Giáo án Đại số lớp 12: Chuyên đề 1 bài 5 - Tiếp tuyến

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:59

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Giáo án Đại số lớp 12: Chuyên đề 1 bài 5 - Tiếp tuyến" được biên soạn nhằm giúp các em học sinh khối 12 nắm được khái niệm đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số, sự tiếp xúc của hai đồ thị; Hiểu được ý nghĩa của đạo hàm liên quan đến hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm; Biết cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị khi biết điểm tiếp xúc, biết trước hệ số góc và tiếp tuyến đi qua điểm cho trước. Mời thầy cô và các em cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án Đại số lớp 12: Chuyên đề 1 bài 5 - Tiếp tuyến

CHUYÊN ĐỀ 1 BÀI 5. TIẾP TUYẾN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm được khái niệm đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số, sự tiếp xúc của hai đồ thị. + Hiểu được ý nghĩa của đạo hàm liên quan đến hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm. + Biết cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị khi biết điểm tiếp xúc, biết trước hệ số góc và tiếp tuyến đi qua điểm cho trước.  Kĩ năng + Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cho trước. + Biết cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết trước. + Biết cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm cho trước. + Giải được các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số. TOANMATH.com Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cho hai hàm số f  x  và g  x  có đạo hàm tại điểm x0 . Ta nói rằng hai đường cong  C  :y  f  x  và  C   : y  g  x  tiếp xúc với nhau tại điểm M  x 0 ;y0  nếu M là một tiếp điểm chung của chúng. (C) và ( C  ) có tiếp tuyến chung tại M. Điều kiện tiếp xúc: Hai đường cong (C): y  f  x  và  C : y  g  x  tiếp xúc với nhau  hệ phương trình f  x   g  x   có nghiệm. f   x   g  x  Nghiệm của hệ phương trình là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó. TOANMATH.com Trang 2
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Điều kiện tiếp xúc của hai Khái niệm tiếp tuyến đồ thị hàm số: chung của hai đồ thị hàm Hai đường cong (C): số: y  f  x  và  C   : y  g  x  Cho hai hàm số f  x  và tiếp xúc với nhau khi và chỉ g  x  có đạo hàm tại điểm khi hệ phương trình x0 . Ta nói rằng hai đường TIẾP f  x   g  x  TUYẾN cong (C): y  f  x  và  có nghiệm f   x   g  x   C : y  g  x  tiếp xúc với Nghiệm của hệ phương nhau tại điểm M  x 0 ;y0  trình là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó. nếu M là một tiếp điểm chung của chúng. Hai đường cong có tiếp tuyến chung tại M. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cho trước Bài toán 1: Sự tiếp xúc của hai đường cong Phương pháp giải Cho hai đường cong (C): y  f  x  và Ví dụ: Cho đồ thị hàm số  C  : y  x 3  3x  2 .  C : y  g  x  . Điều kiện để hai đường cong Hoành độ tiếp điểm của đồ thị (C) với trục Ox là tiếp xúc với nhau là hệ phương trình x 3  3x  2  0 nghiệm của hệ  3x  3  0 2 f  x   g  x   có nghiệm. f   x   g  x  x  2;x  1   x  1 x  1 - Nghiệm x  x 0 của hệ trên là hoành độ Vậy tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C) với trục hoành của tiếp điểm của hai đường cong đã cho. là A  1;0  . - Hệ trên có bao nhiêu nghiệm thì hai đường cong (C) và  C   tiếp xúc với nhau tại bấy nhiêu điểm. Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang 3
Ví dụ 1: Đồ thị hàm số y  x 3  x  1 tiếp xúc với đường thẳng nào dưới đây? A. y  x  1 . B. y  2x  1. C. y  x  1. D. y  2x  1. Hướng dẫn giải: Áp dụng điều kiện tiếp xúc của hai đường cong  C  : y  f  x  và  C   : y  g  x  là hệ phương trình f  x   g  x   có nghiệm.  f   x   g  x  Ta có y  3x 2  1  0, x   nên các phương án B, C bị loại. x  x  1  x  1 3 Xét phương án A. y  x  1 . Ta có hệ  2 x0. 3x  1  1 Vậy đường thẳng y  x  1 tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho. Chọn A. Ví dụ 2. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y  2x  m tiếp xúc với đồ thị x 1 hàm số y  là x 1 A. 7; 1 . B. 1 . C. 6 . D. 6; 1 . Hướng dẫn giải: x 1 Đường thẳng y  2x  m tiếp xúc với đồ thị hàm số y  khi và chỉ khi hệ phương trình sau có x 1 nghiệm  x 1  x  0  x 1  2 x  m  x  1  x  1    x  1  2 x  m   2 x  m  m  1  2    x 1   x  2   2  x  12  1 x2  2x  0    x  1 2    m  7 Vậy m  1;7 thì đường thẳng d tiếp xúc với (C). Chọn A. Ví dụ 3: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị ( Cm ) của hàm số y  x 3  4 mx 2  7mx  3m tiếp xúc với parabol  P  : y  x 2  x  1 . Tổng giá trị các phần tử của S bằng 11 331 9 A. . B. . C. . D. 4 . 4 4 4 Hướng dẫn giải: Để ( Cm ) tiếp xúc với (P) thì hệ phương trình sau có nghiệm:  x 3  4 mx 2  7mx  3m  x 2  x  1  2 3 x  8mx  7m  2 x  1 TOANMATH.com Trang 4
 x 3   4m  1 x 2   7m  1 x  3m  1  0 1  2 3 x  2  4 m  1 x  7m  1  0  2  Giải (1), ta có (1)   x  1  x 2  4 mx  3m  1  0 x  1  2  x  4 mx  3m  1  0 + Với x  1 thay vào (2) được m  2  x 2  4 mx  3m  1  0  3 + Xét hệ  2   2 m  1 x  m  1 4  . 3 x  2  4 m  1 x  7m  1  0 1 • Nếu m  thì (4) vô nghiệm. 2 1 m 1 • Nếu m  thì (4)  x  . 2 2m  1 2 m 1  m 1   m 1  Thay x  vào (3) ta được    4m    3m  1  0 2m  1  2m  1   2m  1  m  2  1  4 m 3  11m 2  5m  2  0   m   (thỏa mãn điều kiện).  4 m  1   1  11 Vậy S  2;  ;1 nên tổng các phần tử trong S bằng .  4  4 Chọn A. Ví dụ 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số x3 1 y   m  2  x 2  2 mx  1 tiếp xúc với đường thẳng y  1 . Tổng giá trị các phần tử của S bằng 3 2 20 8 32 A. 10. B. . C. . D. . 3 3 3 Hướng dẫn giải  x3 1    m  2  x  2 mx  1  1 1 2 Xét hệ phương trình  3 2  x 2   m  2  x  2m  0  2   x  m Giải phương trình (2) ta được  . x  2 m3 m  0 + Với x  m , thay vào (1) ta được   m2  0   . 6 m  6 2 + Với x  2 , thay vào (1), ta được m  . 3 TOANMATH.com Trang 5
Vậy tập hợp các giá trị của tham số thực để đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với đường thẳng y  1 là  2 20 S  0;6;  nên tổng các phần tử trong S bằng .  3 3 Chọn B. Ví dụ 5. Biết đồ thị của hàm số  C  : y  x 3  ax 2  bx  c  a, b, c    , tiếp xúc với trục hoành tại gốc tọa độ và cắt đường thẳng x  1 tại điểm có tung độ bằng 3. Tổng a + 2b + 3c bằng A. 4. B. 2. C. 6. D. 3. Hướng dẫn giải: Vì (C) tiếp xúc với Ox tại gốc tọa độ nên x  0 là nghiệm của hệ phương trình  x 3  ax 2  bx  c  0 b  0  2  3 x  2 ax  b  0 c  0 Mặt khác (C) đi qua điểm A 1;3 nên a  b  c  1  3  a  2 . Vậy a  2 b  3c  2. Chọn B. Ví dụ 6. Họ parabol  Pm  : y  mx 2  2  m  3 x  m  2  m  0  luôn tiếp xúc với đường thẳng d cố định khi m thay đổi. Đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây? A. A 1; 8 . B. B  0; 2  . C. C  0;2  . D. D 1;8 . Hướng dẫn giải Ta có: y  mx 2  2  m  3 x  m  2  m  x 2  2 x  1  6 x  2  y  m  x  1  6 x  2 . 2 Xét đường thẳng d : y  6 x  2 thì hệ phương trình m  x  12  6 x  2  6 x  2  luôn có nghiệm x  1 với mọi m  0 . 2 m  x  1  6  6 Vậy  Pm  luôn tiếp xúc với đường thẳng d : y  6 x  2 . Đường thẳng d đi qua điểm B  0; 2  . Chọn B. Nhận xét: Nếu có thể viết lại hàm số  Pm  theo dạng y  m  ax  b   cx  d thì  Pm  luôn tiếp xúc với 2 đường y  cx  d . Bài toán 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm M  x0 ; y0  Phương pháp giải Thực hiện theo các bước sau Ví dụ: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số Bước 1: Tính y  f   x  và f   x0  . y   x 3  x  2 tại điểm M  2;8  bằng Bước 2: Suy ra phương trình tiếp tuyến cần A. –11. B. 6. C. 11. D. –12. TOANMATH.com Trang 6
tìm là y  f   x0  x  x0   y0 Hướng dẫn giải Bước 3: Thực hiện các yêu cầu còn lại của bài Ta có y  3 x 2  1  y  2   11 toán. Kết luận. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm Chú ý: M  2;8 và y  11  x  2   8 . - Nếu bài toán chỉ cho x0 thì ta cần tìm Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k  11 . y0  f  x0  và f   x0  . Chọn A. - Nếu bài toán chỉ cho y0 thì ta cần tìm x0 bằng cách giải phương trình f  x   y0 . - Giá trị f   x0  là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm M  x0 ; y0  . Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tiếp tuyến của đường cong  C  : y  x x  1 tại điểm M  3;6  có hệ số góc bằng 1 11 1 11 A.  . B. C. D.  4 4 4 4 Hướng dẫn giải x 3x  2 Ta có y  x  1   . 2 x 1 2 x 1 3.3  2 11 Hệ số góc cần tìm là y  3   . 2 3 1 4 Chọn B. Ví dụ 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3  2 x  3 tại điểm M 1;2  là A. y  2  x . B. y  x  1 . C. y  3x  1 D. y  2 x  2 Hướng dẫn giải: Ta có y  3 x 2  2  y 1  1 Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho tại điểm M 1;2  là y   x  1  2  x  1 . Chọn B. Ví dụ 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C  : y  x 3 tại điểm có hoành độ bằng 1 là A. y  3x  3. B. y  3x  2. C. y  3x  2. D. y  3x. Hướng dẫn giải Ta có y  3 x 2  y 1  3. Do x0  1  y 0  y 1  1 . TOANMATH.com Trang 7
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng 1 là y  3  x  1  1  y  3 x  2 . Chọn C. Ví dụ 4. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 4  x 2  1 tại điểm có tung độ bằng 1 là A. y  4. B. y  2. C. y  1. D. y  3. Hướng dẫn giải Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm Ta có y0  1  x04  x02  0  x0  0  M  0;1 . Lại có y  4 x 3  2 x  y  0   0 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  1 . Chọn C. 2x  4 Ví dụ 5. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  tại giao điểm của đồ thị với trục hoành là x 3 A. y  2 x  4. B. y  3 x  1. C. y  2 x  4. D. y  2 x. Hướng dẫn giải 2x  4 Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là nghiệm của phương trình  0  x  2  đồ x 3 thị hàm số cắt trục hoành tại điểm (2; 0). 2 Ta có y   y   2   2 .  x  3 2 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  2  x  2  hay y  2 x  4 . Chọn C. Ví dụ 6. Cho hàm số y   x 3  3x  2 có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung là A. y  3 x  2 . B. y  2 x  1 C. y  2 x  1 D. y  3 x  2 Hướng dẫn giải Ta có  C   Oy  A  0; 2  ; y  0   3. Phương trình tiếp tuyến tại A  0; 2  là y  3x  2 . Chọn A. 2x 1 Ví dụ 7. Gọi đường thẳng y  ax  b là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  tại điểm có x 1 hoành độ x  1 . Giá trị a  b bằng TOANMATH.com Trang 8
1 A. 2. B. –1. C. 1. D. . 2 Hướng dẫn giải 1 2x 1 Ta có x0  1  y0   Tọa độ tiếp điểm của đường thẳng y  ax  b và đồ thị hàm số y  là 2 x 1  1 M  1;  .  2 3 3 Vì y  nên y 1  .  x  1 2 4 3 1 3 1 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là y   x  1   y  x  4 2 4 4  3 a  4   ab 1 b   1  4 Chọn C.    Ví dụ 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  tan   3 x  tại điểm có hoành độ x0  là 4  6    A. y   x   6. B. y   x   6. C. y   x   6. D. y  6 x    1. 6 6 6 Hướng dẫn giải 3    Ta có y   y    6; x0   y0  1   6 6 cos2   3x  4  Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  6 x    1 Chọn D. 2x  1 Ví dụ 9. Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số  C  : y  có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến của đồ thị (C) x 1 tại M cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B. Diện tích tam giác OAB bằng 125 117 121 119 A.  ®vdt  . B.  ®vdt  C.  ®vdt  D.  ®vdt  6 6 6 6 Hướng dẫn giải 3 Ta có M  2;5   C  ; y  ; y  2   3 .  x  1 2 Phương trình tiếp tuyến tại M  2;5 là d : y  3 x  11 .  11  11 Khi đó d cắt Ox, Oy tại A  ;0  và B  0;11  OA  ; OB  11. 3  3 TOANMATH.com Trang 9
1 1 11 121 Vậy SOAB  OA.OB  . .11   ®vdt  2 2 3 6 Chọn C. xb Ví dụ 10. Cho hàm số y   ab  2, a  0  . Biết rằng a và b là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của ax  2 đồ thị hàm số tại điểm A 1; 2  song song với đường thẳng d : 3 x  y  4  0 . Khi đó giá trị của a  3b bằng A. 5. B. 4. C. –1. D. –2. Hướng dẫn giải 2  ab 2  ab Ta có: y   y 1   ax  2   a  2 2 2 Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 3 x  y  4  0  y  3 x  4 nên 2  ab y 1  3   3 . a  2 2 1 b Mặt khác A 1; 2  thuộc đồ thị hàm số nên 2   b  2 a  3. a2  2  ab   3 a  2 Khi đó ta có hệ   a  2  2  5a 2  15a  10  0    a  1 b  2 a  3 + Với a  2  b  1  ab  2 (loại) + Với a  1  b  1 ( thỏa mãn điều kiện). x 1 Khi đó ta có hàm số y  . x 2 3 y   y 1  3 nên phương trình tiếp tuyến là y  3x  1 song song với đường thẳng  x  2 2 y  3 x  4 . Vậy a  3b  2 . Chọn D. Ví dụ 11. Trong tất cả các đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số y   x 3  3 x 2  3 x  1 thì đường thẳng d có hệ số góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là A. y  6 x  2. B. y  2 x  2. C. y  1. D. y  3x  1. Hướng dẫn giải Ta có y  3 x 2  6 x  3 TOANMATH.com Trang 10
Gọi M  x0 ; y0  thuộc đồ thị hàm số. Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến tại M  x0 ; y0  là k  3 x02  6 x0  3  3  x0  1  6  6 2  kmax  6  x0  1 hay M  1; 4  . Phương trình đường thẳng d là y  6  x  1  4  y  6 x  2 . Chọn A. Nhận xét: Đối với hàm số bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d thì tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất (nhỏ nhất) là tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị U  x0 ; f  x0   , với x0 là nghiệm của phương trình y  0 . + Nếu a  0 thì hệ số góc k  f   x0  là nhỏ nhất. + Nếu a  0 thì hệ số góc k  f   x0  là lớn nhất. Ví dụ 12. Cho hàm số y  x 3  2 x 2   m  1 x  2 m có đồ thị  Cm  . Giá trị thực của tham số m để tiếp tuyến của đồ thị  Cm  tại điểm có hoành độ x  1 song song với đường thẳng y  3 x  10 là A. m  2. B. m  4. C. m  0. D. không tồn tại m. Hướng dẫn giải Ta có y  3 x 2  4 x  m  1  y 1  m  2 . Tiếp tuyến của  Cm  tại điểm có hoành độ x  1 có phương trình là y   m  2  x  1  3m  2  y   m  2  x  2 m m  2  3 Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y  3 x  10 nên  (vô lí) 2 m  10 Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D. Ví dụ 13. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f  x    x 3  3 x 2  9 x  2 tại điểm M có hoành độ x0 , biết rằng f   x0   6 là A. y  9 x  6. B. y  9 x  6. C. y  6 x  9. D. y  6 x  9. Hướng dẫn giải Ta có f   x   3 x 2  6 x  9, f   x   6 x  6 f   x0   6  6 x0  6  6  x0  2  y0  24 và y  2   9 Phương trình tiếp tuyến tại M  2;24  là y  9  x  2   24  y  9 x  6 . Chọn A. Ví dụ 14. Cho hàm số f  x   x 3  mx 2  x  1 . Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M có hoành độ x  1 . Tất cả các giá trị thực của tham số m để thỏa mãn k. f  1  0 là TOANMATH.com Trang 11
A. m  2 . B. 2  m  1 . C. m  1 . D. m  2 Hướng dẫn giải Ta có f   x   3x 2  2mx  1  k  f  1  4  2m . Do đó k. f  1   4  2m  m  1 Để k. f  1  0 thì  4  2 m  m  1  0  2  m  1 . Chọn B. Ví dụ 15. Cho hàm số y  x 3  3mx 2   m  1 x  1 , với m là tham số thực, có đồ thị (C). Biết rằng khi m  m0 thì tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0  1 đi qua A 1;3 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2  m0  1 . B. 1  m0  0 C. 0  m0  1 D. 1  m0  2 Hướng dẫn giải Gọi B là tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua A 1;3 khi m  m0 Ta có y  3x 2  6mx  m  1 . Với x0  1 thì y0  2 m  1  B  1;2 m  1 và y  1  5m  4 . Tiếp tuyến tại B của (C) có phương trình là y   5m  4  x  1  2 m  1 . 1 Do tiếp tuyến đi qua A 1;3 nên 2  5m  4   2 m  1  3  m  . 2 1 Vậy m0    0;1 . 2 Chọn C. x2 Ví dụ 16. Cho hàm số y  có đồ thị (C). Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách từ M đến 2x trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung, M không trùng với gốc tọa độ O và có tọa độ nguyên. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là A. y  8. B. y  64. C. y  12. D. y  9. Hướng dẫn giải:  a2  Giả sử M  a;  là một điểm thuộc (C).  2a  a2 a  0 2   2a  a 2a 4 Do d  M; Ox   2 d  M; Oy  nên 2 a  2  a  2a  a  3  2  a  2 a a  4  Theo giả thiết thì M không trùng với gốc tọa độ O và có tọa độ nguyên nên a  4  M  4; 8  . TOANMATH.com Trang 12
4x  x2 Khi đó y   y  4   0 2  x  2 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  8 . Chọn A. x 1 Ví dụ 17. Cho hàm số y  có đồ thị (C) và đường thẳng d : y  2 x  m  1 ( m là tham số thực). x 2 Gọi k1 , k2 là hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của d và (C). Tích k1 .k2 bằng 1 A. 4. B. . C. 2. D. 3. 4 Hướng dẫn giải Tập xác định D   \ 2 . 1 Ta có y   x  2 2 Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) x 1  2 x  m  1 ( với x  2 ) x2  2 x 2   6  m  x  3  2m  0 1 Để đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác –2.    6  m 2  8  3  2 m   0 m 2  4 m  12  0    m   8  2  6  m   3  2m  0 1  0 Vậy (C) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt A  x1 ; y1  và B  x2 ; y2  , với x1 , x2 là nghiệm của phương trình (1).  m6  x1  x2  2 Theo định lý Vi-ét ta có   x . x  3  2m  1 2 2 1 1 1 Ta có k1.k2  .   x1  2   x2  2   x1 x2  2  x1  x2   4  2 2 2 1  2 4  3  2m m6   2  2. 2  4  Chọn A. TOANMATH.com Trang 13
Ví dụ 18. Cho hàm số y  x 4  2 mx 2  m có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Giá trị của tham số thực m để tiếp tuyến  của đồ thị (C) tại A cắt đường tròn    : x 2   y  1 2  4 tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất là 13 13 16 16 A. m   . B. m  . C. m   . D. m  . 16 16 13 13 Hướng dẫn giải Đường tròn    : x 2   y  1  4 có tâm I  0;1 , R  2 . 2 Ta có A 1;1  m  ; y  4 x 3  4mx  y 1  4  4 m . Suy ra phương trình tiếp tuyến  : y   4  4 m  x  1  1  m . 3  Dễ thấy  luôn đi qua điểm cố định F  ;0  và điểm F nằm trong đường tròn    . 4  Giả sử  cắt    tại M, N, Khi đó MN  2 R 2  d 2  I ;    2 4  d 2  I ;   . Do đó MN nhỏ nhất  d  I ;  lớn nhất  d  I ;    IF    IF .    3   Khi đó đường thẳng  có 1 vectơ chỉ phương u  IF   ; 1 ; u  1;4  4 m  nên 4    3 13 u. IF  0  1.   4  4 m   0  m  . 4 16 Chọn B. Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hai hàm số  C1  : y  mx 3  1  2m  x 2  2mx và  C2  : y  3mx 3  3 1  2 m  x  4m  2 tiếp xúc với nhau. Tổng giá trị các phần tử của S bằng 11 7 A. . B. 3. C. 1. D. . 6 2 Câu 2: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y  2 x  m tiếp xúc với đồ thị 2x  3 hàm số y  . Tích giá trị các phần tử của S bằng x 1 1 A. . B. 4. C. –8. D. –4. 2 Câu 3: Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y  x 4   m  1 x 2  4m  Cm  tiếp xúc với đường thẳng d : y  3 tại hai điểm phân biệt. Tổng các phần tử của tập S bằng A. 14. B. 17. C. 15. D. 4. Câu 4: Giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số y  x  mx  1 tiếp xúc với đường thẳng d : y  5 là 3 2 A. m  2. B. m  3. C. m  1. D. m  3. TOANMATH.com Trang 14
Câu 5: Cho hàm số y  x 3  3x 2  3mx  1  m . Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị tiếp xúc với trục hoành? A. 0. B. 3. C. 1. D. 2. x2  x 1 Câu 6: Giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  tiếp xúc với parabol y  x 2  m là x 1 A. m  2. B. m  0. C. m  1. D. m  3. Câu 7: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y   x 3  2  m  1 x 2  5mx  2 m tiếp xúc với trục hoành? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Câu 8: Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng x  y  2 m là tiếp tuyến của đường cong y   x 3  2 x  4 bằng A. 2. B. –4. C. –2. D. 4. 4 x Câu 9: Cho hàm số y   2 x 2  4 có đồ thị là (C). Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị 4 (C) tiếp xúc với parabol  P  : y  x 2  m bằng A. 6. B. 126. C. 34. D. –1. Câu 10: Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  x 3   m  3 x 2   3m  2  x  2m tiếp xúc với trục hoành bằng A. 1. B. 3. C. –3. D. –1. Câu 11: Trong ba đường thẳng d1 : y  7 x  9, d2 : y  5 x  29, d3 : y  5 x  5 có bao nhiêu đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C  : y  x 3  3x 2  2 x  4 ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Câu 12: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  2 tại điểm có hoành độ bằng -3 có phương trình là A. y  9 x  25 . B. y  30 x  25 C. y  9 x  25 D. y  30 x  25 3x  1 Câu 13: Đồ thị (C) của hàm số y  cắt trục tung tại điểm A. Tiếp tuyến của (C) tại điểm A có x 1 phương trình là A. y  5 x  1 . B. y  4 x  1 C. y  4 x  1 D. y  5 x  1 x 2 Câu 14: Cho hàm số y  . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x  0 là x 1 A. y  3 x  2 . B. y  3 x  2 C. y  3 x  3 D. y  3 x  2  Câu 15: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  sin x  1 tại điểm có hoành độ bằng 3 3 3 1 1 A.  . B. . C.  D. 2 2 2 2 x 2 Câu 16: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  tại giao điểm với trục hoành, cắt trục tung x 1 tại điểm có tung độ bằng TOANMATH.com Trang 15
A. –1. B. 1. C. 2. D. –2. x 2 11 Câu 17: Cho hàm số y   có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có hoành độ 8 2 x0  2 là 1 1 A. y    x  2  7 . B. y    x  2  6 . 2 2 1 1 C. y    x  2  6 D. y   x  2  7 2 2 Câu 18: Cho hàm số y  x 3  3 x  4  C  . Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M  2;2  có hệ số góc bằng A. 45. B. 0. C. 24. D. 9. Câu 19: Cho hàm số y  x 3  3 x có đồ thị hàm số (C). Hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có tung độ bằng 4 là A. 9. B. 6. C. 0. D. –2. 3x  2 Câu 20: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  tại điểm có hoành độ x0  1 có hệ số góc bằng 2x  3 A. –5. B. –13. C. 13. D. –1. 2x  4 Câu 21: Cho đồ thị  H  : y  . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) tại giao điểm của (H) và Ox x 3 là A. y  2 x  4. B. y  2 x  4. C. y  2 x  4. D. y  2 x. Câu 22: Cho hàm số y   x 2  5 , có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có tung độ y0  1 với hoành độ x0  0 là  A. y  2 6 x  6  1 .   B. y  2 6 x  6  1  C. y  2 6  x  6   1 D. y  2 6  x  6   1 x 1 Câu 23: Cho hàm số y  . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị hàm x 2 số với trục hoành là A. x  3 y  1  0 . B. x  3 y  1  0 . C. x  3 y  1  0 . D. x  3 y  1  0 Câu 24: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C  : y  x 4  x 2  1 tại điểm có hoành độ bằng 1 là A. y  2 x  1. B. y  2 x  1. C. y  1. D. y  2 x  3. 1 1  Câu 25: Phương trình đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  tại điểm A  ;1  là 2x 2  A. 2 x  2 y  1. B. 2 x  2 y  3. C. 2 x  2 y  1. D. 2 x  2 y  3. Câu 26: Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  x 3  4 x  1 tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình là A. y  8 x  17. B. y  8 x  16. C. y  8 x  15. D. y  8 x  15. Câu 27: Phương trình các đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3  6 x 2  11x  1 tại điểm có tung độ bằng 5 là TOANMATH.com Trang 16
A. y  2 x  3; y   x  7; y  2 x  2. B. y  2 x  1; y   x  2; y  2 x  2. C. y  2 x  3; y   x  7; y  2 x  1. D. y  2 x  1; y   x  2; y  2 x  1. Câu 28: Cho hàm số y  x 2  5 x  4 có đồ thị (C). Phương trình các đường tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của đồ thị với trục Ox là A. y  3 x  3 và y  3 x  12. B. y  3 x  3 và y  3x  12. C. y  3 x  3 và y  3 x  12. D. y  2 x  3 và y  2 x  12. Câu 29: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  x 4  x 3  2 x 2  1 tại điểm có hoành độ -1 bằng A. 4. B. 3. C. –3. D. 11. Câu 30: Gọi M là giao điểm của trục tung với đồ thị hàm số  C  : y  x 2  x  1 . Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là 1 1 A. y  x  1. B. y   x  1. C. y   x  1. D. y  x  1. 2 2  Câu 31: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y  tan x tại điểm có hoành độ x  bằng 4 1 2 A. 2. B. . C. . D. 1. 2 2 1 Câu 32: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 2  tại điểm có hoành độ x  1 là x A. y  2 x  1. B. y   x  1. C. y  x  1. D. y   x  2. Câu 33: Cho hàm số y  x 3  x 2  x  1 có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm N của (C) cắt đồ thị (C) tại điểm thứ hai là M  1; 2  . Tọa độ điểm N là A.  2;7  . B. 1;2  . C.  0;1 . D.  1;0  . x 1 Câu 34: Gọi d là tiếp tuyến của hàm số y  tại điểm có hoành độ bằng –3. Khi đó d tạo với hai trục x 2 tọa độ một tam giác có diện tích bằng 169 121 25 49 A. (đvdt). B. (đvdt). C. (đvdt). D. (đvdt). 6 6 6 6 1 3 Câu 35: Cho hàm số y  x  2 x 2  3x  1 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành 3 độ là nghiệm của phương trình y  0 là 11 1 1 11 A. y  x  . B. y   x  . C. y  x  . D. y   x  . 3 3 3 3 Câu 36: Gọi  Cm  là đồ thị của hàm số y  2 x 3  3  m  1 x 2  mx  m  1 và d là tiếp tuyến của  Cm  tại điểm có hoành độ x  1 . Giá trị của tham số m để d đi qua điểm A  0;8  là A. m  3. B. m  1. C. m  2. D. m  0. Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  khi biết hệ số góc TOANMATH.com Trang 17
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc dựa vào các quan hệ song song, vuông góc,... Phương pháp giải Thực hiện theo một trong hai cách sau: Ví dụ: Cho hàm số y  x 3  3x 2  2 . Lập phương Cách 1: trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết tiếp Bước 1. Xác định hệ số góc k của tiếp tuyến tuyến song song với đường thẳng  : y  9 x  2 . dựa vào giả thiết bài toán. Hướng dẫn giải Bước 2. Giải phương trình f   x   k để tìm Vì tiếp tuyến song song với  : y  9 x  2 nên hệ x  x0 là hoành độ của tiếp điểm. số góc của tiếp tuyến là k  9. Tính y 0  f  x0   M  x0 ; y0  . Ta có y  3 x 2  6 x . Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là  x  1 Xét phương trình 3 x 2  6 x  9   y  k  x  x0   y0 x  3 + Với x  1  y  2  M  1; 2  có phương Điểm M  x0 ; y0  là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho. trình tiếp tuyến là y  9  x  1  2  y  9 x  7 . Cách 2: + Với x  3  y  2  N  3;2  có phương trình Bước 1. Xác định hệ số góc k của tiếp tuyến tiếp tuyến là y  9  x  3  2  y  9 x  25 . dựa vào giả thiết bài toán. Vì tiếp tuyến song song với  : y  9 x  2 nên hệ Bước 2. Vì tiếp tuyến có hệ số góc là k nên số góc của tiếp tuyến là k  9. . phương trình tiếp tuyến có dạng y  kx  b . Dựa vào điều kiện tiếp xúc của tiếp tuyến với Phương trình tiếp tuyến có dạng  d  : y  9x  b (C) ta tìm giá trị của b. với b  2 . Lưu ý: Vì  d  : y  9 x  b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số - Phương trình f   x   k có bao nhiêu nghiệm  x 3  3 x 2  2  9 x  b y  x 3  3x 2  2 nên  2 thì có bấy nhiêu tiếp điểm. 3 x  6 x  9 - Một số trường hợp xác định hệ số góc của  b  7. Giải hệ phương trình tìm được  đường thẳng thường gặp.  b  25. Cho hai đường thẳng Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  9 x  7 d1 : y  k1 x  b1 ; d2 : y  k2 x  b2 . hoặc y  9 x  25 . + Trường hợp 1: d1  d2  k1 .k2  1. k  k2 + Trường hợp 2: d1 / / d2   1 b1  b2 + Trường hợp 3: Góc TOANMATH.com Trang 18
k1  k2  d1 ; d2     tan   . 1  k1. k 2 Đặc biệt: 1. Nếu góc giữa d : y  kx  b với Ox bằng   0    90  thì k  tan  . 2. Nếu đường thẳng d cắt Ox, Oy tại hai điểm A, B mà OB  m.OA thì OB k  tan   m. OA + Trường hợp 4: Nếu đường thẳng d đi qua hai y1  y 2 điểm A  x1 ; y1  và B  x2 ; y2  thì k  . x1  x2 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3  3 x  1 có hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9 là A. y  9 x  15 hay y  9 x  1 . B. y  9 x  15 hay y  9 x  17 . C. y  9 x  1 hay y  9 x  17 . D. y  9 x  1 hay y  9 x  1 . Hướng dẫn giải Ta có y  3 x 2  3 . Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm. Vì hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9 nên y  x0   9  3x02  3  9  x0  2 . + Với x0  2 thì y0  3 . Phương trình tiếp tuyến là y  9  x  2   3  9 x  15 . + Với x0  2 thì y0  1 . Phương trình tiếp tuyến là y  9  x  2   1  9 x  17 . Chọn B. 2x 1 Ví dụ 2: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  song song với đường thẳng  : y  x  1 ? x 1 A. 2. B. 3. C. 0. D. 1. Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 19
1 Ta có y  . Do tiếp tuyến song song với đường thẳng  : y  x  1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là  x  1 2 k  1. 1 x  0 Xét phương trình 1   x  1  x  2 2 + Với x  0 thì y  1 . Phương trình tiếp tuyến là y  x  1 ( loại vì trùng với  ). + Với x  2 thì y  3 . Phương trình tiếp tuyến là y  x  5 . Vậy có một tiếp tuyến song song với  : y  x  1. Chọn D. Ví dụ 3: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y  x 4  x . Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d : x  5 y  0 có phương trình là A. y  x  4. B. y  5 x  3. C. y  3 x  5. D. y  2 x  3. Hướng dẫn giải Ta có y  4 x 3  1 . Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm. 1  1  Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y   x nên k.    1  k  5 . 5  5  Xét phương trình 4 x 3  1  5  x  1  y  2. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  5  x  1  2  5 x  3. Chọn B. Ví dụ 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3  3x  1 song song với trục Ox là A. y  3, y  1. B. y  3, y  2. C. x  3, x  1. D. y  2, y  1. Hướng dẫn giải Do tiếp tuyến song song với trục Ox nên tiếp tuyến có tiếp điểm là các điểm cực trị và có phương trình y  y0 với y0 là giá trị cực trị của hàm số đã cho. Ta có y  3x 2  3; y  0  x  1 . Do hàm số đã cho là hàm bậc ba nên các điểm cực trị là A 1; 1 , B  1;3 . Vậy phương trình các đường tiếp tuyến cần tìm là y  1; y  3. Chọn A. Ví dụ 5: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  2 x 3  3 x 2  12 x  1 song song với đường thẳng d :12 x  y  0 có dạng y  ax  b . Giá trị 2 a  b bằng A. 0. B. –23. C. –23 hoặc –24. D. –24. Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 20