Bài giảng Động lực học công trình - Chương 3: Dao động của hệ có vô số bậc tự do

Chia sẻ: Kệ Tui | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

Thêm vào BST

Báo xấu

106
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Động lực học công trình - Chương 3: Dao động của hệ có vô số bậc tự do gồm có những nội dung cụ thể như sau: Phương trình vi phân tổng quát, dao động riêng không lực cản, dao động cưỡng bức khi hệ chịu lực kích thích tuần hoàn,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Động lực học công trình - Chương 3: Dao động của hệ có vô số bậc tự do

CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO 3.1 Phương trình vi phân tổng quát: Xét dao động của thẳng có khối lượng phân bố m(z) dọc theo ciều dài thanh. Hệ có bậc tự do bằng vô cùng. Khi chịu lực kích thích bất kỳ thay đổi theo thời gian và có phương nghiêng so với trục thanh. Dao động ngang của thanh được xác định bằng phương trình y = y(z, t) là hàm của tọa độ z của tiết diện ngang và thời gian t biểu thị đường đàn hồi của thanh. Từ các liên hệ vi phân giữa đường hồi y(z, t), mô men uốn M(z, t) và cường độ tải trọng phân bố p(z, t):  2 y( z, t )  2 M ( z, t ) EI( z ) 2 = - M ( z , t ); 2 = p( z, t ) z z
CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO 2   2 y( z, t )  q(z,t)  EI( z )  = - p( z , t ). z 2  z 2  p(z,t) > 0 có chiều hướng lên z  2 y ( z, t ) - m( z ) * Tải trọng kích thích bố với t 2 cường độ q(z,t) tác dụng vuông góc với trục thanh >0 khi có chiều hướng lên trên. y r(z,t) * Lực quán tính của khối lượng phân bố m(z) hướng theo chiều chuyển động và bằng: * Lực cản r(z,t) ngược  2 y( z, t ) chiều với chiều chuyển - m( z ) động. t 2
CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO  2 y( z, t )  p ( z , t ) = q ( z , t ) + m( z ) 2 + r ( z, t ) t Thay p(z, t) vào phương trình đầu tiên, ta thu được phương trình vi phân tổng quát mô tả dao động ngang của thanh: 2   2 y( z, t )   2 y ( z, t )  EI( z )  2  + m( z )  2 + r ( z , t ) = -q( z , t ) z 2  z  t Nếu thanh có khối lượng m phân bố đều:  4 y( z, t )  2 y ( z, t ) EI( z ) 4 + m( z ) 2 + r ( z , t ) = - q( z , t ) z t
CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO 3.2. Dao động riêng không lực cản: 3.2.1. Trường hợp tổng quát: Trong trường hợp này r(z, t) = 0, q(z, t) = 0, phương trình vi phân của dao động riêng có dạng: 2   2 y ( z, t )   2 y ( z, t )  EI( z )  2  + m( z )  2 = 0 z 2  z  t Giải phương trình theo phương pháp tách biến số Fourier ta đặt nghiệm dưới dạng chuỗi là tổng các nghiệm riêng:  y ( z , t ) =  yi ( z ) Fi (t ). i -1 Lấy đạo hàm và thay vào phương trình trên:
 2   && (t ) = 0. z 2 [ EI ( z ) y i ( z ). Fi ( t )] + m( z )  y i ( z ) F i i =1 i =1 Cho từng số hạng của tổng phương trình trên bằng không, với số hạng thứ i, ta thu được: 2 && (t ) = 0. ( z ).F (t )] + m( z ) y ( z ) F [ EI ( z ) y i i i i z 2 2  [ EI( z ). y  i ( z )] && z 2 Fi (t )  =- . m( z ). yi ( z ) Fi (t ) Vế phải chỉ phụ thuộc vào thời gian t, vế trái phụ thuộc vào z,  tỷ số này = const. Ký hiệu dại lượng này là wi2  có 2 phương trình vi phân với biến số độc lâp:
1) &F& (t ) + w 2 F (t ) = 0. i i i Dạng giống như phương trình vi phân dao động hệ một bậc tự do, nghiệm của phương trình này là: Fi (t ) = Ai sin wi t + B cos wi t = ai sin(wi t + ji ).  Tương ứng với mỗi nghiệm riêng yi(z, t)=yi(z).Fi(t), dao động riêng của thanh thay đổi điều hòa với tần số riêng wi. 2 2 2) 2 [ EI ( z ). y  i ( z )] - m( z ).w i . y i ( z ) = 0 z Giải phương trình này ta sẽ tìm được hàm yi(z) biểu thị dạng chính thứ i của dao động riêng ứng với tần số wi.
CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO 3.2.1. Trường hợp EI = const : Phương trình vi phân dao động có dạng:  4 y( z, t ) m (z)  2 y ( z, t ) 4 + 2 =0 z EI t Nghiệm của phương trình cũng được tìm dưới dạng chuỗi:  y ( z , t ) =  yi ( z ) Fi (t ). i -1 Fi (t ) = Ai sin wi t + B cos wi t = ai sin(wi t + ji ). 2 2 2 [ EI ( z ). y  i ( z )] - m( z ).w i . y i ( z ) = 0 z
2 IV 4 4 w m i . y ( z ) ki yi ( z ) = 0; - ki = EI Giải phương trình đặc trưng: r4 – ki4 = 0 của phương trình trên ta thu được các nghiệm: r1 = ki ; r2 = -ki ; r3 = iki ; r4 = -iki ; i = - 1. ki z - ki z  yi ( z ) = a.e + b.e + c. cos ki z + d . sin ki z. ki z - ki z Vì: e = chki z + shki z , e = chki z - shki z  Ta thu được các phương trình sau:
yi ( z ) = C1chki z + C 2 shki z + C3 cos ki z + C 4 sin ki z; yi( z ) = C1ki shki z + C 2 ki chki z - C3 ki sin ki z + C4 ki cos ki z; Mi ( z)  yi ( z ) = - C1ki2 chki z + C 2 ki2 shki z - C3 ki2 cos ki z - C 4 ki2 sin ki z; EI Qi ( z )  yi ( z ) = - C1ki3 shki z + C2 ki3chki z + C3 ki3 sin ki z - C 4 ki3 cos ki z. EI Dạng chính yi(z) được xem như đường đàn hồi của thanh nên ta có thể xác định các hằng số tích phân Ci theo điều kiện ban đầu. Giả sử z = 0 tương ứng với dạng chính thứ i của dao động, ta có các thông số ban đầu: độ võng yi(0), góc xoay y’i(0); mô men uốn Mi(0); lực cắt Qi(0). Thay các giá trị này vào phương trình trên ta thu được:
yi (0) = (C1 + C3 ); yi (0) = (C2 + C4 )ki ; M i (0) = - EI(C1 - C3 )ki2 ; Qi (0) = - EI(C2 - C4 )ki3 .  1 M i (0) 1 yi(0) Qi (0) C1 = [ yi (0) - 2 ]; C2 = [ - 3 ]; 2 ki EI 2 ki ki EI 1 M i (0) 1 yi(0) Qi (0) C3 = [ yi (0) + 2 ]; C4 = [ + 3 ]. 2 ki EI 2 ki K i EI Thay các giá trị của Ci vào phương trình đầu của hệ gồm 4 phương trình , ta có được phương trình xác định chuyển vị tương ứng với dạng chính thứ i của dao động riêng viết theo thông số ban đầu:
yi(0) M i (0) Qi (0) yi ( z ) = yi (0) A1 (ki z ) + A2 (ki z ) - 2 A3 (ki z ) - 3 A4 (ki z ), ki ki EI ki EI trong đó: 1 1 A1 (ki z ) = (chki z + cos ki z ); A2 (ki z ) = ( shki z + sin ki z ); 2 2 1 1 A3 (ki z ) = (chki z - cos ki z ); A4 (ki z ) = ( shki z - sin ki z ); 2 2 Các hàm Aj(kiz) với j = 1, 2, 3, 4 do viện sỹ người Nga A. N. Krưlôv đề xuất nên được gọi là các hàm Krưlôv. Giá trị được tra theo bảng. Các hàm Krưlôv có các tính chất sau:
* A1(0) = 1; A2(0) = 0; A3(0) = 0; A4(0) = 0. * Giữa các hàm có sự liên hệ vi phân tuân theo quy tắc vòng tròn như hình vẽ: A2 A1( ki z ) = ki A4 (ki z ). A4 ( ki z ) = ki A3 ( ki z ). A1 A3 A3 (ki z ) = ki A2 ( ki z ). A2 ( ki z ) = ki A1 (ki z ). A4
Từ phương trình: yi(0) M i (0) Qi (0) yi ( z ) = yi (0) A1 ( ki z ) + A2 (ki z ) - 2 A3 (ki z ) - 3 A4 ( ki z ), ki ki EI ki EI  Các phươngtrình góc xoay, mô men uốn …: M ( 0) Q (0) yi ( z ) = yi (0) ki A4 ( ki z ) + yi (0) A1 ( ki z ) - i A2 ( ki z ) - 2i A3 ( ki z ); ki EI ki EI M i ( z ) = - EIyi( z ) = - EIyi (0) ki2 A3 ( ki z ) - EIyi(0) ki A4 ( ki z ) + Qi (0) + M i (0) A1 ( ki z ) + A2 ( ki z ); ki Qi ( z ) = - EIyi( z ) = - EIyi (0) ki3 A2 ( ki z ) - EIyi(0) ki2 A3 ( ki z 0 + + M i (0) ki A4 ( ki z ) + Qi (0) A1 ( ki z ). 2 EI Tần số dao động riêng: wi = k i m
Ví dụ 1: Xác định tần số m = const dao động riêng và lập EI = const phương trình cho các l dạng dao động riêng chính tương ứng của dầm như hình vẽ. Giải: Tại z = 0 ta có các thông số ban đầu: yi(0) = 0; y’i(0) = ? ; Mi(0) = 0; Qi(0) = ? Thay giá trị ban đầu vào các phương trình đã xét: ' y (0) i Qi (0) yi ( z ) = A2 (ki z ) - 3 A4 (ki z ), ki ki EI  Qi (0) Mi ( z ) = - EIyi (0)ki A4 (ki z ) + A2 (ki z ). ki
m = const Tại z = l ta có yi(l) = 0, EI = const l Mi(l) = 0  ' y (0) i Qi (0) yi ( l ) = A2 (ki l ) - 3 A4 (ki l ) = 0 , ki ki EI  Qi (0) M i ( l ) = - EIyi (0)ki A4 (ki l ) + A2 (ki l ) = 0 . ki Đây là hệ phương trình thuần nhất. Để các ẩn số khác không nghĩa là dao động của hệ tồn tại thì định thức các hệ số của hệ phương trình phải bằng không:
m = const 1 1 A2 ( ki l ) - 3 A4 (ki l ) EI = const ki ki EI =0 l 1 - ki EIA4 (ki l ) A2 (ki l ) ki 1 2 = 2 [ A2 ( ki l ) - A42 ( ki l )] = 0 ki Thay các hàm Krưlôv vào ta có: 2 2 ( shki l sin ki l ) ( shki l sin ki l ) = 0 + - -  shki l. sin ki l = 0 Do kil  0 nên shkil  0  sinkil = 0  kil = ip  ki = ip/l.
EI i 2p 2 EI m = const 2 wi = ki = 2 . EI = const m l m l 3,1416 2 EI 6,2832 2 EI * i = 1  w1 = 2 , i = 2  w2 = 2 , l m l m 9,42482 EI 12,5664 2 EI * i = 3  w3 = 2 , i = 4  w4 = 2 l m l m ' y (0) i Qi (0) yi ( l ) = A2 (ki l ) - 3 A4 (ki l ) = 0 , ki ki EI  2 A2 ( ki l )  Qi (0 ) = yi (0 ) ki EI A4 ( ki l )
Do kil = 0 nên: m = const EI = const A2(kil) = A4(kil) l  Qi (0) = yi(0)ki2 EI Thay giá trị vừa tìm được vào phương trình sau: yi' (0) Qi (0) yi ( z ) = A2 (ki z ) - 3 A4 (ki z ), ki ki EI Ta tìm được phương trình của dạng chính thứ i của dao động riêng: yi(0) yi(0) yi ( z ) = [ A2 (ki z ) - A4 (ki z )] = sin ki z ki ki
ip m = const yi ( z ) = Ci sin z; EI = const l l yi(0) Ci = i = 1, y1 = C1 sin p z ki l Dạng chính của dao động riêng trong dầm đơn giản có hai đầu khớp là 3p dầm điều hòa theo quy luật i = 3, y3 = C3 sin z l hàm số sin với số nửa 2p bước sóng bằng chỉ số của i = 2, y2 = C2 sin z l tần số dao động riêng tương ứng.
Ví dụ 2: Xác định tần số z dao động riêng của dầm côngxôn mang khối l lượng phân bố đều m và y có độ cứng không đổi EI như hình vẽ. Giải: Tại z = 0  yi(0) = 0, y’i(0) = 0, Mi(0) = ?, Qi(0) = ? M i (0) Qi (0) yi ( z ) = - 2 A3 (ki z ) - 3 A4 (ki z )' ki EI ki EI Qi (0) M i ( z ) = M i (0) A1 (ki z ) + A2 (ki z ), ki Qi ( z ) = M i (0 )ki A4 (ki z ) + Qi (0) A1 (ki z ).