zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học cơ sở

Vận dụng hệ thức lượng trong đường tròn để chứng minh hình học

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

21
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong các kì thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10 THPT ta thường gặp các bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn,…Tài liệu này giới thiệu các bạn đọc cách vận dụng các hệ thức giữa các đoạn cát tuyến và các đoạn tiếp tuyến, làm cho lời giải bài toán trở nên đơn giải, ngắn ngọn hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Vận dụng hệ thức lượng trong đường tròn để chứng minh hình học

VẬN DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN ĐỂ CHỨNG MINH HÌNH HỌC “tailieumontoan.com” I. Lý ThuyêtDate II. Bài tâp Trong các kì thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10 THPT ta thường gặp các bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn,….Bài viết  và ACB Bài 1. Cho tam giác ABC có hai góc ABC  nhọn . Các này giới thiệu các bạn đọc cách vận dụng các hệ thức giữa các đoạn cát tuyến và các đoạn tiếp tuyến, làm cho lời giải đường cao BD, CE của tam giác cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: bài toán trở nên đơn giải, ngắn ngọn hơn. BH .BD + CH .CE = BC 2 Trước hết, ta nhắc lại các hệ thức sau đây. Hướng dẫn Mẹnh đề 1. Nếu hai cát tuyến AB và CD của một A đường tròn cắt nhau tại một điểm M (M nằm trong hoặc ngoài đường tròn) thì ta có MA.MB = MC. MD. D Mệnh đề 2. (Mệnh đề đảo của mệnh đề 1) Nếu hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M và có E H MA.MB = MC.MD. Khi đó bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Mệnh đề 3. Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên B K C ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT (T là tiếp điểm) và cát tuyến MAB ( A , B ∈ (O ) ) . Khi đó ta có Kẻ HK ⊥ BC (K ∈ BC ) . Dễ thấy tứ giác CDHK nội tiếp nên MT 2 = MA .MB theo mệnh đề 1 ta có BH .BD = BK .BC ( 1) Mệnh đề 4. (Mệnh đề đảo của mệnh đề 3) Tương tự, tứ giác BEHK nội tiếp nên theo mệnh đề 1 ta có  khác góc bẹt. Trên tia Mx lấy hai Cho góc xMy CH .CE = CK .CB ( 2 ) điểm A, B. Trên tia My lấy điểm T. Khi đó nếu MT 2 = MA .MB thì MT là tiếp tuyến của đường tròn ngoại Cộng 2 vế đẳng thức (1) và (2) ta có: tiếp tam giác ABT. BH .BD + CH .CE= BK .BC + CK .CB= BC . ( BK + CK )= BC 2 Việc chứng minh các mệnh đề trên khá đơn giản, Bài 2. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến xin dành cho bạn đọc. Sau đây ta xét một số bài toán áp dụng các mệnh đề trên. AB, AC tới đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. EF là một dây cung đi qua H. Chứng minh rằng a) AEOF là tứ giác nội tiếp.  b) AO là tia phân giác của góc EAF Hướng dẫn ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
3 9 15 B Suy ra CH = CE = a ⇒ BH = BC − HC = a 4 4 4 Áp dụng định lý Pythagore cho các tam giác vuông BHF và E CHF, ta có: A O BF 2 − BH 2 = FH 2 = FC 2 − CE 2 H 15 2 2 92 2 ⇒ BF − 2 a = ( 3a ) − 2 a ⇒ BF 2 = 18a 2 ( 2 ) 2 2 4 4 F Từ (1) và (2) suy ra BF = BE.BC . Theo mệnh đề 4 suy ra BF 2 C là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác OECF.  b) Theo câu a) ta có OFB = OCF = OCB  . Lại có a) Ta có OB ⊥ AB , OC ⊥ AC nên tứ giác ABOC nội tiếp,  = OMF OFB  nên OCB  = OMF . Từ đó suy ra tứ giác BMOC do đó theo mệnh đề 1 ta có AH.OH = BH.HC. Mặt khác, cũng theo mệnh đề 1 ta có: nội tiếp. HB.HC = EH.HF Bài 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ đường tròn Suy ra tứ giác AEOF nội tiếp. tâm A cắt đường tròn (O) tại C và D. Kẻ dây cung BN của b) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEOF. đường tròn (O) cắt đường tròn (A) tại điểm E. Chứng minh  = FAO Ta có: OE = OF, suy ra EAO  (góc chắn các cung rằng NE2 = NC.ND. . bằng nhau). Do đó AO là tia phân giác của góc EAF Hướng dẫn 2 Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A có AB = BC và 3 F M đường cao AE. Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp N C xúc với AC tại F. a) Chứng minh rằng tứ giác OECF nội tiếp và BF là tiếp E tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó. A B b) Gọi M là giao điểm thứ hai của BF với đường tròn (O). O Chứng minh rằng tứ giác BMOC nội tiếp. Hướng dẫn D A F Gọi F là giao điểm thứ hai của BN và đường tròn (A). Do M AN ⊥ EF nên N là trung điểm của FE. Gọi M là giao điểm O thứ hai của ND với đường tròn (A).  = BD Dễ thấy BC  , suy ra CNB  = BND  = MNF B H C E  = ANM Do đó ANC  , suy ra C và M đối xứng nhau qua a) Đặt BC = 6a. Ta có BE = CE = CF = 3a, AB = AC = 4a. đường AN nên NC = NM. Suy ra AF = AC – CF = a. Vì OE ⊥ CE và OF ⊥ CF nên Từ đó ta có NC.ND = NM.ND = NE.NF (theo mệnh đề 1). tứ giác OECF nội tiếp . Vậy NC.ND = NE2 (đpcm). Kẻ OF ⊥ BC (H ∈ BC ) thì FH//AE. Sử dụng định lí CH CF 3 Thales ta có: = = CE CA 4 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Bài 5. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm C thuộc bán kính OA. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn tại D. Đường tròn tâm I tiếp xúc với các đoạn thẳng CA, CD. Gọi E là tiếp điểm của AC với nửa đường tròn (I). Chứng minh rằng BD = BE. 1. Cho điểm C thuộc đường tròn có đường kính AB, E thuộc Hướng dẫn  . Chứng nửa đường tròn sao cho HC là ta phân giác góc DHE minh rằng HC2 = HD.HE D 2. Từ điểm A ở ngoài đường tròn tâm O, vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là K giao điểm của OA và BC. Kẻ dây cung EF bất kì qua H. H  Chứng minh rằng AO là tia phân giác của góc EAF I 3. Cho hình vuông ABCD có cạnh dài 2cm. Tính bán kính A E C O B của đường tròn đi qua A và B, biết rằng tiếp tuyến từ D đến đường tròn bằng 4cm. Vì AB là đường kính nên ∆ADB vuông tại D. 4. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;r) tiếp xúc ngoài nhau Suy ra BD 2 = BC .BA ( 1) tại D. Từ điểm A trên đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến AA’ với đường tròn (O’). Tính độ dài AA’ theo AD, R, r. Gọi K, H lần lượt là tiếp điểm của đường tròn (I) với 5. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, phân giác AD. đường tròn (O) và CD. Các tam giác cân IKH và OKB có Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt AB, AC theo thứ  = KOH KOB  (đồng vị) nên IKH  = OKB  . Suy ra K, H, B tự ở E và F. Chứng minh rằng BE = CF. thẳng hàng. Theo mệnh đề 3, ta có BE = BH. BK (2) 2 Tứ giác AKHC nội tiếp. Theo mệnh đề 1 ta có: BH.BK = BC.BA (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra BD = BE ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.