Chương 2 trang bị cho người học những kiến thức về dao động của hệ có bậc tự do hữu hạn. Các nội dung chính trong chương này gồm: Phương trình vi phân tổng quát, dao động riêng khi không lực cản, dạng chính của dao động riêng,...và nhiều nội dung liên quan khác.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Động lực học công trình - Chương 2: Dao động của hệ có bậc tự do hữu hạn
- CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN
2.1 Phương trình vi phân tổng quát:
P(t)
mk mn
M(t)
yk (t) yn (t)
mi
yi (t)
m2
y2 (t)
m1
y1 (t)
(a)
Xét dao động của khung không trọng lượng mang các
khối lượng tập trung (hình a). Chịu các lực kích thích
thay đổi theo thời gian. Bỏ qua biến dạng dọc của khung,
ta có bài toán dao động có n bậc tự do.
- CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN
2.1 Phương trình vi phân tổng quát:
P(t)
P(t) Zk(t)
mk mn M(t) Zn(t)
M(t)
yk (t) yn (t) Rk(t)
mi
yi (t) Ri(t) Zi(t) Rn(t)
m2 R2(t)
y2 (t) Z2(t)
m1 R1(t) Z1(t)
y1 (t)
(a) (b)
Xét tại thời điểm bất kỳ t dưới tác dụng của các lực:
* Lực kích thích: M(t), P(t), q(t).
* Lực quán tính: Zk ( t ) = -mk .&y&k ( t )
* Lực cản: Rk(t)
- CHƯƠNG 2:
2.1 Phương trình vi phân tổng quát:
P(t)
P(t) Zk(t)
mk mn M(t) Zn(t) dk dn
M(t)
yk (t) yn (t) Rk(t)
mi
yi (t) Ri(t) Zi(t) Rn(t) Zi=1
di
m2 R2(t)
y2 (t) Z2(t) d2
m1 R1(t) Z1(t) d1
y1 (t)
(a) (b) (c)
Gọi dki là chuyển vị khối lượng do Z = 1 tác dụng tĩnh
gây ra:
DkP(t) chuyển vị khối lượng mk do lực kích thích gây ra.
Xem hệ đàn hồi là tuyến tính, chuyển vị là rất nhỏ:
- CHƯƠNG 2:
2.1 Phương trình vi phân tổng quát:
P(t)
P(t) Zk(t)
mk mn M(t) Zn(t) dk dn
M(t)
yk (t) yn (t) Rk(t)
mi
yi (t) Ri(t) Zi(t) Rn(t) Zi=1
di
m2 R2(t)
y2 (t) Z2(t) d2
m1 R1(t) Z1(t) d1
y1 (t)
(a) (b) (c)
Phương trình chuyển vị của các khối lượng:
yk ( t ) = d k1 [Z1 ( t ) - R1 ( t )]+ d k 2 [Z2 ( t ) - R2 ( t )]+ ...
+ Zkn[Zn ( t ) - Rn ( t )]+ D kP ( t ); k = 1,2 ,3,...,n
- CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN
2.1 Phương trình vi phân tổng quát:
yk ( t ) + d k1 [ m1 &y&1( t ) + R1 ( t )] + d k 2 [ m2 &y&2 ( t ) + R2 ( t )] + ... +
+ d kn [ mn &y&n ( t ) + Rn ( t )] - D kP ( t ) = 0 ; k = 1, 2 , ..., n.
Đây là phương trình vi phân tổng quát mô tả dao
động cưỡng bức có kể đến lực cản của hệ có bậc tự do
bằng n.
- CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN
2.2 Dao động riêng khi không lực cản:
Không kể đến lực kích thích và lực cản. Phương
trình được viết lại như sau:
m1 .d k1 .&y&1 ( t ) + m2 .d k 2 .&y&2 ( t ) + ... + mn .d kn .&y&n ( t ) + yk ( t ) = 0
Nghiệm tổng quát thứ k của phương trình được
biểu thị dưới dạng tổng của các nghiệm riêng:
n n
yk ( t ) = yki( t ) = yki Fi ( t )
i i =1
yki : các hằng số chưa biết;
Fi(t): hàm số phụ thuộc thời gian t, chưa xác định.
- CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN
2.2 Dao động riêng khi không lực cản:
Với một nghiệm riêng thứ i, tại các khối lượng ta có:
y1i ( t ) = y1i Fi ( t ), yii
y1i y2i yki
yni
y2i ( t ) = y2i Fi ( t ),
.............................., m1
m2 mi mk mn
yni ( t ) = yni Fi ( t ).
Điều này chứng tỏ tỷ lệ giữa chuyển vị của các
khối lượng không phụ thuộc vào thời gian t. Đường
cong tạo bởi các tung độ y1i , y2i , … là đường cong
đàn hồi của dầm và là dạng chính thứ i của dao động
riêng.
- CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN
2.2 Dao động riêng khi không lực cản:
Đạo hàm nghiệm riêng thứ i và thay vào phương
trình cơ bản, ta thu được:
( m1d 11 - ui ) m2d 12 ... mnd 1n
m1d 21 ( m2d 22 - ui ) ... mnd 2 n
D= =0
... ... ... ...
m1d n1 m2 d n 2 ... ( mnd nn - ui )
1
Trong đó: ui =
i2
Phương trình này được gọi là phương trình tần số
hoặc phương trình thế kỷ. Giải hệ này ta thu được các
giá trị ui,Từ các giá trị này ta tìm được các tần số dao
động riêng i (phổ tần số dao động riêng).
- CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN
2.3. Dạng chính của dao động riêng:
Đạo hàm nghiệm riêng thứ i và thay vào phương
trình cơ bản, ta thu được:
&& ( t ) + y F ( t ) = 0
[ m1d k 1 y1i + m2d k 2 y 21 + ... + mnd kn yni ] Fi ki i
&&i ( t )
F yki
=-
Fi ( t ) m1d k1 y1i + m2d k 2 y2i + ... + mnd kn yni
Vế trái phụ thuộc vào thời gian t, vế phải chỉ phụ
thuộc vào kết cấu, vị trí và trị số các khối lượng, nên tỷ
số này là một hằng số và bằng -i2.
&& ( t ) + 2 F ( t ) = 0
Fi i i
[ m1d k1 y1i + m2d k 2 y21 + ... + mnd kn yni ] i2 - yki = 0
- CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN
2.3. Dạng chính của dao động riêng:
Như vậy đối với hệ có n bậc tự do luôn luôn tìm
được n giá trị tần số dao động riêng. Ứng với mỗi tần số
dao động riêng i có một dạng chính của dao động xác
định bằng các chuyển vị y1i, y2i, …, yni của các khối
lượng.
Phương trình dao động của khối lượng thứ k với
tần số i có dạng:
yki ( t ) = yki ai sin( i t + i )
Phương trình dao động tổng quát của khối lượng
thứ k: n
yk ( t ) = yki ai sin(i t + i )
i =1
- Ví dụ 1: Cho dầm như hình vẽ với m1 = m2 = m. Tìm các
tần số dao động riêng? m1 m2
Phương trình tần số cho
l/3 l/3 l/3
bài toán 2 khối lượng:
Z1=1
( d 11 m1 - u ) d 12 m2
=0
d 21m1 ( d 22 m2 - u ) 2l / 9
Z2=1
2l / 9
u 2 - u( d 11 m1 + d 22 m2 ) + m1m2 ( d 11d 22 - d 12
2 =
) 0
33 3 7l 3
4 l
d 11= du221== 5ml ;; du122 == d 21 ml
= .
243
162EIEI 486 486
EI EI
- Ví dụ 1: Cho dầm như hình vẽ với m1 = m2 = m. Tìm các
tần số dao động riêng? m1 m2
Tần số dao động
l/3 l/3 l/3
riêng được xác định:
Z1=1
2l / 9
Z2=1
1 EI
1 = = 5 ,69 3 2l / 9
u1 ml
m1 m2
1 EI
2 = = 22 m1 m2
u2 ml3
- Ví dụ 2: Tìm các tần số dao EI m1=3m m2=m
động riêng và các dạng l l
dao động riêng chính của l
Z1=1 ( M1 )
dầm công xôn trên hình vẽ.
Cho biết EI = const. 2l
Z2=1
Giải:
( M2 )
Hệ có bậc tự do là 2, dao động không cản, phương
trình tần số dao động có dạng:
( d 11 m1 - u ) d 12 m2
=0
d 21m1 ( d 22 m2 - u )
u 2 - u( d 11 m1 + d 22 m2 ) + m1m2 ( d 11d 22 - d 12
2 =
) 0
Vẽ các biểu đồ mô men uốn đơn vị Z1 = 1, Z2 = 2.
Xác định các chuyển vị d11, d12, d21, d22.
- Ví dụ 2: Tìm các tần số dao EI m1=3m m2=m
động riêng và các dạng l l
dao động riêng chính của l
Z1=1 ( M1 )
dầm công xôn trên hình vẽ.
Cho biết EI = const. 2l
Z2=1
l .l 2l l3 ( M2 )
d 11 = ( M 1 )( M 1 ) = =
2 EI 3 3 EI
2l .2l 2.2l 8l 3
d 22 = ( M 2 )( M 2 ) = =
2 EI 3 3 EI
5l 3
d 12 = d 21 = ( M 1 )( M 2 ) =
6 EI
1 EI EI
1 = = 0 ,5345
3
, 1/ s ; 2 = 2 ,5 3
, 1/ s
u1 ml ml
- EI m1=3m m2=m
Xác định các dạng
l l
chính của dao động:
l
Z1=1 ( M1 )
( d 11 m1 - u1 )y11 + d 12 m2 y21 = 0
2l
d 21m1 y11 + ( d 22 m2 - u1 )y21 = 0 Z2=1
( M2 )
Cho y11 =1 y21 = 3
1
Tương ứng với 2, cũng
thực hiện tương tự như y11=1 y21=3
m1
trên, cho y12 = 1 ta sẽ tìm
m2
được dạng chính thứ hai
m2
của dao động riêng chuyển y22= -1
vị tương ứng tại các khối 2
lượng.
y12=1
- Ví dụ 3: Tìm các tần số m1 m2
dao động riêng và các 2EI 2EI
dạng dao động riêng chính
3m
EI
EI
của khung như hình vẽ.
Cho biết EI = 34,8.104 N.m2, 2m 2m 2m 2m
m = 1000/g.Ns2/m. m1 = 2m, 3,12
Z1=1 5,2
m2 = m. 2,86
2,08
Hệ có hai bậc tự do, 8,97 (M1).1/13
Phương trình tần số có dạng:
( d 11 m1 - ui ) d 12 m2 3,90 6,24
Z2=1
=0 0,78
d 21m1 ( d 22 m2 - ui ) 2,34
9,68
Vẽ các biểu đồ mô men (M2).1/13
uốn đơn vị Z1 = 1 và Z2 = 1.
- m1 m2
Để xác định các chuyển
2EI 2EI
vị dik ta tạo các trạng thái
3m
khả dĩ và vẽ các biểu đồ EI
EI
mô men uốn đơn vị (M1o)
2m 2m 2m 2m
và (M2o) tương ứng trong
hệ cơ bản. P=1
Áp dụng các nhân biểu đồ: o
(M 1)
1
0 0 ,356
d 11 = ( M 1 )( M 1 ) =
EI
0 0 ,4266 P=1
d 22 = ( M 2 )( M 2 ) =
EI
0 0 ,12 1
d 12 = d 21 = ( M 1 )( M 2 )= o
EI (M 2 )
- Thay các giá trị tìm m1 m2
được vào phương trình tần 2EI 2EI
số ta thu được:
3m
EI
EI
1
1 = = 65,69 1 / s 2m 2m 2m 2m
u1
1
2 = = 99 ,1 1 / s
u2
2p 2p
Chu kỳ dao động: T1 = = 0 ,0956 ; T2 = = 0 ,0634
1 2
Với 1 = 65,69, ta có:
( d 11 m1 - u1 )y11 + d 12 m2 y21 = 0
d 21m1 y11 + ( d 22 m2 - u1 )y21 = 0
Cho y11 = 1 y21 = - 0,6587
- Dạng chính thứ nhất của m1 m2
dao động riêng và chuyển vị 2EI 2EI
tương ứng của các khối
3m
EI
EI
lượng như hình vẽ.
2m 2m 2m 2m
y11 ( t ) = y11 a1 sin( 1t + 1 )
m2
y11 ( t ) = a1 sin( 65 ,69t + 1 );
m1
y21( t ) = y21a1 sin( 1t + 1 ) m1 y21 = 0,6587
y21( t ) = -0,6587a1 sin( 65 ,69t + 1 );
- Tương tự với 2 = 99,1 1/s: m1 m2
2EI 2EI
( d 11 m1 - u2 )y12 + d 12 m2 y22 = 0
3m
EI
EI
d 21m1 y12 + ( d 22 m2 - u2 )y22 = 0
2m 2m 2m 2m
Cho y12 = 1 y22 = 3,037
Dạng chính thứ hai của m1
dao động riêng và chuyển vị y12 = 1 y21 = 0,6587
tương ứng của các khối
lượng như hình vẽ.
y12( t ) = y12a2 sin( 2t + 2 )
y12( t ) = a1 sin( 99 ,10t + 2 ); m1
y12 = 1 y22 = 3,037
y22( t ) = y22a2 sin( 2t + 2 )
y22( t ) = 3,037a2 sin( 99 ,10t + 2 );
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
