intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng chuyên đề Phương pháp tính Phần 9

Chia sẻ: Leslie Nguyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Thêm vào BST
Báo xấu
127
lượt xem 34
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Như đã phân tích ở chương hai, một bài toán có miền hình học phức tạp, có thể xem như là tập hợp của nhiêu dạng hình học đơn giản (gọi là miền con hay phân tử –element); để viec xây dựng hàm xấp xỉ (hay còn gọi là hàm nội suy- interpolation function) trên miền con này được dễ dàng, hàm xấp xỉ được xây dựng một cách hệ thống cho hâu hết dạng hình học

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng chuyên đề Phương pháp tính Phần 9

  1. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t Chương 8 PHƯƠNG PHÁP PH N T H UH N Như ã phân tích chương hai, m t bài toán có mi n hình h c ph c t p, có th xem như là t p h p c a nhi u d ng hình h c ơn gi n (g i là mi n con hay ph n t –element); vi c xây d ng hàm x p x (hay còn g i là hàm n i suy- interpolation function) trên mi n con n y ư c d dàng, hàm x p x ư c xây d ng m t cách h th ng cho h u h t d ng hình h c, hàm x p x n y ch ph thu c vào phương trình vi phân, t ó hình thành phương pháp ph n t h u h n. V i phương pháp ph n t h u h n, mi n tính toán ư c xem như là t p h p nhi u mi n con h u h n (finite element) có d ng hình h c ơn gi n (simple shape-element). Trên m i mi n con n y, phương trình ch o (governing equation) ư c thi t l p v i s d ng m t phương pháp bi n phân nào ó. Các ph n t ư c liên k t v i nhau và ph i tho mãn i u ki n cân b ng và liên t c c a các bi n ph thu c qua biên c a các ph n t . 8.1 Các lo i ph n t Mi n tính toán ư c chia thành nhi u mi n con (còn g i là ph n t ); n u mi n tính toán là m t chi u, ta có ph n t m t chi u, mi n tính toán là hai chi u ta có ph n t hai chi u, mi n tính toán là ba chi u ta có ph n t ba chi u. Các lo i ph n t m t chi u Các lo i ph n t hai chi u Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 72
  2. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t Các lo i ph n t ba chi u 8.2 Hàm n i suy L i gi i x p x c a n s bài toán ư c cho b i: n h = ∑ j = 1 h j .N j (3.1) Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 73
  3. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t ây Νj là hàm n i suy (interpolation functions) và hj là n c a bài toán t i nút c a ph n t . Ta cũng có th mô t hình d ng c a ph n t b ng cách dùng các to c a m i nút trong ph n t (xem Hình 3.1): n x( p) = ∑ j =1 S j ( p ). x j (3.2a) n y( p) = ∑ j =1 S j ( p ). y j (3.2b) n z( p) = ∑ j=1 S j ( p ). z j (3.2c) Vì r ng hàm n i suy Sj ư c dùng xác nh hình d ng c a ph n t , nên thư ng ư c g i là hàm d ng (shape functions). Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 74
  4. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t Hình 3.1: Hàm n i suy và hàm d ng c a ph n t m t chi u B c c a a th c dùng n i suy và các hàm d ng bên trong ph n t có th là khác nhau; ngư i ta phân ra ba lo i như sau: Ph n t dư i tham s (subparametric elements) khi b c a th c hàm d ng nh hơn b c a th c n i suy. Ph n t ng tham s (isoparametric elements) khi b c a th c hàm d ng b ng b c a th c n i suy. Ph n t trên tham s (superparametric elements) khi b c a th c hàm d ng l n hơn b c a th c n i suy (xem Hình 3.2). Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 75
  5. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t a s các bài toán trong th c t dùng ph n t ng tham s và hàm d ng ng nh t v i hàm n i suy.Hình 3.2: Minh ho v nh nghĩa các lo i ph n t m t chi u dư i tham s , ng tham s , và trên tham s Khi t i các nút ch ch a n s h c a bài toán, thư ng x d ng hàm n i suy Lagrange (ph n l n các hàm n i suy trong các bài toán ch t l ng ư c x d ng b i n i suy Lagrange, do ó ây ch gi i thi u n i suy Lagrange ); n u t i các nút còn có n s là o hàm ∂h / ∂xi thư ng x d ng hàm n i suy Hermite. Hàm n i suy Lagrange ư c xây d ng t a th c như sau: x − xm N k ( x) = ∏ (3.3) m= 0 xk − xm k≠m V i m là s nút xm là to nút th m Tính ch t c a hàm n i suy Hàm n i suy có các tính ch t sau: - Tính ch t 1: Hàm n i suy có giá tr b ng 1 t i nút ó và b ng 0 t i các nút khác. - Tính ch t 2: Các hàm n i suy tho bi u th c sau: n ∑ N (ξ ).P (ξ ) = P (ξ ), j = 1,2,....n i =1 i j i j (3.4) V i Pj(ξi) là a th c cơ s c a hàm n i suy. Hàm n i suy có th ư c xây d ng trong h to t ng th (global coordinates) ho c h to a phương (local coordinates), thông thư ng v i các bài toán ph c t p (n i suy b c cao các bài toán hai ho c ba chi u) ph i s d ng hàm n i suy trong to a phương. 8.2.1 Hàm n i suy cho bài toán m t chi u (i) N i suy tuy n tính trong h to t ng th : N = [N 1 N2 ] (3.5) x −x x − xA V i N1 = B , N2 = xB− x A xB − x A (ii) N i suy d ng Lagrange b c hai trong h to t ng th : Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 76
  6. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t N ≡ [N 1 N 2 N 3 ] (3.6) 1 trong ó N i (x ) = ( α ie + β ie x + γ ie x ) v i i =1,2,3 De ( ) ( ) e 2 α ie = xie x k − x k x ej e 2 Trong ó : β ie = (x ) − (x ) e 2 j e 2 k 3 γ ie = −(x − x ) , e j D = ∑α e k e e i i =1 (iii) N i suy tuy n tính trong h to a phương N ≡ [N 1 N2 ] (3.7a) v i: Ni  1  N 1 = 2 (1 − ξ )  N1 N2  (3.7b) 1.0  N 2 = 1 (1 + ξ )   2 -1 0 ξ 1 (iv) N i suy b c hai d ng Lagrange trong h to a phương: N ≡ [N 1 N2 N3 ] u1 u2 u3 u1 u2 u3 1 2 3 1 2 3 0 ξ x1 x1 + x3 x3 x -1 1 x2 = 2 −1 ≤ ξ ≤ 1 nd = 3 x1 ≤ x ≤ x3 vr n=3 ve r 1 1 N 1 = − ξ (1 − ξ ), N 2 = (1 + ξ )(1 − ξ ), N 3 = ξ (1 + ξ ) (3.7c) 2 2 (v) N i suy b c ba d ng Lagrange trong h to a phương: N ≡ [N 1 N2 N3 N4 ] u1 u2 u3 u4 u1 u2 u3 u4 1 1 2 3 4 1 2 3 4 2 x1 + x 4 2 x1 + x 4 x2 -1 − 1/ 3 0 1 / 3 1 x1 x2 = x3 = 3 3 −1 ≤ ξ ≤ 1 x1 ≤ x ≤ x 2 nd = 4 vr n=4 ve r Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 77
  7. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t  9 1  1   N 1 = − 16 (1 − ξ ) 3 + ξ  3 − ξ       27 N 2 = (1 + ξ )(1 − ξ ) 1 − ξ     16 3   (3.7 d )  N = 27 (1 + ξ )(1 − ξ ) 1 + ξ     3 16 3    N = − 9  1 + ξ  1 − ξ (1 + ξ )  4     16  3  3  8.2.2 Hàm n i suy cho bài toán hai chi u (i) N i suy tuy n tính trong h to t ng th cho ph n t tam giác: N ≡ [N 1 N 2 N 3 ] (3.8) 1 ây: N1 = 2A ( α ie + β ie x + γ ie y ) (3.8a) v i: i = 1 , 2, 3 hoán v vòng tròn α i = x j y k − xk y j β i = y j − yk γ i = −(x j − x k ) (ii) N i suy tuy n tính trong h to a phương cho ph n t tam giác: N = [N 1 N 2 N 3 ] (3.8b) η y u3 3 2 u2 u3 3 t n 1 u1 1 2 u1 u2 ξ x vr ve n =3 n=3 nd = 3 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 78
  8. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t v i: N1 = 1 − ξ − η, N 2 = ξ , N 3 = η N u i m g c to a phương ư c ch n khác như hình sau, thì hàm n i suy cho ph n t tam giác cũng s thay i theo: η 1 1 N 1 = − (ξ + η ) 2 1 ξ N 2 = (1 + ξ ) (3.8b' ) 2 1 -1 N 3 = (1 + η ) 1 2 - (iii) N i suy b c hai trong h to a phương cho ph n t tam giác: η y u5 n t 5 u4 u5 5 4 u3 3 u4 u6 6 2 u6 6 4 u2 1 1 2 3 u1 u1 u2 u3 ξ x n=6 nd = 6 N 1 = λ (1 − 2 λ ), N 4 = 4ξλ N 2 = 4ξλ , N 5 = −η (1 − 2η ) N 3 = −ξ (1 − 2ξ ), N 6 = 4ηλ (3.8c) V i: λ = 1− ξ −η (iv) N i suy tuy n tính trong h to a phương cho ph n t t giác: Hàm d ng: N = [N1 N 2 N 3 N 4 ] (3.8d) Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 79
  9. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t 1 1 N1 = (1 − ξ )(1 − η ), N3 = (1 + ξ )(1 + η ) 4 4 1 1 N 2 = (1 + ξ )(1 − η ), N 4 = (1 − ξ )(1 + η ) 4 4 y η u4 u3 u3 4 3 3 u4 4 ξ 1 2 u2 u1 1 2 ve u1 u2 n=4 x v r n=4 nd = 4 (v) N i suy b c hai trong h to a phương cho ph n t t giác: y η 5 4 x1 + x3 6 x2 = 1 2 3 7 6 5 7 9 etc 8 2 -1 8 4 1 … 9 ξ 1 1 2 3 -1 x nd = 9 ve r v n =9 1 1 ψ 1 = ξη (ξ − 1)(η − 1), ψ 2 = ξη (ξ + 1)(η − 1) 4 4 1 1 ψ 3 = ξη (ξ + 1)(η + 1) , ψ 4 = ξη (ξ − 1)(ξ + 1) 4 4 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 80
  10. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t 1 1 ψ 5 = η (1 − ξ 2 )(η − 1) , ψ 6 = ξ (ξ + 1)(1 − η 2 ) 2 2 1 1 ( ) ψ 7 = η 1 − ξ 2 (η + 1) , ψ 8 = 2 2 ( ξ (ξ − 1) 1 − η 2 ) ( ψ 9 = 1− ξ 2 1−η 2 )( ) (3.8e) 8.2.3 Hàm n i suy cho bài toán ba chi u (i) N i suy tuy n tính trong h to a phương cho ph n t hình chóp: z u4 ζ 4 u4 1 3 u3 u1 4 2 u1 3 u2 1 u3 η y 2 ξ u2 x ve vr n=4 nd = 4 N1 = 1 − ξ − η − ζ , N3 = η N2 = ξ , N4 = ζ (3.9a) (ii) N i suy b c hai trong h to a phương cho ph n t hình chóp: ζ N 1 = − λ (1 − 2λ ) 1 N 2 = 4ξλ 7 9 N 3 = −ξ (1 − 2ξ ) (3.9b) 8 6 N 4 = 4ξη 1 η N 5 = −η (1 − 2η ) 5 2 N 6 = 4ηλ 4 3 ξ Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 81
  11. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t N 7 = 4ζλ , N 8 = 4ξζ v i: λ = 1− ξ −η −ζ N 9 = 4ηζ , N 10 = −ζ (1 − 2ζ ) (iii) N i suy tuy n tính trong h to a phương cho ph n t ba chi u hình tr áy tam giác: z ζ 6 ξ ≥0 4 6 η≥0 3 3 5 1−ξ −η ≥ 0 4 −1≤ ζ ≤ 0 2 η 1 ζ = −1 y 1 ξ 3 v r ve 2 x n=6 nd = 6 N 1 = λa , N 4 = λb N 2 = ξa , N 5 = ξb (3.9c) N 3 = ηa , N 6 = ηb V i: 1−ζ 1+ ζ λ = 1 − ξ − η, a= , b= 2 2 (iv) N i suy tuy n tính trong h to a phương cho ph n t ba chi u hình tr có áy t giác: z 8 ζ −1≤ξ≤1 6 7 5 −1≤η≤1 5 −1≤ζ≤1 6 4 3 η 1 4 2 1 3 y 2 ξ vr n=8 n=8 nd = 8 ve x Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 82
  12. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t 1 N1 = (a 2 b2 c2 ), N 2 = 1 (a1 b2 c2 ), N 3 = 1 (a1 b1 c2 ) c c c 1 N4 = (a 2 b1 c1 ) , N 5 = 1 (a 2 b2 c1 ), N 6 = 1 (a1 b2 c1 ) c c c 1 1 N7 = (a1 b1 c1 ) , N8 = (a 2 b1 c1 ) (3.9d) c c V i: a1 = 1 + ξ , a 2 = 1 − ξ b1 = 1 + η , b2 = 1 − η c1 = 1 + ζ , c2 = 1 − ζ 8.3 Tích phân s 8.3.1 Liên h gi a các h to t ng th và h to a phương V i phương pháp ph n t h u h n mi n tính toán Ω ư c chia nh thành nhi u mi n con, phương pháp bi n phân tr ng s xây d ng trên các mi n con này. Do ó d n n tích phân hàm d ng trên mi n con. N u tích phân hàm d ng b c cao v i s d ng h to t ng th (x,y,z, global coordinate) thì thông thư ng s xu t hi n các bi u th c i s r t ph c t p khi ph n t là hai, ba chi u (Irons and Ahmad, 1980). Thay vào ó n u chúng ta th c hi n chúng trong h to a phương (ξ,η,ζ, local coordinate) hay còn g i là to chu n hay to t nhiên (normal coordinate hay natural coordinate) thì s ơn gi n hơn r t nhi u (Taig, 1961); b i l nó thu n l i trong vi c xây d ng hàm n i suy, tích phân s dùng ư c cách thi t l p c a Gauss-Legendre (ph bi n nh t). y Ph n t th c η Ph n t chi u e τ Xk 0,1 1→ x i 3 2→ x j xi ve vr 3→ x k 1 2 Xj 0,0 ξ 1,0 x Hinh3.3: Bi u th ph n t chi u Vr vào ph n t th c Ve Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 83
  13. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t V i ph n t ng tham s (isoparametric), ta có th vi t công th c bi n i to cho ph n t t giác tuy n tính có b n i m nút như sau: 4 x = ∑ N i xi = N1 x1 + N 2 x2 + N 3 x3 + N 4 x4 i =1 4 y = ∑ N j x j = N1 x1 + N 2 x2 + N 3 x3 + N 4 x4 (3.10) j =1 V i ph n t tam giác tuy n tính có ba i m nút: ây Ni, Nj là hàm d ng hay còn g i là hàm n i suy (shape function hay 3 x = ∑3N i xi = N1 x1 + N 2 x2 + N 3 x3 i ∑ y ==1 N j y j = N1 y1 + N 2 y 2 + N 3 y3 j =1 (3.11) interpolation function). T lu t o hàm o hàm riêng ph n, ta có:  ∂   ∂x ∂y   ∂  ∂  ∂ξ   ∂ξ ∂ξ   ∂x          = J  ∂x    =   ∂ (3.12)  ∂   ∂x ∂y   ∂     ∂η   ∂η ∂η   ∂y        ∂y    ∂  ∂   ∂x      −1  ∂ξ  Hay: ∂ =J   (3.13)   ∂   ∂y     ∂η    ây J là ma tr n Jacobian bi n i to . nh th c c a ma tr n n y, det J , cũng ph i ư c ư c lư ng b i l nó ư c dùng trong các tích phân bi n i như sau: + Cho ph n t t giác tuy n tính: 1 1 ∫∫ dxdy = ∫ ∫ det J dξ dη (3.14) ω e −1 −1 + Cho ph n t tam giác tuy n tính: 1 1−ξ ∫∫ dxdy = ∫ ∫ det J dη dξ (3.15) ωe 0 0 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 84
  14. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t 2 2 3 3 4 4 1 1 Hình 3.4: Ph n t t giác có ma tr n Jacobian không xác nh Trong m t s trư ng h p, ví d như Hình 3.4, ph n t t giác có 4 i m nút. N u d ng hình h c như v y, ma tr n Jacobian tr nên không xác nh; nó có giá tr t t, các hình d ng ph n t như c nh và góc c a nó c n ph i u n hơn (ví d tam giác u, t giác u ≡ hình vuông, ây là các d ng ph n t lý tư ng). 8.3.2 Tích phân s M t s tích phân c a các lo i bài toán hai chi u (2D), ba chi u (3D), theo phương pháp ph n t h n h n có th ư c ư c lư ng b ng gi i tích, nhưng nó không th c d ng cho các hàm s ph c t p, c bi t trong trư ng h p t ng quát khi (ξ ,η ) là to cong. Trong th c hành (3.14), (3.15) ư c ư c lư ng b ng s , g i là tích phân s (numerical integration hay còn g i là numerical quadrature). Dùng tích phân s c a Gauss, v i ph n t t giác, mi n hai chi u ta có: 1 1 n n ∫∫ f (ξ , η )dξdη ≅ ∑∑ wi w j f (ξ i ,η j ) (3.16) −1 −1 i =1 j =1 V i ph n t tam giác: 1 1−ξ 1 n ∫∫ f (ξ ,η )dηdξ ≅ ∑ wi f (ξ i ,η i ) 2 i =1 (3.17) 0 0 V i ph n t t giác thì wi, wj là h s tr ng s và ξ i ,η j là các v trí to bên trong ph n t , cho B ng 2 (xem Kopal 1961); còn v i ph n t tam giác, tương t như ph n t t giác, nhưng các i m tích phân là các i m m u (sampling points), B ng 1. Thông thư ng ngư i ta mu n các tích phân s t chính xác cao, nhưng có nh ng trư ng h p c bi t l i không c n thi t. tích phân Gauss (3.16), v i n = 2, s chính xác khi hàm f là cubic (b c 3), còn tích phân (3.17), n = 1, s chính xác khi a th c f b c nh t, còn n = 3 s chính xác khi a th c f b c hai. Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 85
  15. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t B ng 1: i m tích phân cho ph n t tam giác theo công th c (3.17) n ξi ηi wi 1 1/ 3 1/ 3 1 1/ 2 1/ 2 1/ 3 3 1/ 2 0 1/ 3 0 1/ 2 1/ 3 B ng 2: Tr ng s và i m tích phân Gauss – Legendre theo công th c (3.16) i m tích phân S i m tích Tr ng s wi ξi phân r 0.0000000000 M t i m 2.0000000000 ± 0.5773502692 Hai i m 1.0000000000 0.0000000000 Ba i m 0.8888888889 ± 0.7745966692 0.5555555555 ± 0.3399810 435 B n i m 0.6521451548 ± 0.8611363116 0.3478548451 0.0000000000 0.5688888889 ± 0.5384693101 Năm i m 0.4786286705 ± 0.9061798459 0.2369268850 ± 0.2386191861 0.4679139346 ± 0.6612093865 Sáu i m 0.3607615730 ± 0.9324695142 0.1713244924 8.4 Các bư c tính toán cơ b n và k thu t l p trình cho máy tính s theo phương pháp ph n t h u h n áp d ng cách gi i bài toán theo phương pháp ph n t h u h n ngư i ta th c hi n các bư c sau: - Bư c 1: R i r c hoá mi n kh o sát Chia mi n kh o sát V thành ne mi n con V(e) hay các ph n t có d ng hình h c nh t nh. Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 86
  16. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t ne Ta có: V = ∑ V ( e ) , (3.18) e =1 V i cách chia mi n tính toán V b ng t ng các mi n con V(e) , mô hình th c t ư c thay b ng mô hình tính toán v i ne ph n t h u h n ư c liên k t v i nhau b i các i m nút và t i m i i m nút t n t i các i lư ng th hi n s tác ng qua l i c a các ph n t k nhau, như v y bài toán h liên t c có b c t do vô h n ư c thay b ng bài toán tính h có b c t do h u h n ơn gi n hơn nhi u. Ví d v i các bài toán th m thư ng có các d ng sơ sau: Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 87
  17. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t - M t chi u: Mưa L p không th m Nút Ph n t - Hai chi u: M t t M c nư c ng m Ph n t Ph nn t Ph - Ba chi u: - Bư c 2: Ch n hàm x p x thích h p Phương pháp ph n t h u h n áp d ng ây thư ng là phương pháp Galerkin- g i t t là phương pháp ph n t h u h n Galerkin. tìm ư c nghi m trên các mi n con i u quan tr ng là ph i ch n hàm to Np(e) ( hay còn g i là hàm n i suy, hàm d ng) m b o s liên t c c a các i lư ng c n tìm gi a các ph n t trong mi n D. -Bư c 3: Xây d ng phương trình ph n t Mi n V ư c chia thành ne ph n t (mi n con V(e) ) b i R i m nút. T i m t nút có s b c t do, thì s b c t do c a c h là: n = R.s G i { q } là véc-tơ n c a toàn h , { q } e là véc-tơ n c a m i ph n t ; gi s m i ph n t có r nút, thì s b c t do c a m i ph n t là: r. s Ta có liên h { q } e = [L]e . { q } (3.19) Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 88
  18. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t (ne.1) = (ne.n) x (n .1) V i [L]e ư c g i là ma tr n nh v . ng v i m i ph n t , ta có phương trình ma tr n: [K]e{ q }e = {C} e (3.20) [K]e ma tr n ph n t , {C]e vectơ v ph i ph n t {q}e là t p h p các giá tr c n tìm t i các nút c a ph n t -Bư c 4 : Ghép n i các ph n t T p h p cho t t c các ph n t trong mi n V, ta có: ne ne ∑ e =1 [K]e { q } e = ∑ e =1 {C} e Vi t l i: [ K ].{ q } = { C } (3.21) ne ne Trong ó: [K ] = ∑ [K]e = ∑ [L]eT[K]e[L]e e =1 e =1 ne ne {C } = ∑ {C} e = ∑ [L]eT{C} e e =1 e =1 {K}- Ma tr n t ng th {q} - Vectơ t p h p t ng các n c n tìm t i các nút (t ng b c t do t i các nút) { C } Vectơ các s h ng t ng th v ph i Như v y vi c s d ng ma tr n nh v [L]e tính [ K ] và { C }, th c ch t là s p x p các ph n t [K]e , {C} e vào v trí c a nó trong [ K ] và { C }. Tuy nhiên trong th c hành ngư i ta không dùng cách n y. Sau ây, s gi i thi u m t cách ghép n i tr c ti p thi t l p ma tr n t ng th và vectơ v ph i t ng th mà không c n x d ng ma tr n nh v [L]e . Gi s xét bài toán th m có áp trong mi n Ω (A B C D E F), mi n ư c chia thành 8 ph n t tam giác (ne =8), có 9 i m nút (R =9), t i m i i m nút có s b c t do (s n s t i nút ), ây s =1 là c t nư c th m, m i ph n t tam giác có 3 i m nút (r = 3); thì s b c t do c a m i ph n t là: r ×s = 3×1 = 3 (xem Hình 3.5). Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 89
  19. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t Y(m) Vn = 0 F E D k i 3 9 6 4 8 3 7 Ω 2 5 6 8 i 2 j 1 4 5 1 7 X(m) A B C Vn = 0 Hình 3.5: Ví d bài toán th m có áp mi n tính toán (ABCDEF) N u cũng v i ph n t tam giác có ba i m nút n y r = 3, t i m i nút có ba n h, u, v như bài toán dòng ch y h hai chi u ngang s = 3, thì s b c t do c a m i ph n t là r. s = 3x3 = 9, ta s ư c ma tr n ph n t (9,9). ơn gi n ta xét ph n t tam giác t i m i nút có m t b c t do. M i ph n t ( ây là tam giác) ư c ánh s các nút (i,j, k), theo chi u ư c qui ư c (ch ng h n ngư c chi u kim ng h ), nút i ư c qui ư c là nút bên trái và th p nh t. V i m i ph n t b t kỳ ne ta có ma tr n ph n t [K]e và vectơ v ph i {C}e như sau:  K ii e e K ij K ik  e cie      [K ] e = K eji Kejj Ke  jk , {C} e = c ej   K ki e e K kj K kk  e c e     k V i cách ánh s nút và ph n t như trên ta có 8 ph n t v i các nút tương ng (i,j,k) như sau: e1(1,4,5), e2(1,5,2), e3(2,5,6), e4(2,6,3), e5(4,7,8), e6(4,8,5), e7(5,8,9), e8(5,9,6) Ví d ph n t : e4(i,j,k) ≡ e4 (2,6,3) K 4 22 4 K 26 K 23  4 c 2  4  4   4 [K]e=4 = K 4 62 4 K 66 K 63  , và {C} e=4 = c 6  K 4 4 K 36 K 33  4 c 4   32   3 M i h s Kije ch e ch s trên, ch h s n y thu c ma tr n ph n t nào; i là hàng nào trong ma tr n t ng th , j là c t nào trong ma tr n t ng th . Ví d K624 ây là h s c a ma tr n ph n t e = 4, n m trong hàng 6 c t 2 c a ma tr n t ng th .và ma tr n t ng th : Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 90
  20. Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t ne 8 [ K ] = ∑ [K ]e = ∑ [K ] e = [X] e =1 e =1  1 2 3 4 5 6 7 8 9  1 1 2 2 1 1 2   k11 +k11 k12 k14 k15 +k15  2 k2 k +k +k4 2 3 4 k23 2 3 k25 +k25 3 4 k26 +k26   21 22 22 22  3 4 k32 4 k33 4 k36    4 k 1 1 5 6 k44 +k44 +k44 1 6 k45 +k45 5 5 k47 k48 +k48 6  = 1 2  41 [X] 5 k51 +k51 k22 +k32 k54 +k54 k55 +k25 +k55 +k55 +k55 +k55 k56 +k56 1 6 1 3 6 7 8 3 8 k68 +k58 k79 +k59 7 8  5 3 5 4 4 5 3 8 3 4 8 5 5  6 k62 +k62 k63 k65 +k65 k66 +k66 +k66 k89  6  5 5 5  7 k74 k77 k78    8 k84 +k64 5 8 k65 +k75 8 8 k87 k88 +k88 +k88 k79  5 5 6 7 8 9 8   k75 +k85 9 9 8 k96 7 k98 k79 +k99  9  …..(3.22) C ng m t cách tương t cho vectơ v ph i { C }, v i chú ý phép c ng n y gi ng c ng các s h ng trên ư ng chéo chính c a ma tr n t ng th [ K ]: ne {C } = ∑e =1 {C} e (3.23) Ta th y ma tr n t ng th các ph n t khác không có d ng ư ng chéo (hay còn g i là d ng Band). ti t ki m b nh và th i gian tính c a máy tính, ngư i ta ch lưu tr các ph n t khác không n y và thu t toán cũng ch tính toán v i các ph n t khác không. Ngư i ta ph i lưu tr c ma tr n d ng band n y khi ma tr n band có chi u r ng Band h p (liên quan n cách ánh s nút c a các ph n t ), không i x ng (Hình 3.6). Ch c n lưu tr m t n a band khi ma tr n i x ng. Khi chi u r ng Band l n và trong các hàng c a Band còn nhi u ph n t b ng không, ngư i ta có th d n ma tr n l i thành ma tr n Band h p hơn, như v y s c n thêm ma tr n nh v n a. Tuy nhiên v i cách lưu tr ma tr n Band dù theo ki u nào, thì trong Band v n còn m t s h s ph n t b ng không; do ó lo i b các ph n t b ng không trong Band, ngư i ta còn có cách lưu tr các ph n t khác không n y d ng vectơ g i là k thu t frontal method. Thi t l p ma tr n t ng th c a bài toán d ng ma tr n Band Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 91
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí
65 tài liệu
2430 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2