Bài giảng giải tích hàm - Nguyễn Chi Phương

Chia sẻ: Lan Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

339
lượt xem 106
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo bài viết 'giải tích hàm', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng giải tích hàm - Nguyễn Chi Phương

Bieân soaïn: Nguyeãn Chí Phöông D. Baøi taäp maãu GIAÛI TÍCH HAØM Baøi 1 : CMR: | d(u,v) - d(x,y) |  d(u,x) + (v,y),  x, y,u,v  X Giaûi: CHÖÔNG 1: KHOAÛNG CAÙCH Söû duïng BÑT: d(u,v)  d(u,x) + d(x,y) + d(y,v)  d(u,v) - d(x,y)  d(u,x) + d(y,v) A. Khoâng gian Metric Cho taäp hôïp X. Xeùt aùnh xaï d: X x X  R laø metric treân X neáu Baøi 2 : CMR: | d(x,A) - d(y,A) |  d(x,y) ,  x, y  A thoûa caù c tính chaát sau: Giaûi: 1. d(x,y)  0 ,  x, y  X d(x,A) = inf d(x,u)  d(x,u)  d(x,y) + d(y,u) 2. d(x,y) = 0  x = y uA 3. d(x,y) = d(y,x) ,  x, y  X 4. d(x,y)  d(x,z) + d(z,y) ,  x, y,z  X  d(x,A)  d(x,y) + inf d(y,u) = d(x,y) + d(y,A) uA Boä (X,d) ñöôïc goïi laø khoâng gian metric  d(x,A) - d(y,A)  d(x,y) B. Khoâng gian ñònh chuaån Baøi 3 : CMR: Neáu A  B   Cho taäp hôïp X. Xeùt aùnh xaï ||.||: X x X  R laø ñònh chuaån treân X thì diam(A  B)  diam A + diam B neáu thoûa caù c tính chaát sau: Giaûi: 1. ||x||  0 ,  x  X Xeùt vôùi  x, y  A  B 2. ||x|| = 0  x = 0 TH1: x,y  A thì d(x,y)  diamA 3. ||  x|| = |  | ||x|| ,    K,  x  X  sup d(x,y)  diamA 4. ||x+y||  ||x|| + ||y|| x , y A Boä (X,||.||) ñöôïc goïi laø khoâng gian ñònh chuaån  diam(A  B)  diamA  diam(A  B)  diamA +diamB * Moät soá khoâng gian thoâng duïng TH2: x,y  B : töông töï 1. Khoâng gian Rn:  x=(x1,x2,…,xn ) y=(y1,y2,…,yn) TH3: x  A, y  B. Khi ñoù  z  A  B thoûa: n n d(x,y)  d(x,z)+d(z,y) d ( x, y )   ( xi  yi ) 2 ; ||x|| = i 1 x i 1 i 2  d(x,y)  sup d(x,z) + sup d(z,y) = diamA + diamB x , z A z , yB 2. Khoâng gian C[ a ,b ] ={x(t): x lieân tuïc treân [a,b]  sup d(x,y)  diamA + diamB d(x,y) = max {x(t) - y(t)} ; ||x|| = max {x(t)} z , y A B t[ a ,b ] t[ a ,b ]  diam(A  B)  diamA + diamB b P 3. Khoâng gian L = { f  C[ a ,b ] :  | f | ds
Baøi 1 : CMR: d(x,A) = 0  x  A CHÖÔNG 2: TAÄP ÑOÙNG – TAÄP MÔÛ Giaûi: AÙp duïng caùch 2 CM taäp ñoùng CM thuaän : Cho d(x,A) = 0. CM x  A A. Ñònh nghóa veà daõy hoäi tuï Do d(x,A)=0  inf d(x,y) = 0 - Cho khoâng gian metric (X,d) vaø {xn}  X, xnx0 y A  lim d(xn,x0) = 0  n  N,  {xn}  A sao cho d(x, xn) = 0 n   {xn}  A sao cho xn  x   >0,  N  N : d(xn,x0) <  ,  n >N  x laø ñieåm dính cuûa A hay x  A - Cho khoâng gian ñònh chuaån (X,||.||) vaø {xn}  X, xnx0  lim ||xn - x0|| = 0 CM nghòch: Cho x  A . CM d(x,A) = 0 n Do x  A neân  {xn}  A sao cho xn  x   >0,  N  N : ||xn - x0|| <  ,  n >N  0  d(x,A)  d(x, xn) Cho n   ta coù 0  d(x,A)  0 hay d(x,A) = 0 B. Ñònh nghóa veà caùc loaïi ñieåm Cho khoâng gian metric (X,d), A  X. Laáy x0  X. Khi ñoù: Baøi 2 : CMR: a. d(x,A) = d(x, A) 1. x0 ñöôïc goïi ñieåm dính cuûa A   r >0, S(x0,r)  A   b. d(A,B) = d( A , B ) Taäp taát caû caù c ñieåm dính cuûa goïi laø bao ñoùng cuûa A Giaûi: __ a. CM: d(x,A)  d(x, A ) Kí hieäu: A bao ñoùng nhoû nhaát chöùa A 2. x0 ñöôïc goïi laø ñieåm trong cuûa A Laáy tuøy yù y  A  y  A  d(x, A )  d(x,y)   r >0, S(x0,r)  A hay S(x0,r)  X\A    d(x, A )  inf d(x,y) = d(x,A) (1) y A Taäp taát caû caù c ñieåm trong cuûa A goïi laø phaàn trong cuûa A Kí hieäu: A0 taäp môû lôùn nhaát naèm trong A CM: d(x,A)  d(x, A ) 3. x0 ñöôïc goïi laø ñieåm bieân cuûa A Laáy tuøy yù y  A  y laø ñieåm dính cuûa A S ( x 0 , r )  A     {yn}  A sao cho yn  y   r >0,  Do yn  A neân d(x,A)  d(x, yn)  d(x,y) + d(y, yn) ,  y  A S ( x 0 , r )  X \ A   Cho n  ta coù d(x,A)  d(x,y) ,  y  A C. Phöông phaùp chöùng minh taäp ñoùng, môû  d(x,A)  inf d(x,y) = d(x, A ) (2) y A 1. Chöùng minh taäp A ñoùng Töø (1) vaø (2) ta coù ñpcm Caùch 1 (thoâng duïng): Laáy tuøy yù x0  X. Giaû söû { x n }  A , b. Töông töï caâu a xnx0 Ta CM x0  A Baøi 3 : CMR: diam A = diam A Caùch 2 (thoâng duïng): Laáy tuøy yù x0  A. Giaûi: Ta CM laø ñieåm dính cuûa A CM: diamA  diam A  {x n }  A , xn  x0 Laáy tuøy yù x,y  A  x,y  A  d(x,y)  diam A Caùch 3 (ít duøng): CM X\A môû Caùch 4 (ít duøng): CM A laø giao cuûa moät hoï caùc taäp ñoùng  sup d(x,y)  diam A x , y A Caùch 5 (duøng trong aùnh xaï tuyeán tính): Giaû söû f:X  Y laø axtt lieân tuïc vaø F ñoùng trong Y. Khi ñoù ta coù  diam A  diam A (1) A = f-1(F) ñoùng CM: diam A  diam A 2. Chöùng minh taäp A môû Laáy tuøy yù x,y  A  x,y laø ñieåm dính cuûa A Caùch 1 (thoâng duïng): Laáy tuøy yù x0  A. ta CM x0 laø ñieåm dính { x n }  A :x n  x cuûa A    r >0, S(x0,r)  A hay S(x0,r)  X\A   { y n }  A : y n  y Caùch 2 (raát thoâng duïng): CM X\A ñoùng Do xn, yn  A neân d(xn, yn)  diam A Caùch 3 (ít duøng): CM A laø hôïp cuûa moät hoï caùc taäp môû  d(x,y)  d(x, xn)+d(xn, yn +d(yn,y)  d(x, xn)+diam A+d(yn,y) Caùch 4 (duøng trong aùnh xaï tuyeán tính): Cho n   ta coù d(x,y)  diamA f: X  Y laø axtt lieân tuïc vaø G môû trong Y. Khi ñoù A = f-1(G) môû  sup d(x,y)  diam A  diam A  diam A (2) x , y A D. Baøi taäp maãu Töø (1) vaø (2) ta coù ñpcm 4
Baøi 4: Caùc taäp naøo sau ñaây ñoùn g hay môû. Taïi sao? 1 a. A =(a,b); b. A =[a,b); c. A =[a,b];   d ( f n , f 0 )dt =d(fn,f0)  0 0 n 2 n d. A =  (0, ) e. A =  ( , ); 1 1 n 1 n n 1 (t )dt   f 0 (t )dt khi n   f. A ={(x,y): x2+y2  1} g. A ={(x,y): x2+sin(x+y)>2};  f 0 n 0 h. A = {(x,y): |x|+|y|0 thoûa CM nhö caâu a S(x0,r)  X\A   c. Nhö caâu a. Vôùi löu yù c. A =[a,b] ñoùng vì vôùi  {xn}  [a,b] , giaû söû xn  x0 1 1 Khi ñoù do xn  [a,b]  a  xn  b. Cho n   ta coù a  x0  b 2 (t )dt -  f 02 (t )dt |  (||fn||+||f0||)d(fn,f0)  0  x0  [a,b] | f 0 n 0 d. Hoäi cuûa hoï caù c taäp môû laø taäp môû d. Nhö caâu a. Vôùi löu yù 2 n 1 1 1 e. A =  ( , ) =[0, ) khoâng ñoùng, khoâng môû n n 1 2 |  f n3 (t ) dt -  f 03 (t )dt |  (||fn||2+||f0||2+2||fn||.||f0||) d(fn,f0)  0 f. A ñoùng vì vôùi  {xn}  A , giaû söû xn  x0 0 0 2 2 2 2 Khi ñoù do xn  A  x n +y n  1. Cho n   ta coù x 0 +y 0  1 e. A môû  C [ 0,1] \A ={f  C [ 0,1] : max f(x)  5} ñoùng x[ 0 ,1]  x0  A Vì vôùi  {fn}  A, giaû söû fn  f0. Khi ñoù: g. A môû  X\A ={(x,y): x2+sin(x+y)  2} ñoùng. CM nhö caâu f Do fn  A neân fn  C [ 0,1] vaø max fn(x)  5 x[ 0 ,1] h. i. Laøm nhö caâu g - Vôùi fn  C [ 0,1] cho n   ta coù f0  C [ 0,1] (1) Baøi 5: Khaûo saùt söï ñoùng môû cuûa caùc taäp sau trong C [ a ,b ] - Xeùt f0(x) = f0(x)-f n(x) + fn(x)  |f0(x)-f n(x)| + |fn(x)| 1 1  max |f0(x)-fn(x)|+ max |fn(x)| x[ 0 ,1] x[ 0 ,1] a.A ={f  C [ 0,1] :  f (t )dt  1}; b.A ={f  C [ 0,1] :  f (t )dt 0 x[ 0 ,1] 2 Höôùng daãn : fn(x) = fn(x)- f 0(x) + f0(x)  |fn(x)-fo(x)| + |f0(x)| a.A ñoùng vì vôùi  {fn}  A, giaû söû fn  f0. Khi ñoù: 1  max |fn(x)-f0(x)|+ max |f0(x)| x[ 0,1] x[ 0,1] Do fn  A neân fn  C [ 0,1] vaø f (t )dt  1 0 n = d(fn,f0) +  =  +  = 3   +  = 3   < 3  3 =3 2 2 2 - Vôùi fn  C [ 0,1] cho n   ta coù f0  C [ 0,1] (1)  fn(x)
-1  min fn(x)  fn(x)= fn(x)- f0(x)+ f0(x)  |fn(x)- f0(x)|+ f0(x) - Laáy tuøy yù z  S(z0,r)  ||z - z0|| 0 x[ 0 ,1] 2 Thaät vaäy min f0x)  f0(x) = f0(x) – fn(x) + fn(x)  |fn(x) – f0(x)| + fn(x) - Do zn  x0+A neân  {yn}  A sao cho zn = x0 + yn  yn = zn – x0 x[ 0 ,1] Cho n   thì yn = zn – x0  z0 – x0  max |fn(x) – f0(x)| + fn(x) = d(fn,f0) + fn(x) Maø A ñoùn g neân vôùi {yn}  A, yn  z0 – x0 thì z0 – x0  A x[ 0 ,1] <  + fn(x)  z0  x0+A  1  1 1 1  fn(x) >  -  =  - = > =1 (voâ lyù) Baøi 8 : CMR trong khoâng gian ñònh chuaån X ta coù 2 2 2 a. S ( x 0 , r ) = S[x0,r] Baøi 6: Cho khoâng gian metric (X,d); A  X. CMR: b. S[x0,r]o = S(x0,r)   >0 thì G = {x  X: d(x,A)<  } môû Giaûi: Giaûi: a. S ( x 0 , r ) = S[x0,r] Ghi ra ñieàu caàn CM a 1. CM S ( x 0 , r )  S[x0,r] G môû  Laáy tuøy yù x  G thì CM x laø ñieåm trong cuûa G  Laáy tuøy yù x  G CM  r >0 sao cho S(x,r)  G S ( x0 , r ) laø bao ñoùng nhoû nhaát chöùa S(x0,r)  Laáy tuøy yù x  G, tìm ñöôïc r >0 sao cho laáy tuøy yù x0  S(x,r) S[x0,r] laø quaû caàu ñoùng chöùa S(x0,r) thì x0  G  S ( x0 , r )  S[x0,r] (1)  Laáy tuøy yù x  G, tìm ñöôïc r >0 sao cho laáy tuøy yù x0  S(x,r) thì d(x0,A)<  a 2. CM S[x0,r]  S ( x0 , r ) Thaät vaäy Ghi ra ñieàu caàn CM - Do x  G neân d(x,A)<   inf d(x,y) <  S[x0,r]  S ( x 0 , r )  Laáy tuøy yù x  S[x0,r]. CM x  S ( x 0 , r ) y A   y0  A: d(x, y0) <   Laáy tuøy yù x  S[x0,r]. CM x laø ñieåm dính cuûa S(x0,r) Choïn r =  -d(x, y0) > 0. CM S(x,r)  G  Laáy tuøy yù x  S[x0,r]. Tìm ñöôïc {xn}  S(x0,r) sao cho xn  x - Laáy tuøy y x0  S(x,r) neân d(x0,x) < r Thaät vaäy Xeùt d(x0,A)  d(x0,y0)  d(x0,,x) + d(x,y0) < r + d(x,y0) =  - Do x  S[x0,r] neân ||x- x0||  r Vaäy x0  G hay S(x,r)  G 1  (1- )||x- x0|| < r n Baøi 7: Cho X laø khoân g gian ñònh chuaån, A,B  X, x0  X. CMR: 1  ||(1- )(x - x0)|| < r a. Neáu B môû thì A+B môû n b. Neáu A ñoùng thì x0+A ñoùng 1 1 Giaûi:  ||(1- )x - (1- ) x0|| < r n n a. Neáu B môû thì A+B môû 1 1 Ghi ra ñieàu caàn CM  ||[(1- )x + x0] - x0|| 0 sao cho S(z0,r)  x0+B n n  Laáy tuøy yù z0  x0+B, tìm ñöôïc r >0 sao cho laáy tuøy yù z  Roõ raøng ||xn - x0|| < r (theo *) neân xn  S(x0,r) S(z0,r). CM ñöôïc z  x0+B - Cho n   thì xn  x hay x laø ñieåm dính cuûa S(x0,r) Thaät vaäy  x  S ( x 0 , r ) suy ra S[x0,r]  S ( x 0 , r ) (2) - Do z0  x0 +B neân  y0  B : z0 = x0 + y0  y0 = z0 - x0 Töø (1) vaø (2)  S ( x 0 , r ) = S[x0,r] Do B môû neân y0 laø ñieåm trong cuûa B b. S[x0,r]o = S(x0,r)   r’ >0 sao cho S(y0,r’)  B b 1. CM S(x0,r)  S[x0,r]o Choïn r = r’ > 0 khi ñoù ta coù S(y0,r)  B S[x0,r]o laø taäp môû lôùn nhaát naèm trong S[x0,r] 6
S(x0,r) laø quaû caàu môû naúm trong S[x0,r] - Giaû söû  y0  Y. Do Y  S(x0,r) neân y0  S(x0,r)  S(x0,r)  S[x0,r]o (1)  ||y0-x0|| < r b 2. CM S[x0,r]o  S(x0,r) r  || y 0  x0 || Ghi ra ñieàu caàn CM - Ñaët 1= >0 2 S[x0,r]o  S(x0,r)  Laáy tuøy yù x  S[x0,r]o . CM x  S(x0,r) r  || y 0  x 0 ||  Laáy tuøy yù x  S[x0,r]o . CM ||x- x0|| < r Xeùt ||y0-x0|| +  1 = ||y0-x0|| + 2 Thaät vaäy - Do x  S[x0,r]o neân x laø ñieåm trong cuûa S[x0,r] r  || y0  x0 || rr = < =r   r’ >0 sao cho S(x,r’)  S[x0,r] 2 2   r’ >0 sao cho (x-r’,x+r’)  [x0-r,x0+r]  ||y0-x0|| < r -  1 = r1 < r  x0  r  x  r '  x0  x  r  r ' r  || y 0  x 0 ||   Suy ra y0  S(x0, r1  S(x0,r) vôùi r1 =  x  r '  x0  r  x  x0  r  r ' 2 r1  || y 0  x0 || 0  r  r '  r - Ñaët  2 = >0  2 | x  x0 | r  r ' r  || y 0  x 0 ||  ||x-x0||
Baøi 2 :  x,y  R, ñaët d(x,y) = | ex-ey |. CMR: CHÖÔNG 3: KHOÂNG GIAN ÑAÀY & AÙNH XAÏ LIEÂN TUÏC a. (R,d) laø khoâng gian metric b. (R,d) khoâng laø khoâng gian ñaày A. Daõy cô baûn (cauchy) & khoâng gian ñaày Giaûi: 1. Daõy cô baûn a. Töï laøm Cho khoâng gian metric (X,d), daõy {xn} ñöôïc goïi laø daõy cô baû n b. (R,d) khoâng laø khoâng gian ñaày  lim d(xn,xm) = 0 Ghi ra ñieàu caàn CM n (R,d) khoâng laø khoâng gian metric ñaày   >0,  N  N : d(xn,xm) <  ,  n,m >N   {xn}  X, giaû söû {xn} cô baûn. CM {xn} khoâng hoäi tuï TC: {xn} hoäi tuï thì {xn} cô baûn.  tìm ñöôïc xn  R,  >0,  N  N, d(xn,xm)<  ,  n.m > N. 2. Khoâng gian ñaày CM {xn} khoâng hoäi tuï Khoâng gian metric (X,d) laø khoâng gian ñaày   {xn}  X, {xn} cô baûn  {xn} hoäi tuï  tìm ñöôïc xn  R,  >0,  N  N, | e xn - e xm | <  . CM {xn} TC: M ñoùng trong X ñaày  M ñaày khoâng hoäi tuï Thaäy vaäy M ñaày  M ñoùng x e xm | = | e  n - e  m | Choïn daõy xn = -n khi ñoù roù raøng | e n - B. AÙnh xaï lieân tuïc 1 1 = | n  m |  0 khi n,m   Cho 2 khoâng gian metic (X,dX) vaø (Y,dY). Xeùt aùnh xaï f: X  Y e e - f lieân tuïc taïi x0  X  xn laø daõy cô baûn nhöng xn  -  khi n     >0,  >0 sc  x  X, dX(x,x0) <  thì dY(f(x),f(x0)) <  Hay {xn} khoâng hoäi tuï - f lieân tuïc treân X  f lieân tuïc taïi moïi ñieåm treân X Laáy tuøy yù x0  X thì f lieân tuïc taïi x0 Baøi 3 : Cho khoâng gian metric (X,d) vaø A  X. CMR aùnh xa - f lieân tuïc ñeàu treân X d(x,A) lieân tuïc treân X   >0,  >0 sc  x,x’  X, dX(x,x’) <  thì dY(f(x’),f(x’)) <  Giaûi: - f laø aùn h xaï ñaúng cöï   x,x’  X : dX(x,x’) = dY(f(x’),f(x’)) Ghi ra ñieàu caàn CM d(x,A) lieân tuïc treân X C. Phöông phaùp chöùng minh aùnh xaï lieân tuïc  Laáy tuøy yù x0  X. CM d(x,A) lieân tuïc taïi x0 - CM f lieân tuïc taïi x0  X  Laáy tuøy yù x0  X,   >0,   >0 sc d(xn,x0)<  thì  Vôùi  {xn}  X, giaû söû xn  x. CM f(xn)  f(x) | d(xn,A) - d(x0,A)| <  - CM f lieân tuïc treân X Thaät vaäy   G môû (ñoùng) trong Y, CM f-1(G) môû (ñoùng) trong X Choïn  =  >0 Xeùt | d(xn,A) - d(x0,A)|  d(xn,x0) <  =  (xem baøi 2 chöông 1) D. Baøi taäp maãu Baøi 1: Cho N laø taäp caùc soá töï nhieân . Ñaët CMR: a. (N,d) laø khoâng gian metric b. (N,d) laø khoân g gian metric ñaày Giaûi: a. Töï kieåm 3 tieân ñeà b. (N,d) laø khoâng gian metric ñaày Ghi ra ñieàu caàn CM (N,d) laø khoâng gian metric ñaày  Vôùi  {xn}  X, giaû söû {xn} cô baûn. CM {xn} hoäi tuï Thaät vaäy {xn} cô baûn neân   > 0,  N  N sc d(xn,xm ) <  ,  n,m > N Choïn  =1 khi ñoù d(xn,xm ) < 1  xn = xm ,  n,m > N Ñaët xm = x0 khi ñoù  n > N ta coù xn = x0 Hay d(xn,x0,)  0 khi n   hay {xn} hoäi tuï 8
- Do zn  A +B neân  {xn}  A,{yn}  B sao cho zn = xn + yn CHÖÔNG 4: TAÄP COMPACT Vì xn  A, A compact neân  { x nk }  {xn}. x nk  x0  A Vì yn  B, B compact neân  { y nk }  {yn}. y nk  y0  B i i A. Phuû môû - Xeùt daõy z nk = x nk + y nk . Hoï { G }  I laø hoï phuû môû cuûa X i i i Theo caùch ñaët treân thì daõy { z nk }  {zn}. i Hôn nöõa z nk = xnk + y nk i  x0 +y0  A +B khi i   i i Vaäy  {zn}  A +B , tìm ñöôïc { z nk }  {zn} , i B. Taäp compact sao cho z nk  z0 = x0 +y0  A +B Cho khoâng gian metric (X,d) vaø K  X. Khi ñoù: i - K bò chaën   M >0 sao cho ||x||  M,  x  X Vaäy A +B compact - K compact   {xn}  K,  { x nk }  {xn}, x nk  x0  K c. Neáu A compact vaø B ñoùng thì A  B compact Ghi ra ñieàu caàn CM - K compact   { G } môû vaø  G chöùa K, A  B compact  { 1 ,  2 ,...,  n } sc:  G i chöùa K   {zn}  A  B,  { z nk }  {zn} sao cho z nk  z0  A  B   {zn}  A  B, tìm ñöôïc { z nk }  {zn} sc z nk  z0  A  B C. Moät soá tính chaát Thaät vaäy - K compact  K ñaày  K bò chaën - Do zn  A  B neân zn  A, zn  B - K ñoùng trong X compact  K compact Vì zn  A, A compact neân tìm ñöôïc { z nk }  {zn} z nk  z0  A (1) - Trong Rn K compact  K ñoùng vaø bò chaën - Neáu aùn h xaï f: X  Y lieân tuïc, K compact trong X thì f(K) Vì { z nk }  {zn}  B, z nk  z0 maø B ñoùng neân z0  B (2) compact trong Y Töø (1) vaø (2)  z0  A  B - Neáu aùn h xaï f lieân tuïc treân X compact thì f lieân tuïc ñeàu treân X Vaäy tìm ñöôïc { z nk }  {zn} sc z nk  z0  A  B vaø toàn taïi giaù trò min, max treân X. Neân A +B compact D. Baøi taäp maãu Baøi 2 : Cho khoâng gian metric (X,d) vaø {xn}  X, xn  x0  X CMR taäp K ={xn}  {x0} compact Baøi 1: Cho khoâng gian ñònh chuaån X; A,B  X. CMR Giaûi: a. Neáu A compact vaø B ñoùng thì A +B ñoùng Ghi ra ñieàu caàn CM b. Neáu A,B compact thì A+B compact c. Neáu A compact vaø B ñoùng thì A  B compact K compact   { G }  I môû vaø  G chöùa K, Giaûi:  { 1 ,  2 ,...,  n } sc:  G chöùa K i a. Neáu A compact vaø B ñoùng thì A +B ñoùng Thaät vaäy Ghi ra ñieàu caàn CM - Do x0  K   G neân x0   G   0  I : x0  G 0 A+B ñoùng   {zn}  A +B, giaû söû zn  z0 thì CM z0  A +B Thaät vaäy Maø G 0 môû neân x0 laø ñieåm trong cuûa G 0 (1) - Do zn  A +B neân  {xn}  A,{yn}  B sao cho zn = xn + yn   r >0, S(x0,r)  G 0  yn = zn - xn - Maët khaùc: Vì xn  A, A compact neân  { x nk }  {xn}. x nk  x0  A Do xn  x0 neân   >0,  N  N: d(xn,x0) <  ,  n >N - Xeùt daõy { y nk }  B : y nk = z nk - x nk  z0 - x0 maø B ñoùng Choïn  =r ta coù d(xn,x0) < r,  n >N  z0 - x0  B  z0  x0 +B  A +B hay z0  A +B  xn  S(x0,r),  n >N (2) Vaäy A +B ñoùng Töø (1) vaø (2)  xn  G 0 ,  n >N b. Neáu A,B compact thì A+B compact Vaäy ñaët: G1 chöùa x1, G 2 chöùa x2 … G N chöùa xN Ghi ra ñieàu caàn CM G 0 chöùa caùc xi coøn laïi A+B compact   {zn}  A +B,  { z nk }  {zn} sao cho z nk  z0  A +B Roõ raøng  G chöùa K neân K compact i   {zn}  A +B, tìm ñöôïc { z nk }  {zn} sc z nk  z0  A +B Baøi 3 : Cho f: X  Y laø aùnh xaï lieân tuïc treân moïi taäp compact Thaät vaäy cuûa X. CM f laø aùnh xaï lieân tuïc. 9
Giaûi: Cho n   hi ñoù ta coù x02  y 02  | z 0 |  3 Ghi ra ñieàu caàn CM  u0 =(x0,y0,z0)  K. Vaäy K ñoùng f laø aùnh xaï lieân tuïc treân X  laáy tuøy yù x0  X thì f lieân tuïc taïi x0 b. K compact  Vôùi  {xn}  X, giaû söû xn  x0. CM f(xn)  f(x0) 1 2 1 1 27 Thaät vaäy Do: x2+y2+z2+x+y+z  6  (x+ ) +(y+ )2+(z+ )2  2 2 2 4 Theo baøi 2 ta coù taäp K ={xn}  {x0} compact - Do f laø aùnh xaï lieân tuïc treân moïi taäp conpact cuûa X 1 1 1 3 3  K =S[(- ,- ,- ), ] quaû caàu ñoùng, bò chaën  f lieân tuïc treân K hay f lieân tuïc taïi moïi ñieåm treân K 2 2 2 2  f lieân tuïc taïi x0 c. K compact Laøm nhö caâu a vôùi löu yù: Baøi 4: Cho khoâng gian metric (X,d). {Kn} laø daõy caùc taäp x  y  z  5   ( x  2)  ( y  3)  ( z  4)  14 compact khaùc roãng vôùi Kn  Kn-1  …  K2  K1. CMR:  x  2; y  3; z  4  x  2  0; y  3  0; z  4  0  d. K khoâng compact K n   . Hôn nöõa neáu diam K  0 khi n   thì CM K khoâng ñoùng n 1  un =(xn,yn,zn)  K, un  u0 =(x0,y0,z0). CM u0  K  1 Choïn un =(0,0,5- )  K, un  u0 =(0,0,5)  K K n laø duy nhaát n n 1 Giaûi: e. K khoâng compact - Xeùt daõy {xn}  K1. CM K khoâng bò chaën Vì K1 compact neân  { x nk }  {xn}, x nk  x0  K1  M >0,  un =(xn,yn,zn)  K : ||un|| >M hay ||un||   Choïn un =(0,0,-n) K ta coù ||un||=n   Töông töï nhö vaäy ta thaáy vôùi moãi N  N ta ñeàu choïn ñöôïc n k  N f. K khoâng compact Sao cho { x nk }  Kn , x nk  x0  Kn CM K khoâng bò chaën    M >0,  un =(xn,yn,zn)  K : ||un|| >M hay ||un||    x0   K n hay K n  1 2 1 n 1 n 1 Choïn un =(n, )  K ta coù ||un||= n  2    n n - Giaû söû  y0  K n ta CM y0 = x0 Baøi 6 : Cho X laø khoâng gian metric compact vaø f: X  X laø n 1 Ta coù: 0  d(x0, y0)  d(x0, xn) +d(xn, y0) , xn  Kn aùnh xaï ñaúng cöï. CM f laø pheùp ñaúng cöï leân .  diam Kn +diam Kn = 2diam Kn  0 Giaûi:  d(x0, y0) = 0 hay y0 = x0 Ghi ra ñieàu caàn CM f laø pheùp ñaúng cöï leân  f lieân tuïc vaø f song aùnh Baøi 5: Taäp naøo trong caùc taäp sau ñaây compact - CM f lieân tuïc a. K ={(x,y,z): x2+y2+|z|  3}; b. K ={(x,y,z}: x2+y2+z2+x+y+z  6}  Laáy tuøy yù x0  X. CM f lieân tuïc taïi x0 c. K ={(x,y,z): x+y+z  5, x  -2, y  -3, z  -4}   {xn}  X, giaû söû xn  x0 thì f(xn)  f(x0) d. K ={(x,y,z): x+y+z 0  3  3  9 = 15 Ñaët x1=f(x0), x2=f(x1),….xn+1=f(xn) khi ñoù ta ñöôïc daõy {xn}  X Vaäy  M = 15 >0 : ||u||  M neân K bò chaën Xeùt d(xn,xn+p)=d(f(xn-1), f(xn+p-1))=d(xn-1,xn+p-1)=….. CM K ñoùng …=d(x0,xp)=d(x0,f(xp-1)) > d(x0,f(X)) >0 Vôùi  un =(xn,yn,zn)  K , giaû söû un  u0 =(x0,y0,z0). CM u0  K  {xn} khoâng cô baûn neân moïi daõy con khoâng hoäi tuï. Voâ lyù vì X Thaät vaäy compact 2 2 Vaäy x0  f(X) hay f(X)=X - Do un =(xn,yn,zn)  K neân x n  y n  | z n |  3 10
Baøi 3 : Cho X laø khoâng gian compact vaø aùnh xaï f: X  X. CMR CHÖÔNG 5: ÑÒNH LYÙ ÑIEÅM BAÄT ÑOÄNG Neáu d(f(x),f(y))
1 1 t2 t2 t2 1 1 | Ax(t1)-Ax(t2)| =|  sin(t1  x( s ))ds -  sin(t 2  x( s ))ds | =| x ( s) sin( s) ds |  | x ( s ) | ds     max | x(s) | ds 20 20 t1 t1 t1 s[ 0,1] 1 1 = ||x||.| t1 - t2 |   | sin(t1  x( s))  sin(t 2  x( s )) | ds  20 Nhö vaäy vôùi  >0,   >0 sao cho | t 1 - t 2 | <  1 || x || 1  | t1  x( s ))  t 2  x( s ) | ds  2 0  | Ax(t1)-Ax(t2)| 0,   2 >0 sao cho | t 1 - t 2 | <  Xeùt vôùi  x,y  C[ 0,1] , t  [0,1] khi ñoù 1 1 t t  | Ax(t1)-Ax(t2)| < | t1 - t2 | = 2 =  2 2 | Ax(t)-Ay(t)| = | x ( s ) sin( s )ds -   y (s ) sin( s )ds | 0 0 Vaäy Ax lieân tuïc ñeàu treân [0,1] hay Ax  C[ 0,1] t t - CM Ax laø aùnh xaï co = | [ x ( s)  y ( s )] sin(s) ds |  | x ( s)  y ( s ) | ds Xeùt vôùi  x,y  C[ 0 ,1] , t  [0,1] khi ñoù  0  0 1 1 t 1 1   max | x( s )  y ( s ) | ds =t. d(x,y) (*) | Ax(t)-Ay(t)| = |  sin(t  x( s)) ds -  sin(t  y ( s ))ds | s[ 0,1] 20 20 0 1 t t 1 2 2   | sin( t  x ( s )  sin( t  y ( s ) | ds 20 | Ax (t)-Ay (t)| = |  Ax(s) sin(s)ds -  Ay(s) sin(s)ds | 0 0 t t 1 1 1 1 t2   | x( s )  y( s ) | ds   max | x( s)  y ( s) | ds   | Ax( s)  Ay( s ) | ds   s.d ( x, y )ds = d(x,y) 20 2 0 s[ 0 ,1] 0 0 2 1 1 1 1 = d ( x, y )ds = d(x,y)  d(x,y) 20 2 2 1 1 1     [0,1] : d(Ax2,Ay2)   d(x,y)  | Ax(t)-Ay(t)|  d(x,y)  max | Ax(t)-Ay(t)|  d(x,y) 2 2 t[ 0 ,1] 2 Vaäy Ax2 laø aùnh xaï co  toàn taïi x0 sao cho Ax0=x0. Vaäy phöông 1 trình coù nghieäm trong C[ 0,1] (theo tc baøi 1)  d(Ax,Ay)  d(x,y) 2 t 1     [0,1] : d(Ax,Ay)   d(x,y) d. Ax(t)=  x(s) cos(ts)ds trong C[ 0,1] 2 0 Vaäy Ax laø aùn h xaï co. Theo nguyeân lyù aùnh xaï co thì toàn taïi x0 sao Laøm töông töï caâu c vôùi löu yù: t1 t2 cho Ax0=x0. Vaäy phöông trình coù nghieäm trong C[ 0 ,1] | Ax(t1)-Ax(t2)| = | x ( s ) cos(t1 s )ds - x ( s) cos(t 2 s) ds |   b. Laøm nhö caâu a 0 0 t t1 t2 c. Ax(t)= x ( s ) sin( s )ds trong C[ 0,1]  = | x ( s )[cos(t1 s )  cos(t 2 s )]ds - x ( s) cos(t 2 s) ds | 0  0  t1 - C[ 0,1] ñaày t1 t2 - CM toàn taïi aùnh xaï A: C[ 0,1]  C[ 0,1]   | x( s) | . | cos(t1 s )  cos(t 2 s) | ds +  | x( s) | cos(t 2 s )ds 0 t1  CM Ax  C[ 0,1] ,  x  C[ 0 ,1] t1 t2  Ax lieân tuïc treân [0,1]   max | x( s ) | . | t1  t 2 | s.ds +  max | x( s) | ds s[ 0,1] s[ 0 ,1] Thaät vaäy 0 t1 Xeùt vôùi  0  t1,t2  1 khi ñoù: t12 3 t1 t2 = ||x||.| t1 - t2 |. + ||x||.| t1 - t2 |  ||x||.| t1 - t2 | 2 2 | Ax(t1)-Ax(t2)| =| x ( s ) sin(s )ds - x ( s) sin( s) ds |   12 0 0
t Giaûi:  x2 ( s ) e. Ax(t)= e  ds trong C[ 0 ,1] Tích phaân 2 veá cuûa phöông trình ta coù: 0   Laøm töông töï caâu c vôùi löu yù: t1 t2  x' (t )dt   (1  x(t ) cos t )dt 0 0  x2 ( s ) x 2 (s) | Ax(t1)-Ax(t2)| = | e  ds - e ds |  0 0  x(  ) - x(0) =  +  x(t ) cos t.dt t2 t2 0 x2 (s) 2 =| e  ds |   | e  x ( s) | ds  | t1 - t2 |  t1 t1  x(  ) =  +  x(t ) cos t.dt 0 t t t x2 (s)  y 2 (s) Vaø | Ax(t)-Ay(t)| =| e  ds - e ds | Ñaët Ax(t) = t +  x(s) cos s.ds 0 0 0 t t CM Ax lieân tuïc: Laøm töông töï caâu c baøi 4  x2 (s) 2 2 2 =| e  ey ( s) ds |   | e  x ( s)  ey ( s) | ds Tìm  ñeå Ax laø aùnh xaï co 0 0 Xeùt vôùi  x,y  C[ 0, ] , t  [0,  ] khi ñoù t t t t   | x(s)  y (s) | ds   max | x(s)  y (s) | ds 0 0 s[ 0,1] | Ax(t)-Ay(t)| = | t +  x(s) cos s.ds - t -  y (s) cos s.ds | 0 0 =t. d(x,y) t t =| [ x ( s)  y ( s )] cos s.ds |  | x( s)  y ( s ) | .ds   Baøi 5: Cho f: [0,r]  [0,r] xaùc ñònh bôûi f(x)=x2. Tìm r ñeå f laø 0 0 aùnh xaï co t Giaûi:   max | x( s )  y ( s ) | .ds =t.d(x,y)   . d(x,y) Roõ raøng [0,r] ñaày vaø aùnh xaï xaùc ñònh bôûi f(x)=x2 laø aùn h xaï lieân 0 s[ 0,1] tuïc treân [0,r] Vaäy vôùi   (0,1) thì Ax laø aùnh xaï co. Khi ñoù theo nguyeân lyù aùnh Xeùt  x,y  [0,r] khi ñoù xaï co  !x0  C[ 0, ] ñeå Ax0=x0 |f(x)-f(y)| = |x2-y2|=|x+y|.|x-y|  (|x|+|y|).d(x,y)  2r. d(x,y) 1 Ñeå f laø aùn h xaï co  2r (0,1)  r  (0, ) 2 Baøi 6: Cho f: [a,b]  [a,b] khaû vi treân [a,b]. CMR f laø aùnh xaï co khi vaø chæ khi  K 0 sao cho |f(x)-f(y)|  K |x-y| f ( x)  f ( y ) f ( x)  f ( y ) | |  K  | lim | K x y y  x x y  | f ' ( x) |  K CM nghòch: Do f khaû vi treân [a,b] neân aùp duïng ñònh lyù lagrange f ( x)  f ( y)  c’  (a,b) sao cho  f ' (c)  K x y f ( x)  f ( y ) | |  K  | f(x)- f(y) |  K.|x-y| x y  d(f(x),f(y))  K.dx,y) Vaäy f laø aùnh xaï co  x' (t )  1  x(t ) cos t Baøi 7: CMR   >0 sao cho   x(0)  0 Coù nghieäm duy nhaát treân C[ 0, ] 13
Roõ raøng x0(t)  C[ 0,1] (haøm haèng) CHÖÔNG 6: TOAÙN TÖÛ TUYEÁN TÍNH LIEÂN TUÏC ||x0|| = max |x0(t)| = max |1| = 1 t[ 0 ,1] t[ 0,1] A. Toaùn töû tuyeán tính || Ax ||  ||A|| = sup = sup || Ax || Cho X, Y laø khoân g gian tuyeán tính. A: X  Y laø toaùn töû tuyeán tính x 0 || x || xX || x|| 1 neáu :  x,y  A,   ,   K ta coù:  ||Ax0|| = max |x0(t2)| = 1 (2) A(  x+  y)=  Ax +  Ay t[ 0 ,1] Töø (1) vaø (2)  ||A|| = 1 B. Tính lieân tuïc vaø bò chaën b. Laøm nhö caâu a Cho X, Y laø khoân g gian ñònh chuaån . A: X  Y laø toaùn töû tuyeán c. A: C[ 0,1]  C[ 0,1] , Ax(t)=  (t)x(t), vôùi  (t)  C[0,1] tính khi ñoù: Laøm nhö caâu a vôùi löu yù - A lieân tuïc taïi x0  {xn}  A, xn  x0 thì Axn  Ax0 ||Ax|| = max |Ax(t)| = max |  (t)x(t)|  ||  ||.||x|| - A lieân tuïc treân X  A lieân tuïc taïi moïi ñieåm treân X t[ 0 ,1] t[ 0,1] - A bò chaën   M >0: ||Ax||Y  M.||x||X Vaäy toàn taïi M = ||  ||  A lieân tuïc vaø ||A||  ||  || TC: A lieân tuïc  A bò chaën Tìm chuaån A baèng caùch ñaët x0(t)= 1, t  [0,1] khi ñoù ||A||  ||Ax0|| = max |  (t)x0 (t)| = max |  (t)| =||  || t[ 0 ,1] t[ 0 ,1] C. Khoâng gian L(X,Y) d. Laøm nhö caâu a Cho X, Y laø khoân g gian ñònh chuaån . L(X,Y)={ A: X  Y laø toaùn töû tuyeán tính lieân tuïc} Baøi 2 : CM caù c phieám haøm sau tuyeán tính lieân tuïc vaø tìm Vôùi pheùp coäng: (A +B)x =Ax +Bx Pheùp nhaân : (  A)x=  AX chuaån cuûa chuùng Khi ñoù:   L(X,Y) ta coù: a. Ax(t) = x(1)-x(-1) , x  C[ 0,1] || Ax || 1 ||A|| = sup = sup || Ax ||  ||Ax0|| vôùi ||x0||=1 b. Ax(t) = tx (t )dt , , x  C[ 0,1] x 0 || x || xX  0 || x|| 1 TC: 1.Neáu ||Ax||  M.||x|| ,  x  X thì ||A||  M Giaûi: 2.||Ax||  ||A||.||x|| a. Laøm nhö caâu a baøi 1 vôùi löu yù ||Ax|| = |Ax(t)| =| x(1)-x(-1)| D. Baøi taäp maãu  max |x(1) + max |x(-1)| = ||x|| + ||x|| = 2||x|| t[ 0 ,1] t[ 0 ,1] Ñaët x0 (t) = t , t  [0,1] Baøi 1: CM caù c toaùn töû sau laø tuyeán tính lieân tuïc vaø tính chuaån ||A||  ||Ax0|| = max | x(1)-x(-1)| = max 2 = 2 cuûa chuùng t[ 0 ,1] t[ 0 ,1] a. A: C[ 0,1]  C[ 0 ,1] , Ax(t)=x(t2) 1 b. A: C[ 0,1]  C[ 0 ,1] , Ax(t)=t2x(0) b. Ax(t) =  tx(t )dt 0 c. A: C[ 0,1]  C[ 0 ,1] , Ax(t)=  (t)x(t), vôùi  (t)  C[ 0 ,1] CM A laø toaùn töû tuyeán tính Xeùt  x,y  A,   ,   K ta coù: d. A: C[ 0,1]  C[ 0 ,1] , Ax(t)=x(t) 1 1 Giaûi: A(  x+  y) =  t (x  y)(t )dt =  tx(t )  ty (t )dt a. C[ 0,1]  C[ 0 ,1] , Ax(t)=x(t2) 0 0 1 1 CM A laø toaùn töû tuyeán tính =  tx (t )   ty (t ) dt =  Ax +  Ay Xeùt  x,y  A,   ,   K ta coù:  0  0 A(  x+  y) = (  x+  y)(t 2) =  x(t2) +  y(t2) =  Ax +  Ay CM A lieân tuïc  A bò chaën CM A lieân tuïc  A bò chaën   M>0: ||Ax||  M.||x||   M>0: ||Ax||  M.||x|| Thaät vaäy: 1 1 1 Thaät vaäy: ||Ax||= max |Ax(t)| = max |x(t2)|  max |x(u)| =||x|| ||Ax|| =| tx(t ) dt |  t | x(t ) | dt  t max | x(t ) | dt t[ 0,1] t[ 0 ,1] u[ 0 ,1] 0  0  0 t[ 0 ,1] (1) Vaäy toàn taïi M =1  A bò chaën  A lieân tuïc vaø ||A||  1 Tìm chuaån cuûa A 1 t2 1 =||x|| tdt = ||x||  ||x|| Ñaët x0(t) = 1 , t  [0,1]  0 2 2 14
1 1 (1)   n  N,  {x n}  X sao cho ||f(x n)|| > n||x n|| Vaäy  M =  A bò chaën  A lieân tuïc vaø ||A||  2 2   n  N,  {x n}  X, ||x n||=1 sao cho ||f(x n)|| > n Tìm chuaån cuûa A Choïn n =N ta coù ||x N||=1 sao cho ||f(x N)|| > N Ñaët x0(t) = 1 , t  [0,1] yx N yx N | y| Ñaët x=  ||x|| = || || = < r neân x  S(0,r) Roõ raøng x0(t)  C[ 0,1] (haøm haèn g) f (xN ) f (xN ) N ||x0|| = max |x0(t)| = max |1| = 1 yx N t[ 0 ,1] t[ 0 ,1] Xeùt f(x)=f( )=y || Ax || f (xN )  ||A|| = sup = sup || Ax || Vaäy  x  S(0,r) sao cho y =f(x) hay R  f(S(0,r)) (2) x 0 || x || xX || x|| 1 Töø (1) vaø (2)  f(S(0,r))=R 1 1 1 (2)  ||Ax0|| = |  tx 0 (t ) dt | =|  tdt | = Baøi 5 : Bao tuyeán tính cuûa taäp M 0 0 2 m Töø (1) vaø (2)  ||A|| = 1 L(M) = {  x i 1 i ni , x ni  M } khoâng gian tuyeán tính nhoû nhaát 2 chöùa M Cho X, Y laø khoân g gian ñònh chuaån. A,B: X  Ylaø toaùn töû tuyeán Baøi 3: Cho X,Y laø khoâng gian ñònh chuaån, A: X  Y laø toaùn töû tuyeán tính. CMR {xn}  X, xn  0 ñeàu coù {Axn} bò chaën trong Y thì tính lieân tuïc vaø M  X sao cho L(M ) =X A lieân tuïc CMR: Neáu Ax=Bx,  x  M thì Ax=Bx  x  X Giaûi: Giaûi: Ghi ra ñieàu caàn CM - CM Ax=Bx,  x  L(M) m m m A lieân tuïc  A bò chaën   M >0 : ||Ax||  M.||x||,  x  X Phaûn chöùng: giaû söû A khoâng lieân tuïc . Ta tìm moät ñieàu voâ lyù Ax = A   i xni = i 1  A i x ni =   i Axni , x ni  M i 1 i 1   {xn}  X,  n  N thì ||Axn|| >n||xn||. Ta tìm moät ñieàu voâ lyù m m m Thaät vaäy =   Bx =  B x i 1 i ni i 1 i ni =B  x i 1 i ni =Bx xn - Do ||Axn|| >n||xn||  ||A( )|| > n - CM Ax=Bx,  x  L (M ) n || xn || Do x  L(M ) neân x laø ñieåm dính cuûa L(M) xn Ñaët x’n= khi ñoù   {xn}  L(M) sao cho xn  x n || xn ||  L(M) neân ta coù Axn=Bxn Do xn xn 1  lim Axn = lim Bxn  Ax=Bx,  x  L(M ) ||x’n|| = || || =  0 neân {x’n} hoäi tuï veà 0. n n n || xn || n xn ||Ax’n||= ||A( )|| > n   neân {Ax’n} khoâng bò chaën Baøi 6: Cho x laø khoâng gian ñònh chuaån thöïc vaø f laø phieám n || xn || haøm xaùc ñònh treân X. CMR: f lieân tuïc  A ={x X: f(x)  1 } Voâ lyù vì baøi cho neáu x’n  0 ñeàu coù {Ax’n} bò chaën ñoùng trong X. Vaäy A lieân tuïc Giaûi: CM thuaän : Cho f lieân tuïc. CM A ñoùng Baøi 4: Giaû söû f laø phieám haøm tuyeán tính khoâng lieân tuïc treân Vì [1,+  ) ñoùng, f lieân tuïc neân f-1[1,+  )=A ñoùng khoâng gian ñònh chuaån thöïc X. CMR:  r>0 thì f(S(0,r))=R CM nghòch: Cho A ñoùng. CM f lieân tuïc Giaûi:  Cho A ñoùng. CM f bò chaën Hieån nhieân f(S(0,r)  R (1) Phaûn chöùng: Cho A ñoùng. G.söû f khoâng bò chaën . Tìm ñieàu voâ lyù Caàn CM R  f(S(0,r)) Thaät vaäy Ghi ra ñieàu caàn CM - Do f khoâng bò chaën   n  N,  {xn}  X: ||f(xn)|| > n.||xn|| R  f(S(0,r))  laáy tuøy yù y  R. CM y  f(S(0,r))   n  N,  {xn}  X, ||xn|| =1: ||f(xn)|| > n   x  S(0,r) sao cho y =f(x) xn x || x || 1 Ñaët x’n=  || x’n || =|| n ||= n =  0 Thaät vaäy n n n n | y| x f (xn ) n - Do y  R neân  N  N sao cho =1 neân x’n  A, maø A ñoùng neân x’n  0 N n n n - Do f khoâng lieân tuïc neân f khoâng bò chaën  A (voâ lyù vì f(0)
Ñeà thi naêm 2011 (ñôït 1) MOÄT SOÁ ÑEÀ THI TUYEÅN SINH CAO HOÏC CAÀN THÔ Caâu 4 : Cho khoâng gian metric(X,d) vaø A  X. TÖØ NAÊM 2006 ÑEÁN 2012 CMR neáu A compact thì toàn taïi a,b  A sao cho diamA =d(a,b) Caâu 5 : CMR A = {f  C[ 0,1] : max f(x)  1} laø taäp ñoùng x[ 0 ,1] Ñeà thi naêm 2006 Caâu 6 : Cho toaùn töû A: C[ 0 ,1]  C[ 0,1] xaùc ñònh bôûi Caâu 5 : CMR taäp hôïp A môû trong C[ 0,3] vôùi 2 Ax(t) = x(t) – x(1-t) vôùi x  C[ 0,1] A ={f  C[ 0,3] :|f(x)| 0 ñeå 8 Ñeà thì naêm 2012 (ñôït 1) phöông trình Tx=x coù nghieäm trong KM vôùi Caâu 5 : Cho caùc khoâng gian Metric (X,d); (Y,p) vaø f:X  Y. t Treân XxY ta xeùt metric: Tx(t) =  +  x 2 ( s )ds , 0  t  2 vaø KM = {x  C[ 0,1] : ||x||  M } d * ((x,y),(x’,y’))=d(x,x’)+p(y,y’) vôùi (x,y),(x’,y’)  XxY 0 vaø xeùt taäp G={(x,f(x):x  X)} 1 Baøi 7: CMR aùnh xaï Tf = [(f(1)+f(0)] laø aùn h xaï tuyeán tính a. Giaû söû f lieân tuïc. CM G laø taäp ñoùng 3 b. Giaû söû G ñoùng, Y compact. CM f lieân tuïc lieân tuïc treân . Tìm chuaån cuûa noù caâu 6 : CM K={(x,y,z)  R : x+y+z  ; x  -1; y  -2; z  -3} laø 3 Ñeà thi naêm 2008 taäp com pact Caâu 5 : Cho X laø moät khoâng gian metric vôùi khoaûn g caùch d. caâu 7 : Cho toaùn töû A: C[ 0,1]  C[ 0,1] xaùc ñònh bôûi A,B  X, x  X. CMR: a. d(x,A)=d(x, A ) b. d(A,B)=d( A , B ) Ax(t )  2 t x(t ) . CM A laø toaùn töû tuyeán tính lieân tuïc vaø tìm Caâu 6 : CMR phöông trình sau coù nghieäm x  C[ 0, ] chuaån cuûa A 1 sin(t  s )  x 2 ( s ) Höôùng daãn: x(t) =  e ds t  s Caäu 5 (2006): 0 Caâu 6 (2006): tích phaân 2 veá töø 0 tôøi t ta coù: Ñeà thi naêm 2009 t Caâu 5 : CMR phieám haøm sau tuyeán tính lieân tuïc treân C[1,1] 2 f(t)=2t2 +3t +1 + cos( f (t )) dt , t  [0,k] 0 1  0 Tf =  f (t ) dt -  f (t ) dt ,  f  C[1,1] . Tìm chuaån cuûa T Caâu 5 (2007): A ñoùng, laøm nhö baøi 5 chöông 2 1 0 Caâu 6 (2007): t t t 1 [ t  f ( s )] 2 Caâu 6 : CMR phöông trình f(t) = e ds coù nghieäm 2  +  max | x( s) | 2 ds 2 0 |Tx(t)| = |  + x ( s )ds |   s[ 0, 2 ] 0 0 duy nhaát f  C[ 0,1] =  +||x||2t   +2||x||2   +2M2 Ñeà thi naêm 2010 1  1  8 Caâu 5 : CMR taäp hôïp B ={ f  C[ 0,1] : 6< min f(x)  10 } khoâng Ñaët M = >0  |Tx(t)|   +2M2 x[ 0 ,1] 4 môû khoâng ñoùng trong C[ 0,1] 1  1  8 2   +2( ) =M 1 4 Caâu 6 : CMR phöông trình y’=x + cos(xy(x)); y(0)=0 coù 2 CM ñöôïc d(Tx,Ty)   d(x,y) Vôùi 0   = 1  1  8  1 nghieäm duy nhaát y  C[ 0 ,1] Caâu 6 (2008): 16
Caâu 5 (2009): ||Tf||  2||f|| neân T lieân tuïc vaø ||T||  2 Ñaët f0(t)=2t-1, t  [-1,1] ta CM ñöôïc ||T||  2  u3 3 4 Caâu 6 (2009): Söû duïng BÑT: | e  e v |  3 3 | u - v| 9e 2 1 Baøi 5 (2010) B khoâng ñoùng vì  fn=6+  B nhöng fn  6  B n B khoâng môû vì toàn taïi r=10 dso cho s(x,10>  C[ 0,1] \B   Caâu 6 (2011 ñôït 2) ||Ax||  2||f|| neân A lieân tuïc vaø ||A||  2  1 Ñaët f0(t)=   3 ;0  t  1 , t  [0,1] ta CM ñöôïc ||A||  2  t 1; t  0 Caâu 5 (2012 ñôït 1) a. CM G laø taäp ñoùng Ghi ra ñieàu caàn CM G ñoùng   {( x n , f ( x n )}  G giaû söû cho ( x n , f ( x n )  ( x 0 , y 0 ) khi n Ta CM ( x 0 , y 0 )  G hay CM y 0  f ( x 0 ) Thaät vaäy - Do ( x n , f ( x n )  ( x 0 , y 0 ) khi n   neân ta coù: xn  x0 vaø f ( xn )  y 0 (1) Vì f lieân tuïc neân f lieân tuïc taïi x 0  Neáu xn  x0 khi n   thì f ( xn )  f ( x0 ) (2) Maø giôùi haïn laø duy nhaát neân töø (1), (2) ta coù f ( x 0 )  y 0 b. Giaû söû G ñoùng, Y compact. CM f lieân tuïc Ghi ra ñieàu caàn CM f lieân tuïc  Laáy tuøy yù x 0  X thì f lieân tuïc taïi x0     0 ,   0 , {xn }  X , giaû söû cho d ( xn , x0 )   thì ta CM p ( f ( x n ), f ( x 0 ))   Thaät vaäy - Do G môû neân {x n , f ( x n )}  G ; thì ( x n , f ( x n ))  ( x 0 , f ( x 0 ))  G , x 0  X - Do Y compact neân  {yn }  Y , {ynk }  {yn }: ynk  y0 Y    0 : d * (( x n , f ( xn )), ( x0 , f ( x0 ))   Choïn  =   d * (( x n , f ( x n )), ( x 0 , f ( x 0 )) >0 - Ta coù d ( x n , x 0 )    d ( xn , x0 )    d * (( xn , f ( xn )), ( x0 , f ( x0 )  d ( xn , x0 )    d ( x n , x0 )  p ( f ( x n ), f ( x0 ))  p ( f ( xn ), f ( x0 ))    2d ( xn , x0 )   17