Bài giảng Giải tích các hàm nhiều biến - Chương 5: Tích phân phục thuộc tham số

Chia sẻ: Minh Tuấn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

47
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Bài giảng Chương 5: Tích phân phục thuộc tham số" trình bày các kiến thức về tích phân phục thuộc tham số; tích phân suy rộng phụ thuộc tham số; một số tích phân đặc biệt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích các hàm nhiều biến - Chương 5: Tích phân phục thuộc tham số

Chương 5 Tích phân phụ thuộc tham số 5.1. Tích phân phụ thuộc tham số ...................................................................................... 183 5.1.1. Khái niệm ...................................................................................................................... 183 5.1.2. Tính liên tục .................................................................................................................. 184 5.1.3. Tính khả vi .................................................................................................................... 186 5.1.4. Tính khả tích ................................................................................................................. 187 5.2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số...................................................................... 188 5.2.1. Khái niệm ...................................................................................................................... 188 5.2.2. Hội tụ đều và các tiêu chuẩn hội tụ đều ........................................................................ 189 5.2.3. Tính liên tục ................................................................................................................ 194 5.2.4. Tính khả vi .................................................................................................................... 196 5.2.5. Tính khả tích ................................................................................................................. 196 5.3. Một số tích phân đặc biệt ............................................................................................ 197 5.3.1. Tích phân Dirichlet ....................................................................................................... 198 5.3.2. Tích phân Euler (loại I) ................................................................................................. 199 5.3.3. Tích phân Euler (loại II)................................................................................................ 201 5.1. Tích phân phụ thuộc tham số 5.1.1. Khái niệm Giả sử hàm f xác định trên hình chữ nhật [a, b]×[α, β] ⊆ R2 và với mỗi điểm y ∈ [α, β] cố định, f khả tích theo x trên [a,b]. Khi ấy, tích phân: b ∫ f ( x, y )dx (*) a là một hàm số theo biến y. Ta nói tích phân (*) là tích phân phụ thuộc tham số với tham số y. Ký hiệu b I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx . a
184 Giải tích các hàm nhiều biến Lưu ý rằng thay vì y ∈ [α, β] có thể xét y ∈ U ⊆ Rn và khi ấy I ( y ) là một hàm nhiều biến. Tuy nhiên phần lớn các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với y ∈ Rn tương tự như khi y ∈ R, vì vậy trong giáo trình này chúng ta chỉ xét tích phân phụ thuộc một tham số. Ngoài ra, vì trong tích phân (*) hai cận a và b cố định nên người ta còn nói (*) là tích phân phụ thuộc tham số với miền lấy tích phân không đổi. Nếu như trong (*), b = ψ( y ) và a = ϕ( y ) là những hàm phụ thuộc y, thì ta nói ψ( y) ∫ f ( x, y )dx là tích phân phụ thuộc tham số với miền lấy tích phân thay đổi. ϕ( y ) Thí dụ. Tính một số tích phân phụ thuộc tham số sau đây: 1 1) I ( y ) = ∫ sin( y 2 x)dx là tích phân phụ thuộc tham số y với mọi y ∈ R. Ta có thể 0 tính ngay được   0 nÕu y = 0   I ( y) =  1 .  (1 − cos y 2 ) nÕu y ≠ 0   y 2   1 2 2) I ( y1 , y2 ) = ∫ y1e−( y2 x ) dx là tích phân phụ thuộc tham số y1, y2 và xác định với 0 mọi ( y1 , y2 ) ∈ R2. Hàm này không biểu diễn được dưới dạng các hàm sơ cấp. 5.1.2. Tính liên tục Chúng ta vẫn dùng ký hiệu I ( y ) cho tích phân phụ thuộc tham số với miền lấy tích phân thay đổi và giả thiết rằng f xác định trên hình chữ nhật [a, b]×[α, β] ⊆ R2 và a ≤ ψ ( y ) ≤ b, a ≤ ϕ( y ) ≤ b với mọi y ∈ [α, β] . Định lý. Giả thiết f liên tục trên miền [a, b]×[α, β] , ψ và ϕ liên tục trên [α, β] . Khi ấy: ψ( y) I ( y) = ∫ f ( x, y )dx ϕ( y ) là một hàm liên tục trên [α, β] . Chứng minh. Cố định y0 ∈ [α, β] . Ta sẽ chứng minh rằng với mọi ε > 0 , tồn tại δ sao cho I ( y ) − I ( y0 ) < ε , với mọi y ∈ [α, β], y − y0 < δ . Từ định nghĩa ta có
Chương 5. Tích phân phụ thuộc tham số 185 ψ( y) ψ ( y0 ) I ( y ) − I ( y0 ) = ∫ f ( x, y )dx − ∫ f ( x, y0 )dx ϕ( y ) ϕ( y0 ) ϕ( y0 ) ψ( y) ψ ( y0 ) = ∫ f ( x, y )dx + ∫ f ( x, y )dx + ∫ [ f ( x, y ) − f ( x, y0 )]dx . ϕ( y ) ψ ( y0 ) ϕ( y0 ) Để đánh giá hiệu trên, nhận xét rằng f liên tục trên tập compact nên giới nội và liên tục đều, tức là tồn tại M > 0, δ1 > 0 để: f ( x, y ) < M , f ( x ', y ') − f ( x, y ) < ε (3(b − a )) , với mọi ( x, y ) , ( x’, y’ ) ∈ [a,b]×[α, β], x '− x < δ1 , y '− y < δ1 . Ngoài ra do ϕ và ψ liên tục nên tồn tại δ2 để: ϕ( y ) − ϕ( y0 ) < ε 3M , ψ ( y ) − ψ ( y0 ) < ε 3M , với mọi y ∈ [α, β], y − y0 < δ2 . Chọn δ = min{δ1 , δ2 } và áp dụng các bất đẳng thức đã thu được để đánh giá từng số hạng trong hiệu I ( y ) − I ( y0 ) , ta có: ϕ( y0 ) ψ( y) ψ ( y0 ) I ( y ) − I ( y0 ) = ∫ f ( x, y )dx + ∫ f ( x, y )dx + ∫ [ f ( x, y ) − f ( x, y0 )]dx < ϕ( y ) ψ ( y0 ) ϕ( y0 ) < M ε + M ε + ψ ( y0 ) + ϕ( y0 ) . ε < ε + ε + ε = ε, 3M 3M 3(b − a ) 3 3 3 với mọi y ∈ [α, β], y − y0 < δ . Chứng tỏ I liên tục và định lý được chứng minh xong. Hệ quả. Nếu f liên tục trên miền [a, b]×[α, β] thì tích phân b I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx a liên tục trên [α, β] và với mọi y0 ∈ [α, β] ta có b b b lim y→ y0 ∫ f ( x, y )dx = ∫ lim f ( x, y )dx =∫ f ( x, y0 )dx . y→ y0 a a a Chứng minh. Phần đầu của hệ quả là trường hợp riêng của định lý, phần sau suy ra ngay từ phần đầu.
186 Giải tích các hàm nhiều biến 5.1.3. Tính khả vi Định lý. Giả sử hàm f liên tục có đạo hàm riêng f’y liên tục trên miền [a, b]×[α, β] và các hàm ϕ, ψ khả vi trên [α, β] . Khi ấy hàm I ( y ) khả vi trên [α, β] và: ψ( y) I '( y ) = ∫ f ' y ( x, y )dx + f (ψ ( y ), y )ψ '( y ) − f (ϕ( y ), y )ϕ '( y ) . ϕ( y ) Chứng minh. Trước hết chúng ta xét hàm ba biến v F ( y, u , v) = ∫ f ( x, y ) dx, ( y, u , v) ∈ [α, β]×[α, β]×[α, β] u và chứng minh rằng hàm này khả vi liên tục. Muốn thế ta chỉ cần chỉ ra rằng F có các đạo hàm riêng liên tục. Cố định u,v và xét số gia: v ∆ y F ( y, u , v) = F ( y + ∆y , u , v) − F ( y,u,v) = ∫ [ f ( x, y + ∆y ) − f ( x, y )]dx . u Vì f y′ liên tục nên theo định lý giá trị trung bình f ( x, y∆y ) − f ( x, y ) = f '( x, y + λ∆y )∆y , trong đó λ ∈ [0,1] phụ thuộc ( x, y ) . Khi ấy ∆ y F ( y, u , v) v v − ∫ f ' y ( x, y )dx = ∫ [ f y '( x, y + λ∆y) − f ' y ( x, y)]dx . ∆y u u Để ý rằng f’y là hàm liên tục trên [a, b]×[α, β] nên nó liên tục đều và do đó, với mọi ε > 0 , tìm được δ > 0 để mỗi khi ∆y < δ thì: f ' y ( x, y + λ∆y ) − f y '( x, y ) < ε (b − a) với mọi x,y. Do vậy, với mọi ∆y < δ , ta có đánh giá: ∆ y F ( y, u , v) v − ∫ f ' y ( x, y ) dx < ε v − u ≤ ε . ∆y (b − a ) u Vì ε bất kỳ, ta kết luận: v ∆ y F ( y, u , v) lim = ∫ f ' y ( x, y )dx . ∆y→0 ∆y u Chứng tỏ Fy' ( y, u , v) tồn tại và liên tục. Ngoài ra ta còn có
Chương 5. Tích phân phụ thuộc tham số 187 Fu' ( y, u , v) = − f (u , y ) Fv' ( y, u , v) = f (v, y ) đều là những hàm liên tục, cho nên F là hàm khả vi liên tục. Nếu ϕ và ψ là những hàm khả vi thì, theo định lý về hàm hợp, I ( y ) = F ( y , ϕ( y ), ψ ( y )) cũng là hàm khả vi và I '( y ) = F ' y + F 'u du + F 'v dv = dy dy ϕ( y ) ∫ f ' y ( x, y )dx + f (ψ ( y ), y )ψ '( y ) − f (ϕ( y ), y )ϕ '( y ) . ϕ( y ) Định lý được chứng minh xong. cos y Thí dụ. Với I ( y ) = ∫ e yx dx . Theo định lý, hàm I ( y ) khả vi và y cos y 2 I '( y ) = y ∫ e yx dx − e y cos y sin y − e y . y 5.1.4. Tính khả tích Định lý. Giả thiết f là hàm liên tục trên miền [a, b]×[α, β] . Khi ấy các tích phân b β ∫ f ( x, y ) dx , ∫ f ( x, y ) dy khả tích trên các đoạn [α, β] , [a, b] (tương ứng) và ta a α có công thức Fubini: β b b β ∫ dy ∫ f ( x, y )dx = ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy . α a y α Chứng minh. Ở cuối Mục 4.3.1 chúng ta đã có công thức Fubini từ định lý tổng quát. Sau đây là một cách chứng minh khác. Vì f liên tục cho nên hàm b I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx liên tục, suy ra khả tích trên [α, β] . Tương tự như vậy, hàm a β ∫ f ( x, y ) dy là khả tích trên đoạn [a,b]. Đặt α t b b t g (t ) = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx , h(t ) = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy, α ≤t ≤β . α a a α
188 Giải tích các hàm nhiều biến Ta sẽ chứng minh g (t ) = h(t ) với mọi t ∈ [α, β] và sẽ có ngay công thức trong định lý khi chọn t = β . Chú ý rằng với t = α , ta có g (α) = h(α) = 0 , cho nên ta chỉ còn phải chứng minh rằng g '(t ) = h '(t ) . Nhận xét rằng hàm b I ( y ) = ∫ f ( x, y ) dx a liên tục trên [α, β] , cho nên b g '(t ) = I (t ) = ∫ f ( x, t ) dx với mọi t ∈ [α, β] . a Hơn nữa hàm hai biến t J ( x, t ) = ∫ f ( x, y )dx , ( x, t ) ∈ [a, b]×[α, β] , α liên tục và có đạo hàm theo biến t liên tục (vì J t' ( x, t ) = f ( x, t ) ), cho nên ta có thể áp dụng định lý về đạo hàm của tích phân phụ thuộc tham số b b b h '(t ) = d ( ∫ J ( x, t )dx) = ∫ J 't ( x, t )dx = ∫ f ( x, t )dx . dt a a a Suy ra g '(t ) = h '(t ) và định lý được chứng minh đầy đủ. Chú ý. Trong định lý trên nếu f không liên tục thì công thức đổi thứ tự tích phân không còn đúng nữa. Ví dụ, hàm   x2 − y2   khi ( x, y ) ≠ (0,0) f ( x, y ) =   ( x 2 + y 2 )2      0 khi ( x, y ) = (0,0) không liên tục tại điểm (x ,y)= (0,0) trong miền [0,1]×[0,1], và ta có: 1 1 1 1 1 1 −dy ∫ dy ∫ f ( x, y )dx = ∫ =−π , ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy = ∫ dx = π . 1+ y 2 4 1 + x2 4 0 0 0 0 0 0 5.2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 5.2.1. Khái niệm Giả sử f là hàm số xác định trên miền [ a, ∞) ×U , U ⊆ R sao cho với mỗi y ∈ U cố định, hàm f (., y ) khả tích theo x trên [a, b] với mọi b > a . Tích phân: ∞ ∫ f ( x, y ) dx a
Chương 5. Tích phân phụ thuộc tham số 189 được gọi là tích phân suy rộng phụ thuộc tham số (với cận +∞ ). Tích phân này là ∞ hội tụ tại y0 ∈ U nếu tích phân ∫ f ( x, y0 ) dx hội tụ. Ta nói tích phân suy rộng a phụ thuộc tham số là hội tụ trên U nếu nó hội tụ tại mọi điểm của U tức là với mọi ∞ y ∈ U , J ( y ) = ∫ f ( x, y ) dx tồn tại (hữu hạn). a Tương tự như trên ta có thể định nghĩa tích phân suy rộng phụ thuộc tham số với cận −∞ , hoặc cận −∞ và +∞ . Đối với hàm f không giới nội, việc khảo sát tích phân suy rộng phụ thuộc tham số cũng thực hiện hoàn toàn tương tự kể từ định nghĩa các khái niệm tới các định lý. Vì vậy, trong phần này, chúng ta chỉ xét tích phân suy rộng phụ thuộc tham số với cận +∞ làm đại diện. Thí dụ ∞ 1) I ( y ) = ∫ sin( yx)dx hội tụ khi y = 0 và phân kỳ khi y ≠ 0 . 1 ∞ 2 2) I ( y ) = ∫ e− yx dx hội tụ khi y > 0 và phân kỳ khi y ≤ 0 . 0 1 ∞ −y y−2 3) I ( y ) = ∫ x dx = ∫t dt hội tụ khi y < 1 và phân kỳ khi y ≥ 1 . 0 1 5.2.2. Hội tụ đều và các tiêu chuẩn hội tụ đều Khi nghiên cứu chuỗi hàm chúng ta đã gặp khái niệm hội tụ đều của chuỗi nhằm thiết lập các tính chất liên tục, khả vi ... của hàm tổng. Khái niệm này có thể mở rộng cho tích phân suy rộng phụ thuộc tham số với cận +∞ như dưới đây. Giả thiết rằng tích phân suy rộng phụ thuộc tham số ∞ I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx , a hội tụ trên miền U ⊆ R. Ta nói rằng tích phân này hội tụ đều trên U nếu với mọi ε > 0 tìm được số b0 sao cho ∞ ∫ f ( x, y ) dx < ε , với mọi b > b0 và mọi y ∈ U . b Nhận xét rằng định nghĩa trên tương đương với điều kiện: ∞ lim sup b→∞ y∈U ∫ f ( x, y ) dx = 0 . b
190 Giải tích các hàm nhiều biến Thí dụ. Khảo sát tính hội tụ đều của tích phân ∞ 2 I ( y ) = ∫ e−( x− y ) dx . 0 Nhận xét rằng với mọi y ∈ R, tích phân I ( y ) hội tụ. Dùng phép đổi biến ta có với mọi b: ∞ ∞ −( x− y )2 2 ∫e dx = ∫ e− x dx . b b− y Từ đây ta thấy với y < l0 nào đó thì: ∞ ∞ − x2 2 lim sup ∫ e dx = lim ∫ e− x dx = 0 . b→∞ y≤l b→∞ 0 b− y b−l0 Chứng tỏ I ( y ) hội tụ đều trên (−∞, l0 ] . Trên tập U = (−∞, +∞) ta có ∞ ∞ −x2 dx ≥ ∫ e− x dx = π > 0 , 2 sup y∈U ∫ e 2 b− y 0 ∞ −( x− y ) 2 b→∞ y∈U ∫ cho nên lim sup e dx > 0 và I ( y ) không hội tụ đều. b ∞ Định lý. (Tiêu chuẩn Cauchy) Tích phân I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx hội tụ đều trên 0 tập U khi và chỉ khi với mọi ε > 0 , tồn tại số b0 để b2 ∫ f ( x, y )dx ≤ ε , với mọi b1 , b2 ≥ b0 , y ∈ U . b1 ∞ Chứng minh. Điều kiện cần suy ra ngay từ định nghĩa vì nếu ∫ f ( x, y )dx < ε 2 b với mọi b ≥ b0 , y ∈ U thì b2 ∞ ∞ ∫ f ( x, y )dx ≤ ∫ f ( x, y )dx + ∫ f ( x, y )dx ≤ ε + ε = ε 2 2 b1 b1 b2 với mọi b1 , b2 ≥ b0 , y ∈ U .
Chương 5. Tích phân phụ thuộc tham số 191 Điều kiện đủ. Với y cố định, điều kiện của định lý suy ra I ( y ) hội tụ. Hơn nữa ∞ cho b2 → ∞ trong điều kiện đã nói thì ∫ f ( x, y )dx ≤ ε với mọi b1 ≥ b2 , y ∈ U . b1 Theo định nghĩa, tích phân hội tụ đều trên U. Định lý. (Tiêu chuẩn Weierstrass) Giả thiết tồn tại hàm F ( x) ≥ 0 khả tích và một số b ≥ a sao cho f ( x, y ) ≤ F ( x) với mọi y ∈ U , x ≥ b , và tích phân ∞ ∞ ∫ F ( x)dx hội tụ. Khi ấy ∫ f ( x, y ) dx hội tụ đều trên M. a a Chứng minh. Theo tiêu chuẩn Cauchy đối với tích phân hội tụ, với mọi ε > 0 tồn tại b0 sao cho b2 ∫ F ( x)dx < ε với mọi b1 , b2 ≥ b0 . b1 Chọn b0 ≥ max{b, b0 } , ta có b2 b2 b2 ∫ f ( x, y )dx ≤ ∫ f ( x, y ) dx ≤ ∫ F ( x)dx < ε , b1 b1 b1 với mọi b1 , b2 ≥ b0 , y ∈ U . Áp dụng định lý Cauchy ta kết luận tích phân I ( y ) hội tụ đều trên U. ∞ − yx 2 Thí dụ. Chứng minh rằng ∫e dx hội tụ đều trên tập U = [t0 , ∞) với t0 > 0 0 bất kỳ. 2 2 Giải. Nhận xét rằng e− yx ≤ e−t0 x với mọi y ∈ U , x ≥ 0 . Hơn nữa tích phân ∞ ∞ 2 − yx 2 ∫ e−t0 x dx hội tụ. Theo định lý Weierstrass, tích phân ∫e dx hội tụ đều trên 0 0 U. Để trình bày một số tiêu chuẩn hội tụ đều đối với tích phân của một tích chúng ta cần bổ đề sau, còn có tên gọi là định lý Bonnet và là một dạng của định lý giá trị trung bình. Bổ đề. (Định lý Bonnet) Nếu hàm số α( x) đơn điệu và hàm số g ( x) khả tích trên [ a, b ] thì tồn tại điểm c ∈ [ a, b ] sao cho
192 Giải tích các hàm nhiều biến b c b ∫ g ( x) α( x) dx = α(a)∫ g ( x) dx + α(b)∫ g ( x) dx . a a c Chứng minh. Xét trường hợp α( x) không tăng và α( x) ≥ 0 . (Trường hợp α( x) không giảm là tương tự). Giả sử P là một phân hoạch bất kỳ của [ a, b ] cho bởi dãy điểm a = x1 < x2 < ... < xn = b . Khi ấy b n xi ∫ g ( x) α ( x) dx = ∑ ∫ g ( x) α( x) dx = a i =2 x i −1 n xi n xi = ∑ α( xi−1 ) ∫ g ( x) dx + ∑ ∫ [α( x) − α( xi−1 )] g ( x) dx . (*) i=2 xi −1 i =2 x i −1 Nhận xét rằng α( x) đơn điệu và g ( x) khả tích nên bị chặn, tức là g ( x) < δ với mọi x ∈ [ a, b ] và với δ > 0 nào đó. Khi ấy thành phần thứ hai trong vế phải của (*) có thể đánh giá như sau n xi n xi ∑ ∫ (α( x) − α( xi−1 )) g ( x) dx ≤ δ∑ ∫ (α( xi−1 ) − α( x)) dx i=2 x i=2 x i−1 i−1 b n ≤ δ ∫ α( x) dx − ∑ α( xi−1 )( xi − xi−1 ) . a i=2 Do α( x) khả tích nên số trừ trong biểu thức trên tiến tới số bị trừ khi bề rộng của phân hoạch dần tới 0. Đối với thành phần đầu trong vế phải của (*) chúng ta lưu ý x rằng G ( x) = ∫ g ( x) dx liên tục trên [ a, b ] và do đó đạt cực đại là M và cực tiểu là a m trên đoạn này. Hơn nữa ta có biến đổi sau n xi n σT = ∑ α( xi−1 ) ∫ g ( x) dx = ∑ α( xi−1 ) (G ( xi ) − G ( xi−1 )) i=2 xi−1 i =2 n−1 = ∑ (α( xi−1 ) − α( xi ))G ( xi ) + α( xn−1 )G (b) . i =2 Vì α( xi−1 ) − α( xi ) ≥ 0 và α( xn ) ≥ 0 cho nên đại lượng σT bị kẹp, cụ thể là mα(a ) ≤ σT ≤ M α( a) . Qua giới hạn khi bề rộng của phân hoạch dần tới 0 ta có b mα(a ) ≤ ∫ g ( x) α( x) dx ≤ M α(a ) . a Vì G(x) là hàm liên tục, tồn tại c ∈ [ a, b ] sao cho
Chương 5. Tích phân phụ thuộc tham số 193 b c ∫ g ( x) α( x) dx = α(a)∫ g ( x) dx . (**) a a Bây giờ nếu α( x) không nhất thiết là dương, với α( x) − α(b) ≥ 0 , ta xét tích phân b ∫ g ( x)(α( x) − α(b)) dx . Theo chứng minh trên, tìm được c ∈ [a, b] để a b c ∫ g ( x)(α( x) − α(b)) dx = (α(a) − α(b)) ∫ g ( x) dx . a a b c b Suy ra ∫ g ( x) α( x) dx = α(a)∫ g ( x) dx + α(b)∫ g ( x) dx , chính là công thức cần a a c tìm. Định lý. (Tiêu chuẩn Dirichlet) Giả thiết rằng: b i) Tích phân ∫ f ( x, y ) dx bị chặn đều theo b và y tức là tồn tại c > 0 để a b ∫ f ( x, y )dx < c với mọi b > a, y ∈ U ; a ii) ϕ( x, y ) hội tụ đều theo y ∈ U đến 0 khi x → ∞ và ϕ( x, y ) đơn điệu theo x với mỗi y ∈ U cố định. ∞ Khi đó tích phân ∫ f ( x, y )ϕ( x, y ) dx hội tụ đều trên U. a Chứng minh. Lấy ε > 0 bất kỳ. Từ ii) ta tìm được b0 để: ϕ(b, y ) < ε (4c) , với mọi b > b0 , y ∈ U . Khi ấy với mọi b2 ≥ b1 ≥ b0 , kết hợp với định lý Bonnet ta có: b2 ξ b2 ∫ f ( x, y )ϕ( x, y )dx = ϕ(b1 , y ) ∫ f ( x, y ) dx + ϕ(b2 , y ) ∫ f ( x, y ) dx ≤ b1 b1 ξ ξ b2 ≤ ϕ(b1 , y ) ∫ f ( x, y ) dx + ϕ(b2 , y ) ∫ f ( x, y ) dx ≤ b1 ξ  ξ b1   ξ b2    ≤ ε  ∫ fdx + ∫ fdx  + ε  ∫ fdx + ∫ fdx  < ε (2c + 2c) = ε , 4c   4c   4c  a a   a a 
194 Giải tích các hàm nhiều biến trong đó ξ là một điểm trong đoạn [b1 , b2 ] . Theo định lý Cauchy, tích phân ∞ ∫ f ( x, y )ϕ( x, y ) dx là hội tụ đều. a Định lý. (Tiêu chuẩn Abel) Giả thiết rằng ∞ i) Tích phân ∫ f ( x, y )dx hội tụ đều trên U; a ii) ϕ( x, y ) bị chặn đều, tức là tồn tại c > 0 để ϕ( x, y ) ≤ c với mọi x ≥ a, y ∈ U , và với mỗi y ∈ U cố định hàm ϕ(., y ) đơn điệu theo x. ∞ Khi ấy tích phân ∫ f ( x, y )ϕ( x, y ) dx hội tụ đều trên U. a Chứng minh. Tương tự định lý trên, áp dụng định lý Bonnet và định lý Cauchy. ∞ sin( yx) Thí dụ. Khảo sát tính hội tụ đều của tích phân ∫ x dx trên tập U = [t0 ,∞) , 0 với t0 > 0 . Lấy ϕ( x, y ) = 1 và f ( x, y ) = sin( yx) ta thấy ngay rằng các điều kiện của x tiêu chuẩn Dirichlet thỏa mãn. Vì vậy tích phân này hội tụ đều trên U. 5.2.3. Tính liên tục Để khảo sát các tính chất của tích phân hội tụ đều với cận vô hạn chúng ta thiết lập mối liên hệ của những tích phân này với dãy hội tụ đều. ∞ Bổ đề. Giả thiết rằng tích phân I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx hội tụ đều trên tập U và a {an } là một dãy số dần tới +∞ với an > a . Khi ấy dãy hàm: an ϕn ( y ) = ∫ f ( x, y )dx a hội tụ đều tới hàm số I ( y ) trên U. ∞ Chứng minh. Với mỗi y∈U cố định, do tích phân ∫ f ( x, y ) dx hội tụ cho nên a dãy hàm {ϕn ( y )} hội tụ tới I ( y ) . Ta sẽ chứng minh rằng dãy hội tụ đều. Cho ε > 0 bất kỳ. Vì I ( y ) hội tụ đều ta tìm được b0 sao cho: ∞ ∫ f ( x, y )dx < ε , với mọi b > b0 , y ∈ U . b
Chương 5. Tích phân phụ thuộc tham số 195 Khi ấy tồn tại n0 > 0 sao cho với mọi n ≥ n0 , ta có an ≥ b (vì {an } tiến tới ∞). Như vậy an ∞ ∞ ϕn ( y ) − I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx − ∫ f ( x, y )dx = ∫ f ( x, y )dx < ε , a a an với mọi n ≥ n0 , y ∈ U . Chứng tỏ {ϕn ( y )} hội tụ đều tới I ( y ) trên U. Định lý. Giả thiết rằng hàm f xác định và liên tục trên miền [a, ∞) ×[α, β] và ∞ tích phân I ( y ) = ∫ f ( x, y ) dx hội tụ đều trên [α, β] . Khi ấy hàm I ( y ) liên tục trên a [α, β] . Chứng minh. Lấy dãy {an } tiến dần ra +∞ , an > a , và xét dãy hàm an ϕn ( y ) = ∫ f ( x, y )dx, y ∈ [ α , β] . a Với mỗi n cố định, theo định lý về tính liên tục của tích phân phụ thuộc tham số với cận hữu hạn, hàm ϕn ( y ) liên tục trên [α, β] . Áp dụng bổ để, {ϕn ( y )} hội tụ đều tới I ( y ) . Theo định lý về tính liên tục của dãy hàm hội tụ đều, ta kết luận hàm giới hạn I ( y ) = lim ϕn ( y ) liên tục trên [α, β] . Định lý được chứng minh xong. n→∞ Chú ý. Đối với trường hợp hàm dương ( f ( x, y ) ≥ 0) , phần đảo của định lý trên vẫn đúng (như định lý Dini đối với dãy hàm). Cụ thể là, nếu f liên tục và dương ∞ trên miền [a, ∞) ×[α, β] , tích phân ∫ f ( x, y ) dx hội tụ tới một hàm liên tục I ( y ) a trên [α, β] , thì khi ấy tích phân trên hội tụ đều. Để chứng minh điều này, xét dãy a+n đơn điệu của các hàm liên tục ϕn ( y ) = ∫ f ( x, y )dx hội tụ tới hàm liên tục I ( y ) a trên [α, β] . Theo định lý Dini, dãy hàm này hội tụ đều, tức là với mọi ε > 0 , tồn tại n0 để: ∞ ϕn ( y ) − I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx < ε , với mọi n ≥ n0 , y ∈ [α, β] . a +n Khi ấy với mỗi b ≥ n0 + a , ∞ ∞ ∫ f ( x, y ) dx ≤ ∫ f ( x, y )dx < ε , với mọi y ∈ [α, β] . b a +n0 ∞ Chứng tỏ tích phân ∫ f ( x, y ) dx hội tụ đều trên [α, β] . a
196 Giải tích các hàm nhiều biến 5.2.4. Tính khả vi Định lý. Giả thiết rằng i) Hàm f liên tục và có đạo hàm riêng f y′ liên tục trên miền [a, ∞) ×[α, β] ; ∞ ii) Tích phân I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx hội tụ trên [α, β] ; a ∞ iii) Tích phân ∫ f y′ ( x, y )dx hội tụ đều trên [α, β] . a Khi ấy hàm I ( y ) khả vi trên [α, β] và đaọ hàm được tính theo công thức: ∞ I '( y ) = ∫ f y′ ( x, y ) dx . a Chứng minh. Xét dãy hàm a+n ϕn ( y ) = ∫ f ( x, y )dx , y ∈ [α, β] . a Với mỗi n cố định, theo định lý về tính khả vi của tích phân phụ thuộc tham số với cận hữu hạn, hàm ϕn ( y ) khả vi trên [α, β] và a+n ϕn′ ( y ) = ∫ f y′ ( x, y )dx , y ∈ [α, β] . a Ta có I ( y ) = lim ϕn ( y ) và n→∞ ∞ lim ϕ′n ( y ) = ∫ f y′ ( x, y )dx . n→∞ a Theo bổ đề trong mục trước, dãy {ϕ′n ( y )} hội tụ đều trên tập [α, β] . Áp dụng định lý về tính khả vi của dãy hàm ta thu được tính khả vi của hàm I ( y ) và ∞ I ′( y ) = [ lim ϕn ( y )]′ = lim ϕ′n ( y ) = ∫ f y′ ( x, y )dx . n→∞ n→∞ a Định lý được chứng minh xong. 5.2.5. Tính khả tích Định lý. Giả thiết rằng i) Hàm f liên tục trên miền [a, ∞) ×[α, β] ;
Chương 5. Tích phân phụ thuộc tham số 197 ∞ ii) Tích phân I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx hội tụ đều trên [α, β] . a Khi ấy I ( y ) khả tích trên [α, β] và β ∞ ∞ β ∫ dy ∫ f ( x, y )dx = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy . α a a α Chứng minh. Từ các điều kiện của định lý suy ra I ( y ) là hàm liên tục trên [α, β] , do đó khả tích. Để chứng mính công thức trên chỉ cần xét dãy hàm a +n ϕn ( y ) = ∫ f ( x, y ) dx a rồi áp dụng định lý về tính khả tích của dãy hàm hội tụ đều ta sẽ thu được β β β a +n ∫ I ( y)dy = nlim →∞ ∫ ϕn dy = nlim →∞ ∫ dy ∫ f ( x, y )dx = α α α a a+n β ∞ β = lim n→∞ ∫ dx ∫ f ( x, y )dy =∫ dx ∫ f ( x, y )dy , a α a α điều phải chứng minh. Chú ý. Kết quả trên có thể mở rộng cho trường hợp miền lấy tích phân của I ( y ) vô hạn (thí dụ [α, ∞) ). Cụ thể là: Giả thiết hàm f liên tục và dương trên miền [α, ∞) ×[α, ∞) và các tích phân β ∞ J ( y ) = ∫ f ( x, y ) dy , I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx , α a ∞ ∞ hội tụ tới các hàm liên tục. Khi ấy nếu một trong các tích phân ∫ dx ∫ fdy , a α ∞ ∞ ∫ dx ∫ fdx tồn tại thì tích phân còn lại cũng tồn tại và chúng bằng nhau. α a 5.3. Một số tích phân đặc biệt Trong mục này chúng ta sẽ sử dụng những kết quả ở mục trước để khảo sát một số tích phân dạng đặc biệt thường gặp trong một số lĩnh vực của toán học ứng dụng.
198 Giải tích các hàm nhiều biến 5.3.1. Tích phân Dirichlet Tích phân Dirichlet là tích phân phụ thuộc tham số có dạng ∞ sin( yx) I ( y) = ∫ dx , y∈R . x 0 sin( yx) Hàm f ( x, y ) = xác định trên toàn bộ R×R nếu ta cho x sin( yx) f (0, y ) = lim = y , y∈R . x x→ 0 Sau đây là một số tính chất đơn giản của tích phân Dirichlet. • Tính hội tụ của I ( y ) : Nếu y = 0 , ta có I ( y ) = 0 . Nếu y ≠ 0 , áp dụng tiêu chuẩn Dirichlet cho f và ϕ( x, y ) = 1/ x trên miền [a, ∞) ×[α, β] với a > 0 , ∞ sin( yx) β ≥ α > 0 (hoặc β ≤ α < 0 ) ta thấy ngay tích phân ∫ x dx hội tụ và khi a a → 0 nó hội tụ tới I ( y ) . Hơn nữa, tích phân I ( y ) hội tụ đều trên miền [α, β] với β ≥ α > 0 (hoặc β ≤ α < 0 ). Ngoài ra, từ bất đẳng thức sin( yx) sin 2 ( yx) cos(2 yx) ≥ = 1 − x x 2x 2x ∞ ∞ sin( yx) cos(2 yx) thấy ngay là ∫ x dx phân kỳ (vì ∫ 2x dx hội tụ). 0 0 • Công thức tính: I ( y ) = π sgn y . 2 ∞ Thật vậy, bằng cách đổi biến yx = z , ta thấy I ( y ) = sgn( y ).∫ sin z dz . Để chứng z 0 minh I (1) = π , xét tích phân phụ trợ 2 ∞ J ( y ) = ∫ e− yx sin x dx , y∈[0,∞). x 0 Ta sẽ chỉ ra rằng (1) J ( y ) liên tục trên [0,∞) ; (2) J ( y ) khả vi và J '( y ) = − 1 ; 1+ y2
Chương 5. Tích phân phụ thuộc tham số 199 (3) J ( y ) = − arctan( y ) + π ; 2 (4) I (1) = J (0) = lim J ( y ) = π . y →0 2 Thật vậy, để chứng minh (1) chỉ cần áp dụng định lý Dirichlet cho hàm đơn điệu b ϕ( x, y ) = 1 và nhận xét rằng tích phân ∫e − yx sin x dx bị chặn đều. Như vậy, các x a tích phân ∞ ∞ − yx sin x dx , − yx sin x dx ∫e x ∫e x a 0 là hội tụ đều trên [0, β], β > 0 . Theo kết quả về tính liên tục của tích phân hội tụ đều suy ra J ( y ) liên tục trên [0, β] với mọi β > 0 . Muốn chứng minh (2) ta lưu ý rằng trên miền [0, ∞) ×[α, β] , với β ≥ α > 0 bất kỳ, hàm f liên tục cùng với đạo hàm riêng f y' = −e− yx sin x . Hơn nữa ∞ ∫ f ' y dx hội tụ đều (dùng tiêu chuẩn Weierstrass và lưu ý rằng e− yx sin x ≤ e−αx 0 với mọi y ∈ [α, β] ). Vậy J ( y ) là khả vi và ∞ J '( y ) = −∫ e− yx sin xdx = − 1 . 0 1+ y2 Từ tính chất (2) suy ra dy J ( y ) = −∫ + c = − arctan y + c, y>0, 1+ y2 ∞ trong đó hằng số c được xác định từ lim J ( y ) = 0 , do J ( y ) ≤ ∫ e− yx dx = 1 . Từ y→∞ y 0 đây c = π và suy ra công thức (3) được chứng minh. 2 Cuối cùng, do J ( y ) liên tục ta có I (1) = J (0) = lim J ( y ) = π y →0 2 và (4) đã được chứng minh. 5.3.2. Tích phân Euler (loại I) Tích phân Euler loại 1 hay hàm Beta là tích phân phụ thuộc 2 tham số có dạng:
200 Giải tích các hàm nhiều biến 1 B ( p, q) = ∫ x p−1 (1 − x) q−1 dx, p > 0, q > 0 . 0 Một số tính chất của hàm Beta: 1) Tính hội tụ. Với p ≥ 1, q ≥ 1 hàm f ( x, p, q ) = x p−1 (1 − x) q−1 liên tục trên [0,1] nên tích phân xác định bình thường. Với p ∈ (0,1), f ( x, p, q ) tương đương với 1 khi x → 0+ cho nên tích phân hội tụ. Với q ∈ (0,1), f ( x, p, q) tương đương x1− p với 11−q khi x → 1− nên tích phân cũng hội tụ. Như vậy, hàm Beta xác định với x mọi p > 0, q > 0 . Hàm Beta có đồ thị như trong Hình vẽ 5.1. 40 30 20 10 p 0 0 q 0.2 0.2 0.4 0.4 0.6 0.6 0.8 0.8 1 1 Hình 5.1 2) Tính hội tụ đều. Với mọi p1 > p0 > 0, q1 > q0 > 0 cố định, tích phân hội tụ đều trên miền [ p0 , p1 ]×[q0 , q1 ] vì khi x → 0+ và x → 1− ta có đánh giá: x p−1 (1 − x) q−1 ≤ x p0 −1 (1 − x) q0 −1 . 3) Tính liên tục. Hàm Beta liên tục tại mọi điểm trên miền xác định vì tại mọi p > 0, q > 0 ta chọn p0 = p 2, q0 = q 2, p1 = 2 p, q1 = 2q thì tích phân hội tụ đều trên miền [ p0 , p1 ]×[q0 , q1 ] , do đó liên tục trên miền này. 4) Tính đối xứng: B ( p, q ) = B (q, p ) được suy trực tiếp từ định nghĩa với phép đổi biến x 6 1 − x . 5) Công thức truy hồi (bằng cách kiểm tra trực tiếp) q q B ( p + 1, q + 1) = B( p + 1, q ) = B( p, q + 1) . ( p + q + 1) ( p + q + 1) Trường hợp riêng:
Chương 5. Tích phân phụ thuộc tham số 201 B (1,1) = 1 ; B ( p + 1,1) = 1 ; p +1 B ( p + 1, n) = n! B ( p + 1,1) = n! ; ( p + n)( p + n −1)...( p + 2) ( p + n)( p + n −1)...( p + 1) (n −1)!(m −1)! (n −1)!(m −1)! B (m, n) = B (1,1) = . (m + n −1)! (m + n − 1)! 5.3.3. Tích phân Euler (loại II) Tích phân Euler loại II hay hàm Gamma là tích phân phụ thuộc một tham số có dạng: ∞ Γ( p ) = ∫ x p−1e− x dx, p>0. 0 Một số tính chất của hàm Gamma: 1) Tính hội tụ. Dễ thấy, tích phân hội tụ với mọi p > 0 , và hội tụ đều trên miền [ p0 , p1 ] với p1 > p0 > 0 bất kỳ. 2) Tính liên tục trên miền xác định p > 0 . Suy ra ngay từ tính hội tụ đều. 3) Công thức truy hồi (lấy tích phân theo từng phần) Γ(n + p ) = ( n + p −1)( n + p − 2)... pΓ( p ) . Trường hợp riêng: Γ(1) = 1 , Γ(n + 1) = n! , ∞ ∞ Γ(1 2) = ∫ e− x dx = 2 e− z 2 dz = π . x ∫ 0 0
202 Giải tích các hàm nhiều biến Hàm Gamma có đồ thị như Hình vẽ 5.2. 40 30 20 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p Hình 5.2 Bằng một số phép biến đổi không phức tạp, ta có công thức liên hệ giữa hàm Beta và hàm Gamma: Γ ( p )Γ ( q ) B ( p, q ) = . Γ( p + q )