Bài giảng cơ học lượng tử

Chia sẻ: Đặng Hữu Tỵ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

409
lượt xem 118
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của vật lý học. Cơ học lượng tử là phần mở rộng và bổ sung của cơ học Newton (còn gọi là cơ học cổ điển).Theo thuyết sóng ánh sáng, thuyết hạt ánh sáng: hạt proton tạo ra 1 tỷ lệ số proton qua 1m2 trong 1s gọi là mật độ hạt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng cơ học lượng tử

BÀI GIẢNG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ I. XÁC SUẤT CỦA HÀM PHÂN BỐ LIÊN TỤC (TK) II. HÀM SÓNG III. TOÁN TỬ (OPERATOR) IV PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER V. HẠT TRONG HỐ THẾ VI. DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA VII. HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM
II. HÀM SÓNG (Wave fuction) 1. Biểu thức sóng phẳng đơn sắc tại điểm M cách nguồn O một đoạn : r OM 2 .r (r, t) Asin( t ) Asin( t k.r) T.v Véctơ sóng k xác định theo véctơ đơn vị của phương 2 truyền sóng: k n Hàm sóng ở dạng phức: vì Ae i A{cos i sin } ( r , t) A{cos( t k r ) i sin( t k r )} ( r , t) A exp[ i( t k r )]
1.Ý nghĩa thống kê của hàm sóng Theo thuyết sóng ánh sáng: 2 2 i. i I A A.e Ae * Thuyết hạt ánh sáng: hạt photon tạo ra I tỷ lệ số photon qua 1m2 trong 1 s gọi là mật độ hạt: 2 i. i 2 pr,t) ( . * A Ae A .e Vì Hàm sóng phức mô tả trạng thái vi mô của hạt chuyển động nhanh có bình phương của biên độ: 2 ( r , t) *A 2. Điều kiện chuẩn hóa: Xác suất tìm thấy hạt trong thể tích V bất kỳ mà hạt cư trú là 1.0. ( r , t ). * ( r , t )dV 1 V 3. Điều kiện của hàm sóng: 1- Giới nội. 2- Đơn trị. 3- Liên tục. 4- Đạo hàm bậc nhất của hàm sóng phải liên tục.
4. Quan hệ giữa sóng Broglie và vi hạt chuyển c động tự do có năng lượng E h h và xung lượng P mv 2 c 2 hc E Tính tần số góc: 2 . . h Còn véctơ sóng: k 2 n 2 h n P h Hàm sóng viết dưới dạng: ( r , t) A exp[ i( t k.r )] i A exp( )[ Et P r ]
Vận tốc Pha - Vận tốc nhóm Vận tốc Pha: Vận tốc truyền sóng sao cho pha là không đổi: Et Px E(t dt ) P ( x dx ) const suy ra : Edt Pdx dx E m.c 2 c2 hay: u dt P m.v v Vận tốc u lớn hơn vận tốc ánh sáng Vận tốc pha không phải là vận tốc truyền năng lượng. Vận tốc nhóm là vận tốc chuyển động của toàn bộ bó sóng. Vận tốc nhóm của bó sóng bằng vận tốc của hạt chuyển động. E c 2 P c 2 mv u v P A exp[ i( 2t E mc ( r , t) k r )]
III. TOÁN TỬ (OPERATOR) 1. Toán tử: Ánh xạ tác dụng lên một hàm biến hàm đó ˆ thành một hàm khác: Af ( x , y , z , t ) g ( x , y , z , t ) ˆ Ví dụ : 2x y 2 z A (2x y 2 z) f ( x , y, z ) 4 xt 2. Một số toán tử thông dụng A-Toán tử đạo hàm: A d d ˆ ˆ A(2x y 2 z) (2x y 2 z) 2 Ví dụ: dx dx Grad e1 e2 e3 B-Toán tử grad: x y z y 2 z) (2x y 2 z) y 2 e3 Ví dụ : grad ( 2 x 2e1 2 yze 2 2 2 2 C-Toán tử Laplace: ˆ A x2 y2 z2 Ví dụ : 2 (2 x y 2 z) 2 (2 x y 2 z) 2 (2 x y 2 z) ˆ A( 2 x y 2 z) x2 y2 z2 ˆ A(2x y 2 z) 2z
A. PHÉP TOÁN CHO TOÁN TỬ dˆ ˆˆˆ ˆBCA 1. PHÉP CỘNG: ;B x A dx Ví dụ : f ( x , y, z ) 2 x y 2 z ˆ ( 2 x y 2 z ) ( d x )f ( x , y, z ) 2 2 x 2 xy 2 z C dx ˆˆˆ ˆˆˆ ˆ 2. PHÉP TRỪ A B D BAE D Ví dụ: ˆ D(2x y 2 z) 2 2x 2 xy 2 z ˆˆ ˆˆ (A.B)f A(Bf ) 3. PHÉP NHÂN d ˆˆ {x ( 2 x y 2 z )} 4 x y 2 z Ví dụ : ( A.B)f dx ˆˆ ˆˆ (B.A)f B(Af ) d ˆˆ ˆˆ ˆˆ x{ ( 2 x y 2 z )} 2 x (B.A)f (A.B)f ( BA ) f dx
B. GIAO HOÁN TỬ dˆ d ˆ ˆˆ ˆˆ A ;B 1. Định nghĩa: A.B B.A dx dy Ví dụ : f ( x , y, z ) 2 x y 2 z dd d ˆˆ A.B( 2 x y 2 z ) { ( 2 x y 2 z )} ( 2 yz) 0 dx dy dx dd d ˆˆ B.A ( 2 x y 2 z ) { ( 2 x y 2 z )} ( 2) 0 dy dx dy 2. Các toán tử giao hoán được 2 2 ddd d2 d2 d2 ˆˆˆ x, y, z ;; ; ; 2; 2 dx dy dz dx dy dz 2 xy yx 3. Các toán tử không giao hoán được 2 2 d d d x; y; z; ; ... dx dy dz xy yz
ˆ ˆˆˆ 2. Tổ hợp toán tử giao hoán được ( A B)(C D ) ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ Khi mà AC C A AD D A ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ BC C B BD D B Bài tập : Xem các TT sau có thể giao hoán được với nhau ? Grad e1 e2 e3 x y z 2 2 2 ˆ A x2 y2 z2 ˆ r xe1 ye2 ze3 ˆ Grad r
C. TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH (LINEAR OPERATOR) 1. Định nghĩa: cho các hàm f1 f2…fn và các hằng số c1 c2…cn A là TT tuyến tính A{ c .f } ˆ ˆ c[ A.f ] i i i Các TT tuyến tính d d2 d2 d2 d d x; ; y; ; z; ; 2 ; 2 ; 2 dx dy dz dx dy dz Bài tập : Xem các TT sau có tuyến tính không ? Grad e1 e2 e3 x y z 2 2 2 ˆ A x2 y2 z2 ˆ r xe1 ye2 ze3 ˆ Lagrange Grad r
D. HÀM RIÊNG VÀ TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ ˆ Af ( x ) f (x) 1. Định nghĩa: d tìm hàm riêng trị riêng Ví dụ : Ta có a ˆ dx df ( x ) ˆ 2. Dùng định nghĩa af ( x ) f (x) dx df ( x ) 3. Chuyển vế: dx f (x) df ( x ) 4. Lấy tích phân dx ln f ( x ) c(ln c1 ) .x f (x) 5. Biến đổi x ln c1f ( x ) .x c1f ( x ) e f (x ) c 2e x 6. Kết luận: Có nhiều trị riêng khác nhau có nhiều hàm riêng khác nhau
E. TOÁN TỬ TỰ LIÊN HỢP TUYẾN TÍNH HERMITTE 1. Định nghĩa:Ta có f1 (x), f 2 (x) là các hàm bất kỳ ˆ ˆ f 1 ( x ) Af 2 ( x )dx f 2 ( x )[ A ].f 1 ( x )dx Â là TT Hermitte: d ˆ 2. Ví dụ Xét toán tử A i dx Xét vế trái : Dùng tích phân từng phần: d d i f 1 ( x ) f 2 ( x )dx i[f 1 f 2 ( f 2 f 1 dx )] dx dx Vế phải: f 2 ( x )[i d ].f 1 ( x )dx i f 2 ( x ) d f 1 ( x )dx dx dx So sánh: f1 ( x ).f 2 ( x ) 0 Để Â là Hermitte thì ta có: Kết luận: các hàm fi(x) khi nhân lẫn nhau bằng không Gọi là trực giao
Tính chất TT hermitte 1. Nó có trị riêng là các giá trị thực. 2. Các hàm riêng là trực giao: 1 khi L K f L ( x ).f K ( x ) (L K ) 0 khi L K 3. Các hàm riêng tạo thành một hệ đủ: một hàm bất kỳ được khai triển thành tổ hợp TT các hàm trực giao n U(x ) C k f k (x) k1
IV PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER Các tiên đề trong Cơ lượng tử 1. Mỗi đại lượng a trong CH cổ điển tương ứng một TT Hermitte â trong CH Lượng tử sao cho trị riêng của â là số thực bằng chính giá trị của đại lượng a. Ví dụ H là toán tử năng lượng có trị riêng là E 2. Hệ thức của các TT có hình thức giống hệt như các đại lượng cổ điển tương ứng ˆˆˆˆ x, y, z, r Ví dụ: TT tọa độ là phép nhân TT mômen xung lượng L [ r x.P] Hai TT giao hoán thì chúng có cùng hàm riêng và không tuân theo nguyên lý bất định.
Các toán tử thông dụng trong Cơ lượng tử 1. TT tọa độ= Tương ứng phép nhân ˆˆˆˆ x, y, z, r 2. Các toán tử xung lượng ˆ ˆ ˆ Px i Py i Pz i x y z 3. toán tử xung lượng tòan phần ˆ P i i [e1 . e2 . e3 . ] x y z 4. toán tử năng lượng: P2 E U( x , y, z) 2m ˆ P2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 2m 2m x y z ˆ U ( x , y, z ) U ( x , y, x ) toán tử thế năng
PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER Ý nghĩa 1. Hàm riêng và trị riêng của toán tử năng lượng. ˆ H ( x , y, z, t ) E ( x , y, z, t ) Nếu năng lượng là không đổi iEt iEt ( r , t) A exp( ) (r) A exp( ) ( x , y, z ) 2. PT Schodinger không phụ thuộc t ˆ ˆ H ( r ) H ( x , y, z ) E ( x , y, z ) 2 [ U ( x , y , z )] ( x , y , z ) E. ( x , y, z ) 2m Giải được:- Trị riêng là mức năng lượng - Hàm riêng mô tả trạng thái
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER MỤC ĐÍCH KHI GIẢI 1. TÌM TRỊ RIÊNG: Tức là xác định các mức năng lượng và xem nó có bị gián đọan không (lượng tử hóa) 2. TÌM HÀM RIÊNG: Dùng tính xác suất những nơi tìm thấy hạt (đám mây điện tử). Xác định hàm mật độ xác suất CÁC LƯU Ý KHI GIẢI 1. BIẾT DẠNG TOÁN TỬ THẾ NĂNG: Thường đó là một phép nhân. Nếu đơn giản thì U=0 2. CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN: 1D/ 2D/ 3D. Đơn giản là một chiều khi đó 2 2 d2 2 m dx 2 2m 3. Có khi phải tách không gian làm nhiều vùng khác nhau để tìm hàm sóng cho từng vùng.
V HẠT TRONG HỐ THẾ VUÔNG Bên trong hố 0 x a thì U = 0 U=0 Bên ngòai hố 0 > x và x > a thì U vô hạn Bên ngòai U lớn nên hạt không thể nhảy ra a 0 hạt chỉ tồn tại bên trong Phương trình S 2 2 2 2 ( ) ( x , y, z ) 0 E ( x , y, z ) 2 2 2 2m x y z Xét chuyển động theo 1 phương x nên: 2 2mE (x) 2m k 2 (x) k E (x) x2 2 Nghiệm là: (x) A sin kx Lưu ý tại x=a thì hàm sóng bằng không Asinka 0 sinn
n2 2 2E n m n 2 Kết quả: ka n kn k n a2 2 a 2 k2 n2 2 2 n En n 1,2,3... 2ma 2 2m Kết luận về mức năng lượng: 1- Năng lượng bị lượng tử hóa 2- Năng lượng tỉ lệ với bình phương các số nguyên 3- E1 là mức thấp nhất (Ground state) 4- Từ E2 lên trên là mức kích thích (excited state) 5- Khỏang cách các mức không đều 2 2 2 2 [(n 1) 2 n2] E En En (2n 1) 1 2 2 2ma 2ma