bài giảng sức bền vật liệu, chương 2

Chia sẻ: Minh Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

214
lượt xem 49
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Muốn xác định phương chính và ứng suất chính, thì theo định nghĩa ta phải tìm mặt nghiêng nào có ứng suất tiếp bằng không (tức là mặt cắt không có ứng suất tiếp). Mặt cắt nghiêng là mặt chính khi uv = 0. (36) Gọi 0 là góc nghiêng của phương chính với trục x, từ (36) và (3-3), Vậy luôn luôn có hai phương chính thẳng góc nhau. Lần lượt thay 01, 02 vào (3-2) ta sẽ được các ứng suất chính...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: bài giảng sức bền vật liệu, chương 2

Chương 2: Phương chính và ứng suất chính. Muốn xác định phương chính và ứng suất chính, thì theo định nghĩa ta phải tìm mặt nghiêng nào có ứng suất tiếp bằng không (tức là mặt cắt không có ứng suất tiếp). Mặt cắt nghiêng () là mặt chính khi uv = 0. (3- 6) Gọi 0 là góc nghiêng của phương chính với trục x, từ (3- 6) và (3-3), ta có:   sin y  uv  2 0  cos 2 0 (3-7) x 2 xy  0 2  tg2 0   xy    x y 2 xy   Đặt tg     0  k , k z  x 2 2 y       2 Ha 01      y 02 2 2 Như vậy từ (3-7) luôn luôn tìm được hai giá trị của 0 là 01 nha và  02 chênh lệch u
2 . Vậy luôn luôn có hai phương chính thẳng góc nhau. Lần lượt thay 01, 02 vào (3-2) ta sẽ được các ứng suất chính cần tìm. Những ứng suất chính còn là những ứng suất cực trị, nghĩa là ứng suất trên mặt chính sẽ có giá trị cực trị. Rõ ràng đạo hàm bậc nhất của giá trị ứng suất pháp bằng 0 cũng đồng nghĩa với ứng suất tiếp ở mặt đó triệt tiêu.  d x Thực  sin 2 2 xy cos 2 u y vậy 2  2 uv d 2 d uv = 0 , cũng có nghĩa u là  0 d Như vậy, khi cos 2 cos 2 c sin 2 c1 sin 2 c 2 , suy từ (3-7) thay c1 , 2, và với sự   biến đổi cos 2 tg2 và sin 2  1 , ta có được hai giá trị   1  tg 2  1  tg 2 ứng suất 2 2 chính ở hai mặt chính vuông góc với nhau và thường trong trạng thái ứng suất phẳng, ta ký hiệu các ứng suất chính là max, min.   Ta có   x y  (  2 xy (3-8) 1 )  : max/ 2 2 x y 4 2 min dấu + ứng với max, dấu ứng với min. 3.2.3. Vòng tròn ứng suất (vòng Mohr) Chúng ta để ý đến hai biểu thức (3-2) và (3-3) thì thấy rằng: u và uv đều là hàm của góc nghiêng . Do đó giữa chúng chắc sẽ có một mối liên hệ nào đó. Thật vậy từ (3-2) và (3-3) ta được:    u  x     y cos 2 sin 2 y  x 2 x 2 y   y sin    x   2 cos 2 uv 2 xy
Bình phương cả 2 vế của hai phương trình này, sau đó cộng các vế lại ta sẽ được:   x  2 2  x  y  2   u y   co2  xy sin 2   uv   2  2 2   sin 2 cos 2 y    x 2    x Sau khi thu gọn ta  y được:   2 2 x   2 x y 2 y     uv   2 xy u (3-9)  2  Trong hình học giải tích ta đã biết phương trình chính tắc của đường tròn bán kính R: (x-a)2 + (y-b)2 = R2; (a,b) tọa độ tâm vòng tròn đó. Nếu lập hệ trục mà trục hoành là u và trục tung uv thì (3- 9) chính là phương trình của một vòng tròn trong đó: u, uv - Tọa độ của những điểm trên vòng tròn.
 x   y- Tọa độ của tâm vòng tròn. ,0 2    x  y 2 2   - Bán kính của vòng tròn.  xy 2  Ta có thể kết luận: Sự liên hệ giữa ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt bất kỳ có thể biểu diễn bằng một vòng tròn là vòng tròn ứng suất (hay vòng Mohr). Cách dựng vòng Mohr như sau: Xét một phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng, trong đó phương Oz là một phương chính không có ứng suất, còn hai phương Ox, Oy là bất kỳ và giả sử đã biết các ứng suất x, y, xy = -yx , với giả thiết x > y > 0; xy> 0. Ta lập hệ trục tọa độ (theo một tỉ lệ nhất định ,vị dụ 1cm ứng với 1KN/cm2). * Trục hoành song song với Ox, biểu diễn ứng suất pháp. * Trục tung song song với Oy, biểu diễn ứng suất tiếp. y y uv yx D xy    x x x y xy O A C B u x yx  y   x y y 2 x Hình Hình 3.9: Vẽ 3.8:Phân tố ứng suất vòng tròn phẳng Mohr Xác định tâm C của vòng Mohr: Trên trục hoành lấy các đoạn OA   y ; OB   x . Điểm chính giữa C của AB chính là tâm vòng Mohr, vì:
 OC  OA  OB  y  x 2 2 * Tìm bán kính vòng Mohr: Ứng với điểm A ta lấy D có AD  nằm về phía dương của  xy trục tung tung độ (vì giả thuyết xy> 0). CD chính là bán kính của vòng Mohr, vì: 2   y  2 CD 2  AC 2 =  x 2  xy   AD 2  Với tâm C và bán kính CD ta lập được vòng Mohr. D (y, xy ): Gọi là điểm cực của của vòng Mohr có tâm C và bán kính CD.Ta hoàn toàn có thể vẽ vòng tròn Mohr ứng suất (hình 3.9).
Chúng ta chú ý đến điểm Mo (x, xy), hình 3.11, tức là tọa độ của nó thể hiện ứng xuất pháp x, ứng suất tiếp xy trên mặt chuẩn có pháp tuyến x, nên điểm Mo gọi là điểm gốc của vòng tròn ứng suất, MO cũng là bán kính của vòng Mohr. Bây giờ ta hãy chứng minh tính chất sau: - Nếu lấy một điểm M thuộc vòng Mohr và kí hiệu góc giữa các bán kính CM và CMo là 2, thì tọa độ điểm M đó sẽ là u, uv trên mặt cắt có pháp tuyến u xiên góc  với trục x (xem hình 3.11).  uv  y  y  M  yx  D   xy u u M    xy x  O uv xy 2 xy  x O A CT B u O x  yx y  y Hình 3.10: Ứng suất trên  mặt cắt xiên x Hình 3.11: Cách dựng vòng tròn ứng suất Theo hình ta tính OT  OC CT  OC CM cos(  2) được: = OC  CM cos . cos 2 CM sin .sin 2   Vì CM cos    cos   CB  x y CM 0 2 Và CM sin   CM 0 sin   BM 0   xy   x OT  x  cos 2  xy sin 2 y y 2 2
So sánh với (3-2) OT   u = TM   uv > Tương tự Nối DM => = => DM // u MDM 0 * Chú ý: a) Khi biểu diễn các giá trị x, y, xy trong hệ trục (, ) cần lưu ý dấu. b)  > o, khi quay ngược chiều kim đồng hồ kể từ trục x. Ví dụ: Tính ứng suất trên mặt cắt có pháp tuyến u nghiêng một góc  = 300 so với trục x. * Tính theo phương pháp đồ thị: Lập hệ trục  // x;  // y, chọn tỉ xích 5mm =1KN/cm2.
Trên trục  lấy OA  OB   8 .  y  4; x Trung điểm C của AB là tâm vòng Mohr. Cực D (4,2), CD là bán kính vòng Mohr ứng với phân tố đã cho. Từ D kẻ đường thẳng song song với u cắt vòng Mohr tại M. Đo tọa độ , ta nhận được: u = x(M) = 5,3 k/cm ; uv -2 (M)== 2 y 2,7k/cm KN y   cm 2  4 M 0 D 30 u 2 2,7 2 300 M2 CB 8 O M1 kN  A    4 cm uv x 2  O 5,3 8 Hình 3.12: Xác định Hình 3.13: Cách ứng suất tìm ứng suất trên tại mặt xiên mặt xiên bằng vòng Mohr * Tính theo phương pháp giải tích: 8 8  u  4  cos 2 sin  5,268 cm 2 4 0 2 2 60 60 0 KN 8  uv  4 sin   2,732 cm 2 2 60 0 2c0s60 kN 0 * Ứng dụng chủ yếu của vòng Mohr là để xác định phương chín chính và ứng suất h. Ta biết rằng mặt chính là mặt không có ứng suất tiếp. Do đó để xác định phương
chính ta chỉ việc tìm trên vòng tròn Mohr những điểm có tung độ bằng không. Đó là hai điểm M1, M2, các phương này hợp với phương ngang những góc 1 và 2. Ở đây ta qui ước chiều dương của các góc  là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ. Giá trị của các ứng suất chính có thể đo trực tiếp trên các trục (, ). Đó là các đoạn và OM 2 ; OM1   max ; OM 2   min , OM1 (xem hình 3.15) Nhờ vòng Mohr ta có thể rút ra công thức tính ứng suất chính:  x   y  x 2 y 2  min  OC    xy M 2 C  2 2   2 x  y x y 2  max  OC      xy CM 1  2 2 
    y     y  2 2  Viết   x2 (3-  xy  gộp: max/ x   10) 2 min dấu + ứng với ma x, dấu ứng với min.  2 1  y D   y x y  M2  2 M1 1  y x  x  x x y x O A C B y x  1 y x  2  y 2x y Hình 2 3.14:Phân  tố ứng x suất phẳng 1 Hình 3.15: Xác định ứng suất chính bằng vòng Mohr Theo hình trên thì ta sắp xếp các ứng suất chính theo thứ tự : 1 = max, 2 = min, 3 = 0 Gọi: 1- Góc giữa phương chính có max với phương ngang. 2- Góc giữa phương chính có min với phương ngang. D  xy thì từ vòng Mohr ta tg   AD  max  y rút ra: 1 AM  xy 1  tg 2  A
 xy  y  max  AM 2  y  min  xy Viết gộp: tg 1/2  (3-11) y  max / min Trên vòng tròn Mohr còn có hai điểm đặc biệt M3 và M4 là hai điểm có tung độ lớn nhất và bé nhất. Dựa vào vòng Mohr, ta có:    x 2 y 2   CM    xy max 3  2  x y 2  min  CM 4     xy 2  2 
  Viết gộp:
 max/ min  
 x  
  y  2 