t¹i®iÓ m bÊt trªn êng kú ® cong. 13. TÝnh b¸n kÝnh cong vµ dùng êng ® trßn chÝnh khóc 1. y2 =x 3 t¹i (4,8) Trang -19
2. x2 =4ay (0,0) t¹i 3. y=lnx (1,0) t¹i  x = a cos 5 t  4.  t¹i®iÓ m bÊt trªn êng kú ® cong.  y = a sin 5 t   c2 x = cos 3 t  a 5.  2 c = a 2 − b 2 t¹i®iÓ m bÊt trªn êng kú ® cong.  y = c sin 3 t   b 6. r=asinϕ t¹i®iÓ m bÊt trªn êng kú ® cong. 7. r=a ϕ t¹i®iÓ m bÊt trªn êng kú ® cong. 8. r=a(1cos ϕ ) t¹i®iÓ m bÊt trªn êng kú ® cong. 14. T× m ®iÓ m trªn êng ® cong t¹i®ã khóc b¸n kÝnh bÐ lµ nhÊt 1. y=lnx 2. y=e x 15. LËp ¬ng ph tr×nh êng ® tóc Õ b cña êng ® cong x2 y2 1. − =1 a2 b2 2 2 2.   +   = 1 x 3 y 3     a a  x = a (cos t + t sin t ) 3.  0 ≤ t ≤ 2π  y = a (sin t − t cos t ) 16. TÝnh ®é cong cña c¸c êng ®  x = e − t cos t x = t 2   −t   3 1.  y = e sin t 2.  y = 2t  t z = 0 z = e    Trang -20