Sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng đạo hàm để giải một số phương trình và phương trình chứa tham số

Chia sẻ: YYYY YYYY | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

56
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của nghiên cứu này nhằm giúp học sinh nhận dạng được các phương trình, phương trình chứa tham số có thể sử dụng đạo hàm để giải; bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo; nâng cao khả năng tự học, tự bồi dưỡng và khả năng giải các bài toán trong kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và ôn luyện HSG môn Toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Ứng dụng đạo hàm để giải một số phương trình và phương trình chứa tham số

S Ở GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO T Ạ O THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO SÁNG KI Ế N KINH NGHI Ệ M TÊN ĐỀ TÀI Ứ NG D Ụ NG Đ Ạ O HÀM Đ Ể GI Ả I M Ộ T S Ố PH ƯƠ NG TRÌNH VÀ PH ƯƠ NG TRÌNH CH Ứ A THAM S Ố Ng ườ i th ự c hi ệ n: Nguy ễ n Th ị Lan Ch ứ c v ụ : Giáo viên SKKN thu ộ c lĩnh v ự c (môn): Toán 1
M Ụ C L Ụ C N ộ i dung Trang M Ụ C L Ụ C 2 1. M ở đ ầ u 3 4 Lí do ch ọ n đ ề tài 3 4 M ụ c đích c ủ a sáng ki ế n kinh nghi ệ m 4 Đ ố i t ượ ng và ph ạ m vi nghiên c ứ u 4 Ph ươ ng pháp nghiên c ứ u 4 2. N ộ i dung sáng ki ế n kinh nghi ệ m 5 19 2.1. C ơ s ở lí lu ậ n c ủ a sáng ki ế n kinh nghi ệ m 5 2.2. Th ự c tr ạ ng v ấ n đ ề tr ướ c khi áp d ụ ng sáng ki ế n kinh 5 6 nghi ệ m 2.3. Gi ả i pháp đã s ử d ụ ng đ ể gi ả i quy ế t v ấ n đ ề 6 19 2.4. Hi ệ u qu ả c ủ a sáng ki ế n kinh nghi ệ m đ ố i v ớ i ho ạ t 19 đ ộ ng giáo d ụ c, v ớ i b ả n thân, đ ồ ng nghi ệ p và nhà tr ườ ng. 3. K ế t lu ậ n, ki ế n ngh ị 19 20 TÀI LI Ệ U THAM KH Ả O 21 2
1. M ở đ ầ u a. Lí do ch ọ n đ ề tài 1. Toán h ọ c là môn khoa h ọ c c ơ b ả n c ủ a các môn h ọ c khác, đòi h ỏ i ng ườ i h ọ c, ng ườ i d ạ y ph ả i đam mê, tâm huy ế t, t ỉ mĩ và kiên nh ẫ n m ớ i có th ể n ắ m đ ượ c. Nó là môn h ọ c khó, tr ừ u t ượ ng v ớ i th ờ i l ượ ng và n ộ i dung ch ươ ng trình sâu gây khó khăn cho ng ườ i h ọ c và ng ườ i d ạ y. Th ự c t ế cho th ấ y nhi ề u h ọ c sinh đam mê, yêu thích môn toán nh ư ng k ế t qu ả thi HSG, thi đ ạ i h ọ c không cao so v ớ i các môn khác. 2. Bài toán tham s ố là các bài toán th ườ ng g ặ p trong các kì thi h ọ c sinh gi ỏ i, tuy ể n sinh đ ạ i h ọ c và cao đ ẳ ng. Đây là bài toán có nhi ề u ph ươ ng pháp gi ả i và h ọ c sinh th ườ ng lúng túng hay m ắ c sai l ầ m khi gi ả i quy ế t. Khi gi ả m t ả i ch ươ ng tr ình thì các d ạ ng toán ph ả i s ử d ụ ng đ ị nh lí đ ả o c ủ a tam th ứ c b ậ c hai không th ể v ậ n d ụ ng đ ượ c nên h ọ c sinh ph ả i v ậ n d ụ ng ch ủ y ế u đ ị nh lý Viét và m ộ t s ố cách gi ả i khác nh ư hàm s ố ho ặ c “đi ề u ki ệ n c ầ n đ ủ ” đ ể gi ả i quy ế t các bài toán ch ứ a tham s ố d ẫ n đ ế n cách gi ả i ph ứ c t ạ p. Do đó h ọ c sinh r ấ t khó rèn luy ệ n t ố t ph ầ n này. Bên c ạ nh đó, đ ạ o hàm là m ộ t n ộ i dung quan tr ọ ng c ủ a ch ươ ng trình toán THPT. Nó v ừ a là đ ố i t ượ ng, nh ư ng h ơ n th ế nó v ừ a là công c ụ h ữ u hi ệ u đ ể gi ả i quy ế t nhi ề u v ấ n đ ề ph ứ c t ạ p c ủ a toán THPT. Trong đó có vi ệ c ứ ng d ụ ng đ ạ o hàm đ ể gi ả i các bài toán ph ươ ng trình, ph ươ ng trình ch ứ a tham s ố. 3. Chúng ta bi ế t r ằ ng trong các đ ề thi đ ạ i h ọ c và đ ề thi HSG c ấ p t ỉ nh nh ữ ng năm g ầ n đây bao gi ờ cũng có ít nh ấ t m ộ t bài toán ch ứ a tham s ố . Đó là nh ữ ng d ạ ng toán khó đ ố i v ớ i h ọ c sinh, có nhi ề u bài không th ể gi ả i đ ượ c b ằ ng ph ươ ng pháp đ ạ i s ố thông th ườ ng, kinh đi ể n ho ặ c có th ể gi ả i đ ượ c nh ư ng g ặ p nhi ề u khó khăn, ph ứ c t ạ p. V ớ i vi ệ c s ử d ụ ng đ ạ o hàm đ ể gi ả i các bài toán v ề ph ươ ng trình, ph ươ ng trình ch ứ a tham s ố s ẽ đ ượ c gi ả i quy ế t m ộ t cách r ấ t t ự nhiên, ng ắ n g ọ n và d ễ hi ể u 3
V ề v ấ n đ ề này, cũng đã có r ấ t nhi ề u tài li ệ u, sáng ki ế n kinh nghi ệ m (SKKN). Tuy nhi ên tài li ệ u vi ế t chuyên sâu, h ệ th ố ng v ề nh ữ ng ứ ng d ụ ng c ủ a đ ạ o hàm đ ể gi ả i các bài toán ph ươ ng trình, ph ươ ng trình ch ứ a tham s ố không nhi ề u và h ọ c sinh th ườ ng g ặ p khó khăn, lúng túng trong vi ệ c nh ậ n di ệ n, gi ả i quy ế t d ạ ng to án. Do đó vi ệ c ch ọ n l ự a m ộ t đ ề tài SKKN nh ằ m góp ph ầ n gi ả i quy ế t v ấ n đ ề trên là vi ệ c làm phù h ợ p v ớ i th ự c ti ễ n, th ể hi ệ n tình yêu ngh ề và trách nhi ệ m c ủ a ng ườ i cán b ộ giáo viên. Chính vì v ậ y tôi ch ọ n đ ề tài SKKN là: “ Ứ ng d ụ ng đ ạ o hàm đ ể gi ả i m ộ t s ố ph ươ ng trình và ph ươ ng trình ch ứ a tham s ố ” b. M ụ c đích c ủ a sáng ki ế n kinh nghi ệ m Các v ấ n đ ề đ ượ c trình bày trong đ ề tài này có th ể h ỗ tr ợ cho các em h ọ c sinh trung h ọ c ph ổ thông có cái nhìn toàn di ệ n h ơ n v ề vi ệ c s ử d ụ ng đ ạ o hàm đ ể gi ả i m ộ t s ố ph ươ ng trình, ph ươ ng trình ch ứ a tham s ố . Giúp h ọ c sinh nh ậ n d ạ ng đ ượ c các ph ươ ng trình, ph ươ ng trình ch ứ a tham s ố có th ể sử d ụ ng đ ạ o hàm đ ể gi ả i. B ồ i d ưỡ ng cho h ọ c sinh v ề ph ươ ng ph áp, k ỹ năng gi ả i toán. Qua đó h ọ c sinh nâng cao kh ả năng t ư duy, sáng t ạ o. Nâng cao kh ả năng t ự h ọ c, t ự b ồ i d ưỡ ng và kh ả năng gi ả i các bài toán trong k ỳ thi tuy ể n sinh v ào Đ ạ i h ọ c và ôn luy ệ n HSG môn Toán c. Đ ố i t ượ ng và ph ạ m vi nghiên c ứ u Đ ố i t ượ ng nghiên c ứ u: Đ ề tài này nghiên c ứ u trên các d ạ ng toán v ề ph ươ ng trình và ph ươ ng trình ch ứ a tham s ố . Ph ạ m vi nghiên c ứ u: Đ ề tài thu ộ c ch ươ ng trình đ ạ i s ố và gi ả i tích c ủ a trung h ọ c ph ổ thông đ ặ c bi ệ t ph ươ ng trình và ph ươ ng trình ch ứ a tham s ố . d. Ph ươ ng pháp nghiên c ứ u Trình bày cho h ọ c sinh nh ữ ng ki ế n th ứ c c ơ b ả n v ề l ý thuy ế t v ề đ ạ o hàm c ủ a hàm s ố . Thông qua nh ữ ng ví d ụ c ụ th ể v ớ i cách gi ả i đ ơ n gi ả n, t ự nhiên nh ằ m làm cho h ọ c sinh th ấ y đ ượ c nh ữ ng th ế m ạ nh c ủ a vi ệ c s ử d ụ ng ph ươ ng pháp trên. Các ví d ụ minh h ọ a trong đ ề tài này đ ượ c l ọ c t ừ các tài li ệ u tham kh ả o và các đ ề thi đ ạ i h ọ c các năm 4
g ầ n đây và s ắ p x ế p t ừ d ễ đ ế n khó. Trong các ti ế t h ọ c trên l ớ p tôi ra cho h ọ c sinh gi ả i các vi d ụ này d ướ i nhi ề u ph ươ ng pháp đ ể t ừ đó đánh giá đ ượ c tính ư u vi ệ t c ủ a ph ươ ng pháp trên. Đ ể th ự c hi ệ n m ụ c đích và nhi ệ m v ụ c ủ a đ ề tài, trong quá trình nghiên c ứ u tôi đã s ử d ụ ng các ph ươ ng pháp sau: Nghiên c ứ u các lo ạ i tài li ệ u s ư ph ạ m, qu ả n lí có liên quan đ ế n đ ề tài. Ph ươ ng pháp quan sát (công vi ệ c d ạ y h ọ c c ủ a giáo viên và HS). Ph ươ ng pháp đi ề u tra (nghiên c ứ u ch ươ ng trình, h ồ s ơ chuyên môn, …). Ph ươ ng pháp đàm tho ạ i ph ỏ ng v ấ n (l ấ y ý ki ế n c ủ a giáo viên và HS thông qua trao đ ổ i tr ự c ti ế p). Ph ươ ng pháp th ự c nghi ệ m. 2. N ộ i dung sáng ki ế n kinh nghi ệ m 2.1. C ơ s ở lí lu ậ n c ủ a sáng ki ế n kinh nghi ệ m a. Lí lu ậ n chung: Ch ươ ng trình giáo d ụ c ph ổ thông ph ả i phát huy tính tích c ự c, t ự giác, ch ủ đ ộ ng sáng t ạ o c ủ a h ọ c sinh, phù h ợ p v ớ i đ ặ c tr ư ng môn h ọ c, đ ặ c đi ể m đ ố i t ượ ng h ọ c sinh, đi ề u ki ệ n c ủ a t ừ ng l ớ p h ọ c, b ồ i d ưỡ ng h ọ c sinh ph ươ ng pháp t ự h ọ c, kh ả năng h ợ p tác, rèn luy ệ n k ỹ năng v ậ n d ụ ng ki ế n th ứ c vào th ự c ti ễ n, tác đ ộ ng đ ế n tình c ả m, đem l ạ i ni ề m vui, h ứ ng thú và trách nhi ệ m h ọ c t ậ p cho h ọ c sinh. b. Ki ế n th ứ c v ậ n d ụ ng: + Đ ị nh nghĩa đ ạ o hàm, các quy t ắ c tính đ ạ o hàm, các công th ứ c tính đ ạ o hàm c ủ a các hàm s ố th ườ ng g ặ p, công th ứ c tính đ ạ o hàm c ủ a hàm h ợ p. + Đ ể gi ả i các ph ươ ng trình có ch ứ a tham s ố b ằ ng ph ươ ng pháp đ ạ o hàm ta c ầ n n ắ m c ầ n n ắ m v ữ ng các m ệ nh đ ề (MĐ) sau: Cho hàm s ố y = f ( x) liên t ụ c trên t ậ p D MĐ1: S ố nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình f(x) = g(x) b ằ ng s ố giao đi ể m c ủ a hai đ ồ th ị hàm s ố y = f(x) và y = g(x). MĐ2: Ph ươ ng trình f ( x) = m có nghi ệ m x D � min f ( x ) m max f ( x ) x D x D 5
MĐ3: Cho hàm s ố y = f ( x) đ ơ n đi ệ u trên t ậ p D. Khi đó f ( u ) = f ( v ) � u = v (v ớ i m ọ i u , v D ) 2.2. Th ự c tr ạ ng v ấ n đ ề tr ướ c khi áp d ụ ng sáng ki ế n kinh nghi ệ m Qua th ự c ti ễ n h ọ c t ậ p và gi ả ng d ạ y, b ả n thân nh ậ n th ấ y ứ ng d ụ ng c ủ a đ ạ o hàm trong gi ả i các bài toán c ấ p THPT là r ấ t đa d ạ ng, đ ặ c bi ệ t là trong gi ả i các ph ươ ng trình và ph ươ ng trình ch ứ a tham s ố . Nh ư ng h ọ c sinh th ườ ng không m ạ nh d ạ n, t ự tin s ử d ụ ng công c ụ r ấ t m ạ nh này (hay nói cách khác là ch ư a có k ỹ năng s ử d ụ ng) trong gi ả i toán vì: Đ ạ o hàm là ph ầ n ki ế n th ứ c m ớ i v ớ i h ọ c sinh, g ắ n li ề n v ớ i to án h ọ c hi ệ n đ ạ i, h ọ c sinh b ắ t đ ầ u đ ượ c làm quen ở cu ố i ch ươ ng trình l ớ p 11. Trong khi đó t ừ c ấ p THCS đ ế n c ấ p THPT h ọ c sinh đã đ ượ c ti ế p xúc v ớ i r ấ t nhi ề u bài toán v ề gi ả i ph ươ ng trình (có tham s ố và không có tham s ố ) và đã quen s ử d ụ ng các ph ươ ng pháp gi ả i toán đ ạ i s ố kinh đi ể n đ ể gi ả i. Tài li ệ u vi ế t v ề ứ ng d ụ ng c ủ a đ ạ o hàm gi ả i các bài toán ph ươ ng trình, ph ươ ng trình ch ứ a tham s ố không nhi ề u, h ọ c sinh không nh ậ n di ệ n đ ượ c các d ạ ng toán và ch ư a đ ượ c h ướ ng d ẫ n m ộ t cách h ệ th ố ng ph ươ ng pháp đ ể gi ả i quy ế t bài toán tr ọ n v ẹ n. S ố l ượ ng các bài toán nêu trên xu ấ t hi ệ n ngày càng nhi ề u trong các đ ề thi tuy ể n sinh vào Đ ạ i h ọ c, Cao đ ẳ ng, trong các k ỳ thi HSG c ấ p t ỉ nh nh ữ ng năm g ầ n đây và ph ươ ng pháp s ử d ụ ng đ ể gi ả i ch ủ y ế u là s ử d ụ ng đ ạ o hàm. 2.3. Gi ả i pháp và t ổ ch ứ c th ự c hi ệ n Trong th ự c ti ễ n gi ả ng d ạ y cho h ọ c sinh, t ác gi ả đã giúp h ọ c sinh nh ậ n d ạ ng bài toán và ph ươ ng pháp gi ả i các d ạ ng toán theo h ệ th ố ng bài t ậ p đ ượ c s ắ p x ế p theo m ộ t trình t ự logic. Ph ươ ng pháp gi ả i D ạ ng 1: Gi ả i ph ươ ng trình không ch ứ a tham s ố T ừ các tính ch ấ t trên ta có 3 ph ươ ng pháp bi ế n đ ổ i nh ư sau: Ph ươ ng pháp 1 : Bi ế n đ ổ i ph ươ ng trình v ề d ạ ng: f(x) = k, nh ẩ m m ộ t nghi ệ m r ồ i ch ứ ng minh f(x) đ ồ ng bi ế n (ngh ị ch bi ế n) đ ể suy ra ph ươ ng trình có nghi ệ m duy nh ấ t. 6
Ph ươ ng pháp 2 : Bi ế n đ ổ i ph ươ ng trình v ề d ạ ng: f(x) = g(x), nh ẩ m m ộ t nghi ệ m r ồ i dùng l ậ p lu ậ n kh ẳ ng đ ị nh f(x) đ ồ ng bi ế n còn g(x) ngh ị ch bi ế n ho ặ c hàm h ằ ng suy ra ph ươ ng trình có nghi ệ m duy nh ấ t. Ph ươ ng pháp 3 : Bi ế n đ ổ i ph ươ ng trình v ề d ạ ng: f(u) = f(v) ch ứ ng minh f đ ơ n đi ệ u khi đó ta có: u = v. Đ ố i v ớ i b ấ t ph ươ ng trình thì bi ế n đ ổ i v ề d ạ ng f (u ) < f ( v ) r ồ i ch ứ ng minh f đ ơ n đi ệ u đ ể k ế t lu ậ n. D ạ ng 2: Gi ả i ph ươ ng trình ch ứ a tham s ố D ạ ng toán th ườ ng g ặ p là tìm giá tr ị tham s ố m đ ể ph ươ ng trình có nghi ệ m (ho ặ c có nghi ệ m thõa mãn đi ề u ki ệ n nào đó). V ớ i d ạ ng toán này ta có th ể th ự c hi ệ n theo các b ướ c nh ư sau: B ướ c 1: Bi ế n đ ổ i ph ươ ng trình v ề d ạ ng: f ( x ) = g ( m ) B ướ c 2: Tìm t ậ p xác đ ị nh D c ủ a hàm s ố f ( x ) B ướ c 3: Tính f ' ( x ) B ướ c 4: L ậ p b ả ng bi ế n thiên c ủ a hàm s ố f ( x ) B ướ c 5: Xác đ ị nh min f ( x ) và max f ( x ) x D x D T ừ đó v ậ n d ụ ng m ộ t trong các m ệ nh đ ề đã nêu ở ph ầ n ki ế n th ứ c bên trên rút ra k ế t lu ậ n cho bài toán. L ư u ý: Tr ườ ng h ợ p các ph ươ ng trình ch ứ a các bi ể u th ứ c ph ứ c t ạ p, ta có th ể xem xét đ ặ t ẩ n ph ụ đ ể đ ơ n gi ả n chúng. N ế u đ ượ c ta làm nh ư sau: + Đ ặ t t = ϕ ( x ) ( ϕ ( x) là m ộ t bi ể u th ứ c trong ph ươ ng tr ình ) + T ừ đi ề u ki ệ n ràng bu ộ c c ủ a ẩ n s ố x D , tìm đi ề u ki ệ n c ủ a ẩ n s ố t, ví d ụ t K (chú ý là ph ả i tìm đ ượ c đi ề u ki ệ n ch ặ t c ủ a t) + Đ ư a ph ươ ng trình ẩ n s ố x v ề ph ươ ng trình ẩ n s ố t ta đ ượ c f ( t ) = h( m) + L ậ p b ả ng bi ế n thiên c ủ a hàm s ố f ( t ) trên t ậ p K. + T ừ b ả ng bi ế n thiên rút ra k ế t lu ậ n bài toán. Các ví d ụ minh h ọ a D ạ ng 1: Gi ả i ph ươ ng trình không ch ứ a tham s ố 7
Ví d ụ 1 : Gi ả i ph ươ ng trình: 4 x − 1 + 4 x 2 − 1 = 1 (1) Nh ậ n xét: Quan sát v ế trái c ủ a ph ươ ng trình (1), ta th ấ y khi x tăng thì giá tr ị c ủ a bi ể u th ứ c trong căn cũng tăng.T ừ đó suy ra v ế trái là hàm đ ồ ng bi ế n,v ế ph ả i b ằ ng 1 là hàm h ằ ng, đây là đi ề u ki ệ n thích h ợ p đ ể s ử d ụ ng tính đ ơ n đi ệ u. H ướ ng d ẫ n gi ả i 1 Đi ề u ki ệ n: x 2 Đ ặ t f ( x ) = 4x − 1 + 4x2 − 1 1 1 Ta có: f ( ) = 0 � x = là 1 nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình 2 2 2 4x �1 � Ta có f ' ( x) = + > 0, ∀x �� ; +�� 4x −1 4x −1 2 �2 � 1 � � Do đó hàm s ố f ( x ) = 4 x − 1 + 4 x 2 − 1 đ ồ ng bi ế n trên ; + , nên ph ươ ng 2 � � trình f ( x ) = 1 nên n ế u có nghi ệ m thì đó là nghi ệ m duy nh ấ t. 1 V ậ y x = là nghi ệ m duy nh ấ t c ủ a ph ươ ng tr ình đã cho. 2 tg2x �π π � Ví d ụ 2 : Gi ả i ph ươ ng trình: e + cosx =2 v� � ix � - ; � �2 2 � (HSG L ớ p 12 Nam Đ ị nh 2006) H ướ ng d ẫ n gi ả i tg2x �π π � Xét hàm s ố : f (x ) = e + cosx v�� ix � - ; �, ta có �2 2 � 1 tg2x �2etg2x − cos3x � f '(x ) = 2tgx. 2 e − sin x = sin x � � cos x � cos3x � � � Vì 2etg2x 2 > cos3x > 0 Nên d ấ u c ủ a f’(x) chính là d ấ u c ủ a sinx. T ừ đây ta có f (x ) f (0) = 2 V ậ y ph ươ ng trình đã cho có nghi ệ m duy nh ấ t x = 0 Ví d ụ 3 : Gi ả i ph ươ ng trình: x3 − 3x 2 + 5 x − sin 2 x = 0 H ướ ng d ẫn gi ải Đ ặ t f ( x) = x3 − 3x 2 + 5 x − sin 2 x 8
Ta có: f (0) = 0 � x = 0 là 1 nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình L ạ i có: f ' ( x) = 3 x 2 − 6 x + 5 − 2cos 2 x = 3 ( x 2 − 2 x + 1) + 2 ( 1 − cos2 x ) = 3 ( x − 1) + 4sin 2 x > 0 , x 2 Nên f(x) luôn đ ồ ng bi ế n v ớ i m ọ i x Do v ậ y ph ươ ng trình có nghi ệ m duy nh ấ t x = 0 Ví d ụ 4 : Gi ả i ph ươ ng trình x ( x 2 + 3) + ( 3x − 7 ) 4 − 3x = 0 1 H ướ ng d ẫ n gi ả i 4 Đi ề u ki ệ n: x 3 Ph ươ ng trình 1 x ( x 2 + 3) = ( 7 − 3 x ) 4 − 3 x � x ( x 2 + 3) = 4 − 3 x � ( 4 − 3 x ) + 3� � � 4 Xét hàm s ố f t t t 2 3 t 3 3t v ớ i 0 t 3 Ta có f ( t ) = 3t + 3 > 0, ∀t R . Nên f(t) đ ồ ng bi ế n trên R 2 x 0 x 0 Do đó f ( x ) = f ( 4 − 3x ) � x = 4 − 3 x �� 2 �x = 1 x =1 x = 4 − 3x x = −4 V ậ y ph ươ ng trình đã cho có nghi ệ m là : x = 1 Ví d ụ 5: G i ả i ph ươ ng trình : 3 x(2 + 9 x 2 + 3) + (4 x + 2)( 1 + x + x 2 + 1) = 0 (Olympic 304 ĐBSCL 2000) H ướ ng d ẫn gi ải 1 Ta th ấ y ph ươ ng trình ch ỉ có nghi ệ m trong (− ;0) 2 Ph ươ ng trình � ( −3x ) (2 + (−3x )2 + 3) = (2 x + 1)(2 + (2 x + 1) 2 + 3) * Đ ặ t u = 3x, v = 2x + 1; u,v > 0. Ph ươ ng trình * � u (2 + u 2 + 3) = v(2 + v 2 + 3) (1) Xét hàm s ố f (t ) = 2t + t 4 + 3t 2 v ớ i t>0 2t 3 + 3t Ta có f '(t ) = 2 + > 0 ∀t > 0 � f (u ) = f (v) � u = v 4 2 t + 3t 1 Ph ươ ng trình (1) u = v 3x = 2x +1 � x = − 5 1 V ậ y x = − là nghi ệ m duy nh ấ t c ủ a ph ươ ng trình 5 9
Ví d ụ 6 : Gi ả i ph ươ ng trình : −2 x − x + 2 x −1 = ( x − 1) (1) 2 2 H ướ ng d ẫ n gi ả i Ph ươ ng trình ( 1) � −2 x − x + 2 x −1 = x 2 − 2 x + 1 � 2 x −1 + x − 1 = 2 x − x + x 2 − x 2 2 2 Xét hàm s ố f ( t ) = 2t + t. Ta có f ( t ) = 1 + 2t ln 2 > 0, ∀t R nên hàm s ố f ( t ) = 2t + t đ ồ ng bi ế n trên R. Do đó f ( x − 1) = f ( x 2 − x ) � x − 1 = x 2 − x � x = 1 V ậ y ph ươ ng trình đã cho có nghi ệ m là : x = 1 Nh ậ n xét : Ở các ví d ụ 1 đ ế n ví d ụ 6 đ ề u s ử d ụ ng các tính ch ấ t: N ế u hai v ế c ủ a ph ươ ng trình đ ơ n đi ệ u ng ượ c chi ề u (v ế luôn đ ồ ng bi ế n, v ế kia luôn ngh ị ch bi ế n trên cùng t ậ p K) ho ặ c m ộ t v ế đ ơ n đi ệ u, v ế kia là h ằ ng s ố thì ph ươ ng trình có t ố i đa m ộ t nghi ệ m nên n ế u nh ẩ m đ ượ c m ộ t nghi ệ m thì đó là nghi ệ m duy nh ấ t . x2 + x + 1 Ví d ụ 7 : Gi ả i ph ươ ng trình : log 3 = x 2 − 3x + 2 2x2 − 2x + 3 H ướ ng d ẫ n gi ả i Đ ặ t u = x 2 + x + 1; v = 2 x 2 − 2 x + 3 ( u > 0; v > 0 ) � v − u = x 2 − 3x + 2 . Khi đó ph ươ ng u trình đã cho tr ở thành log 3 = v − u � u + log3 u = v + log 3 v (1) v Xét hàm s ố f ( t ) = t + log3 t 1 Ta có f ( t ) = 1 + > 0, ∀t > 0 nên hàm s ố f ( t ) = t + log 3 t đ ồ ng bi ế n khi t t ln 3 >0. x =1 Do đó t ừ (1) ta có f ( u ) = f ( v ) � u = v � v − u = 0 � x 2 − 3x + 2 = 0 � x=2 V ậ y nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình đã cho là x = 1; x = 2 Ví d ụ 8 : Gi ả i ph ươ ng trình : 2 x3 − x 2 + 3 2 x3 − 3x + 1 = 3x + 1 + 3 x 2 + 2 (1) H ướ ng d ẫ n gi ả i Bi ế n đ ổ i (1) � 2 x3 − 3x + 1 + 3 2 x3 − 3x + 1 = x 2 + 2 + 3 x 2 + 2 (*) Xét hàm s ố f ( t ) = t + 3 t . 10
1 Ta có f ( t ) = 1 + > 0, ∀t R \ { 0} . Do đó hàm s ố đ ồ ng bi ế n . 33 t2 T ừ (*) � f ( 2 x3 − 3x + 1) = f ( x 2 + 2 ) � 2 x 3 − 3x + 1 = x 2 + 2 � 2 x3 − x 2 − 3x − 1 = 0 1 x=− 2 � ( 2 x + 1) ( x 2 − x − 1) = 0 � 1 5 x= 2 . 1 1 5 V ậ y nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình đã cho là x = − ; x = 2 2 Ví d ụ 9 : Gi ả i ph ươ ng trình : 2003x + 2005x = 4006x + 2 (HSG Ngh ệ An 2005) H ướ ng d ẫ n gi ả i x x Xét hàm s ố : f (x ) = 2003 + 2005 − 4006x − 2 Ta có: f '(x ) = 2003x ln2003+ 2005x ln2005 − 4006 f ''(x ) = 2003x ln2 2003 + 2005x ln2 2005 > 0 ∀x � f "(x ) = 0 vo� nghie�m f'(x) =0 co� nhie� u nha�t la�mo�t nghie� m f(x) =0 co� nhie�u nha� t la�hai nghie�m Mà ta th ấ y f(1) = f(0) = 0 n ên pt đã cho có hai nghi ệ m x = 0 và x = 1 Nh ậ n xét: N ế u f x 0 có n nghi ệ m thì f ' x 0 có không quá n 1 nghi ệ m D ạ ng 2: Gi ả i ph ươ ng trình ch ứ a tham s ố Ví d ụ 1. ( ĐH kh ố i A – 2007) Tìm m đ ể ph ươ ng trình sau có nghi ệ m th ự c : 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1 H ướ ng d ẫ n gi ả i Đi ề u ki ệ n: x 1 x −1 x −1 Ph ươ ng trình đã cho � −3 + 24 = m ( 1 ) x +1 x +1 x −1 Đ ặ t t = 4 . Khi đó ph ươ ng trình ( 1 ) tr ở thành : −3t 2 + 2t = m x +1 11
x −1 4 2 Vì t = 4 = 1− x +1 x +1 x −1 Xét hàm s ố t ( x ) = 4 trên đo ạ n [ 1; + ) x +1 3 − �x − 1 �4 1 Ta có : t ( x ) = ' 2 � � > 0, ∀x 1 2 ( x + 1) �x + 1 � x −1 lim t = lim 4 =1 M ặ t khác x + x + x +1 0> t 1 t ( 1) = 0 Bài toán đã cho tr ở thành: f (t ) = −3t 2 + 2t = m Tìm m đ ể h ệ có nghi ệ m. 0 t
x x + x + 12 = m ( 5− x + 4− x ) (1) H ướ ng d ẫ n gi ả i Đi ề u ki ệ n: 0 x 4 Khi đó : x x + x + 12 x x + x + 12 = m ( 5 − x + 4 − x ) � m = ( 2) 5− x + 4− x x x + x + 12 Xét hàm s ố : m = f ( x ) = trên đo ạ n [ 0; 4] 5− x + 4− x Hàm số f ( x ) liên t ụ c trên đo ạ n [ 0; 4] � �x+ � x + 1 � ( � 5 − x + 4 − x + x x + x + 12 � 2 x 2 x + 12 � ) ( � 1 + 1 � � �2 5 − x 2 4 − x �> 0 ) ( ) 2 5− x + 4− x v ớ i ∀x ( 0; 4 ) Hàm s ố f ( x ) đ ồ ng bi ế n trên đo ạ n [ 0; 4] Ph ươ ng trình ( 1 ) có nghi ệ m khi và ch ỉ khi ( 2 ) có nghi ệ m min f ( x ) �m �max f ( x ) � 2 3 x [ 0;4] x [ 0;4 ] ( ) 5 − 2 �m �12 Nh ậ n xét : Có th ể gi ả i ph ươ ng trình b ằ ng cách nhân liên h ợ p v ế ph ả i c ủ a ( 2) đ ư a v ề tích và v ậ n d ụ ng ki ế n th ư c sau: N ế u các hàm s ố y = f ( x ) ; y = g ( x ) đ ồ ng bi ế n trên D và f ( x ) > 0; g ( x ) > 0 v ớ i ∀x D thì hàm s ố y = f ( x ) .g ( x ) đ ồ ng bi ế n trên D Ví d ụ 3. ( ĐH kh ố i B – 2006) Tìm m đ ể ph ươ ng trình x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 có hai nghi ệ m th ự c phân bi ệ t. H ướ ng d ẫ n gi ả i 2x +1 0 3x 2 + 4 x − 1 = mx (1) Ph ươ ng trình đã cho 1 . x 2 + mx + 2 = (2 x + 1) 2 x − (2) 2 Do x = 0 không là nghi ệ m c ủ a (1) v ớ i m ọ i m, nên h ệ trên 3x 2 4 x 1 f (x) m (3) x 1 x ( 4) 2 . 3x 2 + 1 Ta có f’(x) = và b ả ng bi ế n thiên x2 13
1 x 2 0 f’(x) + + f(x) 9 2 9 V ậ y ph ươ ng trình có hai nghi ệ m phân bi ệ t m . 2 Nh ậ n xét: Bài này có th ể h ướ ng d ẫ n h ọ c sinh gi ả i b ằ ng c ách s ử d ụ ng lý Viét 3 x 2 + (4 − m) x − 1 = 0 (1) Tìm m đ ể h ệ 1 có hai nghi ệ m phân bi ệ t. x − (2) 2 Ví d ụ 4. ( ĐH kh ố i B – 2004) Tìm m đ ể ph ươ ng trình sau có nghi ệ m m ( 1 x 2 1 x 2 2 ) 2 1 x 4 1 x 2 1 x 2 ( 1 ) H ướ ng d ẫ n gi ả i Đi ề u ki ệ n: −1 x 1 Đ ặ t t = 1 + x 2 − 1 − x 2 Ta th ấ y 1 −� x2 + 1 x2 t 0 và t = 0 khi x = 0 T ừ t �−−1 =x�2 −− +1 = x 2 t 2 2 2 1 x4 2 t 2 và t = 2 khi x = 1 Do đó ta có: 0 t 2 −t 2 + t + 2 Ph ươ ng trình ( 1) tr ở thành: m ( t + 2 ) = −t 2 + t + 2 � = m ( 2 ) t+2 −t 2 + t + 2 Xét hàm s ố f ( t ) = v ớ i 0 t 2 t+2 Ta có f ( t ) liên t ụ c trên đo ạ n � � 0; 2 � � Ph ươ ng trình ( 1 ) có nghi ệ m x khi và ch ỉ khi ph ươ ng trình ( 2 ) có nghi ệ m t � 0; 2 � � min f ( t ) m max f ( t ) � � t � 0; 2 � � � t � 0; 2 � � � −t 2 − 4t Ta có: f ( t ) = 0, ∀t � 0; 2 � ' � � ( t + 2) 2 f ( t ) ngh ị ch bi ế n trên đo ạ n � 0; 2 � � � B ả ng bi ế n thiên 14
0 2 t f’(t) f(t) 1 2 − 1 T ừ b ả ng bi ế n thiên ta th ấ y v ớ i 2 − 1 m 1 thì ph ươ ng trình ( 2 ) có nghi ệ m trong đo ạ n [ −1;1] V ậ y v ớ i 2 − 1 m 1 thì ph ươ ng trình ( 1 ) có nghi ệ m trong đo ạ n [ −1;1] Nh ậ n xét: Đây là ví d ụ h ọ c sinh d ễ b ị sai l ầ m trong vi ệ c h ạ n ch ế đi ề u ki ệ n c ủ a t, h ọ c sinh có th ể đánh giá đi ề u ki ệ n c ủ a t b ằ ng đ ạ o hàm thay vì dùng b ấ t đ ẳ ng th ứ c Ví d ụ 5. ( ĐH kh ố i B – 2002) Cho ph ươ ng trình log32 x + log32 x + 1 − 2m − 1 = 0 . Tìm m đ ể ph ươ ng trình có ít nh ấ t m ộ t nghi ệ m thu ộ c đo ạ n � 1; 3 3 �. � � H ướ ng d ẫ n gi ả i Đ ặ t t = log32 x + 1 . Khi 1 x 3 3 � 1 t 2 . Bài toán tr ở thành: f (t ) = t 2 + t − 2 = 2m (1) Tìm m đ ể h ệ ph ươ ng trình có nghi ệ m 1 t 2 (2) Ta có f '(t ) = 2t + 1 và có b ả ng bi ế n thiên sau: 1 t 2 1 2 f’(t) + f(t) 4 0 Khi đó: max f (t ) = f (2) = 4 ; min f (t ) = f (1) = 0 . 1 t 2 1 t 2 V ậ y các giá tr ị c ầ n tìm c ủ a tham s ố m là 0 �� 2m 4 0 m 2. 15
Ví d ụ 6. Tìm m đ ể ph ươ ng trình sau có hai nghi ệ m phân bi ệ t d ươ ng: 11 � 7 � x + + 4� 1 + 2 � = m 2x � x � H ướ ng d ẫ n gi ả i 11 � 7 � 11 28 1 + 2 � ta có y = 1 − 2 − 2 ' Đ ặ t y = f(x) = x + + 4� 2x � x � 2x x 4 x 2 + 28 11 28 y ' = 0 � g ( x) = 2 − =1 2 x x 2 4 x 2 + 28 D ễ th ấ y g(x) ngh ị ch bi ế n v ớ i x > 0 (v ì g’(x) 0). M ặ t khác g(3) = 1 nên x = 3 là nghi ệ m duy nh ấ t Mà x > 3 � g ( x) < 1 � y ' > 0 x < 3 � g ( x) > 1 � y ' < 0 Vì v ậ y ta có b ả ng bi ế n thiên sau x 0 3 + y’ 0 + y + + 15 2 S ố nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình đã cho b ằ ng s ố giao đi ể m c ủ a đ ồ th ị hàm s ố y = f(x) và đ ườ ng th ẳ ng y = m. D ự a vào b ả ng bi ế n thiên ta có 15 ph ươ ng trình có hai nghi ệ m d ươ ng phân bi ệ t m > min y ( 0; + ) m > 2 Ví d ụ 7: Cho ph ươ ng trình log 2 x + log 1 x − 3 = m ( log 2 x − 3) (1) 2 2 2 Tìm m đ ể ph ươ ng trình có nghi ệ m x �[ 32; +�) H ướ ng d ẫ n gi ả i T ừ đi ề u ki ệ n: x �[ 32; +�) log 2 x 5 , suy ra log 2 x − 3 2 nên m 0 . Ph ươ ng trình (1) � log 22 x − 2log 2 x − 3 = m ( log 2 x − 3) � log 22 x − 2log 2 x − 3 = m 2 ( log 2 x − 3) (2) 2 16
Đ ặ t t = log 2 x, ( t 5 ) . t +1 Ph ươ ng trình (2) tr ở thành t 2 − 2t − 3 = m 2 ( t − 3) � m 2 = 2 (3) t −3 t +1 Xét hàm s ố f ( t ) = (v ớ i t 5 ). t −3 −4 f '( t ) = < 0, ∀t 5 ( t − 3) 2 Ta có b ả ng bi ế n thiên t 5 + f '( t ) − 3 f ( t) 1 Phu ơ ng trình (1) có nghi ệ m x �[ 32; +�) khi và ch ỉ khi phu ơ ng trình (3) có nghi ệ m t 5 đi ề u này x ả y ra khi 1 < m 2 3 . K ế t h ợ p v ớ i m 0 , ta đ ượ c 1 < m 3 Ví d ụ 8 : Tìm m đ ể ph ươ ng trình sau có nghi ệ m duy nh ấ t � � −1 3 1 − x 2 − 2 x3 + 2 x 2 + 1 = m (1) trên � ;1� �2 � H ướ ng d ẫ n gi ả i � � −1 Xét hàm s ố f ( x ) = 3 1 − x 2 − 2 x3 + 2 x 2 + 1 trên � ;1�. �2 � −3 x 3x2 + 4 x � 3 3x + 4 � Ta có f ( x) = − = −x� + ' � 1 − x2 x + 2x + 1 3 2 � 1− x 2 x3 + 2 x 2 + 1 � � � −1 Xét hàm s ố g ( x ) = x3 + 2 x 2 + 1 trên � ;1�. �2 � Ta có g ( x ) = 3x 2 + 4 x = 0 � x = 0 Ta có b ả ng bi ế n thiên 1 − x 2 0 1 17
' g ( x) + 0 − g ( x) 4 11 8 1 � � 1 D ự a vào b ả ng bi ế n thiên ta th ấ y g ( x) �1, ∀x �� − ;1� �2 � �1 � 1 5 và ∀x ��− ;1� ta có 3(−+ � ) +4�3+x+ � 4 3.1 4 3x 4 7 . �2 � 2 2 3 3x + 4 �1 � Suy ra + > 0, ∀x ��− ;1 1 − x2 x3 + 2 x 2 + 1 �2 �� Do đó f ( x ) = 0 � x = 0 B ả ng bi ế n thiên: 1 − x 2 0 1 ' f ( x) + 0 f ( x) 1 3 3 − 22 2 −4 Ph ươ ng trình (1) là ph ươ ng trình hoành đ ộ giao đi ể m c ủ a d : y = m và (C ) : f ( x ) = 3 1 − x 2 − 2 x3 + 2 x 2 + 1 3 3 − 22 Ph ươ ng trình có nghi ệ m duy nh ấ t khi −4 m < ho ặ c m = 1. 2 Nh ậ n xét : Đây là bài toán mà ta không đ ặ t đ ượ c ẩ n ph ụ , n ế u dùng phép bi ế n đ ổ i m ấ t căn thì d ẫ n đ ế n m ộ t ph ươ ng trình ph ứ c t ạ p. Cách gi ả i trên đ ư a v ề dùng b ả ng bi ế n thiên r ấ t đ ơ n gi ả n. Đó là ư u đi ể m c ủ a cách gi ả i trên. Bài t ậ p 1. Gi ả i ph ươ ng trình : 3x(2 + 9 x 2 + 3) + (4 x + 2)(1 + 1 + x + x 2 ) = 0 18
1 ( ĐS: x = − ) 5 2. Gi ả i ph ươ ng trình 3 x + 2 − 3 2 x 2 + 1 = 3 2 x 2 − 3 x + 1 1 ( ĐS: x = − ; x = 1 ) 2 3. Gi ả i ph ươ ng trình : 5 x3 − 1 + 3 2 x − 1 + x = 4 ( ĐS: x = 1 ) 4. Gi ả i ph ươ ng trình x 2 + 15 = 3 x − 2 + x 2 + 8 ( ĐS: x = 1 ) 5. Gi ả i ph ươ ng trình : ( 8x 2 + 2 ) x + ( x − 6 ) 5 − x = 0 ( ĐS: x = 1 ) 6. Tìm m đ ể ph ươ ng trình sau có nghi ệ m 6 x 2 (4 x)(2 x 2) m 4 4 x 2 x 2 ( ĐS: 0 m 1 ) 7. Tìm m đ ể ph ươ ng trình có hai nghi ệ m phân bi ệ t: 2 x 2 x 24 6 x 2 6 x m . 4 ( ĐS: 2( 4 6 + 6) m < 3 2 + 6 ) � � π π − ; � 8. Tìm m đ ể ph ươ ng trình sau có nghi ệ m trên đo ạ n � � 2 2� 2 2 sin 2x m(1 cos x ) 2 ( ĐS: 0 m 2 ) 9. Tìm m đ ể ph ươ ng trình sau có nghi ệ m: 2sin x + 3cos x = m3sin x 2 2 2 ( ĐS: 1 m 4 ) 10. Tìm các giá tr ị c ủ a tham s ố m đ ể ph ươ ng trình sau có 2 nghi ệ m th ự c phân bi ệ t : x + 1 + 8 − x + ( x + 1)(8 − x) = m . 9 ( ĐS: 3 m < 3 2 + ) 2 11. Tìm m đ ể ph ươ ng trình sau có nghi ệ m th ự c 2 x2 2 x 3 ( m 1)( x 3 1 x) m 1 0 ; −6 + 16 2 ( ĐS : 3 m 7 12. Tìm các giá tr ị c ủ a tham s ố m đ ể ph ươ ng trình sau có nghi ệ m x + 9 − x = − x + 9 x + m 2 9 ( ĐS : − m 10 ) 4 19
13. Tìm m đ ể ph ươ ng trình : 6 − x + x + 3 = mx có nghi ệ m �1 � ( ĐS : m �( −�; −1] � ; +� ) 2 � � 2.4. Hi ệ u qu ả c ủ a đ ề tài. Sau khi các bài toán này đ ượ c th ự c hành trên l ớ p và ki ể m tra, đa s ố h ọ c sinh ti ế p thu và v ậ n d ụ ng t ố t. Năm h ọ c 2011 – 2012 r ấ t nhi ề u h ọ c sinh l ớ p 12C8 đ ạ t đi ể m Toán t ừ 7,25 tr ở lên trong các kì thi đ ạ i h ọ c, cao đ ẳ ng Năm h ọ c 2013 – 2014 s ố h ọ c sinh đ ạ t đi ể m 8,0 càng nhi ề u trong môn Toán trong kì thi đ ạ i h ọ c, cao đ ẳ ng Năm h ọ c 2014 – 2015 có 9 em h ọ c sinh l ớ p 12C3 em đ ạ t đi ể m cao t ừ 8,25 tr ở lên trong kì thi đ ạ i h ọ c, cao đ ẳ ng. 3. K ế t lu ậ n, ki ế n ngh ị + K ế t lu ậ n Qua th ờ i gian vi ế t SKKN và v ậ n d ụ ng chuyên đ ề này vào gi ả ng d ạ y, tôi nh ậ n th ấ y vi ệ c làm này đã thu đ ượ c k ế t qu ả đáng k ể t ừ phía các em h ọ c sinh. Đây th ự c s ự là m ộ t công c ụ h ữ u hi ệ u, giúp h ọ c sinh gi ả i quy ế t bài toán nhanh, g ọ n và chính xác. Đ ồ ng th ờ i các em đã có đ ượ c cái nhìn t ổ ng th ể v ề cách gi ả i quy ế t bài toán này. Đi ề u này ph ầ n nào t ạ o cho các em h ọ c sinh có đ ượ c tâm th ế t ố t khi s ắ p b ướ c vào các k ỳ thi quan tr ọ ng. Qua vi ệ c ứ ng d ụ ng đ ề tài này vào gi ả ng d ạ y cho h ọ c sinh, t ôi nh ậ n th ấ y đây là m ộ t chuyên đ ề có th ể ti ế p t ụ c áp d ụ ng cho các năm ti ế p theo, đ ặ c bi ệ t r ấ t phù h ợ p v ớ i đ ố i t ượ ng là h ọ c sinh khá, gi ỏ i. T ấ t nhiên là ph ả i ti ế p t ụ c hoàn thi ệ n đ ề tài này h ơ n n ữ a.Bài h ọ c kinh nghi ệ m đ ượ c rút ra t ừ quá trình áp d ụ ng SKKN c ủ a tôi là: Ph ả i th ườ ng xuyên h ọ c h ỏ i trau r ồ i chuyên môn đ ể tìm ra ph ươ ng pháp d ạ y h ọ c phù h ợ p. +Ki ế n ngh ị Ng ườ i Th ầ y ph ả i nhi ệ t tình, g ươ ng m ẫ u, làm cho các em th ấ y đ ượ c tinh th ầ n nghiêm túc và hăng say nghiên c ứ u khoa h ọ c c ủ a mình, có v ậ y h ọ c sinh m ớ i noi g ươ ng Th ầ y quy ế t t âm và ham mê h ọ c t ậ p, t ừ đó đ ể các em không c ả m th ấ y áp l ự c trong h ọ c t ậ p. Ti ế p theo là, th ườ ng xuyên t ạ o ra tình hu ố ng có v ấ n đ ề , kích thích s ự tìm tòi h ọ c t ậ p ở h ọ c sinh. 20