Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình
Thêm vào BST
Báo xấulượt xem 44
download
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
Tham khảo tài liệu 'ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình
- øng øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2 I. KI N TH C C N NH x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 Cho hàm s y = f ( x ) liên t c trên t p D 1 2 x + 1 ≥ 0 x ≥ − 1. Phương trình f ( x ) = m có nghi m x ∈ D ⇔ 2 2⇔ 2 x + mx + 2 = ( 2 x + 1) mx = 3x 2 + 4 x − 1(*) ⇔ min f ( x ) ≤ m ≤ max f ( x ) x∈D x∈D Xét phương trình (*) 2. B t phương trình f ( x ) ≤ m có nghi m x ∈ D + x = 0 ⇒ 0.x = −1 , phương trình này vô ⇔ min f ( x ) ≤ m x∈D nghi m. Nghĩa là không có giá tr nào c a m ñ 3. B t phương trình f ( x ) ≤ m có nghi m ñúng phương trình có nghi m x = 0 v i x ∈ D ⇔ max f ( x ) ≤ m 1 + x ≠ 0 ⇒ 3 x + 4 − = m . Ta xét hàm s x∈D x 4. B t phương trình f ( x ) ≥ m có nghi m x ∈ D 1 1 f ( x ) = 3 x + 4 − trên t p − ; +∞ \ {0} ⇔ max f ( x ) ≥ m 2 x x∈D 1 5. B t phương trình f ( x ) ≥ m có nghi m ñúng 1 Ta có f ' ( x ) = 3 + 2 > 0 v i ∀x ∈ − ; +∞ \ {0} , 2 x v i x ∈ D ⇔ min f ( x ) ≥ m 1 x∈D suy ra hàm s f ( x ) = 3 x + 4 − ñ ng bi n trên II. PHƯƠNG PHÁP GI I x ð gi i bài toán tìm giá tr c a tham s m sao 1 − 2 ; +∞ \ {0} cho phương trình, b t phương trình, h phương trình có nghi m ta làm như sau: 1 1. Bi n ñ i phương trình, b t phương trình v d ng: lim f ( x ) = lim 3 x + 4 − = m∞ ; f ( x ) = g ( m ) ( ho c f ( x ) ≥ g ( m ) ; f ( x ) ≤ g ( m ) ) x →0 x ± ± x→0 1 2. Tìm TXð D c a hàm s y = f ( x ) lim f ( x ) = lim 3 x + 4 − = +∞ x x →+∞ x →+∞ y = f ( x) 3. L p b ng bi n thiên c a hàm s trên Ta có b ng bi n thiên c a hàm s f ( x ) D x −1 / 2 +∞ 0 4. Tìm min f ( x ) ; max f ( x ) x∈D x∈D f’(x) + + 5. V n d ng các ki n th c c n nh bên trên suy ra +∞ +∞ giá tr m c n tìm Lưu ý: Trong trư ng h p PT, BPT, HPT ch a các 9 f(x) bi u th c ph c t p ta có th ñ t n ph : 2 + ð t t = ϕ ( x ) ( ϕ ( x ) là hàm s thích h p có m t trong f ( x ) ) −∞ + T ñi u ki n ràng bu c c a x ∈ D ta tìm ñi u ki n t ∈ K S nghi m c a phương trình (1) b ng s giao ñi m + Ta ñưa PT, BPT v d ng f ( t ) = h ( m ) ( ho c 1 c a ñ th hàm s f ( x ) = 3 x + 4 − và ñư ng th ng f (t ) ≥ h ( m) ; f (t ) ≤ h ( m) ) x 1 y = m trên mi n − ; +∞ \ {0} y = f (t ) + L p b ng bi n thiên c a hàm s trên 2 K D a vào b ng bi n thiên ta ñư c giá tr c a m th a + T b ng bi n thiên ta suy ra k t lu n c a bài toán 9 mãn yêu c u bài toán là m ≥ III. M T S VÍ D MINH H A 2 Ví d 2. Tìm m ñ phương trình Ví d 1.(B-06). Tìm m ñ phương trình sau có 2 ) ( x 2 − 2 x + 2 + 1 + x ( 2 − x ) ≤ 0 có nghi m nghi m th c phân bi t m x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 thu c 0;1 + 3 Gi i: Gi i: ð t t = x2 − 2 x + 2 ⇒ − x ( 2 − x ) = t 2 − 2 . 1 http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách Online
- øng øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2 Khi ñó b t phương trình tr thành: 1 1 1 1 1 1 =. + −. − m ( t + 1) ≤ t 2 − 2 (*) 6− x 2 4 ( 2 x )3 2 x 2 4 ( 6 − x )3 x −1 Ta có t ' = ,t ' = 0 ⇔ x =1 + 1 − 1 1 1 1 x − 2x + 2 2 =. − 2x 2 4 ( 2 x )3 6− x (6 − x) 3 Ta có b ng bi n thiên : 4 0 1 1+ 3 x 1 1 1 1 1 1 = . 4 − 4 + + t’ 0 - + ( ) 4 ( 6 − x)2 6 − x 4 ( 2x ) 4 2x 6 − x 2 2x 2 2 t 1 1 1 1 2 + 4 −4 +4 4 6 − x 2x 6− x 2x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 4 − 4 + + + + t −2 2 2x 6−x 2 4 ( 2x)2 4 2x( 6−x) 4 ( 6−x)2 4 2x 4 6−x T ñó ta có 1 ≤ t ≤ 2 , t (*) suy ra m ≤ (1) t +1 t2 − 2 ta có trên t p [1; 2] f (t ) = Xét hàm s t +1 + 1 + 1 > 0 1 1 1 1 + + ( t + 1) + 1 > 0 v 2 2 4 2x 4 6 − x 2x (6 − x) ( 2x ) (6 − x) i ∀t ∈ [1; 2] Ta có f ' ( t ) = 2 2 4 4 4 ( t + 1) 2 v i ∀x ∈ ( 0;6 ) f (t ) Ta có b ng bi n thiên c a hàm s f '( x) = 0 ⇔ 4 2x = 4 6 − x ⇔ 2x = 6 − x ⇔ x = 2 2 1 t Ta có b ng bi n thiên f’(t) + 2 6 x0 2 f(t) 3 - + f’(x) 0 1 f(x) 3 2 +6 2 24 6 + 2 6 Bt phương trình ñã cho có nghi m x ∈ 0;1 + 3 ⇔ b t phương trình (1) có nghi m 12 + 2 3 4 2 t ∈ [1; 2] ⇔ m ≤ max f ( t ) = f ( 2 ) = S nghi m c a phương trình ñã cho b ng s giao [1;2] 3 ñi m c a ñ th hàm s y = f ( x ) và ñư ng th ng y = m trên mi n [ 0;6 ] Ví d 3.(A-08). Tìm m ñ phương trình sau có 2 nghi m th c phân bi t D a vào b ng bi n thiên ta ñư c giá tr c a m th a 2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m ( m ∈ ¡ ) 4 mãn yêu c u bài toán là 2 4 6 + 2 6 ≤ m < 3 2 + 6 Gi i ði u ki n: 0 ≤ x ≤ 6 Ví d 4.(B-07) Ch ng minh r ng v i m i giá tr f ( x) = 4 2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x Xét hàm s dương c a tham s m, phương trình sau có 2 trên t p [ 0;6] nghi m th c phân bi t: x2 + 2 x − 8 = m ( x − 2) Ta có Gi i: ði u ki n: do m > 0 ⇒ x ≥ 2 . Ta có: 1 1 1 1 f ( x) = ( 2x)4 + ( 2x)2 + 2 (6 − x)4 + 2 (6 − x)2 x2 + 2 x − 8 = m ( x − 2) 3 1 1 1 f '( x) = ( 2 x ) 4 .2 + ( 2 x ) 2 .2 + − − ⇔ ( x − 2 )( x + 4 ) = m ( x − 2 ) 4 2 3 1 1 1 2. ( 6 − x ) 4 . ( −1) + 2. ( 6 − x ) 2 . ( −1) − − x = 2 ⇔ 4 2 ( x − 2 )( x + 4 ) = m (*) 2 2 http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách Online
- øng øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2 Thay x = 0 vào phương trình (*) ñư c: 1 = - 1. V y Nh n th y phương trình ñã cho luôn có 1 nghi m phương trình (*) vô nghi m. Suy ra f ' ( x ) ch mang x = 2 , ñ ch ng minh khi m > 0 phương trình ñã cho có 2 nghi m th c phân bi t ta c n ch ra phương 1 du (không ñi d u), có trình (*) luôn có m t nghi m th c x > 2 khi m > 0 f ' ( 0 ) = 1 > 0 ⇐ f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡ f ( x ) = ( x − 2 )( x + 4 ) = x 3 + 6 x 2 − 32 2 Xét hàm s Ta có ) ( trên t p ( 2; +∞ ) lim f ( x ) = lim x2 + 2 x + 4 − x2 − 2 x + 4 x →+∞ x →+∞ Ta có f ' ( x ) = 3 x + 12 x > 0 v i ∀x > 2 2 4x = lim 6 32 x →+∞ x + 2 x + 4 + x2 − 2 x + 4 lim f ( x ) = lim x 3 1 + − 3 = +∞ 2 x x x →+∞ x →+∞ 4 =2 = lim Ta có b ng bi n thiên c a hàm s f ( x ) x →+∞ 24 24 1+ + 2 + 1− + 2 xx xx ) ( +∞ lim f ( x ) = lim x2 x2 + 2 x + 4 − x2 − 2 x + 4 x →−∞ x →−∞ f’(x) + 4x +∞ = lim x →−∞ x + 2 x + 4 + x2 − 2 x + 4 f(x) 2 4 = lim = −2 x →−∞ 24 24 − 1+ + 2 − 1− + 2 0 xx xx Ta có b ng bi n thiên c a hàm s f ( x ) S nghi m c a phương trình (*) b ng s giao ñi m c a ñ th hàm s y = f ( x ) và ñư ng th ng y = m +∞ x -∞ trên mi n ( 2; +∞ ) f’(x) + D a vào b ng bi n thiên ta suy ra khi m > 0 thì 2 phương trình (*) luôn có 1 nghi m x > 2 f(x) V y v i m > 0 thì phương trình ñã cho luôn có 2 nghi m th c phân bi t -2 Ví d 5. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m: x2 + 2 x + 4 − x2 − 2 x + 4 = m S nghi m c a phương trình ñã cho b ng s giao ñi m c a ñ th hàm s y = f ( x ) và ñư ng th ng Gi i: Vì x 2 ± 2 x + 4 = ( x ± 1) + 3 ≥ 3 > 0, ∀x ∈ ¡ nên 2 y = m trên ¡ TXð: D = ¡ D a vào b ng bi n thiên ta suy ra phương trình có f ( x ) = x 2 + 2 x + 4 − x 2 − 2 x + 4 trên nghi m ⇔ −2 < m < 2 Xét hàm s ¡ Ví d 6. Tìm m ñ h phương trình sau có nghi m Ta có: x 2 − 3x − 4 ≤ 0 x +1 x −1 f '( x) = − 3 x − 3 x x − m − 15m ≥ 0 2 x + 2x + 4 x − 2x + 4 2 2 x +1 x −1 Gi i: f '( x) = 0 ⇔ − =0 Ta có: x 2 − 3 x − 4 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 4 . x + 2x + 4 x − 2x + 4 2 2 H phương trình ñã cho có nghi m ⇔ ( x + 1) x 2 − 2 x + 4 = ( x − 1) x 2 + 2 x + 4 (*) ⇔ x3 − 3 x x − m 2 − 15m ≥ 0 có nghi m x ∈ [ −1; 4] ⇒ ( x + 1) ( x 2 − 2 x + 4 ) = ( x − 1) ( x 2 + 2 x + 4 ) 2 2 ⇔ x3 − 3 x x ≥ m 2 + 15m có nghi m x ∈ [ −1; 4] ⇔ x 4 − 2 x 3 + 4 x 2 + 2 x3 − 4 x 2 + 8 x + x 2 − 2 x + 4 = x 3 + 3 x 2 khi − 1 ≤ x < 0 ð t f ( x) = x − 3 x x = 3 3 x 4 + 2 x3 + 4 x 2 − 2 x3 − 4 x2 − 8x + x 2 + 2 x + 4 x − 3 x khi 0 ≤ x ≤ 4 2 ⇔ x=0 Ta có 3 http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách Online
- øng øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2 S nghi m c a phương trình ñã cho b ng s giao 2 3 x + 6 x khi − 1 < x < 0 f '( x) = 2 ñi m c a ñ th hàm s y = f ( t ) và ñư ng th ng 3 x − 6 x khi 0 < x < 4 y = m trên − 2 ; 2 f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 0; x = ±2 D a vào b ng bi n thiên ta suy ra phương trình có Ta có b ng bi n thiên : nghi m ⇔ −1 ≤ m ≤ 1 x -1 0 2 4 Ví d 8: Tìm m ñ b t phương trình sau có 0 0 - - + f’(x) mx − x − 3 ≤ m + 1 (1) nghi m: 16 Gi i: f(x) 2 ð t t = x − 3 ≥ 0 ⇒ x = t 2 + 3 . Khi ñó b t phương trình tr thành: m ( t 2 + 3) − t ≤ m + 1 ⇔ m ( t 2 + 2 ) ≤ t + 1 -4 f ( x ) ≥ m 2 + 15m có nghi m x ∈ [ −1; 4] t +1 ⇔ ≥ m (*) t2 + 2 ⇔ max f ( x ) ≥ m 2 + 15m ⇔ 16 ≥ m 2 + 15m [ −1;4] t +1 trên ( 0; +∞ ) f (t ) = Xét hàm s ⇔ m + 15m − 16 ≤ 0 ⇔ −16 ≤ m ≤ 1 2 t2 + 2 Vy h phương trình ñã cho có nghi m −t 2 − 2t + 2 Ta có: f ' ( t ) = ⇔ − 16 ≤ m ≤ 1 (t + 2) 2 2 Ví d 7. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m: f ' ( t ) = 0 ⇔ −t 2 − 2t + 2 = 0 ⇔ t = −1 ± 3 sin 3 x + cos3 x = m 1 1+ Gi i lim f ( t ) = lim sin3 x + cos3 x = m ⇔ ( sin x + cos x ) (1 − sin x.cos x ) = m t =0 2 x →+∞ x →+∞ t+ π t ð t t = sin x + cos x = 2.sin x + , − 2 ≤ t ≤ 2 f (t ) 4 Ta có b ng bi n thiên c a hàm s Khi ñó: t = sin x + cos x ⇒ t = ( sin x + cos x ) 2 2 −1 + 3 +∞ 0 t t 2 −1 0 + - f’(t) ⇒ sin x.cos x = 2 3 +1 f(t) Phương trình tr thành: 1 t 2 −1 4 13 3 t 1 − =m⇔− t + t=m 2 2 2 2 0 1 3 Xét hàm s f ( t ) = − t 3 + t trên t p − 2 ; 2 D a vào b ng bi n thiên ta suy ra b t phương trình 2 2 (1) có nghi m ⇔ b t phương trình (*) có nghi m 3 3 Ta có: f ' ( t ) = − t 2 + 3 +1 t > 0 ⇔ max f ( t ) ≥ m ⇔ m ≤ 2 2 ( 0;+∞ ) 4 3 3 f ' ( t ) = 0 ⇔ − t 2 + = 0 ⇔ t = ±1 Ví d 9.(A-07) Tìm m ñ phương trình sau có 2 2 3 x −1 + m x + 1 = 2 4 x2 −1 nghi m: Ta có b ng bi n thiên: Gi i: 2 -2 -1 1 ði u ki n: x ≥ 1 t 0 0 - + - f’(t) 3 x −1 + m x + 1 = 2 4 x2 −1 x −1 x −1 1 f(t) ⇔ −3 + 24 = m (1) x +1 x +1 2 2 − x −1 2 ð tt=4 2 , khi ñó phương trình (1) tr thành: x +1 -1 −3t 2 + 2t = m (*) 4 http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách Online
- øng øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2 t2 − 9 2 t+ = m ⇔ t 2 + 2t − 9 = 2m t = 1−
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình của hàm số
5 p | 
2707
| 
596
-
Ứng dụng đạo hàm vào giải một số bài toán phương trình-hệ phương trình
12 p | 521
| 144
-
Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán hàm số - GV. Nguyễn Tất Thu
13 p | 314
| 67
-
Chuyên đề 1: Ứng dụng đạo hàm khảo sát tính biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
19 p | 639
| 50
-
SKKN: Ứng dụng đạo hàm trong giải bài Toán đại số và giải tích
0 p | 243
| 50
-
Ôn tập trọng tâm kiến thức và phương pháp giải toán khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm: Phần 1
118 p | 190
| 36
-
Đề kiểm tra 1 tiết chương 1 Ứng dụng đạo hàm - Giải tích lớp 12 (Kèm đáp án)
22 p | 207
| 33
-
Ôn tập trọng tâm kiến thức và phương pháp giải toán khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm: Phần 2
102 p | 148
| 30
-
Đề kiểm tra 1 tiết Toán 12 - Chương 1 Ứng dụng đạo hàm - Giải tích
3 p | 209
| 24
-
Một số phương pháp giải toán khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm: Phần 2
204 p | 122
| 17
-
Một số phương pháp giải toán khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm: Phần 1
255 p | 123
| 16
-
Sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng đạo hàm giải phương trình
53 p | 133
| 12
-
Một số bài tập ứng dụng đạo hàm môn toán 12 - Sự tiếp xúc và phương trình tiếp tuyến
2 p | 139
| 12
-
Sáng kiến kinh nghiệm: Giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số bằng phương pháp ứng dụng đạo hàm dùng để bồi dưỡng học sinh khá, giỏi
24 p | 61
| 3
-
Sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng đạo hàm để giải một số phương trình và phương trình chứa tham số
22 p | 58
| 3
-
Giáo án Giải tích 12 - Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
24 p | 61
| 2
-
SKKN: Giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số bằng phương pháp ứng dụng đạo hàm dùng để bồi dưỡng học sinh khá, giỏi
24 p | 81
| 1
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn
Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.
