Bài giảng Động lực học công trình - Chương 4: Các phương pháp tính gần đúng

Chia sẻ: Kệ Tui | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:79

Thêm vào BST

Báo xấu

145
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 4 trang bị cho người học những kiến thức về phương pháp tính gần đúng. Các nội dung chính trong chương này gồm có: Phương pháp năng lượng Rayleigh, phương pháp năng lượng Lagrange - Ritz, phương pháp Bupvôv – Galoockin,... Mời các bạn cùng tham khảo để nắm bắt các nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Động lực học công trình - Chương 4: Các phương pháp tính gần đúng

CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG 4.1. Phương pháp năng lượng Rayleigh: Tổng thế năng U và động năng K ở mọi thời điểm là một hằng số (bỏ qua các tổn thất về năng lượng): U + K = const Khi hệ dao động điều hòa, tại thời điểm ở xa vị trí cân bằng nhất thế năng đạt Umax, động năng K = 0, tại vị trí cân bằng động năng đạt Kmax, thế năng U = 0: Umax + 0 = 0 + Kmax.
Xét hệ mang khối lượng m(z)dz m(z) phân bố m(z) và các khối lượng tập trung m1, m2, m3,… như hình m1 mj mn vẽ, dao động theo phương z dz trình: z1 yi ( z, t ) = yi ( z ) sin(i t + i ). Biểu thức thế năng của hệ khi chỉ kể đến ảnh hưởng của biến dạng uốn có dạng: M 2 ( z) U =  dz 2 EI  2 y ( z, t ) M ( z) Do 2 =- , z EI
EI  2 y ( z, t ) 2 EI  U  [ = - 2 ] d z =   [ yi ( z ) sin( i t +  i )]2 dz. 2 z 2 1 2 U max =   EI[ yi( z )] dz 2 Động năng của hệ: 2 2 m( z )v mv K =  dz + z j j . 2 2 Từ phương trình dao động ta có: y ( z, t ) vz = = yi ( z )i cos(i t + i ) t  Vzmax = yi(z)i ,
y ( zj , t ) vj = = yi ( zj )i cos(i t + i ) t  Vjmax = yi(zj )i , i2 K max = [  m( z ) y ( z )dz  mj yi ( z j )] i 2 + 2 2 j Thay vào phương trình cơ bản của Rayleigh: i2 =  EI[ yi ( z )] 2 dz   m( z ) y ( z)dz  mj yi ( z j ) 2 i + 2 j Để xác định i ta cần biết trước dạng dao động chính thứ i của hệ.
Nếu yi(z) là đường đàn hồi do trọng lượng các khối lượng đặt trên hệ gây ra thì thế năng Umax của hệ được xác định bằng công của ngoại lực Tmax: m( z ) yi ( z ) m j yi ( z j ) U max = Tmax =   g dz +  g . 2 j 2   g.m( z ). y ( z )dz +  g.m y ( z ) i j i j j  i2 = .   m( z ). y 2 i ( z ) dz +  m j y ( z j ) 2 i j
Ví dụ1: Tìm tần số dao động riêng của dầm đơn giản có EI m1 m nhịp l, mang khối lượng phân bố đều m và khối lượng tập l/2 l /2 trung m1 = 18ml/35 đặt ở giữa nhịp. Giải: Chọn dao động của dầm là đường đàn hồi do lực P đặt ở giữa nhịp gây ra: 3 2 3 2 3 - Pl 3l z 4 z - 3l z 4 z y( z) = 3 = f 3 , 48 EI l l Với giá trị: 0  z  l/2, f độ võng giữa dầm.
24 z y( z ) = f (- 3 ) l Áp dụng công thức vừa thành lập: l/2 24 2 2  EI[ f (- 3 )] dz 2 l 48 EI  = l/2 0 2 3 = 4 - 3l z 4 z 18 2 ml 2  m[ f 3 ]dz + mlf 0 l 35 6 ,9282 EI  = 2 1/ s l m
Nếu sử dụng công thức thứ 2, đường đàn hồi của dầm vẫn chọn như trên, song f phải là độ võng của dầm ở giữa nhịp do trọng lượng dầm và trọng lượng khối lượng tập trung m1 gây ra: 3 4 4 Pl 5 ql 319 mgl f = + = . 48 EI 384 EI 13440 EI Sau khi thay vào biểu thức ta cũng tìm được: 6 ,9282 EI  = 1/ s l2 m
* Nếu dầm không mang khối lượng tập trung m1 = 0. Chọn dạng dao động: i z yi ( z ) = f sin l l i 2 2 i z  EI[- 2 f sin ]2 dz l l i 4 4 EI i2 = 0 l = 4 i z 2 ml  m[ f sin l ] dz 0 2 EI 9,8696 EI i = 1  1 = 2 = 2 1 / s, l m l m 2 2 EI 39,4786 EI i = 2  2 = 2 = 1 / s, l m l2 m
Nếu tính theo công thức thứ hai, đường đàn hồi vẫn chọn như trên và f là độ võng giữa dầm: 4 5 l g .2.(1 - cos i ) f= mg  i = 384 EI f .i. Với i = 1 ta có: 4 g 9,8886 EI 1 = = 2 . f l m Sai số là 0,19%
h(z) ho Ví dụ 2: Xác định tần số dao động riêng của dầm côngxôn có tiết diện thay đổi z như hình vẽ. Cho biết bề l rộng tiết diện ngang b không đổi, khối lượng, chiều cao tiết diện ngang, mô men quán tính tiết diện ngang thay đổi theo quy luật: z m( z ) = mo , l 3 ho z h( z ) = z, I ( z ) = Io 3 . l l
h(z) ho * Chọn dạng dao động y(z) là đường đàn hồi của dầm có tiết diện không đổi do tải z trọng phân bố đều gây ra: l 4z z4 y ( z ) = A(3 - + 4 ), q l l 4 ql A= 24 EI l z 3 2 12 z 2 2 2  EIo l 3 A [ l 4 ] dz 39,3762EIo  = i l 0 = 4 . z 2 4 z z4 2 ml  mo l A [3 - l + l 4 ] dz 0
h(z) ho 6 ,275 EIo 1 = 2 1/ s l mo z Giá trị đúng: l q 5 ,315 EIo 1 = 2 1/ s l mo Sai số trong trường hợp này 18%.
h(z) ho Nếu chọn dạng dao động là đường đàn hồi của z dầm côngxôn do tải trọng phân bố bậc nhất gây ra cho l dầm . y(z) = B(1-z/l)2, với q B=ql4/12EIo. l 3 z 2 2 2  EIo l 3 ( l 2 ) dz 30 EIo  = 1 l 0 = z z 2 2 mo l 4  mo l [(1 l ) ] dz - 0 5,4772 EIo 1 = 2 1/ s Sai số  3% l mo
CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG 4.2. Phương pháp năng lượng Lagrange - Ritz: Khi hệ ở trạng thái cân bằng thì thế năng toàn phần U của hệ đạt cực tiểu - là tổng của thế năng của nội lực U* và thế năng ngoại lực T. (chiều ngoại lực hướng xuống là dương, tjees năng của nội lực luôn luôn ngược dấu với thế năng của ngoại lực), ta có: l l EI( z )  * U = U -T =  [ y ( z )]2 dz -  q ( z ) y ( z )dz -  Pj y ( z j ), 0 2 0 ( j) Pj, q(z) – lực kích thích tập trung và lực kích thích phân bố bao gồm cả các lực quán tính do các khối lượng tập trung và khối lượng phân bố gây ra khi hệ dao động.
CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG 4.2.1. Dao động riêng: Xét hệ có khối lượng phân bố m(z) và dao động theo dạng chính yj(z) với tần số riêng j. Phương trình dao động: yj ( z , t ) = yj ( z ) sin(j t + j ). Lực quán tính của khối lượng tại thời điểm đạt giá trị cực trị bằng: Zj(t) = m(z)2jyj(z), lực quán tính có giá trị thay đổi nên công của lực quán tính có giá trị bằng một nửa giá trị của lực nhân với chuyển vị tương ứng: l l 1  2 1 2 2 U =  EI( z )[ y j ( z )] dz -   m( z ) j y j ( z )dz. 20 20
Tìm dạng chính thứ j dưới dạng chuỗi: n y j ( z ) =  aii ( z ) i =1 ai – các hệ số chưa biết cần xác định. n – số nguyên bất kỳ, i(z) – các hàm độc lập tuyến tính được chọn trước, thỏa mãn các điều kiện biên của hệ và càng phù hợp với dạng dao động càng tốt. l n l n EI( z ) 1 U = [ aii( z )]2 dz -  m( z ) 2j [ aii ( z )]2 d z 0 2 i =1 20 i =1 Thế năng toàn phần U là hàm của các hệ số chưa biết ai: U = U(a1, a2, a3, … , an)
Từ điều kiện cực tiểu của thế năng toàn phần: U = 0; (k = 1, 2, ..., n) ak Ta có hệ phương trình: U l n l n =  EI( z )[ aii( z )] k( z ) dz -  2j  m( z )[ ai i ( z )] k ( z )dz = 0 ak 0 i =1 0 i =1 l l Cki =  EI( z ) i( z ) k ( z ) dz -  2j  m( z ) i ( z ) k ( z ) dz. 0 0 Dễ dàng nhận thấy: Cki = Cik. Sau khi biến đổi hệ phương trình trên có dạng: Ck1a1 + Ck 2 a2 + ... + Cknan = 0; (k = 1, 2, 3, ... , n)
Ck1a1 + Ck 2 a2 + ... + Cknan = 0; ( k = 1, 2, 3, ... , n) Đây là hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất, để các nghiệm ai  0, tức là để tồn tại dao động, thì định thức các hệ số trong hệ phương trình phải bằng không: C11 C12 ... C1n C21 C22 ... C2 n = 0. ... ... ... ... Cn1 Cn2 ... Cnn Khai triển định thức ta được phương trình bậc n đối với 2j. Đó là phương trình tần số xác định tần số dao động riêng j.
Nếu chọn nghiệm là dạng chính thứ j dưới dạng chuỗi với số một số hạng của chuỗi (n = 1). Phương trình tần số có dạng: l l C11 a1 = 0 C 11 =  EI( z )[1( z )]2 dz -  2j  m( z )12 ( z )dz = 0 0 0 l 2   EI( z)[1 ( z)] dz   2j = 0 l ; 1( z )  0 2  m( z) 1 ( z )dz 0 Nếu chọn với hai số hạng của chuỗi (n = 2) thì: 2 C11C22 - C = 0 12