intTypePromotion=1

Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 26

Chia sẻ: Lê Nam | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:14

0
61
lượt xem
7
download

Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 26

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sau khi nêu ra phương trình, ta sẽ thảo luận một vài vấn đề liên quan Sau đó, ta sẽ chứng mimh rằng trong trường hợp electron có năng lượng thấp thì từ phương trình chuyển động tương đối tính (phương trình Dirac trong điện - từ trường) có thể rút ra phương trình Pauli,

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 26

  1. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc l­îng tö Ng uyÔn V¨n Khiªm
  2. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 26 PHƯƠNG TRÌNH DIRAC CHO ELECTRON TRONG ĐIỆN TỪ TRƯỜNG
  3. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bây giờ ta sẽ mở rộng bài toán về phương trình chuyển động của electron sang trường hợp hạt ở trong điện - từ trường. Sau khi nêu ra phương trình, ta sẽ thảo luận một vài vấn đề liên quan Sau đó, ta sẽ chứng mimh rằng trong trường hợp electron có năng lượng thấp thì từ phương trình chuyển động tương đối tính (phương trình Dirac trong điện - từ trường) có thể rút ra phương trình Pauli, Nghĩa là lý thuyết Schrödinger - Pauli có thể coi như phù hợp gần đúng với lý thuyết Dirac.
  4. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1. Phương trình Dirac trong điện - từ trường. Phép liên h ợp đi ện tích Trong lý thuyết cổ điển (phi lượng tử và phi tương đối tính), năng lượng của hạt tự do, như ta đã biết, được cho bởi hàm Hamilton: H= 1 2m ( px + p y + p y 2 2 2 ) (26.1) Nếu hạt ở trong điện - từ trường với thế vô hướng Φ vàthế vector thì (26.1) phải được thay bởi: 1  q   2 2 2 q   q   H=  p x − Ax  +  p y − Ay  +  p z − Az   + eΦ (26.2) 2m   c   c   c    trong đó q là điện tích của hạt. Theo nguyên lý Bohr, khi hạt ở trong điện - từ trường, trong phương trình Dirac ta cũng thực hiện một phép thay thế như vậy. Cụ thể, với electron (có điện tích -e), phương trình trong trường hợp có điện - từ trường sẽ là:
  5. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ∂ψ    e   e   e   i = c α 1  p x − Ax  + α 2  p y − Ay  + α 3  p z − Az  + mc α 4 − eΦ ψ 2 (26.3) ∂t    c   c   c   Phương trình này cũng được gọi là phương trình Dirac (cho electron trong điện từ trường) Cùng với (26.3), ta xét phương trình sau: ∂ψ '    e   e   e   i = c α 1  p x − Ax  + α 2  p y − Ay  + α 3  p z − Az  + mc α 4 − eΦ ψ ' 2 (26.4) ∂t    c   c   c   Phương trình (26.4) gọi là phương trình liên hợp điện tích của (26.3) Có thể chứng minh rằng tồn tại một toán tửˆ ở dạng ma trận vuông cấp 4 sao cho C ˆ i. nếu ψ là nghiệm của (26.3) thìψ ' = Cψ là nghiệm cuả (26.4); ∂ψ ∂ψ ' ii. nếu i = Eψ và i = E 'ψ ' thì E’ = ­E. ∂t ∂t
  6. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Phương trình (26.4) rõ ràng mô tả hạt có khối lượng m, spin 1/2 và điện tích e Do đó nếu (26.3) là phương trình cho electron thì (26.4) là phương trình cho hạt có khối lượng và spin giống như electron nhưng có điện tích đối dấu với electron. Ta gọi hạt đó là positron Việc (26.4) có nghiêm nói lên rằng, khái niệm về positron là có ý nghĩa Vật lý. Sự tồn tại trạng thái với năng lượng E
  7. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Phương trình Pauli như trường hợp giới hạn của của phương trình Dirac Ta biết rằng, nếu có hai phương trình cùng mô tả một hiện tượng vật lý, trong dó một phương trình là phi tương đối tính, còn phương trình kia là tương đối tính, thì độ tin cậy của mỗi phương trình sẽ tăng lên, nếu chỉ ra được rằng: Khi hệ vật lý có năng lượng nhỏ (gần với năng lượng nghỉ mc2) phương trình tương đối tính sẽ biến thành phương trình phi tương đối tính. Nói chính xác hơn, phương trình phi tương đối tính phải là trường hợp giới hạn của phương trình kia khi cho E →mc2. Trong cơ học lượng tử phi tương đối tính, trạng thái dừng của electron trong điện - từ trường đã được mô tả bởi phương trình:  1  e  2 e     ˆ p− A  − eΦ + ( ) σH  ξ = E ' ξ (26.5)  2m   c  2mc  
  8. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam  trong đó σ = ( σ 1 , σ 2 , σ 3 ) gồm các thành phần là các ma trận Pauli: 0 1 0 − i 1 0  σ1 =  1 0  σ2 =  i 0  σ1 =   0 − 1        Trong phương trình (26.5),  ξ1  ξ =   là hàm trạng thái hai thành phần, cụ thể hơn là spinor ba chiều. ξ   2 Ta cần chứng tỏ rằng khi năng lượng toàn phần của hạt tiến đến mc2 thì từ phương trình Dirac ta nhận được (26.5) theo mộ cách nào đó. Trước hết, ta viết lại phương trình (26.3) cho hạt trong điện - từ trường thành hệ sau:  ∂η1   e ˆ  i = cσ  p − A η 2 + mc 2η1 − eΦη1 (26.6)  ∂t  c   i ∂η 2   e   ˆ = cσ  p − A η1 − mc 2η 2 − eΦη 2 (26.7)   ∂t  c 
  9. Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ψ 1  ψ 3  Trong đó η1 =   ψ  η2 =   ψ   2  4  σ vẫn như trên, là bộ ba ma trận Pauli Giả sử hạt ở trạng thái với năng lượng E>0 xác định. Khi đó i ∂ψ = Eψ nên từ (26.6), (26.7) ta có: ∂t    e  ˆ cσ  p − A η 2 + mc 2η1 − eΦη1 = Eη1 (26.8)  c      cσ  p − e   ˆ A η1 − mc 2η 2 − eΦη 2 = Eη 2 (26.9)    c  Từ (29.9) suy ra: c   e  η2 = ˆ σ p − A η1 (26.10) E + mc 2 + eΦ  c 
  10. Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bây giờ giả sử E rất gần với mc2. Vì vậy mẫu số ở (26.10) có thể thay bằng 2mc2, tức là, một cách gần đúng ta có: 1   e  η2 = ˆ σ p − A η1 (26.11) 2mc  c  Thế (26.11) vào (26.8) ta được  1    e  2  ( E − mc )η1 =  2mc σ  p c  2  ˆ − A  − eΦ η  1 (26.12)        Ta có : ( ) [( )( ) ( )( )] 2    e   σ pˆ − A  = σp + c  ˆ c2 ( )  2 e 2  2 e   σA + σp c   ˆ σA + σA σp ˆ (26.13)   
  11. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam [( )( ) ( ) ( ) ] [     ˆ σA + σA σp = (σ p + σ p + σ p )(σ A + σ A + σ A ) + σp ˆ ˆ 1 x ˆ 2 y ˆ 3 z 1 x 2 y 3 z ] [ + (σ 1 Ax + σ 2 Ay + σ 3 Az )(σ 1 p x + σ 2 p y + σ 3 p z ) ˆ ˆ ˆ ] = p x Ax + σ 1σ 2 p x Ay + σ 1σ 3 p x Az + σ 2σ 1 p y Ax + ˆ ˆ ˆ ˆ + p y Ay + σ 2σ 3 p y Az + σ 3σ 1 p z Ax + σ 3σ 2 p z Ay + p z Az ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + Ax p x + σ 1σ 2 Ax p y + σ 1σ 3 Ax p z + σ 2σ 1 Ay p x + ˆ ˆ ˆ ˆ + Ay p y + σ 2σ 3 Ay p z + σ 3σ 1 Az p x + σ 3σ 2 Az p y + Az p z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ   ˆ ˆ [ = pA + Ap + σ 2σ 3 ( p y Az − Az p y ) − ( p z Ay − Ay p z ) + ˆ ˆ ˆ ˆ ] + σ 3σ 1 [ ( p z Ax − Ax p z ) − ( p x Az − Az p x ) ] + ˆ ˆ ˆ ˆ (26.14) [ + σ 1σ 2 ( p x Ay − Ay p x ) − ( p y Ax − Ax p y ) ˆ ˆ ˆ ˆ ]
  12. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Vì σ2σ3=iσ1, σ3σ1=iσ2và:σ2σ2=iσ3, , ∂ p y ( Azη ) = −i ˆ ( Azη ) = −i ∂Az η − i Az ∂η = −i ∂Az η + Az p yη ˆ ∂y ∂y ∂y ∂y ∂A ˆ y Az − Az p y = −i z ,... hay: p ˆ ∂y nên vế cuối của (26.14) có thể viết tiếp thành: ˆ A + Ap − i  ∂Az − ∂Ay    ˆ    ∂Ax ∂Az  iσ 1 − i   ∂Ay ∂Ax  iσ 2 − i  p  ∂y ∂z  −  ∂x − ∂y iσ 3 =     ∂z ∂x       = pA + Ap +  (σ H + σ ˆ ˆ 1 x 2 H y + σ 3H z ) (26.15) Từ (26.14) và (26.15) suy ra vế phải của (26.12) bằng
  13. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam  1    e   2  ( ) ( )  (    ) ˆ − A  − eΦ η =  1  σp 2 + e σA 2 + e pA + Ap +  σH  − eΦ η 2   ˆ ˆ ˆ  σ p  1     1   2mc    c     2m  c2 c   =  () 2mc  p ˆ + ( ) c2 (  1   2 e 2  2 e     A + p c ˆ) ˆ A + Ap − eΦ + e σH η =  2mc  ( )  1     1  e  2 e     =  ˆ p+ A  − eΦ + ( )  σH η1 (26.16)  2mc   c  2mc   Mặt khác, vì E’=-E-mc2 chính là năng lượng cổ điển của hạt nên vế trái ˆ của (26.12) có thể viết thành Hη1 ˆ với H là hamiltonian phi tương đối tính. Như vậy, từ phương trình Dirac cho trường hợp E gần với mc2, ta có hamiltonian phi tương đối tính là  1   e  2   ˆ  H=  pˆ + A  − eΦ + e σH   ( )  2mc   c  2mc  
  14. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Điều này có nghĩa là phương trình Pauli coi như trường hợp giới hạn của phương trình Dirac Ở đây có sự đồng nhất hàm ξ trong (26.15) với η1 ở (26.12). ψ 3  Việc biến mất của η 2 = ψ    không quan trọng vì hai lý do:  4 (i) thứ nhất, do η2 đã tham gia vào biểu thức của η1. (ii) thứ hai, cũng do (26.10), ta có η 2 là nhỏ nhất khi E gần với mc2.
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2