Hong Duc Univers ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
C¬ häc lîng tö
NguyÔn V¨n
Khiªm
Hong Duc Univers ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bài 26
PH NG TRÌNH DIRAC CHO ELECTRON TRONG ƯƠ
ĐI N T TR NGỆ Ừ ƯỜ
Hong Duc Univers ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Bây gi ta s m r ng bài toán v ph ng trình chuy n đ ng c a ờ ẽ ở ộ ề ươ ể ộ ủ
electron sang tr ng h p h t trong đi n - t tr ng. ườ ợ ạ ở ệ ừ ườ
Sau khi nêu ra ph ng trình, ta s th o lu n m t vài v n đ liên quan ươ ẽ ả ậ ộ ấ ề
Sau đó, ta s ch ng mimh r ng trong tr ng h p electron có năng l ng ẽ ứ ằ ườ ợ ượ
th p thì t ph ng trình chuy n đ ng t ng đ i tính (ph ng trình ấ ừ ươ ể ộ ươ ố ươ
Dirac trong đi n - t tr ng) có th rút ra ph ng trình Pauli, ệ ừ ườ ể ươ
Nghĩa là lý thuy t Schrödinger - Pauli có th coi nh phù h p g n đúng ế ể ư ợ ầ
v i lý thuy t Dirac. ớ ế
Hong Duc Univers ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
1. Ph ng trình Dirac trong đi n - t tr ng. Phép liên h p đi n tíchươ ệ ừ ườ ợ ệ
Trong lý thuy t c đi n (phi l ng t và phi t ng đ i tính), năng l ng c a ế ổ ể ượ ử ươ ố ượ ủ
h t t do, nh ta đã bi t, đ c cho b i hàm Hamilton:ạ ự ư ế ượ ở
N u h t trong đi n - t tr ng v i th vô h ng Φ vàth vector thì (26.1) ế ạ ở ệ ừ ườ ớ ế ướ ế
ph i đ c thay b i:ả ượ ở
trong đó q là đi n tích c a h t. ệ ủ ạ
Theo nguyên lý Bohr, khi h t trong đi n - t tr ng, trong ph ng trình ạ ở ệ ừ ườ ươ
Dirac ta cũng th c hi n m t phép thay th nh v y. C th , v i electron (có ự ệ ộ ế ư ậ ụ ể ớ
đi n tích -ệe), ph ng trình trong tr ng h p có đi n - t tr ng s là:ươ ườ ợ ệ ừ ườ ẽ
( )
(26.1)
222
2
1
yyx
ppp
m
H
++=
(26.2)
2
z
2
y
2
x
Φ+
−+
−+
−= e A
c
q
pA
c
q
pA
c
q
p
m
H
zyx
2
1
Hong Duc Univers ity
307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Cùng v i (26.3), ta xét ph ng trình sau:ớ ươ
Ph ng trình này cũng đ c g i là ph ng trình Dirac (cho electron trong ươ ượ ọ ươ
đi n t tr ng)ệ ừ ườ
(26.3) emc A
c
e
pA
c
e
p A
c
e
pc
t
i
zzyyxx
ψαααα
ψ
Φ−+
−+
−+
−=
∂
∂
4
2
321
(26.4) emc A
c
e
pA
c
e
p A
c
e
pc
t
i
zzyyxx
'
'
4
2
321
ψαααα
ψ
Φ−+
−+
−+
−=
∂
∂
Ph ng trình (26.4) g i là ph ng trình liên h p đi n tích c a (26.3)ươ ọ ươ ợ ệ ủ
Có th ch ng minh r ng t n t i m t toán t ể ứ ằ ồ ạ ộ ử
C
ˆ
d ng ma tr n vuông c p 4 sao cho:ở ạ ậ ấ
i. n u ếψ là nghi m c a (26.3) thì ệ ủ
ψψ
C
ˆ
'
=
là nghi m cu (26.4);ệ ả
ψ
ψ
E
t
i=
∂
∂
và
''
'
ψ
ψ
E
t
i
=
∂
∂
thì E’ = E.
ii. n uế
