Bài giảng ôn thi cao học môn Toán kinh tế - Th.S Phùng Duy Quang

Chia sẻ: Le Thi Dong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:94

Thêm vào BST

Báo xấu

956
lượt xem 293
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Toán kinh tế là môn khoa học nhằm vận dụng toán học trong phân tích các mô hình kinh tế để từ đó hiểu rõ hơn các nguyên tắc và các quy luật kinh tế của nền kinh tế thị trường. Toán kinh tế cung cấp cho các Nhà Quản lý các kiến thức để họ có thể vận dụng vào việc ra các quyết định sản xuất. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng ôn thi cao học môn Toán kinh tế - Th.S Phùng Duy Quang

ThS PHÙNG DUY QUANG (ch biên) BÀI GI NG ÔN THI CAO H C Môn: TOÁN KINH T HÀ N I, 2011 1 ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
Ph n 1. Toán cơ s ng d ng trong kinh t TOÁN CAO C P 1 Chuyên 1. Ma tr n và nh th c §1. Ma tr n và các phép toán § 2. nh th c c a ma tr n vuông c p n § 3. Ma tr n ngh ch o § 4. H ng c a ma tr n Chuyên 2. H phương trình tuy n tính và ng d ng §1. Khái ni m h phương trình tuy n tính §2. Phương pháp gi i h phương trình TOÁN CAO C P 2 Chuyên 3. Gi i h n, liên t c, vi – tích phân hàm m t bi n s §1. Gi i h n c a dãy s § 2. Gi i h n c a hàm s § 3. Hàm s liên t c §4 o hàm, vi phân và ng d ng §5. Tích phân hàm m t bi n s Chuyên 4. Phép tính vi phân hàm nhi u bi n s và ng d ng § 1. Gi i h n và liên t c §2. o hàm riêng và vi phân c a hàm nhi u bi n § 3 C c tr hàm nhi u bi n Chuyên 5. T ng h p các d ng Toán cao c p ng d ng trong phân tích kinh t 2 ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
TÀI LI U THAM KH O 1. Alpha C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGRAW-HILL Book Copany, 1984. 2. Lê ình Thúy (ch biên), Toán cao c p cho các nhà kinh t , NXB Th ng kê, 2004. 3. Bài t p Toán cao c p cho các nhà kinh t , NXB HKTQD, 2008 4. Nguy n Huy Hoàng, Toán cao c p T1, T2. NXB Giáo d c Vi t Nam, 2010. 5. Nguy n Huy Hoàng,Hư ng d n gi i bài t p Toán cao c p cho các nhà kinh t T1, T2. NXB Giáo d c Vi t Nam, 2010. 6. Ngô Văn Th , Nguy n Quang Dong, Mô hình toán kinh t , NXB Th ng kê, 2005. 3 ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
TOÁN CAO C P 1 Chuyên 1. MA TR N VÀ NH TH C §1. MA TR N 1. Các khái ni m Cho m, n là các s nguyên dương nh nghĩa 1. Ma tr n là m t b ng s x p theo dòng và theo c t. M t ma tr n có m dòng và n c t ư c g i là ma tr n c p m × n. Khi cho m t ma tr n ta vi t b ng s bên trong d u ngo c tròn ho c ngo c vuông. Ma tr n c p m × n có d ng t ng quát như sau:  a 11 a 12 ... a 1n   a 11 a 12 ... a 1n    a ... a 2 n   a 21 a 22 ... a 2 n  a 22 ho c  21   ... ... ...   ... ... ...  ... ...     a  a m2 ... a mn  a m1 a m2 ... a mn   m1 Vi t t t là A = (aij)n xn ho c A = [aij]n xn 2 5 − 7  Ví d 1. Cho ma tr n A =   . A là m t ma tr n c p 2 x 3 v i 6 7 1  a11 = 2 ; a12 = 5 ; a13 = - 7 ; a21 = 6 ; a22 = 7 ; a23 = 1 nh nghĩa 2. • Hai ma tr n ư c coi là b ng nhau khi và ch khi chúng cùng c p và các ph n t v trí tương ng c a chúng ôi m t b ng nhau. • Ma tr n chuy n v c a A là AT : AT = [aji]n xn • Ma tr n i c a ma tr n A là ma tr n: -A = [- aij]n x n 1 − 3 Ví d 2. Cho ma tr n A = 4 − 1 . Xác nh AT, - A   2 0     − 1 3 1 4 2   T Ta có A =   ; − A = − 4 1 − 3 − 1 0  − 2 0   4 ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
• Ma tr n không c p m x n là ma tr n mà m i ph n t u b ng 0 : θ = [ 0] m x n • Khi n = 1 ngư i ta g i ma tr n A là ma tr n c t, còn khi m = 1 ngư i ta g i ma tr n A là ma tr n dòng. • Ma tr n vuông c p n là ma tr n có s dòng và s c t b ng nhau và b ng n. M t ma tr n có s dòng và s c t cùng b ng n ư c g i là ma tr n vuông c p n. Khi ó các ph n t a11, a22, … , ann g i là các ph n t thu c ư ng chéo chính, còn các ph n t an1, a n −12 , … , a1n g i là các ph n t thu c ư ng chéo ph . • Ma tr n tam giác là ma tr n vuông khi có các ph n t n m v m t phía c a ư ng chéo chính b ng 0. +) Ma tr n A = [aij]n x n ư c g i là ma tr n tam giác trên n u aij = 0 v i i > j: a 11 a 12 ... a 1n −1 a 1n  0 a 2n  a 22 ... a 2 n −1   A =  ... ...  ... ... ...   0 0 ... a n −1 n −1 a n −1 n  0 a nn  0 ... 0   +) Ma tr n A = [aij]n x n ư c g i là ma tr n tam giác dư i n u aij = 0 v i i < j:  a 11 0 ... 0 0 a 0 a 22 ... 0  21  A =  ... ...  ... ... ...   a n −11 a n −1 2 ... a n −1 n −1 0  a n1 a nn  a n2 ... a n n −1   Ví d 4. Cho m t ví d v ma tr n vuông c p 3, ma tr n tam giác trên, tam giác dư i c p 3. Gi i:  1 2 − 5 1 2 − 5 1 0 0  2 − 1 4  ; B = 0 1 4  ; C =  2 − 1 0 A=      1 1 6 0 0 6  1 1 6       • Ma tr n chéo là ma tr n vuông c p n mà có t t c các ph n t n m ngoài ư ng chéo chính u b ng 0 5 ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
• Ma tr n chéo có t t c các ph n t thu c ư ng chéo chính b ng 1 ư c g i là ma tr n ơn v : 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0   E = ... ... ... ... ...   0 0 ... 1 0 0 1 0 ... 0   • T p các ma tr n c p m x n trên trư ng s th c R, ký hi u: Matm x n(R) • T p các ma tr n vuông c p n trên trư ng s th c R, ký hi u: Mat n(R) 2 6 2 5 − 7  5 7 Ví d 5. Cho ma tr n A =  và B =  6 7 1    − 7 m 2    a) Tìm AT và – A AT = B b) Tìm m Gi i :  2 6 − 2 − 5 7  a) Ta có A =  5 7  và A =  T     − 6 − 7 − 1 − 7 1     2 6  2 6  5 7 =  5 7  ⇔ m 2 = 1 ⇔ m = ±1 T b) A = B ⇔    − 7 1  − 7 m 2     2. Phép toán trên ma tr n a) Phép c ng hai ma tr n và phép nhân ma tr n v i 1 s nh nghĩa 3. Cho hai ma tr n cùng c p m × n: A = [a ij ]m×n ; B = [b ij ]m×n T ng c a hai ma tr n A và B là m t ma tr n c p m × n, kí hi u A + B và ư c xác nh như sau: A + B = [a ij + b ii ]m×n Tích c a ma tr n A v i m t s α là m t ma tr n c p m × n, kí hi u α A và ư c xác nh như sau: 6 ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
[ ] αA = α.a ij m× n Hi u c a A tr B: A – B = A + (-B) T nh nghĩa ta suy ra các tính ch t cơ b n c a phép toán tuy n tính Tính ch t 1. Cho A, B, C là các ma tr n b t kì c p m × n, α ; β là các s b t kì ta luôn có: 1) A + B = B + A 2) (A + B) +C = A + (B + C) 3) A + 0 = A 4) A + (-A) = 0 5) 1.A = A 6) α (A + B) = α A + α B 7) ( α + β )A = α A + β A 8) ( α β )A = α ( β B) 1 − 2 4   2 1 − 2 Ví d 6. Cho các ma tr n A =  ; B =  2 1 3  . Khi ó 0 1 − 1   1 − 2 4  2 1 − 2 − 4 − 7 14  2A − 3B = 2.  + ( −3).2 1 3  =  − 6 − 1 − 11 0 1 − 1    1 3 Ví d 7. Cho ma tr n B =   . Tìm ma tr n C sao cho 3B – 2(B + C) = 2E 5 3 Gi i : 1 1 3 1 0 − 1 / 2 3 / 2 1 Phương trình ã cho ⇔ C = B − E = . − = 2 5 3 0 1  5 / 2 1 / 2  2    b) Phép nhân ma tr n v i ma tr n Cho hai ma tr n : 7 ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
 b11 b12 ... b1p   a 11 a 12 ... a 1n  b ... b 2 p  a ... a 2 n  b 22 a 22 B=   A =  21 ; 21  ... ... ...   ... ... ...  ... ...      b n1 b n2 ... b np  a m1 a m2 ... a mn    Trong ó, ma tr n A có s c t b ng s dòng c a ma tr n B. nh nghĩa 4. Tích c a ma tr n A v i ma tr n B là m t ma tr n c p m × p, kí hi u là AB và ư c xác  c11 c12 ... c1n  c ... c 2 n  c 22 nh như sau: AB =  21   ... ... ...  ...   c m1 c m2 ... c mn  n trong ó c ij = a i1b1 j + a i 2 b 2 j + ... + a in b nj = ∑ a ik b kj ; (i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., p ) k =1 Chú ý 1. • Tích AB t n t i khi và ch khi s c t c a ma tr n ng trư c b ng s dòng c a ma tr n ng sau. • C c a ma tr n AB: Ma tr n AB có s dòng b ng s dòng c a ma tr n ng trư c và s c t b ng s c t c a ma tr n ng sau. • Các ph n t c a AB ư c tính theo quy t c: Ph n t cij là tích vô hư ng c a dòng th i c a ma tr n ng trư c và c t th j c a ma tr n ng sau. 1 2 0 1 4 Ví d 8. Cho hai ma tr n A =   và B = 1 3 2 . Tính A.B và B.A 3 1    Gi i : 1 2 0 1 4 1.0 + 2.1 1.1 + 2.3 1.4 + 2.2 2 7 8  Ta có A.B =  . = =  3 1  1 3 2 3.0 + 1.1 3.1 + 1.3 3.4 + 1.2  1 6 14 Nhưng s c t c a B khác s dòng c a A nên không t n t i tích BA. 8 ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
1 2 3 − 1  2 − 1 0   Ví d 9. Cho ma tr n A =   ; B = 2 − 1 1 0  . Tính A.B, BA  − 3 2 0 3 0 2 1    Gi i : 1 2 3 − 1  2 − 1 0   3 5 7 − 1 Ta có A.B =  .2 − 1 1 0  = 1 − 8 − 7 3  − 3 2 0 3 0 2 1      Còn B.A không t n t i Các tính ch t cơ b n c a phép nhân ma tr n Tính ch t 2. Gi s phép nhân các ma tr n dư i ây u th c hi n ư c. 1) (AB)C = A(BC) 2) A(B+C) = AB+AC; (B+C)D =BD +CD 3) α (AB) = ( α A)B = A( α B) 4) AE = A; EB =B c bi t , v i ma tr n vuông A: AE = EA = A T 5) ( AB ) = BT A T Chú ý 2. Phép nhân ma tr n không có tính ch t giao hoán. N u A.B = θ thì chưa ch c A = θ ho c B = θ . 0 1  0 0 Ví d 10. Cho các ma tr n A =  ; B = 1 0 . 0 0    1 0 0 0  Khi ó A.B =  ; B.A = 0 1 và AB ≠ BA 0 0    1 0 0 0  1 0 0 0 0 0 Ví d 11. Cho A =  ; B = 0 1 , ta có A.B = 0 0.0 1 = 0 0 0 0        9 ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
c) Lu th a c a ma tr n vuông: Cho A là ma tr n vuông c p n. Ta xác nh A0 = E; An = An -1. A ( n là s nguyên dương) a b  Ví d 12. Cho A =   . Ch ng minh r ng, ma tr n A tho mãn phương trình c d  X 2 − (a + d ) X + (ad − bc) = θ Gi i : a b  a b  a b  1 0 Ta có A 2 − (a + d )A + (ad − bc)E =  . c d  − (a + d ). c d  + (ad − bc).0 1 c d         a 2 + bc (a + d )b  a (a + d ) b(a + d ) ad − bc 0  0 0 = = θ . ( pcm) − + 0 = 2 ad − bc 0 0 (a + d )c bc + d  c(a + d ) d(a + d )    1 1 . Tính A2, A3, ..., An (n là s t nhiên) Ví d 13. Cho ma tr n A =  0 1   Gi i : 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 3 Ta có A 2 =  3  0 1 = 0 1  ; A = 0 1  0 1 = 0 1 ; .... ; tương t ta có th d 0 1        1 n  n oán A n =   . D dàng ch ng minh ư c b ng quy n p công th c A . 0 1  nh nghĩa 5. Phép bi n i sơ c p trên ma tr n A = [aij]m x n là các phép bi n i có d ng i) i ch 2 dòng (c t) cho nhau: d i ↔ d j (c i ↔ c j ) ii) nhân m t dòng (c t) v i m t s khác 0: kd i (kc i ) iii) nhân m t dòng (c t) v i m t s r i c ng vào dòng (c t) khác: hd i + d j (hc i + c j ) 1 − 2 4 6  Ví d 15. Cho ma tr n A = 2 1 − 2 5 . Th c hi n các phép bi n i sơ c p sau: (1)   1 − 1 2 4    nhân dòng 2 v i 2 (2) hoán v dòng 1 cho dòng 2 10 ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
(3) nhân dòng 2 v i – 2 c ng vào dòng 3 nh nghĩa 6. Ma tr n d ng b c thang là ma tr n có tính ch t i) Các dòng khác không (t c là có m t ph n t khác 0) n u có thì luôn trên các dòng b ng không (t c là hàng có t t c các ph n t b ng 0). ii) hai dòng khác 0 k nhau thì ph n t khác 0 u tiên dòng dư i bao gi cũng bên ph i c t ch a ph n t khác 0 u tiên dòng trên. Ví d 15. Các ma tr n sau là ma tr n d ng b c thang 1 1 5 6 8 1 − 1 34 7 1 − 1 2 0  0 1 2 8 − 1 1 −1 3 5   ; C = 0 2 1  A= ; B=   0 0 0 2 − 5 0 0 2 1 − 1 0 0 0        0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 11 ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
§2. NH TH C C A MA TR N VUÔNG 1. Khái ni m nh th c  a 11 a 12 ... a 1n  a ... a 2 n  a 22 Cho ma tr n A =  21  . Xét ph n t aij c a A, b i dòng i và c t j c a A  ... ... ...  ...   a n1 a n2 ... a nn  ta ư c ma tr n vuông c p n -1, ký hi u Mij: g i là ma tr n con con ng v i ph n t aij.  a 11 a 12 a 13  Ví d 1. A = a 21 a 23  . Tìm các ma tr n con ng v i các ph n t c a A a 22   a 31  a 32 a 33    a 11 a 12 ... a 1n  a ... a 2 n  a 22 nh nghĩa 1. Cho m t ma tr n A vuông c p n: A =  21 .  ... ... ...  ...   a n1 a n2 ... a nn  nh th c c a A, ký hi u det(A) ho c A ưc nh nghĩa như sau: * nh th c c p 1: A = [a11] thì det(A) = a11  a 11 a 12  a 11 a 12 * nh th c c p 2: A =   thì det(A ) = a = a 11a 22 − a 12 a 21 a 21 a 22  a 22 21 1 6 Ví d 2. Tính nh th c = 1.14 − 6.2 = 2 2 14 x2 25 Ví d 3. Gi i phương trình: =0 9 4 nh th c ta ư c: VT = 4x2 – 25.9 Gi i: Tính 25.9 ± 15 PT ⇔ x 2 = ⇔x= 4 2 * nh th c c p 3: 12 ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
a 11 a 12 a 13 det A = a 21 a 22 a 23 = a 11 .a 22 .a 33 + a 12 .a 23 .a 31 + a 13 .a 21 .a 32 − a 13 .a 22 .a 31 − a 12 .a 21 .a 33 − a 11 .a 23 .a 32 a 31 a 32 a 33 Quy t c Sariut: nh th c c p 3 có 6 s h ng, mà m i s h ng là tích c a 3 ph n t mà m i dòng, m i c t ch có m t i bi u duy nh t. * Các s h ng mang d u c ng: các s h ng mà các ph n t n m trên ư ng chéo chính ho c các ph n t n m trên các nh c a tam giác có 3 nh có m t c nh song song v i ư ng chéo chính. * Các s h ng mang d u tr : các s h ng mà các ph n t n m trên ư ng chéo ph ho c các ph n t n m trên các nh c a tam giác có 3 nh có m t c nh song song v i ư ng chéo ph . nh quy t c tính nh th c c p 3, ngư i ta thư ng dùng “quy t c Sarrus” sau: • • • • • • • • • • • • • • • • • • D u+ D u- T quy t c Sarrus trên, chúng ta còn m t quy t c khác tính nhanh nh th c c p 3: ghép thêm c t th nh t và c t th hai vào bên ph i nh th c ho c ghép thêm dòng th nh t và dòng th hai xu ng bên dư i nh th c r i nhân các ph n t trên các ư ng chéo như quy t c th hi n trên hình: a1 b1 c1 a1 b1 a1 b1 c1 D u- a2 b2 c2 a2 b2 a2 b2 c2 a3 b3 c3 a3 b3 a3 b3 c3 a1 b1 c1 D u + D u- D u+ a2 b2 c2 1 −2 3 Ví d 4.Tính nh th c ∆ 3 = 2 0 1 2 −2 1 Gi i: Ta có ∆ 3 = 1.0.1 + 2.(-2).1 + 3.2.(-2) – 3.0.2 – 1.(-2).2) – 1.1.(-2) = -10 13 ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
x2 x1 Ví d 5. Gi i phương trình 1 1 1=0 4 21 Gi i: x2 x1 x = 1 1 1 = x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔  Ta có 1 x = 2 4 21 nh th c c p n (n ≥ 3 ): • n ∑a (−1) i+ j det(M ij ) (v i i b t kỳ) det(A) = ij j=1 n ∑a ho c det(A) = (−1) i + j det(M ij ) (v i j b t kỳ) ij i =1 2011 0 00 2 2010 x x1 Ví d 6. Gi i phương trình : =0 2009 1 11 2008 4 21 2011 0 00 2010 x 2 x1 . S d ng công th c khai tri n nh th c theo dòng 1 ta t ∆4 = Gi i : 2009 1 11 2008 4 21 x2 x1 1+1 1 1 = 2011.( x 2 − 3x + 2) . có ∆ 4 = 2011.(−1) 1 4 21 x = 1 PT ⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔  x = 2 2. Tính ch t c a nh th c A =[aij]n x n v i ∆ n = det(A ) Dòng i c a nh th c ư c g i là t ng c a 2 dòng n u: (a a i2 ....a ij ....a in ) = ( bi1 bi2 ....bij ....bin ) + ( ci1 ci 2 ....cij ....cin ) ;a ij = bij + cij (∀j = 1, n) i1 Dòng i là t h p h p tuy n tính c a các dòng khác n u 14 ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
n n a ij = ∑ α k a kj (∀j = 1, n ) . Ký hi u d i = ∑ α k d k ; dk = (ak1 ak2 ... akn) k =1 k =1 k≠ k ≠i Tính ch t 1. (Tính ch t chuy n v ) nh th c c a ma tr n chuy n v c a nó: det(AT) nh th c c a ma tr n vuông b ng = det(A) a b  T Ví d 1. Cho A =   . CMR det(A ) =det(A) c d  Bn c t gi i Chú ý 1. T tính ch t chuy n v , m i tính ch t c a nh th c úng cho dòng thì cũng úng cho c t và ngư c l i. Do ó, trong các tính ch t c a nh th c, ch phát bi u cho các dòng, các tính ch t ó v n gi nguyên giá tr khi thay ch "dòng" b ng ch "c t". Tính ch t 2. (Tính ph n x ng). i ch hai dòng cho nhau và gi nguyên v trí các dòng còn l i thì nh th c i d u. ab cd Ví d 2. Xét và cd ab Bn c t gi i H qu 1. M t nh th c có hai dòng gi ng nhau thì b ng không. Ch ng minh Gi nh th c có hai hàng như nhau là ∆ n . i ch hai hàng ó ta ư c, theo tính ch t 2 ta có ∆ n = - ∆ n ⇔ 2∆ n = 0 ⇒ ∆ n = 0 Tính ch t 3. (Tính thu n nh t). N u nhân các ph n t m t dòng nào ó v i cùng m t s k thì ư c nh th c m i b ng k l n nh th c cũ a 11 a 12 ... a 1n a 11 a 12 ... a 1n ... ... ... ... ... ... ... ... ... ka in = k. a i1 a i 2 ka i1 ka i 2 ... a in ... ... ... ... ... ... ... ... a n1 a n2 ... a nn a n1 a n 2 ... a nn nh lý này có th phát bi u: N u m t nh th c có m t dòng có nhân t chung thì ưa nhân t chung ra ngoài d u nh th c 15 ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
H qu 2. M t nh th c có hai dòng t l v i nhau thì b ng không. Ch ng minh: Th t v y, n u ưa h s t l ra ngoài d u nh th c thì ư c m t nh th c có hai dòng gi ng nhau nên nó b ng không. 12 −2 6 7 17 − 68 35 − 204 Ví d 2.19. Ch ng minh nh th c sau chia h t cho 17: ∆ 4 = 2 1 1 −4 6 7 11 9 Gi i : 12 −2 6 7 12 − 2 6 7 17.1 17.(−4) 17.2 17.(−12) 1 −4 2 − 12 Ta có ∆ 4 = = 17.D . = 17. 2 1 1 −4 2 1 1 −4 6 7 11 9 6 7 11 9 Vì D là nh th c t o b i các s nguyên nên D cũng là s nguyên. Do ó ∆ 4 M17 Tính ch t 3. (Tính c ng tính). N u nh th c có m t dòng là t ng hai dòng thì nh th c b ng t ng c a hai nh th c. a 11 a12 a1n a11 a12 L a1n a11 a12 L a1n L L L L L L L LL L L LL bi1 + ci1 bi 2 + ci2 L bin + cin = bi1 bi2 L bin + ci1 ci2 L cin L L L L LLLL LLLL a n1 an2 a nn a n1 a n 2 L a nn a n1 a n 2 L a nn L H qu 3. N u nh th c có m t dòng là t h p tuy n tính c a các dòng khác thì nh th c y b ng không. ó là h qu c a tính ch t c ng tính và tính thu n nh t. H qu 4. N u c ng vào m t dòng m t t h p tuy n tính c a các dòng khác thì nh th c không i. T các tính ch t c a nh th c, ta thư ng s d ng các phép bi n i sơ c p trên ma tr n trong quá trình tính nh th c c p n: * i ch 2 dòng (c t) cho nhau: d i ↔ d j (c i ↔ c j ) , phép bi n i này nh th c id u * Nhân m t dòng (c t) v i m t s khác 0: kd i (kc i ) , phép bi n i này nh th c tăng lên k l n. 16 ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
* Nhân m t dòng (c t) v i m t s c ng vào dòng (c t) khác: hd i + d j (hc i + c j ) , phép bi n i này không làm thay i giá tr c a nh th c. a b c Ví d 4. Tính nh th c ∆ 3 = a' b' c' ax + a ' y bx + b' y cx + c' y Gi i : abc − xd1 − yd 2 + d 3 Nhân dòng 1 v i (-x), dòng 2 v i (-y) c ng vào dòng 3 ta ư c: ∆ 3 a ' b ' c' = 0 = 0 0 0 a2 b2 c2 d2 (a + 1) 2 (b + 1) 2 (c + 1) 2 (d + 1) 2 Ví d 5. Tính nh th c ∆ 4 = ( a + 2) 2 ( b + 2) 2 ( c + 2) 2 ( d + 2) 2 (a + 3) 2 (b + 3) 2 (c + 3) 2 (d + 3) 2 Gi i : Nhân dòng 1 v i (-1), r i c ng l n lư t vào dòng 2, dòng 3, dòng 4 ư c: a2 b2 c2 d2 2a + 1 2b + 1 2c + 1 2d + 1 − d1 + d i ∆4 = 4a + 4 4 b + 4 4c + 4 4d + 4 i = 2 , 3, 4 6a + 9 6 b + 9 6c + 9 6d + 9 Sau ó nhân dòng 2 v i (- 2) c ng vào dòng 3, nhân dòng 2 v i (-3) c ng vào dòng 4 ư c: a2 b2 c2 d2 2a + 1 2 b + 1 2c + 1 2d + 1 − 2d 2 +d 3 = 0 (vì có 2 dòng t l nhau) ∆4 = 2 2 2 2 −3 d 2 + d 4 6 6 6 6 a b c 1 b c a 1 Ví d 6. Tính nh th c ∆ 4 = c a b 1 a+b b+c c+a 1 2 2 2 Gi i : 17 ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
a + b + c +1 b c 1 a + b + c +1 c a 1 C ng các c t vào c t 1 ta ư c: ∆ 4 = a + b + c + 1 a b 1 b+c c+a a + b + c +1 1 2 2 t nhân t chung c a c t 1 ra ngoài: 1 b c 1 1 c a 1 ∆ 4 = (a + b + c + 1). 1 1=0 a b b+c c+a 1 1 2 2 3.Các phương pháp tính nh th c Cho nh th c c p n: a 11 ... a 1 j ... a 1n ... ... ... ... ... ∆ n = a i1 ... a ij ... a in ... ... ... ... ... a n1 ... a nj ... a nm a) S d n g nh nghĩa b ng công th c khai tri n: • P h n bù i s c a aij Xóa i dòng th i và c t th j (dòng và c t ch a ph n t aij ) c a A ta ư c m t ma tr n con (n - 1), kí hi u là M ij . nh th c c a M ij ư c g i là nh th c con c p n -1 tương ng v i ph n t aij c a A và A ij = (−1) i+ j det(M ij ) ư c g i là ph n bù is c a ph n t aij c a nh th c d. Cho nh th c c p n là ∆ n . Khi ó ∆ n có th tính theo hai cách sau: i) Công th c khai tri n theo dòng th i : n n ∆ n = ∑ a ij (−1) i + j . det(M ij ) = ∑ a ij A ij (1) j=1 j=1 ii) Công th c khai tri n theo c t th j: 18 ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
n n ∆ n = ∑ a ij (−1) i + j . det(M ij ) = ∑ a ij A ij (2) i =1 i =1 H qu . iv i nh th c c p n là ∆ n , ta có ∆ khi i = k n ∑a A kj =  n i) (3) ij 0 khi i ≠ k j=1 ∆ khi j = k n ∑a A ik =  n ii) (4) ij 0 khi j ≠ k i =1 Nh n xét: M c ích c a công th c (1) ho c (2) là chuy n vi c tính nh th c c p n v tính nh th c c p n -1, r i t c p n -1 chuy n v c p n -2, …, cho n nh th c c p 3, 2. Khi áp d ng công th c (1) ho c (2), ta nên ch n dòng ho c c t có ch a nhi u ph n t 0 nh t khai tri n. N u không có dòng ho c c t như v y ta bi n i nh th c ưa v nh th c m i b ng nh th c ban u nhưng có dòng ho c c t như v y. 211 1 2 −1 Ví d 1. Tính nh th c a) ∆ 3 = 3 − 1 2 b) ∆ 3 = 3 1 2 450 −1 2 4 Gi i: a) Khai tri n nh th c theo dòng 3 ta có: 1 1 21 ∆ 3 = 4.(−1) 3+1 . + 5.(−1) 3+ 2 . + 0 = 12 − 5 = 7 −1 2 32 b) Khai tri n nh th c theo c t 1 ta có: 12 2 −1 2 −1 ∆ 3 = 1.(−1)1+1 . + 3.(−1) 2+1 . + (−1)(−1) 3+1 . = 0 − 30 − 5 = −35 24 2 4 1 2 1 1 0 5 100 2 −1 3 1 3 0 1 0 −3 Ví d 2. Tính nh th c a) ∆ 4 = b) ∆ 4 = 2 − 4 −1 − 3 001 4 3 −5 2 1 234 11 Gi i : a) Nhân c t 1 v i (-1) c ng vào c t 2, nhân c t 1 v i (-5) c ng vào c t 4; r i khai tri n nh th c theo c t 1, ta ư c 19 ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i
1 0 0 0 4 1 8 4 1 8 −1 4 1 8 − c1 + c 2 1+1 = 1.(−1) . − 6 − 1 − 13 = − 6 − 1 − 13 ∆4 = 2 − 6 − 1 − 13 − 5 c1 + c 4 −8 2 − 14 −8 2 − 14 3 −8 2 − 14 C ng dòng 1 vào dòng 2, nhân dòng 1 v i (-2) c ng vào dòng 2, r i khai tri n nh th c theo c t 2 ta ư c: 41 8 −2 −5 d1 + d 2 ∆ 4 = − 2 0 − 5 = 1.(−1)1+ 2 . = 20 − 16 − 30 − 2 d1 + d 3 − 16 0 − 30 b) Nhân c t (-2) v i c t 1 r i c ng v i c t 4 100 0 0 1 0 −5 ∆4 = 001 4 234 9 Khai tri n nh th c theo dòng 1 ta ư c 100 0 1 0 −5 1 0 −5 0 1 0 −5 1+1 = 1.(−1) . 0 1 4 =0 1 4 ∆4 = 001 4 34 9 34 9 234 9 Nhân c t 1 v i 5 c ng vào c t 3, khai tri n nh th c theo dòng 1 ta ư c 100 14 ∆ 4 = 0 1 4 = 1.(−1)1+1 . = 24 − 16 = 8 4 24 3 4 24 Ví d 3. Tính nh th c c a ma tr n tam giác trên và tam giác dư i a 11 0 ... 0 0 a 11 a 12 ... a 1n −1 a 1n a 21 a 22 ... 0 0 0 a 22 ... a 2 n −1 a 2n b) ∆ n = ... ... ... ... ... a) ∆ n = ... ... ... ... ... a n −11 a n −1 2 ... a n −1 n −1 0 0 0 ... a n −1 n −1 a n −1 n a n1 a n2 ... a n n −1 a nn 0 0 ... 0 a nn Gi i : 20 ThS Phùng Duy Quang Trư ng Khoa Cơ b n – Trư ng i h c Ngo i Thương Hà n i