intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Dạng toàn phương trên RN

Chia sẻ: Tieuduongchi Duongchi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:131

Thêm vào BST
Báo xấu
17
lượt xem 6
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Dạng toàn phương trên \({R^N}\). Chương này cung cấp cho học viên những nội dung về: dạng toàn phương; dạng chính tắc của dạng toàn phương; dạng chuẩn tắc của dạng toàn phương; dạng toàn phương có dấu xác định;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Dạng toàn phương trên RN

  1. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương IV DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRÊN RN §1 DẠNG TOÀN PHƯƠNG 347
  2. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương IV DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRÊN RN §1 DẠNG TOÀN PHƯƠNG 1 Các khái niệm. Definition 1.1. (Dạng toàn phương) Trong không gian vectơ Rn cho cơ sở β = {e1 , e2 , ..., en }. Với mỗi vectơ x ∈ Rn ta có (x)β = (x1 , x2 , ..., xn ). Một ánh xạ q : Rn → R xác định bởi 347
  3. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân X q(x) = q(x1 , x2 , ..., xn ) = xi xj (1.1) 1≤i,j≤n được gọi là một dạng toàn phương trên Rn ứng với cơ sở β. Khi đó (1.1) cũng được gọi là biểu thức toạ độ của dạng toàn phương q ứng với cơ sở β. 348
  4. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân X q(x) = q(x1 , x2 , ..., xn ) = xi xj (1.1) 1≤i,j≤n được gọi là một dạng toàn phương trên Rn ứng với cơ sở β. Khi đó (1.1) cũng được gọi là biểu thức toạ độ của dạng toàn phương q ứng với cơ sở β. Definition 1.2. (Ma trận của dạng toàn phương) Cho dạng toàn phương (1.1), được xác định như trong Định nghĩa 1.1. Ma trận A = (aij )n được xác định bởi 348
  5. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân  b ij nếu i=j aij = (1.2)  1 bij nếu i 6= j 2 được gọi là ma trận của dạng toàn phương q cho bởi (1.1). 349
  6. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân  b ij nếu i=j aij = (1.2)  1 bij nếu i 6= j 2 được gọi là ma trận của dạng toàn phương q cho bởi (1.1). Nhận xét: 349
  7. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân  b ij nếu i=j aij = (1.2)  1 bij nếu i 6= j 2 được gọi là ma trận của dạng toàn phương q cho bởi (1.1). Nhận xét: (1) Từ hai định nghĩa ta có thể viết biểu thức toạ độ dưới dạng ma trận q(x) = (x)β A[x]β . (1.3) 349
  8. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân  b ij nếu i=j aij = (1.2)  1 bij nếu i 6= j 2 được gọi là ma trận của dạng toàn phương q cho bởi (1.1). Nhận xét: (1) Từ hai định nghĩa ta có thể viết biểu thức toạ độ dưới dạng ma trận q(x) = (x)β A[x]β . (1.3) (2) Ma trận A của dạng toàn phương là ma trận đối xứng. 349
  9. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân  b ij nếu i=j aij = (1.2)  1 bij nếu i 6= j 2 được gọi là ma trận của dạng toàn phương q cho bởi (1.1). Nhận xét: (1) Từ hai định nghĩa ta có thể viết biểu thức toạ độ dưới dạng ma trận q(x) = (x)β A[x]β . (1.3) (2) Ma trận A của dạng toàn phương là ma trận đối xứng. (3) q : Rn → R là một dạng toàn phương khác hằng không trên Rn khi và chỉ khi q(x1 , x2 , ..., xn ) là một đa thức đẳng cấp bậc hai của n biến x1 , x2 , ..., xn . 349
  10. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân  b ij nếu i=j aij = (1.2)  1 bij nếu i 6= j 2 được gọi là ma trận của dạng toàn phương q cho bởi (1.1). Nhận xét: (1) Từ hai định nghĩa ta có thể viết biểu thức toạ độ dưới dạng ma trận q(x) = (x)β A[x]β . (1.3) (2) Ma trận A của dạng toàn phương là ma trận đối xứng. (3) q : Rn → R là một dạng toàn phương khác hằng không trên Rn khi và chỉ khi q(x1 , x2 , ..., xn ) là một đa thức đẳng cấp bậc hai của n biến x1 , x2 , ..., xn . (4) Nếu cho một dạng toàn phương mà không nhắc tới cơ sở thì 349
  11. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân ta ngầm hiểu dạng toàn phương đó được cho trong cơ sở chính tắc của Rn . 350
  12. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân ta ngầm hiểu dạng toàn phương đó được cho trong cơ sở chính tắc của Rn . Example 1.1. Cho ánh xạ q : R3 → R xác định bởi q(x, y, z) = 3x2 + 4xy − 2xz + y 2 + 6yz − 2z 2 , ∀(x, y, z) ∈ R3 . Vì q(x, y, z) là một đa thức đẳng cấp bậc hai của ba biến thực x, y, z nên q là một dạng toàn phương 3 biến thực. Theo công thức (1.2) ta có ma trận của q trong cơ sở chính tắc ζ(3) của R3 là   3 2 −1   A =  2 1 3 .     −1 3 −2 350
  13. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân ta ngầm hiểu dạng toàn phương đó được cho trong cơ sở chính tắc của Rn . Example 1.1. Cho ánh xạ q : R3 → R xác định bởi q(x, y, z) = 3x2 + 4xy − 2xz + y 2 + 6yz − 2z 2 , ∀(x, y, z) ∈ R3 . Vì q(x, y, z) là một đa thức đẳng cấp bậc hai của ba biến thực x, y, z nên q là một dạng toàn phương 3 biến thực. Theo công thức (1.2) ta có ma trận của q trong cơ sở chính tắc ζ(3) của R3 là   3 2 −1   A =  2 1 3 .     −1 3 −2 Example 1.2. Ánh xạ q : R3 → R, (x, y, z) 7→ xy − xz + yz, cũng là một dạng toàn phương 3 biến thực với ma trận trong cơ sở 350
  14. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân chính tắc là   0 1/2 −1/2   A =  1/2 1/2  .   0   −1/2 1/2 0 351
  15. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân chính tắc là   0 1/2 −1/2   A =  1/2 1/2  .   0   −1/2 1/2 0 Example 1.3. Ánh xạ f : R3 → R, (x, y, z) 7→ x2 + y − z 2 , không là một dạng toàn phương ba biến thực vì f (x, y, z) không phải là đa thức đẳng cấp bậc hai của ba biến x, y, z. Cụ thể nó chứa đơn thức bậc nhất y. 351
  16. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân 2 Sự thay đổi của ma trận và biểu thức toạ độ khi đổi cơ sở. 352
  17. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân 2 Sự thay đổi của ma trận và biểu thức toạ độ khi đổi cơ sở. Giả sử trong không gian vectơ Rn đã cho hai cơ sở β = {e1 , e2 , ..., en } và β 0 = {e01 , e02 , ..., e0n }, q là một dạng toàn phương trên Rn . Gọi A, A0 tương ứng là ma trận của q trong β và β 0 , C là ma trận chuyể cơ sở từ β sang β 0 . Công thức đổi toạ độ từ β sang β 0 cho ta [x]β = C[x]β 0 ⇒ (x)β = [x]Tβ = (C[x]β 0 )T = (x)β 0 C T , ∀x ∈ Rn . 352
  18. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân 2 Sự thay đổi của ma trận và biểu thức toạ độ khi đổi cơ sở. Giả sử trong không gian vectơ Rn đã cho hai cơ sở β = {e1 , e2 , ..., en } và β 0 = {e01 , e02 , ..., e0n }, q là một dạng toàn phương trên Rn . Gọi A, A0 tương ứng là ma trận của q trong β và β 0 , C là ma trận chuyể cơ sở từ β sang β 0 . Công thức đổi toạ độ từ β sang β 0 cho ta [x]β = C[x]β 0 ⇒ (x)β = [x]Tβ = (C[x]β 0 )T = (x)β 0 C T , ∀x ∈ Rn . Suy ra q(x) = (x)β A[x]β = (x)β 0 (C T AC)[x]β 0 = (x)β 0 A0 [x]β 0 . Suy ra A và A0 tương đương với nhau và rankA = rankA0 . 352
  19. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân 2 Sự thay đổi của ma trận và biểu thức toạ độ khi đổi cơ sở. Giả sử trong không gian vectơ Rn đã cho hai cơ sở β = {e1 , e2 , ..., en } và β 0 = {e01 , e02 , ..., e0n }, q là một dạng toàn phương trên Rn . Gọi A, A0 tương ứng là ma trận của q trong β và β 0 , C là ma trận chuyể cơ sở từ β sang β 0 . Công thức đổi toạ độ từ β sang β 0 cho ta [x]β = C[x]β 0 ⇒ (x)β = [x]Tβ = (C[x]β 0 )T = (x)β 0 C T , ∀x ∈ Rn . Suy ra q(x) = (x)β A[x]β = (x)β 0 (C T AC)[x]β 0 = (x)β 0 A0 [x]β 0 . Suy ra A và A0 tương đương với nhau và rankA = rankA0 . 352
  20. Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Example 2.1. Cho dạng toàn phương ba biến thực q(x, y, z) = 3x2 +12xy −6xz +8y 2 −28yz −12z 2 , ∀(x, y, z) ∈ R3 . a) Lập ma trận và biểu thức toạ độ của q trong cơ sở β1 = {(1, 1, 0)(0, 1, 1)(1, 0, 1)}; b) Lập ma trận và biểu thức toạ độ của q trong cơ sở β2 = {(1, 0, 0), (−2, 1, 0), (5, −2, 1)}. 353
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2