Bài giảng Đại số lớp 12 bài 2: Cực trị của hàm số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

8
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Đại số lớp 12 bài 2 "Cực trị của hàm số" được biên soạn nhằm cung cấp kiến thức về lý thuyết và bài tập trong bài 2 cực trị của hàm số, giúp các em ôn tập và củng cố kiến thức của bài học. Bài giảng có cung cấp bài tập để các em vận dụng nâng cao khả năng làm bài. Mời quý thầy cô cùng tham khảo bài giảng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số lớp 12 bài 2: Cực trị của hàm số

§2.Cực trị của hàm số
I. Khái niệm cực đại, cực tiểu 1. Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên miền D (D ⊂ R) và x0 ∈ D. a) Nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) ⊂ D và 𝑓 𝑥 < 𝑓 𝑥0 với mọi x ∈ 𝑎; 𝑏 \ 𝑥0 thì ta nói hàm số f (x) đạt cực đại tại x0. Khi đó x0 được gọi là điểm cực đại, 𝑓 𝑥0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số f (x). b) Nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) ⊂ D và 𝑓 𝑥 > 𝑓 𝑥0 với mọi x ∈ 𝑎; 𝑏 \ 𝑥0 thì ta nói hàm số f (x) đạt cực tiểu tại x0. Khi đó x0 được gọi là điểm cực tiểu, 𝑓 𝑥0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f (x). - Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số. - Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị của hàm số. - Điểm 𝑀(𝑥0; 𝑓(𝑥0 )) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
I. Khái niệm cực đại, cực tiểu Điểm cực đại của đồ 2. Chú ý thị hàm số 1. Giá trị cực đại (cực Điểmtiểu) cực đại𝑓của thị hàm số 𝑥 đồ của hàm số f (x) nói chung không phải là giá trị lớn 0 nhất (nhỏ nhất) của hàm số f (x) trên tập D. 𝑓 𝑥0 chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f (x) trên một khoảng (a; b) nào đó chứa điểm x0. Điểm cực tiểusố 2. thị Hàm của đồ f (x) có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập D. hàm số 3. Nếu hàm số f (x) đạt cực trị và có đạo hàm tại x0 thì 𝑓 ′ 𝑥0 = 0. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
Hàm 𝑓(𝑥) = −𝑥 4 − 𝑥 2 + 2 Quan sát đồ thị (C) và hoàn thiện bảng biến A thiên của hàm số. x -∞ 0 +∞ 𝑓′(𝑥) + 0 ⎻ 2 (C) f (x) -∞ -∞ 𝑓′(𝑥) đổi dấu từ “+” sang “ ⎻ ” khi 𝑥 qua điểm 𝑥0 (theo chiều tăng) ⟹ 𝑥0 là điểm cực đại của hàm số f (x)
1 b) Hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥 3 Quan 𝑓′(𝑥) đổi dấu từ “+”sát đồ“thị sang ⎻ ”(C) khivà𝑥 qua chiềuthiện điểm 𝑥0 (theo hoàn tăng)bảng ⟹ 𝑥biến 0 là điểm cực đại của hàmthiên của hàm số. số f (x) 𝑓′(𝑥) đổi dấu từ “⎻” sang “ + ” khi 𝑥 qua điểm 𝑥0 (theo chiều tăng) ⟹ 𝑥0 là điểm cực tiểu của hàm số f (x) x -∞ 1 3 +∞ 𝑓′(𝑥) + 0 ⎻ 0 + 4 +∞ 3 𝐶Đ f (x) -∞ 0
I. Khái niệm cực đại, cực tiểu II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị 1. Định lý 1 (SGK/14) Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên khoảng (a; b) hoặc (a; b)\ 𝑥0 . Khi đó x a 𝑥0 b x a 𝑥0 b 𝑓′(𝑥) + - 𝑓′(𝑥) - + fCĐ f (x) f (x) fCT 𝑥0 là điểm cực đại của hàm số 𝑥0 là điểm cực tiểu của hàm số Vậy điều kiện đủ để hàm số f (x) đạt cực trị tại 𝑥0 là 𝑓′(𝑥) đổi dấu khi x qua điểm 𝑥0. * Chú ý: Tại điểm 𝑥0 đạo hàm của hàm số có thể bằng 0 hoặc không xác định (f (x) không có đạo hàm).
I. Khái niệm cực đại, cực tiểu II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị III. Quy tắc tìm cực trị *) Quy tắc 1 1. Tìm tập xác định. 2. Tính 𝑓 ′ 𝑥 . Tìm các điểm tại đó 𝑓 ′ 𝑥 = 0 hoặc không xác định. 3. Lập bảng biến thiên. 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
III. Quy tắc tìm cực trị *) Quy tắc 1 1. Tìm tập xác định. 2. Tính 𝑓 ′ 𝑥 . Tìm các điểm tại đó 𝑓 ′ 𝑥 = 0 hoặc không xác định. 3. Lập bảng biến thiên. 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. * Ví dụ 1. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) 𝑦 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 4 b) 𝑦 = 𝑥 4 − 2𝑥 2 − 3
a) 𝑦 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 4 +) TXĐ: D = R. +) 𝑦′ = 3𝑥 2 + 6𝑥 = 3𝑥(𝑥 + 2) 𝑥=0 +) 𝑦′ = 0⟺ 3𝑥 𝑥 + 2 = 0⟺ ቈ 𝑥 = −2 +) Bảng biến thiên: x -∞ -2 0 +∞ 𝑓′(𝑥) + 0 ⎻ 0 + 0 +∞ f (x) -4 -∞ Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = -2 và 𝑦𝐶Đ = 𝑦 −2 = 0; hàm số đạt cực tiểu tại 𝑥 = 0 và 𝑦𝐶𝑇 = 𝑦 0 = −4
b) 𝑦 = 𝑥 4 − 2𝑥 2 − 3 +) TXĐ: D = R. +) 𝑦′ = 4𝑥 3 − 4𝑥 = 4𝑥(𝑥 2 − 1) 4𝑥 = 0 𝑥=0 +) 𝑦′ = 0⟺4𝑥(𝑥 2 − 1) = 0⟺ ቈ 2 ⟺ቈ 𝑥 −1 𝑥 = ±1 +) Bảng biến thiên: x -∞ -1 0 1 +∞ 𝑓′(𝑥) ⎻ 0 + 0 ⎻ 0 + +∞ -3 +∞ f (x) -4 -4 Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = 0 và 𝑦𝐶Đ = 𝑦 0 = −3; hàm số đạt cực tiểu tại 𝑥 = 1 và 𝑥 = −1; 𝑦𝐶𝑇 = 𝑦 ±1 = −4
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai? 7 A. 𝐵 −2; 3 và 𝐷 ; 2 là hai điểm cực đại của đồ thị (C). 3 3 7 B. 𝐵 −2; 3 , 𝐶 1; − ,𝐷 ;2 là các điểm cực trị của 2 3 đồ thị (C). 7 C. 𝑥 = −2 và 𝑥 = là hai điểm cực đại; 𝑥 = 1 là điểm cực 3 tiểu của hàm số f (x). D. f (x) đạt cực đại tại điểm 𝑥 = 1 và đạt cực tiểu tại hai 7 điểm 𝑥 = −2, 𝑥 = . 3
Câu 2. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0. Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu f (x) đạt cực trị tại x0 thì 𝑓 ′ 𝑥0 = 0. B. Nếu 𝑓 ′ 𝑥0 ≠ 0 thì x0 không là điểm cực trị của f (x). C. Nếu 𝑓 ′ 𝑥0 = 0 thì x0 là điểm cực trị của f (x). D. Nếu f (x) đạt cực trị tại x0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm 𝑀(𝑥0 ; 𝑓(𝑥0)) song song với trục hoành.
2𝑥+3 Câu 3. Hàm số 𝑦 = có bao nhiêu điểm cực trị? 𝑥+1 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 4. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số có đúng một cực trị. B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1. C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng -1. D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1.
Câu 5. Đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 + 1 có điểm cực đại là A. (1;-1). B. (-1;-1) C. (-1;3) D. (1;3)
1 Câu 6. Hàm số 𝑦 = 𝑥 4 − 2𝑥 2 + 1 có giá trị cực tiểu và giá trị cực đại là 4 A. 𝑦𝐶𝑇 = 2, 𝑦𝐶Đ = 0 B. 𝑦𝐶𝑇 = −3, 𝑦𝐶Đ = 1 C. 𝑦𝐶𝑇 = −3, 𝑦𝐶Đ = 0 D. 𝑦𝐶𝑇 = −2, 𝑦𝐶Đ = 0