intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 14a

Chia sẻ: Lê Nam | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:24

Thêm vào BST
Báo xấu
49
lượt xem 6
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

DÒNG ĐIỆN VÀ MOMENT TỪ Xét phương trình Schrödinger Cùng với phương trình liên hợp phứcNhân (14.1) với rồi lấy phương trình này trừ phương trình kia, ta được: Vế trái của phương trình này chính là còn vế phải được biến đổi tiếp thành:

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 14a

  1. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc l­îng tö Ng uyÔn V¨n Khiªm
  2. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 14 DÒNG ĐIỆN VÀ MOMENT TỪ
  3. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1.Mật độ dòng Xét phương trình Schrödinger ∂ψ 2 2 i =− ∇ ψ + Uψ (14.1) ∂t 2µ Cùng với phương trình liên hợp phức ∂ψ * 2 2 * i =− ∇ ψ + Uψ * (14.2) ∂t 2µ ψ *và (14.2) với ψ Nhân (14.1) với rồi lấy phương trình này trừ phương trình kia, ta được:  * ∂ψ ∂ψ *  i ψ  ∂t +ψ ∂t  =− 2µ (ψ ∇ ψ −ψ∇ 2ψ * ) 2 * 2 (14.3)  
  4. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Vế trái của phương trình này chính là ∂ * ∂ i ( ∂t ) ψ ψ = i ψ ∂t 2 còn vế phải được biến đổi tiếp thành:  2  *  ∂  ∂ψ   ∂  ∂ψ  ∂  ∂ψ   ∂  ∂ψ *  ∂  ∂ψ *  ∂  ∂ψ *    − ψ   +   +   ∂z ∂z   −ψ   +  +    (14.4) 2µ   ∂x  ∂x   ∂y  ∂y    ∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z           Mặt khác: ∂  ∂ψ  ∂  ∂ψ *  ψ *   −ψ   ∂x  =  ∂x  ∂x  ∂x   ∂  * ∂ψ  ∂ψ * ∂ψ ∂  ∂ψ *  ∂ψ ∂ψ * = ψ − − ψ ∂x  − ∂x ∂x =  ∂x  ∂x  ∂x ∂x ∂x   ∂  * ∂ψ  ∂  ∂ψ *  = ψ  − ψ  ∂x  ∂x  ∂x  ∂x  
  5. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam và tương tự với các thành phần toạ độ y và z nên (14.4) trở thành: − 2 2µ [ * * ] div (ψ ∇ψ ) − div (ψ∇ψ ) = − 2 2µ [ ] div ψ *∇ψ − ψ∇ψ * . Do đó, (14.3) có thể được viết lại như sau: ∂ 2 i ∂t ψ = 2µ [ div ψ *∇ψ −ψ∇ψ * . ] (14.5) Vì ta đang xét chuyển động của đúng một hạt, mà   2 ρ( r ) = ψ ( r )  là mật độ xác suất tìm thấy hạt ở vị trí r   nên có thể coi ρ ( r ) như là “mật độ hạt” tai r
  6. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Như vậy, vế trái của (14.5) chính là tốc độ biến thiên của mật độ xác suất tìm thấy hạt. Đặt i 2µ [ div ψ ∇ψ − ψ∇ψ . = j * *  ] khi đó (14.5) trở thành: ∂ρ  + divj = 0 (14.6) ∂t So sánh với phương trình tương tự trong Cơ học cổ điển, lẽ tự  nhiên ta cần coi j là mật độ dòng và coi (14.6) là phương trình biểu diễn tính liên tục của mật độ dòng  suất. Vì dòng chỉ có một hạt nên nếu điện tích xác của hạt là q thì qj sẽ là mật độ dòng điện.
  7. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Biểu diễn gradient trong hệ toạ độ địa phương Để bài toán về dòng trong trường xuyên tâm bớt phức tạp, ta cần biểu diễn gradient của hàm trạng thái trong một hệ toạ độ đặc biệt. Tại mỗi điểm M0 trong không gian với ba toạ độ r0 , θ 0 , ϕ 0 ta xét một hệ gồm ba trục toạ độ xác định hư dưới đây. Trước hét xét mặt cầu r = r0 Trên hình vẽ, đường viền của mặt cầu này là đường tròn mầu đen. Ta hình dung mặt cầu này là “trong suốt”, nghĩa là các đường bên trong nó không cần vữ đứt đoạn.
  8. Ho ng Duc Univeạ độ địa phương thứ nhất Trục to rs ity biểu diễn bởi mũi tên màuđỏ hướng 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam dọc theo đường sinh này, theo chiều tăng của r. z Giao tuyến của mặt Trục toạ độ thứ nón với mặt phẳng này hai biểu diễn M0 chính là đường sinh của , bởi mũi tên màu mặt nón xanh hướng Trục toạ độ thứ ba biểu theo đường tròn y , diễn bởi mũi tên màu này, theo chiều O tím hướng dọc theo tăng của θ đường tròn màu tím, x theo chiều tăng của ϕ Giao tuyến của mặt cầu Giao tuyến của mặt và mặt nón là đường tròn phẳng và mặt cầu là đường tròn
  9. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 3. Dòng điện trong trường xuyên tâm Quay lại bài toán về chuyển động của điện tích –e trong trường xuyên tâm của điện tích Ze và xét trạng thái dừng với M z = m Trước hét xét mặt cầu r = r0 Tiếp theo, xét mặt món θ = θ 0 Cuối cùng là mặt phẳng ϕ = ϕ 0 Chú ý rằng ba trục toạ độ địa phương kể trên chính là các pháp tuyến của mặt cầu, mặt nón và mặt phẳng tại M0.
  10. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Nếu chiếu vector ∇ψ lên ba trục toạ độ tương ứng là z ∂ψ dr 1 ∂ψ M0 r dθ 1 ∂ψ r sin θ dϕ y O x
  11. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Quay lại bài toán về chuyển động của điện tích –e trong trường xuyên tâm của điện tích Ze và xét trạng thái dừng với M z =  m Ta viết lại hàm trạng thái trong trường hợp này: 1 ~m ψ nlm = Rnl ( r ). .Pl ( cos θ ).e imϕ (14.7) 4π Liên hợp phức của ψ nlm là: 1 ~m ψ nlm * = Rnl ( r ). .Pl ( cos θ ).e −imϕ (14.8) 4π  Bây giờ ta tìm các toạ độ của vector j trong hệ toạ độ địa phương tại M(r,θ,ϕ). Dễ thấy hai toạ độ đầu trên các trục r, θ là:
  12. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam i  ∂ψ nlm * ∂ψ nlm  jr = ψ nlm − ψ nlm * =0  2µ  ∂r ∂r   i  ∂ψ nlm * ∂ψ nlm  jθ = ψ nlm − ψ nlm * =0  2 µr  ∂θ ∂θ   ∂ψ nlm Tiếp theo, ta có: = imψ nlm ∂ϕ ∂ψ nlm * = −imψ nlm * ∂ϕ  Vì vậy, toạ độ thứ ba của j là: i − im jϕ = 2 µ r sin θ (ψ nlmψ nlm + ψ nlmψ nlm ) = µr sin θ ψ nlm * * m 2 (14.9)
  13. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Do jr và jθ bằng 0 nên có thể nói rằng không có dòng điện chạy xa dây dẫn hoặc lại gần so với gốc toạ độ (tức là điểm đặt điện tích Ze) cũng không có dòng chạy theo “kinh tuyến”, mà chỉ có dòng điện chạy vòng trên các mặt phẳng vuông góc với  ˆ phương mà trên đó mà hình chiếu của trị xác định (ở đây là trục Oz). M có giá Với r và θ xác định thì mật độ dòng tỷ lệ thuận với mật độ xác suất tìm thấy hạt. Như vậy, bức tranh về dòng điện phù hợp với cách hình dung cổ điển về chuyển động trong trường xuyên tâm. Khác biệt duy nhất ở đây là sự không xác định của vị trí và quỹ đạo.
  14. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 5. Moment từ của dòng điện tròn   Ta hãy tính moment từ của dòng điện với mật độ J = −ej  trong đó j cho bởi ba toạ độ j r = jθ = 0 và jϕ cho bởi (14.9), theo mẫu của Vật lý cổ điển. Cường độ dòng điện chuyển qua tiết diện vuông góc với phương của dòng điện bằng: dI = −ejϕ dσ (14.10) Moment từ sinh bởi dòng điện dI là: S.dI dm z = − c (14.11)
  15. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam trong đó c là vận tốc ánh sang trong chân không, S là diện tích hình tròn xác định như sau: hình tròn này nằm trên mặt phẳng vuông góc vớI Oz, tâm hình tròn là giao điểm O’ của mặt phẳng này vớI Oz và biên đi qua một điểm M của tiết diện dσ (do tiết diện là nhỏ nên M có thể lấy bất kỳ trong đó). πr 2 sin 2 θ πr sin θ e m 2 dm z = e. jϕ dσ = ψ nlm dσ (14.12) c c µ với dσ như trên hình vẽ, tức là gồm các điểm mà khoảng cách tới O nằm giữa r và r+dr và vĩ độ nằm giữa θ và θ+dθ thì dσ=rdrdθ nên. πr 2 sin θ e m dm z = ψ nlm drdθ (14.13) c µ
  16. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Lấy tích phân theo mọi giá trị r (từ 0 đến +∞) và theo mọi giá trị của θ (từ 0 đến π), ta được moment từ toàn phần của dòng điện: πe m π  ∞  ∫  ∫ ψ nlm r dr  sin θdθ 2 2 mz = (14.14) µc 0  0    2π 2 vì ψ nlm không phụ thuộc vào ϕ và 2π = ∫ dϕ 0 nên (14.14) có thể viết thành: e m mz = (14.16) 2 µc
  17. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam tức là: m z = m Bm (14.17) với m B= e là magneton Bohr. 2µc Như vậy, moment từ của dòng điện tròn bằng một số nguyên lần magneton Bohr. Công thức (14.17) cũng có thể viết thành: e m B= Mz tức là moment từ bằng 2µc e lần moment cơ học. 2 µc
  18. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
  19. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
  20. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2