intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 12

Chia sẻ: Lê Nam | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:30

Thêm vào BST
Báo xấu
92
lượt xem 10
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một trong những bài toán điển hình của cơ học, kể cả cổ điển lẫn lượng tử, là bài toán chuyển động trong trường xuyên tâm,vì hai trường lực quan trọng nhất đối với các bài toán thực tế - điện trường và trường hấp dẫn - đều là trường như vậy Hamiltonian của hạt trong trường xuyên tâm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 12

  1. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc l­îng tö Ng uyÔn V¨n Khiªm
  2. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 12 TRƯỜNG XUYÊN TÂM
  3. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Một trong những bài toán điển hình của cơ học, kể cả cổ điển lẫn lượng tử, là bài toán chuyển động trong trường xuyên tâm,vì hai trường lực quan trọng nhất đối với các bài toán thực tế - điện trường và trường hấp dẫn - đều là trường như vậy 1.Hamiltonian của hạt trong trường xuyên tâm. Phương trình trạng thái dừng. Xét chuyển động của một hạt trong trường với hàm thế năng U(r)  chỉ phụ thuộc r = r Hamiltonian của hạt trong trường hợp này là: ˆ 2 H = − ∆ + U (r ) 2µ (với µ là khối lượng của hạt)
  4. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ˆ Ta chuyển biểu thức của H sang tọa độ cầu. Muốn vậy, ta phải dùng đẳng thức quan trọng sau đây: 2 2 2 1 � � 1 �1 � � 1 2 � ∆ + 2 + 2 = 2 �2 � 2 r + � � θ sin + (12.1) x2 y z r r� r� r sin θ θ � � θ � sin 2 θ ϕ 2 � � � Từ đó, ta có: 2 ∂  2 ∂  M2 ˆ ˆ =− H r + + U (r ) (12.2) 2 µr ∂r  ∂r  2 µr 2 2 Như vậy, phương trình cho trạng thái dừng sẽ là: ˆ  2 ∂  2 ∂ψ  M 2 − r + ψ + U (r )ψ = Eψ (12.3) 2 µr ∂r  ∂r  2 µr 2 2
  5. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Tính giao hoán giữa hamiltonian với các hình chiếu của moment và hệ quả. ˆ ˆ Trước hết ta chứng tỏ H giao hoán với M z ˆ = −i ∂ Thật vậy, ta có M z ∂ϕ đồng thời số hạng toán tử thứ nhất ở (12.2) chỉ tác dụng lên biến iˆ r nên số hạng này giao hoán vớM z Điều này cũng đúng với số hạng thứ ba, tức là U(r). Còn số hạng . thứ hai chứa ˆM2 ˆ tuy tác dụng lên cả θ và ϕ, nhưng như ta đã biết, cũng giao hoán với M z ˆ Bằng cách lý giải tương tự, ta cũng có thể chỉ ra rằngH giao hoán với ˆ ˆ M x và M y
  6. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ˆ ˆ ˆ ˆ Mặt khác, vì H giao hoán với M x , M y và M z nên nó giao hoán với ˆ ˆ ˆ M x2 , M 2 và M z2 y ˆ ˆ Do đó, H giao hoán với M 2 Vì vậy, ta có thể tìm nghiệm của (12.3) sao cho nó cũng thoả mãn cả các phương trình: ˆ M 2ψ =  2l (l + 1)ψ (12.4) và ˆ M zψ =  mψ (12.5) Nhưng điều đó có nghĩa là ta chỉ cần tìm các nghiệm của phương trình:  2 ∂  2 ∂ψ   l (l + 1) 2 − r + ψ + U (r )ψ = Eψ (12.6) 2 µr ∂r  ∂r 2  2 µr 2
  7. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ở dạng: ψ = R(r )Ylm (θ , ϕ ) (12.7) với Ylm là các hàm cầu đã xét trong §11. (R(r) gọi là hàm bán kính) 3. Phương trình với hàm bán kính Thế (12.7) vào (12.8). Do toán tử ở vế trái chỉ tác dụng lên r nên thừa số Ylm sẽ bị rút gọn, ta còn lại phương trình đối với R(r): 1 d  2 dR  l (l + 1) 2µ 2 r − 2 R + 2 [ E − U (r )] R = 0 r dr  dr  r  hay d 2 R 2 dR l (l + 1) 2µ 2 + − 2 R + 2 [ E − U (r )] R = 0 (12.8) dr r dr r 
  8. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ở vế trái (12.8) cũng có thể viết thành: 1 d2 l (l + 1) 2µ 2 ( rR ) − 2 R + 2 [ E − U (r )] R = 0 (12.8') r dr r  đặt rR(r) = ρ(r); khi đó (12.8’) lại trở thành: 1 d 2 ρ l (l + 1) 2µ 2 − 3 ρ + 2 [ E − U (r )] ρ = 0 r dr r  r hay d 2 ρ l (l + 1) 2µ 2 − 2 ρ + 2 [ E − U ( r )] ρ = 0 (12.9) dr r  Có thể coi đây là phương trình chuyển động một chiều
  9. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1 Ta sẽ giả thiết rằng U(r) tăng chậm hơn 2 khi r → 0 r 2µ Như vậy, với r đủ nhỏ thì 2 [ E − U (r )] ρ là không đáng kể  Vì vậy, kghi r gần với 0 thì (12.9) có dạng tiệm cận là: d 2 ρ l (l + 1) 2 = 2 ρ (12.10) dr r Ta tìm nghiệm của (12.10) dưới dạng ρ = C.rα. Khi đó 2 d ρ = C.α (α − 1)r α − 2 dr 2 Như vậy, (12.10) trở thành: α −2 l (l + 1) α α (α − 1)r = 2 r r
  10. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam nên α (α − 1) = l (l + 1) (12.11) Rõ ràng (12.11) thoã mãn khi và chỉ khi α = l + 1 hoặc α = - l. C Nhưng nếu α = - l thì ρ = C.r-(l+1) = l +1 r C C Do đó R = l +1 > r r Ta bỏ qua trường hợp này, vì các trường xuyên tâm có ý nghĩa vật lý là đều tăng không nhanh hơn C khi r → 0 r Như vậy, ta phải lấy trường hợp α = l + 1, tức là R = C.rl. Khi đó, nếu l > 0 thì R(0) = 0 và nếu l = 0 thì R(0) ≠ 0 (nhưng hữu hạn)
  11. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Điều này mang một ý nghĩa tương tự như trong Cơ học cổ điển: nếu l > 0 tức là moment động lượng khác không thì “cánh tay đòn” so với gốc toạ độ bắt buộc phải khác không, tức là hạt không thể nào có mặt ở gốc toạ độ 2 Suy ra mật độ xác suất có mặt tại gốc toạ độ bằng 0, tức là R(0) = 0 hay R(0) = 0 Trong trường hợp ngược lại, sự có mặt của hạt ở gốc toạ độ là có thể xảy ra Bây giờ ta xét các giá trị r lớn. Khi đó, trong (12.9) có thể bỏ qua các số hạng chứa r2 ở gần mẫu, đồng thời bỏ qua số hạng U(r) vị ta sẽ coi như là U(r) → 0 khi r → +∞
  12. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Như vậy dạng tiệm cận của (12.8) sẽ là : d 2 ρ 2 µE 2 = 2 ρ =0 (12.12) dr  Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng: r r − − 2 µE + − 2 µE ρ = C1e  + C2 e  (12.13) Xét trường hợp E > 0. Khi đó: ir ir 2 µE − 2 µE ρ = C1e  + C2e  và nghiệm tương ứng của (12.8) với r lớn sẽ là: 1  ir ir 2 µE − 2 µE R =  C1e  + C2 e   (12.14) r   
  13. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Dễ thấy rằng, mật độ xác suất để tìm thấy hạt ở khoảng cách r tính từ gốc tọa độ không phải là 2 R (r ) 2 mà phải là R(r ) .r 2 Mặt khác, do e iα = 1 với α là số thực, nên theo (12.14) thì R 1 cùng cấp với r +∞ ∫ R .r dr 2 2 do đó tích phân 0 dùng để tính xác suất toàn phần là phân kỳ Điều này tương ứng với phổ liên tục của năng lượng, và do đó nếu hạt có năng lượng dương thì giá trị của năng lượng có thể có thể là tuỳ ý (miễn là dương).
  14. Ho ng Duc Unive rs ity r r 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh 2 µE − − hoa,Viet nam − 2 µE + ρ =Ce 1  + C2 e  (12.13) Bây giờ xét trường hợp E < 0. 1 là một số thực Khi đó − 2 µE  dương α ρ = C1e −αr + C 2 e αr Vi ta đặt rR(r) = ρ(r); 1 tức là: R= r ( C1e −α r + C2eα r ) (12.15) Nếu C2 ≠ 0 thì R → ∞ khi r → ∞. Điều này phi lý. Vậy phải có C2 = 0, R = ( C1e −αr ) tức là: 1 r
  15. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam R = ( C1e −αr ) 1 r +∞ ∫ 2 R.r dr 0 hữu hạn. Vì vậy, phổ năng lượng sẽ rời rạc
  16. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Tóm tắt §12
  17. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
  18. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam r lon E>0, E
  19. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
  20. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
30=>0