Bài giảng Chương 2: Tích phân bội (Phần 1)

Chia sẻ: Sung Sung | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

147
lượt xem 20
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Chương 2: Tích phân bội (Phần 1) giới thiệu tới các bạn những nội dung về bài toán thể tích; nhận dạng hàm khả tích, tính chất hàm khả tích, định lý giá trị trung bình, cách tính tích phân kép.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Chương 2: Tích phân bội (Phần 1)

Chương 2: TÍCH PHÂN BỘI Phần 1: TÍCH PHÂN KÉP
BÀI TOÁN THỂ TÍCH Xét vật thể hình trụ được giới hạn trên bởi mặt cong z = f(x, y) > 0, mặt dưới là Oxy, bao xung quanh là mặt trụ có đường sinh // Oz và đường chuẩn là biên của miền D đóng và bị D chận trong Oxy. Tìm thể tích .
z z = f(x, y) D y x
Xấp xỉ bằng các hình trụ con
Thể tích xấp xỉ của hình trụ con Vij S (Dij ) f ( xij* , y ij* ) V (Ω) = Vij i, j Dij
ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP Cho hàm số z = f(x, y) xác định trong miền D đóng và bị chận. D
Phân hoạch D thành các miền con D1, D2, …, Dn Sk là diện tích Dk của miền con Dk. d(Dk) = đường kính Dk = khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm trong Dk. d = max{d (Dk )} Đường kính phân hoạch k =1, n
Mk được chọn tùy ý trong Dk f(Mk) Sk S ( Dk ) D Mk n Sn = f (Mk )∆Sk Tổng tích phân của f k =1
n Sn = f (Mk )∆Sk k =1 f khả tích nếu: lim Sn < d 0 với phân hoạch tùy ý của D Tích phân kép của f trên D là giới hạn nếu có của Sn � �f ( x , y )ds = lim Sn D d 0
Phân hoạch D theo các đường // ox, oy Dij
Khi f khả tích, việc tính tích phân không phụ thuộc vào phân hoạch. Do đó có thể phân hoạch D theo các đường song song Ox, Oy. Dk là hình chữ nhật với các cạnh x, y Sk = x. y Thay cách viết tp kép � �f ( x , y )dxdy = � �f ( x , y )ds D D
Nhận dạng hàm khả tích • Đường cong (C) : y = y(x) trơn tại M(x0,y0) (C) nếu y’(x) liên tục tại x0. • (C) trơn từng khúc nếu (C) được chia thành hữu hạn các đoạn trơn. Nếu f(x,y) liên tục trên miền D đóng, bị chận và có biên trơn từng khúc thì f khả tích trên D.
Tính chất hàm khả tích Cho D là miền đóng và bị chận 1 / S (D) = � �1dxdy (Diện tích D) D 2/� �c.f ( x , y )dxdy = c.� �f ( x , y )dxdy D D � �(f + g )dxdy = � �fdxdy + � �gdxdy D D D 3 / D = D1 U D2 , D1 va � D2 khong dam nhau � � (toi � a ch�� d nh bien) � �fdxdy = � � �fdxdy + � �fdxdy D1 UD2 D1 D2
Định lý giá trị trung bình D là miền liên thông nếu 2 điểm tùy ý trong D có thể nối nhau bởi 1đường cong liên tục trong D. Cho f liên tục trên tập đóng, bị chận, liên thông D. Khi đó tồn tại M0(x0, y0) D sao cho 1 f (M0 ) = ��f ( x , y )dxdy S (D) D 1 gọi là giá trị trung ��f ( x , y )dxdy S (D ) D bình của f trên D.
CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP y = y 2 (x) a x b D: y1 ( x ) y y2 (x) D b y2 (x ) f ( x , y )dy dx y = y1 ( x ) a y1 ( x ) a b b y2 (x) Cách viết: � � D � f ( x , y )dxdy = dx a y1 ( x ) f ( x , y )dy
d x = x2 ( y ) D c y d D: x1 ( y ) x x2 ( y ) c d�x2 ( y ) � � f ( x , y )dx � dy x = x1 ( y ) � � c�x1 ( y ) � d x2 ( y ) Cách viết: � �D f ( x , y )dxdy = dy � c x1 ( y ) f ( x , y )dx
VÍ DỤ 1/ Tính I = � �xydxdy D với D là tam giác OAB,O(0, 0), A(1, 0), B(1, 1) 0 x 1 CÁCH 1 D: 0 y x B 1 x 1 x 2 � � 1 y x I = dx xydy = x � �dx y= �2� 0 0 0 0 A 1 3 x 1 O 1 = dx = 2 8 0
I=� �xydxdy B 1 D x y= 1 1 A = dy xydx O 1 0 y 1 CÁCH 2 2 1 � x � = y � �dy 0 y 1 �2� y D: 0 y x 1 1 2 1− y 1 = y dy = 2 8 0
2/ Tính I = � �( x + y )dxdy D với D: x2 + y2 1, y 0 2 y = 1− x 1 1− x 2 I= dx ( x + y )dy −1 0 1 2� 1− x 2 � y -1 1 = � xy + � dx � 2�0 −1 −1 x 1 1 D: 2 � 2 1− x 2� 2 0 y 1− x = � x 1− x + dx = � � 2 � 3 −1
2 y = 1− x I=� �( x + y )dxdy D 1 1− y 2 I = dy �� 0 ( x + y )dx -1 1 1− y 2 1 0 y 1 = 2 y 1 − y dy 2 D: 2 2 − 1− y x 1− y 0 2 = 3