intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 10

Chia sẻ: Lê Nam | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:34

Thêm vào BST
Báo xấu
74
lượt xem 10
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một trong những mô hình đơn giản nhưng rất điển hình của chuyển động một chiều là dao động tử điều hoà, với hàm thế năng giống như trong Cơ học cổ điển. ở đây, ta sẽ dùng hai phương pháp để nghiên cứu chuyển động như vậy..

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 10

  1. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc l­îng tö Ng uyÔn V¨n Khiªm
  2. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bµi 10 Dao ®é ng tö ®iÒu ho µ
  3. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Mé t tro ng nh÷ng m« h×nh ®¬n g i¶n nh­ng rÊt ®iÓn h×nh c ña c huyÓn ®é ng mé t c hiÒu lµ dao ®é ng tö ®iÒu ho µ, víi hµm thÕ n¨ng g iè ng nh­ tro ng C¬ häc c æ ®iÓn. ë ®©y, ta s Ï dïng hai ph­¬ng ph¸p ®Ó ng hiªn c ø u c huyÓn ®é ng nh­ vËy: ph­¬ng ph¸p g i¶i tÝc h th«ng th­ê ng vµ ph­¬ng ph¸p c ¸c to ¸n tö s inh vµ huû. 1.Gi¶i b µi to ¸n v Ò d ao ®é ng tö b »ng p h­¬ng p h¸p g i¶i tÝc h XÐt chuyÓn ®éng cña mét h¹t l­îng tö trong tr­êng thÕ n¨ng cã d¹ng: mω 2 2 U ( x) = x (10.1) 2 §å thÞ hµm thÕ n¨ng nh­ vËy lµ ® ­êng parabole ® qua gèc i to¹ ® vµ nhËn trôc tung lµm trôc ® xøng é èi
  4. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Ph­¬ tr× cho tr¹ng th¸i dõng cã d¹ng: ng nh  2 d 2ϕ mω 2 2 − 2 + x ϕ = Eϕ (10.2) 2m dx 2 §Ó phÇn nµo ® n gi¶n ho¸ ph­¬ tr× ta ® ¬ ng nh, Æt: mω E x = ξ; =λ  ω Khi ® (10.2) trë thµnh ã, . d 2ϕ + ξ 2ϕ = 2λϕ (10.3) dξ 2 TiÕp theo, ®Æt 1 dϕ = f (10.4) ϕ dξ
  5. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Khi ® (10.3) cã d¹ng: ã, df + f 2ϕ = ξ 2 − 2λ (10.5) dξ Víi ξ ® lín, ta t× nghiÖm cña (10.5) d­íi d¹ng: ñ m +∞ ak f =∑ k k = −1ξ h c 1  p q  f = aξ + b + + 2  d + + 2 + ... ay ξ ξ  ξ ξ   Víi f nh­ vËy, ta cã: df c  1  = a − 2 + Θ 3  ξ  (10.6) dξ ξ  
  6. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam trong ® Θ( x ) lµ ® l­îng cïng bËc víi x khi x → 0 ã ¹i vµ: c2 1 2a f 2 = a 2ξ 2 + b 2 + 2 + 4 ( d + ...) + 2aξ + 2ac + ( d + ...) + 2 ξ ξ ξ 2bc 2b 2c + + 2 ( d + ...) + 3 ( d + ...) ξ ξ ξ Do ® vÕ tr¸i cña (10.5) sÏ b»ng: ã, 1 a ξ + 2aξ + b + 2ac + a + Θ  2 2 2 ξ    So s¸nh víi vÕ ph¶i cña (10.5), ta ®­îc: a 2 =1, 2ab =0; b 2 +2ac +a =-2λ.
  7. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Suy ra: a =± 1, b =0; 2ac +a =-2λ. Nh­ vËy, nÕu chän a =1, ta cã 2c +1 =-2λ hay c =-λ - 1/2 vµ  1  λ+   2  1  f = f1 = ξ − + Θ 2  ξ  (10.6) ξ   MÆt kh¸c, tõ (10.4) ta cã ln ϕ lµ nguyªn hµm cña f. Víi f = f1, ta cã ϕ = ϕ1 s ao cho: ξ2  1 1 ln ϕ1 = −  λ +  ln ξ + Θ  ξ  2  2  
  8. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Suy ra: ξ2  1 + θ1 ( ξ ) − λ +  ϕ1 = e ξ 2  2 (10.7) Trong ®ã θ 1 ( ξ ) ≈ 1 vµ nghÞch biÕn theo ξ T­¬ tù, víi a =-1, ta cã 2c +1 =2λ hay c =λ - 1/2 vµ ng  1 λ +   2  1  f = f 2 = −ξ + + Θ 2  ξ  (10.8) ξ   T­¬ øng ta còng cã ng ξ2  1 − + θ2 (ξ ) λ−  ϕ2 = e 2 ξ  2 (10.9)
  9. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Trong ®ã θ 2 (ξcòng gÇn víi 1 vµ nghÞch biÕn theo ) ξ NghiÖm tæng qu¸t cña (10.3) khiξ ® lín lµ: ñ ξ2  1 ξ2  1 − .θ1 ( ξ ) + C2 e .θ 2 ( ξ ) − λ +  λ−  ϕ = C1e ξ2  2 2 ξ  2 (10.10) Râ rµng, nÕu C 1 ≠ 0 th×khiξ → ± ∞ ϕ sÏ cã → + ∞ V×vËy ph¶i cã C 1 =Do ® nghiÖm víi ξ 0. ã, ® lín cã d¹ng: ñ ξ2  1 − .θ 2 ( ξ )  λ−  ϕ = C2e 2 ξ  2 (10.11) hay: − ξ2 ϕ =e 2 F (ξ )
  10. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam  1 λ−  trong ® F (ξ ) ngang cÊp víiξ ã  2 Tõ (10.11) suy ra: dF (ξ ) ξ2 ξ2 dϕ − − = −ξe 2 F (ξ ) + e 2 dξ dξ dF (ξ ) dF (ξ ) d 2 F (ξ ) ξ2 ξ2 ξ2 ξ2 ξ2 d ϕ 2 − − − − − = −1e 2 F (ξ ) − ξ ( − ξ ) e 2 F ( ξ ) − ξe 2 − ξe 2 +e 2 dξ 2 dξ dξ dξ 2 hay d ϕ ξ2 ξ2 dF ( ξ ) ξ2 d 2 F (ξ ) ( ) 2 − − − = −1 + ξ 2 e 2 F ( ξ ) − 2ξe 2 +e 2 (10.12) dξ 2 dξ dξ 2
  11. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam nªn (10.3) trë thµnh: dF ( ξ ) d 2 F ( ξ ) F ( ξ ) + 2ξ − = 2λF (ξ ) dξ dξ 2 d 2 F (ξ ) dF ( ξ ) hay: − 2ξ + ( 2λ − 1) F ( ξ ) = 0 (10.13) dξ 2 dξ Ta t× nghiÖm cña (10.13) d­íi d¹ng chuçi: m ∞ F = ∑ ak ξ k (10.14) k =0 Khi ∞ ∞ dF dF ®ã: = ∑ ka k ξ k −1 ; ξ = ∑ ka k ξ k dξ k =0 dξ k =0
  12. ξ Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ∞ ∞ ∞ d 2F = ∑ k (k − 1)a k ξ k − 2 = ∑ k (k − 1)a k ξ k − 2 = ∑ ( k + 1)( k + 2 ) a k + 2ξ k dξ 2 k = 0 k =2 k =0 Do ® (10.13) trë thµnh: ã, ∞ ∑ [ ( k + 1)( k + 2) ak +2 + ( 2λ − 2k − 1) ak ]ξ k = 0 (10.15) k =0 o (10.15) ®óng víi mäi ξ mäi hÖ sè cña chuçi ® ph¶i b»ng 0, nªn Ò øc lµ:  ( 2k − 2λ + 1)  ak + 2 =  ak (10.16)  ( k + 1)( k + 2 ) 
  13. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Thay thÕ trë l¹i (10.14), ta d­îc:  1 − 2λ 2 (1 − 2λ )( 5 − 2λ ) 4  F = a0 1 + ξ + ξ + ... +  1.2 1.2.3.4   3 − 2λ 3 ( 3 − 2λ )( 7 − 2λ ) 5  + a1 ξ + ξ + ξ + ...  2.3 2.3.4.5  Nh­ vËy, F cã d¹ng: F ( ξ ) = a0 F0 ( ξ ) + a1 F1 ( ξ ) (10.17) trong ® F0 (ξ ) lµ hµm ch½n, ã F1 (ξ ) lµ hµm lÎ. λ B© giê ta chøng minh r»ngphai cã d¹ng mét sè b¸n nguyªn, tøc lµ y 1 λ = n + víi n lµ sè tù nhiªn. 2
  14. 2a 0 F0 ( ξ ) = F (ξ ) + F ( − ξ )  Ho ng Duc Unive rs ity 2a1 F1 (ξ ) = F (ξ ) − F ( − ξ ) 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ThËt vËy, viF0 ( ξ ) lµ hµm ch½n, F1 ( ξ ) lµ hµm lÎ nªn: F ( − ξ ) = a0 F0 ( ξ ) − a1 F1 ( ξ ) (10.18) tõ (10.17) Vµ (10.18) suy ra 2a0 F0 ( ξ ) = F ( ξ ) + F ( − ξ )  (10.19) 2a1 F1 ( ξ ) = F ( ξ ) − F ( − ξ )  1 λ−  Do F ( ξ ) , vµ cïng víi nã lµ F ( − ξ ,) chØ ngang cÊp víi ξ .  2 (khi ξ → + ∞nªn nÕu a 0 ≠ 0 )  1 thi tõ (10.19) suy ra F0 ( ξ ) còng ngang cÊp víiξ  λ−   2
  15. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Nh­ng nÕu λkh«ng b¸n nguyªn thi mäi hÖ sè trong0 (ξ )® kh¸c 0 F Òu vµ b¾t ® tõ mét vÞ trÝ nµo ® sÏ cïng dÊu Çu ã NÕu vËy,F0 (sÏ) cã cÊp cao h¬ bÊt kú biÓu thøc nµo cã d¹ng n ξ n ξ 1 Vi vËy, phai tån t¹i n,λ sao choλ = n + 2 Kh¼ng ®Þnh nµy vÉn ®óng nÕu gi¶ thiÕt a 1 ≠ 0 Do E =  ωλ nªn suy ra E cã phæ rêi r¹c:  1 E = En =  ω  n +  (10.20)  2
  16. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Cã thÓ chøng minh r»ng c¸c hµm riªng t­¬ øng cña to¸n tö n¨ng ng l­îng lµ: ξ2 − ϕ n ( ξ ) = cn e 2 H n (ξ ) (10.21) víi H n (ξ ) lµ c¸c ® thøc Hermite a H n ( ξ ) = ( − 1) e n ξ 2 dξ n ( ) d n −ξ 2 e (10.22)
  17. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Ph­¬ng p h¸p c ¸c to ¸n tö s inh v µ huû  2 d 2ϕ mω 2 2 − 2 + x ϕ = Eϕ (10.2) 2m dx 2 ˆ lµ to¸n tö nh© hµm tr¹ng th¸i víi biÕn = x mω Ký hiÖu Q n ξ  ˆ = x mω = ξ 2 Q ˆ Tức là  ˆ= ˆ p P  mω vµ [ xp ] = i ; [ PQ ] = i ˆˆ ˆˆ
  18. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Khi ® hamiltonian (to¸n tö n¨ng l­îng) cña dao ® ã éng tö ® viÕt ­îc l¹i nh­ sau: ˆ p 2 mω 2 x 2 P 2 . mω mω 2  ξ 2 ˆ ˆ H= + = + = 2m 2 2m 2 mω ω ˆ2 ω 2 ω ˆ2 ω ˆ2 = P + ξ = P + Q 2 2 2 2 Hˆ =  ω ( P 2 + Q 2 ) (10.23) ˆ ˆ 2 Biểu diễn tóan tử hamiltonian dưới dạng sau: ˆ H =  ωH
  19. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam TiÕp theo, ®Æt: a= ˆ 1 ( Q + iP ) ˆ ˆ 2 a+ = ˆ 1 ( Q − iP ) ˆ ˆ ta 2 cã: aa + = ˆˆ 1 2 {Q ˆ 2 ˆ ˆ ˆˆ ˆ +iPQ −iQP + P 2 = } = 1 2 {Q ˆ 2 ˆ [ ˆ ˆ 1 ˆ ]}ˆ + P 2 +i P, Q = Q 2 + P 2 +1 2 { } + ˆ ˆ 2 { 1 ˆ2 ˆ2 2 ˆ [ ]} { ˆ,Q = 1 Q 2 + P 2 − 1 a a= Q + P −iP ˆ ˆ }
  20. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ˆˆ 1 ˆ2 + ˆ { aa = Q + P 2 +1 2 } a+ a = ˆ ˆ 2 { 1 ˆ2 ˆ2 Q + P −1 } Suy ra: aa + = 1 ˆˆ (10.24) §ång thêi ˆ =  ω a + a + 1  H ˆ ˆ  (10.25)  2
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2