intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng tích phân

Chia sẻ: Nguyễn Quốc Mạnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST
Báo xấu
814
lượt xem 345
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài giảng tích phân', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng tích phân

  1. Së GD & §t nghÖ an Tr−êng THPT §Æng thóc høa sin4x + cos2x ∫ sin x + cos x dx 6 6 tÝch ph©n 1 ( x + 1) - ( x - 1) 6 6 dx I= ∫ 8 x +1 2 ∫ = dx = ... x8 + 1 Gi¸o viªn : Ph¹m Kim Chung Tæ : To¸n N¨m häc : 2007 - 2008
  2. 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 “ Thùc ra trªn mÆt ®Êt lμm g× cã ®−êng, ng−êi ta ®i l¾m th× thμnh ®−êng th«i ! ” - Lç TÊn - ViÕt mét cuèn tμi liÖu rÊt khã, ®Ó viÕt cho hay cho t©m ®¾c l¹i ®ßi hái c¶ mét ®¼ng cÊp thùc sù ! Còng may t«i kh«ng cã t− t−ëng lín cña mét nhμ viÕt s¸ch, còng kh«ng hy väng ë mét ®iÒu g× ®ã lín lao v× t«i biÕt n¨ng lùc vÒ m«n To¸n lμ cã h¹n .. Khi t«i cã ý t−ëng viÕt ra nh÷ng ®iÒu t«i gom nhÆt ®−îc t«i chØ mong sao qua tõng ngμy m×nh sÏ lÜnh héi s©u h¬n vÒ m«n To¸n s¬ cÊp..qua tõng tiÕt häc nh÷ng häc trß cña t«i bít b¨n kho¨n, ng¬ ng¸c h¬n.. Vμ nÕu cßn ai ®äc bμi viÕt nμy nghÜa lμ ®©u ®ã t«i ®ang cã nh÷ng ng−êi thÇy, ng−êi b¹n cïng chung mét niÒm ®am mª sù diÖu k× To¸n häc . Thö gi¶i mét bμi to¸n khã…... nh−ng ch−a thËt hμi lßng ! 1 ( x + 1) ⎣( x - 2x + 1) + ( 2 - 1) x ⎦ ( )( ) 1 (x - 1) ⎡ x 4 - 2x 2 + 1 + 2 + 1 x 2 ⎤ 1 ( x + 1) - ( x - 1) ⎡ ⎤ 2 4 2 2 2 6 6 ⎣ ⎦ dx dx ∫ x8 + 1 2∫ 2∫ 2∫ = dx = dx + (x + 1) - ( 2x ) (x + 1) - ( 2x ) ( x 4 + 1) - ( 2x 2 ) 2 22 2 22 2 2 4 4 ( ) ( ) ( x + 1) x (x - 1) x 2 2 2 2 2 -1 2 +1 x2 + 1 x2 - 1 1 1 ∫ x 4 + 2x2 + 1 dx + ∫ (x ∫ x 4 + 2x2 + 1 dx + ∫ (x = dx + )( ) )( ) 2 2 2 2 4 - 2x 2 + 1 x 4 + 2x 2 + 1 4 - 2x 2 + 1 x 4 + 2x 2 + 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 1 ( ) ( ) ⎜ 1+ 2 ⎟ dx ⎜ 1 - 2 ⎟ dx 1+ 2 1- 2 2 -1 2 +1 ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ 1 1 ∫ ⎡⎛ 1 ⎞2 ∫ ⎡⎛ 1 ⎞ 2 =∫ ⎤ 2∫⎛ x x dx + dx + + ⎤ ⎡⎛ ⎤ ⎡⎛ ⎤ 2 2 ( ) 2 2 2⎛ 1⎞ 1⎞ ( ) ( ) 2 2 1⎞ 1⎞ ⎢ ⎜ x - ⎟ + 2 - 2 ⎥ ⎢⎜ x - ⎟ + 2 + 2 ⎥ ⎢⎜ x + ⎟ - 2 + 2 ⎥ ⎢⎜ x + ⎟ - 2 - 2 ⎥ ⎜x - ⎟ +2+ 2 ⎜x + ⎟ - 2- 2 ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ( ) ( ) ( ) ( ) d⎜x - ⎟ d⎜x - ⎟ d⎜x - ⎟ d⎜x + ⎟ d⎜x + ⎟ d⎜x + ⎟ 2 -1 2 -1 2 +1 2 +1 ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ 1 1 =∫ 4 2 ∫ ⎡⎛ 4 2 ∫ ⎡⎛ ⎤ 2∫⎛ 4 2 ∫ ⎡⎛ 4 2 ∫ ⎡⎛ + - + + - ⎤ ⎤ ⎤ 2 2 ( ) 2 2 2 2 2⎛ 1⎞ 1⎞ ( ) ( ) 1⎞ 1⎞ 1⎞ 1⎞ ⎢⎜ x - ⎟ + 2 - 2 ⎥ ⎢⎜ x - ⎟ + 2 + 2 ⎥ ⎢⎜ x + ⎟ - 2 + 2 ⎥ ⎢⎜ x + ⎟ - 2 - 2 ⎥ ⎜x - ⎟ +2+ 2 ⎜x + ⎟ - 2- 2 ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ ⎢⎝ x⎠ ⎢⎝ x⎠ ⎢⎝ x⎠ ⎢⎝ x⎠ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜x + ⎟ - 2- 2 ⎜x + ⎟ - 2+ 2 ln ⎝ x⎠ ln ⎝ x⎠ 2+ 2 2- 2 2- 2 2+ 2 1 ( ) = u+ v+ + +C Víi x - = 2 + 2 tgu = 2 - 2 tgv ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 8 8 16 16 x ⎜x + ⎟+ 2- 2 ⎜x + ⎟+ 2+ 2 ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ (NÕu dïng kÕt qu¶ nμy ®Ó suy ng−îc cã t×m ®−îc lêi gi¶i hay h¬n ?.. ) Trang Th¸ng 12 – n¨m 2007 _____________________________ __________________________________ 1
  3. 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 PhÇn lý thuyÕt §Þnh nghÜa : Gi¶ sö f(x) lμ mét hμm sè liªn tôc trªn mét kho¶ng K, a vμ b lμ hai phÇn tö bÊt k× cña K, F(x) lμ mét nguyªn hμm cña f(x) trªn K . HiÖu sè F(b) - F(a) ®−îc gäi lμ tÝch ph©n tõ a ®Õn b cña f(x) vμ ®−îc kÝ hiÖu lμ b b ∫ f ( x )dx . Ta dïng kÝ hiÖu F ( x ) a ®Ó chØ hiÖu sè : F(b) – F(a) a b b ∫ f ( x )dx = F (x) C«ng thøc Newton – Laipnit : = F(b) – F(a) a a 1 x3 1 1 3 = (1 − 03 ) = 1 ∫ x dx = 2 VÝ dô : 30 3 3 0 b ∫ f ( x )dx Chó ý : TÝch ph©n chØ phô thuéc vμ f, a vμ b mμ kh«ng phô thuéc vμo kÝ hiÖu biÕn sè tÝch ph©n . V× vËy ta a b b b ∫ f ( x )dx = ∫ f ( t )dt = ∫ f ( u )du ... cã thÓ viÕt : F(b) – F(a) = a a a C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n . a ∫ f ( x )dx = 0 1. a b a ∫ f ( x )dx = - ∫ f ( x )dx 2. a b b b b ∫ ⎡αf ( x ) ± βg ( x )⎤dx = α ∫ f ( x )dx ± β∫ g ( x )dx ⎣ ⎦ 3. a a a e e e e e ⎛ 3⎞ VD : ∫ ⎜ 2x + ⎟dx = 2∫ xdx + 3∫ dx = x 2 + 3 ln x = ( e2 − 1) + 3 (1 − 0 ) = e2 + 2 1 1⎝ x⎠ 1 1 x 1 1 c b c ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx 4. a a b 1 0 1 0 1 x2 0 x2 1 ∫ ∫ x dx + ∫ x dx = − ∫ xdx + ∫ xdx = − x dx = + =1 VD : 2 −1 2 0 −1 −1 −1 0 0 b ∫ f ( x )dx ≥ 5. f(x) ≥ 0 trªn ®o¹n [a ; b] ⇒ 0 a b b ∫ f ( x )dx ≥ ∫ g ( x )dx 6. f(x) ≥ g(x) trªn ®o¹n [a ; b] ⇒ a a π π 2 2 ∫ sin2xdx ≤ 2∫ sinxdx VD : Chøng minh r»ng : 0 0 b b b trªn ®o¹n [a ; b] ⇒ m(b – a) = m ∫ dx ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M ∫ dx = M(b – a) m ≤ f(x) ≤ M 7. a a a 2 ⎛ 1⎞ 5 VD : Chøng minh r»ng : 2 ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ 1⎝ x⎠ 2 5 1 trªn ®o¹n [1; 2] ta cã : max y = ; min y = 2 HD . Kh¶o s¸t hμm sè y = x + [1;2] [1;2] 2 x Trang 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 2 ___________________
  4. 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 2 2⎛ 2 2 2 2 1⎞ 52 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 5 5 Do ®ã : 2∫ dx ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ ∫ dx ⇒ 2x ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ x ⇒ 2 ≤ ∫ ⎜ x + ⎟dx ≤ 1 1⎝ x⎠ ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ 21 21 2 1 1 1 PhÇn ph−¬ng ph¸p Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè : t = v(x) . 1 x VD . TÝnh tÝch ph©n : I = ∫ 2 dx 0 x +1 §Æt : t = x 2 + 1 . Khi x= 0 th× t=1, khi x=1 th× t=2 . dt Ta cã : dt = 2xdx ⇒ = xdx . Do ®ã : 2 1 2 21 x 1 dt 1 I=∫ 2 dx = ∫ = ln t = ln 2 0 x +1 12 21 t 2 b b ∫ f ( x )dx = ∫ g ( v ( x ) )v' ( x ) dx Quy tr×nh gi¶i to¸n . a a B−íc 1 . §Æt t = v(x) , v(x) cã ®¹o hμm liªn tôc, ®æi cËn . B−íc 2 . BiÓu thÞ f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt v ( b) ∫ g ( t )dt . B−íc 3 . TÝnh v(a) Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : e2 2 3 1 x 2 dx xdx dx dx ∫ ( 2x − 1) ∫x ∫ ∫ x3 + 1 1. 2. 3. 4. −1 2 4 x ln x 1 e 0 2 π 4 1 2 dx dx dx ∫ x (1 + ∫ sin3 x ∫ ( 2x + 1) 5. 6. 7. ) x +1 x π 1 0 4 Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè : x = u(t) . 1 ∫ 1 − x 2 dx VD . TÝnh tÝch ph©n : sinx 0 ⎡ π π⎤⎞ π ⎛ §Æt x = sint ⎜ t ∈ ⎢ − ; ⎥ ⎟ . Khi x=0 th× t=0, khi x=1 th× t= ⎣ 2 2⎦ ⎠ ⎝ 2 π⎤ ⎡ VËy víi x = sint th× x ∈ ⎡0;1⎤ ⇒ t ∈ ⎢0; ⎥ vμ dx = costdt . ⎣⎦ ⎣ 2⎦ O π π π cosx 1 2 2 2 Do ®ã : ∫ 1 − x dx = ∫ ∫ cos t cos tdt = ∫ cos 1 − sin t cos tdt = 2 2 2 tdt = 0 0 0 0 π π 1 + cos 2t π 1⎛ 1 ⎞ 2 =∫ dt = ⎜ t + sin 2t ⎟ 2 = 2⎝ 2 ⎠0 4 2 0 b ∫ f ( x )dx Quy tr×nh gi¶i to¸n . a B−íc 1 . §Æt x = u(t), t ∈ ⎡α; β⎤ sao cho u(t) cã ®¹o hμm liªn tôc trªn ®o¹n ⎡α; β⎤ , f(u(t)) ®−îc x¸c ®Þnh trªn ®o¹n ⎣⎦ ⎣⎦ ⎣α; β⎦ vμ u ( α ) = a; u ( β ) = b . ⎡ ⎤ Trang 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 3 ___________________
  5. 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 B−íc 2 . BiÓu thÞ f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt β ∫ g ( t )dt B−íc 3 . TÝnh . α Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : 1 1 1 2 dx dx dx 1. ∫ ∫x ∫ 2. 3. 1 + x2 + x +1 2 1− x 2 0 0 0 5 5+x 1 1 2 ∫ ∫ ∫ 1 − x 2 dx 1 + x 2 dx 2 3 4. x 5. x dx ( §Æt x=5cos2t) 6. 5−x 0 0 0 Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè : u(x) = g(x,t) 1 ∫ 1 + x 2 dx VD1 . TÝnh tÝch ph©n : I = 0 t2 − 1 1 + x 2 = x - t ⇒ 1 = -2xt + t 2 ⇒ x = §Æt C¸ch (1) 2t t2 + 1 Khi x =0 th× t= -1, khi x=1 th× t= 1 − 2 vμ dx = dt . Do ®ã : 2t 2 1⎛ 1⎞ 1− 2 1− 2 4 1− 2 1− 2 1− 2 − t2 − 1 t2 + 1 t + 2t 2 + 1 1 1 I= ∫ ∫1 dt = − ⎜ ∫ tdt + 2 ∫ dt + ∫ 3 dt ⎟ = . 2 dt = − ⎜ t⎟ 3 2t 2t 4− t 4 ⎝ −1 t ⎠ −1 −1 −1 t2 1 − 2 1 1− 2 1 1− 2 ( ) 1 2 =− − ln t +2 = − ln 2 −1 + 8 −1 −1 −1 2 8t 2 2 ⎡ π⎤ π C¸ch (2) : §Æt x=tgt , do x ∈ ⎡0;1⎤ nªn ta cã thÓ chän t ∈ ⎢0; ⎥ . Khi x=0 th× t=0, khi x=1 th× t = ⎣⎦ ⎣ 4⎦ 4 1 dt . Do ®ã : vμ dx= cos2 t π π π π π d ( sin t ) 1 4 4 4 4 4 1 1 1 1 cos t ∫ ∫ ∫ dt = ∫ dt = ∫ ∫ 1 + x 2 dx = 1 + tg 2 t dt = dt = = (1 − sin t ) 2 cos 2 t 2 3 4 cos t cos t 0 cos t 0 cos t 2 0 0 0 0 2 2 π π 1 4 ⎡ (1 − sin t ) + (1 + sin t ) ⎤ 14⎡ ⎤ 1 1 = ∫⎢ ⎥ d ( sin t ) = ∫ ⎢ ⎥ d ( sin t ) = + 4 0 ⎣ (1 − sin t )(1 + sin t ) ⎦ 4 0 ⎣ (1 − sin t ) (1 + sin t ) ⎦ 2 π π π π 1 4 d (1 − sin t ) 1 4 1 4 d (1 + sin t ) d ( sin t ) 1⎡ ⎤ 4 1 1 = ∫⎢ ⎥ d ( sin t ) = − ∫ +∫ +∫ + = 4 0 ⎣ (1 − sin t ) (1 + sin t ) ⎦ 2 0 (1 − sin t )(1 + sin t ) 4 0 (1 + sin t )2 4 0 (1 − sin t ) 2 π π π π 1 1 + sin t 1 1 + sin t ( ) 1⎡ 1 1⎤ 1 2 1 sin t 4 = − ln 2 − 1 + − 4 + ln 4= 4 + ln = .⎢ . ⎥ 4 ⎣1 − sin t 1 + sin t ⎦ 0 4 1 − sin t 0 2 cos t 0 4 1 − sin t 0 2 2 2 B×nh luËn : Bμi to¸n nμy cßn gi¶i ®−îc b»ng ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn . Cßn víi 2 c¸ch gi¶I trªn râ rμng khi b¾t gÆp c¸ch 1) ta nghÜ r»ng nã sÏ chøa ®ùng nh÷ng phÐp tÝnh to¸n phøc t¹p cßn c¸ch 2) sÏ chøa nh÷ng phÐp tÝnh to¸n ®¬n gi¶n h¬n. Nh−ng ng−îc l¹i sù suy ®o¸n - c¸ch 2) l¹i chøa nh÷ng phÐp tÝnh to¸n dμi dßng vμ nÕu qu¶ thËt kh«ng kh¸ tÝch ph©n th× ch−a h¼n ®· lμ ®−îc hoÆc lμm ®−îc mμ l¹i dμi dßng h¬n . 1 1 ∫ dx VD2 . TÝnh tÝch ph©n : I = 1 + x2 0 Trang 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 4 ___________________
  6. 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 t2 − 1 1 + x 2 = x - t ⇒ 1 = -2xt + t 2 ⇒ x = §Æt C¸ch (1) 2t t2 + 1 Khi x =0 th× t= -1, khi x=1 th× t= 1 − 2 vμ dx = dt . Do ®ã : 2t 2 1− 2 1− 2 −2t t 2 + 1 1 I= ∫ 2 dt = − ∫ dt = . t + 1 2t 2 t −1 −1 1− 2 ( ) = − ln t = − ln 2 −1 −1 ⎡ π⎤ π C¸ch (2) : §Æt x=tgt , do x ∈ ⎡0;1⎤ nªn ta cã thÓ chän t ∈ ⎢0; ⎥ . Khi x=0 th× t=0, khi x=1 th× t = ⎣⎦ ⎣ 4⎦ 4 1 dt . vμ dx= cos2 t π π π π 1 4 4 4 4 cos t 1 1 1 1 cos t ∫ dx = ∫ dt = ∫ dt = ∫ dt = ∫ dt = Do ®ã : 2 2 cos2 t 1 + x2 1 + tg t 2 cos t cos t cost 0 0 0 0 0 π π d ( sin t ) 1 1 − sin t ( ) 4 ∫ (1 − sin t ) = = 4 = − ln 2 −1 . ln 2 1 + sin t 0 2 0 Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : 0 2 2 x2 ∫ ∫ ∫ x 2 + 2x + 2dx x 2 − 1dx dx 1. 2. 3. x2 − 1 −1 1 1 1 −1 1 2 dx xdx dx ∫ 1+ ∫x+ ∫1+ 4. 5. 6. 1 − 2x − x x2 − 1 x − 4x + 3 2 2 −2 0 0 Chó ý : Khi ®øng tr−íc mét bμi to¸n tÝch ph©n, kh«ng ph¶i bμi to¸n nμo còng xuÊt hiÖn nh©n tö ®Ó chóng ta sö dông ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè . Cã nhiÒu bμi to¸n ph¶i qua 1 hay nhiÒu phÐp biÕn ®æi míi xuÊt hiÖn nh©n tö ®Ó ®Æt Èn phô ( sÏ nãi ®Õn ë phÇn Ph©n Lo¹i C¸c d¹ng To¸n ) Ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn . NÕu u(x) vμ v(x) lμ hai hμm sè cã ®¹o hμm liªn tôc trªn ®o¹n [a; b] th× : b bb u ( x )v' ( x ) dx = ( u ( x ) .v ( x ) ) - ∫ v ( x )u' ( x ) dx ∫ aa a hay b bb ∫ u ( x )dv = ( u ( x ) .v ( x ) ) a∫ - v ( x )du a a π 2 ∫ x cos xdx VD1. TÝnh 0 ⎧u=x ⎧du = dx , ta cã : ⎨ §Æt ⎨ ⎩dv = cos xdx ⎩ v = sin x Trang 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 5 ___________________
  7. 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 π π π2 π π π 2 ∫ x cos xdx = ( x sin x ) 2 − ∫ sin xdx = 2 + cosx 2 = 2 − 1 00 0 0 ⎧u = cosx ⎨ NhËn xÐt : Mét c©u hái ®Æt ra lμ ®Æt cã ®−îc kh«ng ? ⎩ dv = xdx π π π π ⎛ x2 ⎞ 2 12 2 ∫ x cos xdx = ⎜ cosx ⎟ 2 + ∫ x 2 sin xdx , râ rμng tÝch ph©n ∫x 2 Ta h·y thö : sin xdx cßn phøc t¹p h¬n tÝch ⎝2 ⎠ 0 20 0 0 ph©n cÇn tÝnh . VËy viÖc lùa chän u vμ dv quyÕt ®Þnh rÊt lín trong viÖc sö dông ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn . Ta h·y xÐt mét VD n÷a ®Ó ®i t×m c©u tr¶ lêi võa ý nhÊt ! 2 ln x VD2. TÝnh ∫ 5 dx x 1 ⎧ 1 ⎪u = 5 râ rμng ®Ó tÝnh v= ∫ ln xdx lμ mét viÖc khã kh¨n ! Ta thö ®Æt : ⎨ x ⎪ dv = ln xdx ⎩ ⎧ 1 ⎧ u = ln x ⎪ du = x ⎪ ⎪ ta cã : ⎨ Gi¶i . §Æt ⎨ 1 ⎪dv = x 5 dx ⎪ v = 1 dx = − 1 ∫ x5 ⎩ ⎪ ⎩ 4x 4 2 2 ⎛ ln x ⎞ 2 1 dx ln 2 1 ⎛ 1 ⎞ 2 15 ln 2 ln x Do ®ã : ∫ 5 dx = ⎜ − 4 ⎟ + ∫ 5 = − + ⎜− ⎟1= − ⎝ 4x ⎠ 1 4 1 x 64 4 ⎝ 4x 4 ⎠ x 256 64 1 NhËn xÐt : Tõ 2 VD trªn ta cã thÓ rót ra mét nhËn xÐt ( víi nh÷ng tÝch ph©n ®¬n gi¶n ) : ViÖc lùa chän u vμ dv ph¶i tho¶ m·n : 1 du ®¬n gi¶n, v dÔ tÝnh . ( ∫ vdu ) ph¶i ®¬n gi¶n h¬n tÝch ph©n cÇn tÝnh ( ∫ udv ) . 2 TÝch ph©n sau Bμi tËp rÌn luyÖn ph−¬ng ph¸p : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : π π 1 1 1 2 6 ∫ ( x − 1)cosxdx ∫ ( 2 − x ) sin 3xdx ∫ xe dx ∫ ∫x e 2 −x x 3x 2 . xe dx dx 1. 3. 4. 5. 0 0 0 0 0 π π e 5 e 2 2 9. 2x ln ( x − 1)dx ∫ ( ln x ) dx ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 7. e x cosxdx 8. ln xdx 6 . x sin xdx 10. 1 2 1 0 0 Mçi d¹ng to¸n chøa ®ùng nh÷ng ®Æc thï riªng cña nã ! PhÇn ph©n lo¹i c¸c d¹ng to¸n TÝch ph©n cña c¸c hμm h÷u tû P (x) ( a ≠ 0) A. D¹ng : I = ∫ dx ax + b Trang 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 6 ___________________
  8. 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 α α C«ng thøc cÇn l−u ý : I = ∫ dx = ln ax + b + C ax + b a TÝnh I1 = x + 1 dx ∫ x −1 TÝnh I2 = x − 5 dx 2 ∫ x +1 x3 ∫ 2x + 3 dx TÝnh I3 = Ph−¬ng ph¸p : Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc P(x) cho nhÞ thøc : ax+b, ®−a tÝch ph©n vÒ d¹ng : α I = ∫ Q ( x ) dx + ∫ dx ( Trong ®ã Q(x) lμ hμm ®a thøc viÕt d−íi d¹ng khai triÓn ) ax + b P (x) ( a ≠ 0) B. D¹ng : I = ∫ dx 2 ax + bx + c 1. Tam thøc : f ( x ) = ax 2 + bx + c cã hai nghiÖm ph©n biÖt . u' ( x ) ∫ u ( x ) dx = ln u ( x ) + C C«ng thøc cÇn l−u ý : I = 2 ∫x ☺ TÝnh I = dx −4 2 C¸ch 1. ( ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh ) ⎧ 1 ⎪A = 2 ⎧A + B = 0 ⎪ 2 A B ⇒ 2 ≡ (A + B) x + 2(A − B) ⇒ ⎨ = + ⇔ ⎨ ⎩A − B = 1 x −4 x −2 x +2 2 ⎪B = − 1 ⎪ ⎩ 2 1 x −2 2 1 1 1 1 ∫x dx = ∫ dx - ∫ +C Do ®ã : I = dx = ln 2 x+2 −4 2 x −2 2 x+2 2 C¸ch 2. ( ph−¬ng ph¸p nh¶y tÇng lÇu ) 2x − 4 ⎤ 1 1 ⎡ 2x 2 Ta cã : I = ∫ 2 dx = ⎢ ∫ 2 dx − ∫ 2 dx ⎥ = ln x 2 − 4 − ln x + 2 + C x −4 2⎣ x −4 x −4 ⎦ 2 α < Tæng qu¸t >TÝnh I = ∫ 2 dx x − a2 2x TÝnh I = ∫ dx 9 − x2 3x + 2 TÝnh I = ∫ 2 dx x −1 x2 TÝnh I = ∫ 2 dx x − 5x + 6 3x 3 ∫ x 2 − 3x + 2 dx TÝnh I = Ph−¬ng ph¸p : Khi bËc cña ®a thøc P(x)
  9. 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 2. Tam thøc : f ( x ) = ax 2 + bx + c = ( αx + β )2 cã nghiÖm kÐp . u' ( x ) 1 ∫u C«ng thøc cÇn l−u ý : I = dx = − +C (x) u(x) 2 d ( x − 2) 1 1 TÝnh I = ∫ dx = ∫ =− +C ( x − 2) x 2 − 4x + 4 x −2 2 4x ∫ 4x TÝnh I = dx . − 4x + 1 2 ⎧ dt ⎪ dx= §Æt : 2x – 1 = t ⇒ ⎨ 2 , lóc ®ã ta cã : ⎪2x = t + 1 ⎩ t +1 dt dt 2 I = 2∫ 2 dx = 2∫ + 2∫ 2 = 2 ln t − + C t t t t x −3 2 TÝnh I = ∫ 2 dx x − 4x + 4 x3 TÝnh I = ∫ 2 dx x + 2x + 1 t −β Ph−¬ng ph¸p : §Ó tr¸nh phøc t¹p khi biÕn ®æi ta th−êng ®Æt : αx + β = t ⇒ x = vμ thay vμo biÓu thøc α trªn tö sè . 3. Tam thøc : f ( x ) = ax 2 + bx + c v« nghiÖm . 1 ∫x TÝnh I = dx +1 2 1 §Æt : x = tgα ⇒ dx = dα , ta cã : cos2 α 1 ∫ cos α ( tg α + 1) dα = ∫ dα = α + C ( tgα = x ) I= , víi 2 2 1 a < Tæng qu¸t > TÝnh I = ∫ x = atgα ⇒ dx = dα , ta cã : dx . HD §Æt x + a2 cos 2 α 2 dα α ∫ I= = +C a a 2 ∫ x 2 + 2x + 2 dx TÝnh I = 2x + 1 ∫ x 2 + 2x + 5 dx TÝnh I = x2 ∫ x 2 + 4 dx TÝnh I = x3 ∫ x 2 + 9 dx TÝnh I = P (x) (a ≠ 0) C. D¹ng : I = ∫ dx ax + bx 2 + cx + d 3 1. §a thøc : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d cã mét nghiÖm béi ba. Trang 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 8 ___________________
  10. 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 1 1 ( n ≠ 1) ∫x C«ng thøc cÇn l−u ý : I = dx = − +C ( n − 1) x n −1 n 1 ☺ TÝnh I = ∫ dx ( x − 1) 3 ( x − 1) −2 1 1 dx = ∫ ( x − 1) d ( x − 1) = −3 NÕu x > 1 , ta cã : I = ∫ +C= − +C . ( x − 1) 2 ( x − 1) −2 3 2 (1 − x ) −2 1 1 dx = ∫ (1 − x ) d (1 − x ) = −3 NÕu x < 1 , ta cã : I = − ∫ +C = − +C (1 − x ) 2 ( x − 1) −2 3 2 1 1 VËy : I = ∫ dx = − +C ( x − 1) 2 ( x − 1) 3 2 1 = x − m , víi x > 0 Chó ý : xm x TÝnh I = ∫ dx ( x − 1) 3 t +1 ⎛1 1 ⎞ 11 §Æt : x – 1 = t ta cã : I = ∫ dt = ∫ ⎜ 2 + 3 ⎟dt = − − 2 + C ⎝t ⎠ t3 t t 2t x2 − 4 TÝnh I = ∫ dx ( x − 1) 3 x3 TÝnh I = ∫ dx ( x − 1) 3 x4 TÝnh I = ∫ dx ( x + 1) 3 2. §a thøc : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d cã hai nghiÖm . 1 ☺ TÝnh I = ∫ dx ( x − 1)( x + 1) 2 1 dt ∫ t ( t − 2 ) dt = ∫ t §Æt : x + 1 = t , ta cã : I = − 2t 2 2 3 C¸ch 1 < Ph−¬ng ph¸p nh¶y tÇng lÇu > 3t 2 − 4t 1 ⎛ 3t 2 − 4t − 4 ⎞ 3t 2 − 4t 1 ⎛ 3t + 2 ⎞ 3t 2 − 4t 1 ⎛ 3 2 ⎞ 1 =3 −⎜ ⎟= −⎜ ⎟= −⎜+⎟ Ta cã : 3 t − 2t 2 t − 2t 2 4 ⎝ t 3 − 2t 2 ⎠ t 3 − 2t 2 4 ⎝ t 2 ⎠ t 3 − 2t 2 4 ⎝ t t2 ⎠ 3t 2 − 4t 1 ⎛3 2 ⎞ 3 1 ∫ t3 − 2t2 dt − 4 ∫ ⎜ t + t2 ⎟dt = ln t − 2t − 4 ln t + 2t + C . Do ®ã : I = 3 2 ⎝ ⎠ C¸ch 2 < Ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh > ⎧ 1 ⎪B = − 2 ⎧ −2B = 1 ⎪ At + B ⎪ ⎪ 1 1 C ⇒ 1 ≡ ( A + C ) t + ( −2A + B ) t − 2B ⇒ ⎨−2A + B = 0 ⇒ ⎨ A = − = + 2 t − 2t t−2 3 2 2 4 t ⎪ A+C =0 ⎪ ⎩ ⎪ 1 ⎪ C=4 ⎩ 1 ⎡t + 2 1⎤ 1 ⎡1 2 1⎤ 1⎡ ⎤ 1 2 ∫t dt = − ∫ ⎢ 2 − ⎥ dt = − ∫ 4 ⎢ t + t 2 − t − 2 ⎥ dt = − 4 ⎢ln t − t − ln t − 2 ⎥ + C Do ®ã : − 2t t − 2⎦ 4⎣ t ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3 2 Trang 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 9 ___________________
  11. 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 Ph−¬ng ph¸p “nh¶y tÇng lÇu” ®Æc biÖt cã hiÖu qu¶ khi tö sè cña ph©n thøc lμ mét h»ng sè . Ph−¬ng ph¸p “hÖ sè bÊt ®Þnh” : bËc cña ®a thøc trªn tö sè lu«n nhá h¬n bËc mÉu sè 1 bËc . 2x + 1 ∫ x ( x − 2 ) dx TÝnh I = 2 §Ó sö dông ph−¬ng ph¸p nh¶y tÇng lÇu ta sÏ ph©n tÝch nh− sau : 2x + 1 2 1 = + x2 ( x − 2) x ( x − 2) x2 ( x − 2) x2 TÝnh I = ∫ dx ( x − 1) ( x + 2 ) 2 Ax + B x2 C = + Sö dông ph−¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh : ( x − 1) ( x + 2 ) ( x − 1) x+2 2 2 ≡ ( x + 2 )( Ax + B ) + C ( x − 1) 2 Do ®ã : x 2 4 x=-2, suy ra : C = Cho : 9 2 x=0 , suy ra : B = − 9 5 x=1, suy ra : A = 9 Ph−¬ng ph¸p trªn gäi lμ ph−¬ng ph¸p “g¸n trùc tiÕp gi¸ trÞ cña biÕn sè” ®Ó t×m A, B, C. x3 − 1 TÝnh I = ∫ 3 dx x + 2x 2 + x 3. §a thøc : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d cã ba nghiÖm ph©n biÖt . 1 ∫ x (x ☺ TÝnh I = dx − 1) 2 1 ⎡ 3x 2 − 1 3x 2 − 3 ⎤ 1 ⎡ 3x 2 − 1 3 ⎤ 1 ⎢3 ⎥= ⎢ 3 = − −⎥ C¸ch 1. Ta cã : x ( x − 1) 2 ⎢ x − x x ( x 2 − 1) ⎥ 2 ⎣ x − x x ⎦ 2 ⎣ ⎦ 1 ⎡ 3x 2 − 1 3 ⎤ 1 3 Do ®ã : I = ∫ ⎢ 3 − ⎥ dx = ln x 3 − x − ln x + C 2⎣ x − x x⎦ 2 2 ⇒ 1 ≡ A ( x 2 − 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x − 1) 1 A B C =+ + C¸ch 2 . Ta cã : x ( x 2 − 1) x x − 1 x + 1 Cho x=0, suy ra A = -1 . 1 x=1, suy ra B = 2 1 x=-1, suy ra C = 2 1 Do ®ã : I = − ln x + ln x − 1 + C 2 2 Trang 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 10 ___________________
  12. 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 x +1 ∫ x (x TÝnh I = dx − 4) 2 x2 TÝnh I = ∫ dx ( x 2 − 1) ( x + 2 ) x3 ∫ (x TÝnh I = dx − 1) ( x − 2 ) 2 dx ∫ ( 2x + 1) ( 4x TÝnh I = + 4x + 5 ) 2 dt §Æt : 2x + 1 =t ⇒ dx = , ta cã : 2 1 ⎡ 3t 2 − 6 3t 2 − 18 ⎤ 1 dt 1 ∫ t ( t2 − 6 ) 24 ⎢ t − 6t ⎢∫ 3 dt − ∫ 2 dt ⎥ = I= ln t 3 − 6t − 3 ln t + C = t ( t − 6 ) ⎥ 24 2 ⎣ ⎦ 4. §a thøc : f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d cã mét nghiÖm (kh¸c béi ba) 1 ☺ TÝnh I = ∫ 3 dx x −1 §Æt x – 1 = t ⇒ dx = dt , ta cã : 1 ⎡ t 2 + 3t + 3 ⎤ t+3 t 2 + 3t 1 ⎡ dt ⎤ dt dt ⎥ = ⎢ ∫ − ∫ 2 I= ∫ 2 = ⎢∫ 2 dt − ∫ 2 dt = t + 3t + 3 ⎥ t ( t + 3t + 3 ) 3 ⎢ t ( t + 3t + 3 ) t ( t + 3t + 3 ) ⎥ 3⎣ t ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 2t + 3 ⎥ = 1 ln t − 1 ln t 2 + 3t + 3 − α 3 + C ( Víi x = 3 tgα ) 1 dt 1 3 dt = ⎢∫ − ∫ 2 dt − ∫ 3 ⎢ t 2 t + 3t + 3 3⎥ 2 2⎛ 3⎞ 2 3 2 ⎜t + ⎟ + ⎥ ⎢ ⎢ 4⎥ ⎝ 2⎠ ⎣ ⎦ 1 TÝnh I = ∫ dx x ( x 2 + 1) 1 ∫ x (x TÝnh I = dx + 2x + 2 ) 2 x2 ∫ x 3 + 1 dx TÝnh I = x3 TÝnh I = ∫ 3 dx x −8 1 TÝnh I = ∫ 3 dx x − 3x 2 + 3x − 2 Tãm l¹i : Ta th−êng sö dông hai phÐp biÕn ®æi : Tö sè lμ nghiÖm cña mÉu sè . Tö sè lμ ®¹o hμm cña mÉu sè . vμ ph©n thøc ®−îc quy vÒ 4 d¹ng c¬ b¶n sau : 1 1 1 ax + b øng víi ∫ ax + b ↔ dx = ln ax + b + C { a u' u' u øng víi ∫ u ↔ dx = ln u + C { Trang 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 11 ___________________
  13. 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 u' u' 1 ( n ≥ 2 ) ↔ ∫ n dx = - +C { ( n - 1) un-1 un u øng víi 1 1 a ↔∫ dx = + C , víi x + d = atgα { ( x + d ) + a øng víi ( x + d ) + a 2 2 2 2 a Q (x) D. D¹ng : I = ∫ dx < P(x) lμ ®a thøc bËc cao> Vμ mét sè kÜ thuËt t×m nguyªn hμm . P (x) 1. KÜ thuËt biÕn ®æi tö sè chøa nghiÖm cña mÉu sè . dx ∫ x ( x − 1) ( x + 7 ) ( x + 8 ) TÝnh I = x ( x + 7 ) − ( x − 1) ( x + 8 ) ∫ x ( x − 1) ( x + 7 ) ( x + 8 ) dx HD : I = dx ∫x TÝnh I = + 10x 2 + 9 4 1 ( x + 9 ) − ( x + 1) 2 2 dx HD : I = ∫ 2 ( x + 1)( x 2 + 9 ) 8 ∫ ( x 2 + 1)( x 2 + 9 ) = dx ∫x TÝnh I = + 6x 4 − 13x 2 − 42 6 dx ∫ (x HD : I = − 3 )( x 2 + 2 )( x 2 + 7 ) 2 dx ∫ 5x TÝnh I = + 20x 5 1 ( x + 4) − x 4 4 1 dx HD : I = ∫ 5 x ( x 4 + 4 ) 20 ∫ x ( x 4 + 4 ) = dx ∫x TÝnh I = − 10x 3 7 1 x − ( x − 10 ) 4 4 dx ∫ x 3 ( x 4 − 10 ) 10 ∫ x 3 ( x 4 − 10 ) HD : I = = dx ∫ (x TÝnh I = − 2 )( 2x 2 + 1)( 3x 2 − 4 ) 2 dx ∫x TÝnh I = − 10x 6 + 35x 4 − 50x 2 + 24 8 dx ∫ ( x + 1) ( x TÝnh I = + 4x 3 + 6x 2 + 4x − 9 ) 4 x 2 dx ∫ x4 − 1 TÝnh I = x 4 dx TÝnh I = ∫ 4 x −1 x 4 dx TÝnh I = ∫ 4 x +1 x 4 dx TÝnh I = ∫ 6 x −1 Trang 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 12 ___________________
  14. 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 x 6 dx ∫ x6 − 1 TÝnh I = dx TÝnh I = ∫ 100 3x + 5x dx TÝnh I = ∫ x ( 2x 50 + 7 ) 2 (1 − x ) dx 2000 ∫ x (1 + x ) TÝnh I = 2000 P(x) ( α ≠ 1) 2. KÜ thuËt ®Æt Èn phô víi tÝch ph©n cã d¹ng : I = ∫ dx ( ax + b )α x3 + x + 1 ☺ TÝnh I = ∫ dx ( x − 2) 30 ⎧ dx = dt §Æt x – 2 = t ⇒ ⎨ , ta cã : ⎩x = t + 2 ( t + 2) 3 +t+3 t 3 + 6t 2 + 13t + 11 ⎡1 1⎤ 1 1 ∫ ∫ I= dt = dt = − ⎢ +6 + 13 + 11 + C =… 29t 29 ⎥ ⎣ 26t ⎦ t 30 30 26 27 28 t 27t 28t x4 ∫ ( x − 3) TÝnh I = dx 45 3x 4 − 5x 3 + 7x − 8 TÝnh I = ∫ dx ( x + 2) 50 Chó ý : Víi lo¹i to¸n nμy trong cuèn “TÝch Ph©n – T.Ph−¬ng ” ®· sö dông ph−¬ng ph¸p khai triÓn Taylor nh−ng t«i c¶m thÊy c¸ch lμm nμy kh«ng nhanh h¬n l¹i g©y nhiÒu phøc t¹p cho häc sinh nªn ®· kh«ng nªu ra . 3. KÜ thuËt biÕn ®æi tö sè chøa ®¹o hμm cña mÉu sè . xdx ∫x TÝnh I = −1 4 §Æt x 2 = t ⇒ 2xdx = dt x 3 dx TÝnh I = ∫ 4 x +1 x −1 2 ☺ TÝnh I = ∫ 4 dx x +1 ⎛ 1⎞ 1 d⎜ x + ⎟ 1− 2 x −1 x2 − x 2 + 1 2 ⎝ x⎠ 1 x dx = I= ∫ 4 dx = ∫ ∫ ⎛ 1 ⎞2 = ln +C x +1 x2 + x 2 + 1 1 () 22 x+2 2 2 ⎜x + ⎟ − 2 x ⎝ x⎠ x +1 2 TÝnh I = ∫ 4 dx x +1 x2 TÝnh I = ∫ 4 dx x +1 ( x 2 − 1) TÝnh I = ∫ 4 dx x − 5x 3 − 4x 2 − 5x + 1 ( x 2 + 1) TÝnh I = ∫ 4 dx x + 2x 3 − 10x 2 − 2x + 1 Trang 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 13 ___________________
  15. 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 (x − 2) 2 TÝnh I = ∫ dx x 4 − 3x 3 + 11x 2 − 6x + 4 ( x2 + 3) TÝnh I = ∫ dx x 4 − 2x 3 − 2x 2 + 6x + 9 dx TÝnh I = ∫ 4 x + x2 + 1 dx TÝnh I = ∫ 4 x − 3x 2 + 4 B×nh luËn : Lo¹t bμi to¸n nμy lμm t«i kh¸ Ên t−îng víi phÐp chia c¶ tö sè vμ mÉu sè cho x 2 . Qu¶ thËt t«i lu«n cè g¾ng t×m tßi xem liÖu m×nh cã thÓ nghÜ ra mét ph−¬ng ph¸p nμo kh¸c hay h¬n ch¨ng, nh−ng …” bã tay.com “ . ThÕ míi hiÓu to¸n häc : “lu«n tiÒm Èn nh÷ng vÎ ®Ñp lμm ng−êi ta söng sèt”. x5 TÝnh I = ∫ 6 dx x +1 x TÝnh I = ∫ 6 dx x −1 1 dt §Æt x 2 = t ⇒ 2xdx = dt , ta cã : I = ∫ 3 2 t −1 x3 TÝnh I = ∫ 6 dx x −1 x4 + 1 TÝnh I = ∫ 6 dx x +1 1 d(x ) 1 d(x ) 3 2 x3 + x dx HD : I = ∫ 6 + ∫6 TÝnh I = ∫ 6 3 x +1 2 x +1 x +1 x2 3 d ( x2 ) 1 x HD : I = ∫ TÝnh I = ∫ 6 dx 2 ( x 2 )3 + 1 x +1 (x + 1)( x 2 + 2x − 1) 2 TÝnh I = ∫ dx x 6 − 14x 3 − 1 ⎛ 1 ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 ⎜ 1 + 2 ⎟⎜ x − + 2 ⎟ ⎜ x − + 2⎟ ⎛ 1⎞ HD : I = ∫ ⎝ x ⎠⎝ ⎠ dx = ⎝ ⎠ x x ∫ ⎛ 1 ⎞3 ⎛ 1 ⎞ d⎜x − ⎟ ⎛ 3 1⎞ ⎝ x⎠ ⎜ x − 3 ⎟ − 14 ⎜ x − ⎟ + 3 ⎜ x − ⎟ − 14 ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ 19 x TÝnh I = ∫ dx ( 3 + x10 ) 2 x10 .10x 9 x10 ∫ 3 + x10 2 d ( x ) 1 ∫ HD . I = dx = 10 (3 + x ) 10 ( ) 10 2 x 99 TÝnh I = ∫ dx ( 2x − 3) 7 50 x 2n −1 TÝnh I = ∫ dx ( ax + b) k n Trang 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 14 ___________________
  16. 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 4. KÜ thuËt chång nhÞ thøc . C¬ së cña ph−¬ng ph¸p : ab ( ax + b ) n , ⎛ ax + b ⎞ cd ∫ ( cx + d ) §Ó t×m nguyªn hμm cã d¹ng : I = ⎟= dx , ta dùa vμo c¬ së : ⎜ ⎝ cx + d ⎠ ( cx + d ) m 2 vμ ph©n tÝch biÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n vÒ d¹ng : ⎛ ax + b ⎞ ⎛ ax + b ⎞ ⎛ ax + b ⎞ dx I = k∫ f ⎜ = k∫ f ⎜ ⎟d⎜ ⎟ ⎟ cx + d ⎠ ( cx + d )2 ⎝ cx + d ⎠ ⎝ cx + d ⎠ ⎝ VD . TÝnh ( 3x − 5 ) 10 10 10 11 ⎛ 3x − 5 ⎞ 1 ⎛ 3x − 5 ⎞ ⎛ 3x − 5 ⎞ 1 ⎛ 3x − 5 ⎞ dx I= ∫ dx = ∫ ⎜ 11 ∫ ⎝ x + 2 ⎠ = ⎟= ⎟ +C ⎟ d⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ( x + 2) ( x + 2) ⎝ x+2 ⎠ x + 2 ⎠ 121 ⎝ x + 2 ⎠ 12 2 ⎝ (7x − 1) 99 TÝnh I = ∫ dx ( 2x + 1) 101 dx TÝnh I = ∫ ( x + 3) ( x + 5) 5 3 ⎡ ( x + 3) − ( x + 5) ⎤ 6 dx 1 1 dx 1 1 dx HD . I = ∫ =∫ 6∫ = 5⎢ ⎥ ⎛ x + 3 ⎞ ( x + 5) ( x + 5) ( x + 5) x+5 5 5 6 2 2 ⎛x +3⎞ 2 ⎛x +3⎞ ⎣ ⎦ ( x + 5) 8 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝x +5⎠ ⎝ x +5⎠ ⎝ x +5⎠ §Ó tr¸nh sù ®å sé trong tÝnh to¸n ta cã thÓ sö dông phÐp ®Æt Èn phô nh− sau : ⎧ 1 dt dx = ⎪ ⎪ ( x + 5) x+3 2 2 =t⇒⎨ §Æt , nªn ta cã : x+5 ⎪x + 5 − 2 = t ⇒ 1 = 1− t ⎪ x+5 ⎩ x+5 2 ⎡ ( x + 3) − ( x + 5) ⎤ 1 ( t − 1) dt 6 6 1 1 dx 6∫ =∫ 5⎢ ⎥ ( x + 5) x+5 2 27 t5 2 ⎛x+3⎞ ⎣ ⎦ ⎜ ⎟ ⎝x+5⎠ dx TÝnh I = ∫ ( 3x − 2) ( 3x + 4 ) 7 3 dx TÝnh I = ∫ ( 2x − 1) ( 3x − 1) 3 4 3x − 1 1 1 =t⇒− dx = dt vμ = 2t − 3 §Æt ( 2x − 1) 2x − 1 2x − 1 2 ( 2t − 3 ) 5 dt dx dx ∫ ( 2x − 1) ( 3x − 1) ∫ = −∫ Do ®ã ta cã : I = = 3 4 4 t4 ⎛ 3x − 1 ⎞ ( 2x − 1) 7 ⎜ ⎟ ⎝ 2x − 1 ⎠ Trang 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 15 ___________________
  17. 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 TÝch ph©n cña c¸c hμm l−îng gi¸c A. Sö dông thuÇn tuý c¸c c«ng thøc l−îng gi¸c . 1 − cos2x 1 + cos2x C«ng thøc h¹ bËc : sin2 x = ; cos 2 x = 2 2 VD . T×m hä nguyªn hμm : ∫ cos2 xdx 1 + cos2x 1 1 1 1 dx = ∫ dx + ∫ cos2xd ( 2x ) = x + sin 2x + C ∫ cos ∫ xdx = 2 2 2 4 2 4 Bμi tËp . T×m hä nguyªn hμm : ∫ sin ∫ ∫ 2 2 . cos 4 xdx 3. cos 4 3xdx xdx 1. ∫ ∫ ∫ 2 4 24 4. sin 5xdx 5 . sin 5xdx 6 . cos x sin xdx − sin 3x + 3 sin x cos3x + 3cosx C«ng thøc h¹ bËc : sin3 x = ; cos 3 x = 4 4 Bμi tËp . T×m hä nguyªn hμm : ∫ sin 2 . ∫ cos6 3xdx ∫ cos 6 6 1. xdx 3. 4xdx C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thμnh tæng : 1 sin a.sin b = ⎡ cos ( a − b ) − cos ( a + b ) ⎤ 2⎣ ⎦ 1 cosa.cosb = ⎡cos ( a + b ) + cos ( a − b ) ⎤ 2⎣ ⎦ 1 sin a.cosb = ⎡ sin ( a + b ) + sin ( a − b ) ⎤ 2⎣ ⎦ VD . T×m hä nguyªn hμm : ∫ sin 2x.cosxdx 1 1 1 1 1 ∫ sin 2xcosxdx = ∫ 2 [ sin 3x + sin x ] dx = 6 ∫ sin 3xd ( 3x ) + 2 ∫ sin xdx = − 6 cos3x − 2 cosx + C Bμi tËp . T×m hä nguyªn hμm : ∫ sinxcos3xdx ∫ ∫ cos4x.sin 5x.sin xdx 2 . cosx.cos2x.cos3xdx 1. 3. C«ng thøc céng : cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b sin ( a + b ) = sin a cos b + sin b cos a sin ( a − b ) = sin a cos b − sin b cos a cos ⎡( x + 5 ) − ( x − 5 ) ⎤ ⎣ ⎦ dx 1 1 ∫ sin 2x − sin10x = 2cos10 ∫ cos ( x + 5 ) cos ( x − 5 ) = 2cos10 ∫ ⎡cot g ( x − 5 ) + tg ( x + 5 )⎤dx VD . ⎣ ⎦ sin ( x − 5 ) 1 +C ln = 2cos10 cos ( x − 5 ) dx dx dx ∫ sin 2x − sin x ∫ sin x + sin 3x ∫ 1 − sin x Bμi tËp : 1. 2. 3. B. TÝnh tÝch ph©n khi biÕt d(ux)) . π 2 ∫ sin x.cosxdx 2 VD . TÝnh 0 Trang 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 16 ___________________
  18. 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 π §Æt t=sinx, t ∈ ⎡0; 1⎤ . Khi x=0 th× t=1, khi x= th× t=1 vμ dt = cosxdx . Do ®ã : ⎣ ⎦ 2 π 1 t3 1 1 2 ∫ sin x.cosxdx = ∫ t dt = = 2 2 30 3 0 0 Víi lo¹i tÝch ph©n nμy häc sinh cã thÓ tù s¸ng t¹o ra mét lo¹t c¸c bμi to¸n, t«i thö ®−a ra mét vμi ph−¬ng ¸n : BiÕt d(sinx) cosxdx . π π π 2 2 2 2. ∫ n dx ( n ∈ N * , n ≠ 1) cosx 1. ∫ sin n x.cosxdx ∫ tg 3 xdx 3. π sin x π 0 4 4 cosxdx 4. ∫ ( sin 3x ) ( cos3x ) 10 ∫ sin 5 dx 5. x + 3 sin x + 2 2 −sinxdx . BiÕt d(cosx) π π π sin3 x 2 4 4 dx ( n ∈ N * , n ≠ 1) sin x 1. ∫ cos x.sin xdx 2. ∫ ∫ cos n dx 3. cos n x 5 x 0 0 0 sin xdx 4. ∫ ( sin 2x ) ( cos2x ) 7 5. ∫ 100 dx cos3 x − 1 1 BiÕt d(tgx) dx . cos2 x π π π ( tg3x ) 7 4 4 4 1. ∫ ( tg x + tgx ) dx sin x ∫ ( cos3x )6 dx 2. ∫ 3 dx 3. 3 0 cos x 0 0 ∫ ( tg x + tg 4 x + tg3 x + tg2 x + 1) dx 1 dx 4. ∫ 5. ∫ 5 dx 6. cos 4 x cos2n x 1 − BiÕt d(cotgx) dx . sin 2 x π π ( cotg5x ) 10 2 2 1. ∫ ( cotg 3 x + cotgx ) dx cosx ∫ ( cos5x )8 2. ∫ dx dx 3. sin5 x π π 4 4 ∫ ( cotg x + cotg 4 x + cotg 3 x + cotg 2 x ) dx 1 dx 4. ∫ 4 dx 5. ∫ 2n 5 6. sin x sin x BiÕt d( sinx ± cosx ) ( cosx ± sinx) dx π π ( cos x − sin x ) 4 2 cos2x cos2x 1. ∫ 2. ∫ ∫ ( sin x + cosx ) dx dx dx 3. 1 + sin 2x sin x + cosx 3 π 0 4 ( sin 2x + 2cos4x ) dx 2cosx − 3 sin x 4. ∫ 5. ∫ dx 2 sin x − 3cosx + 1 cos2x − sin 4x BiÕt d ( a sin2 x ± bcos2 x ± c sin 2x ± d ) (a ∓ b ± c) sin2xdx sin 2x sin 2x 1. ∫ 2. ∫ dx 3 sin2 x + cos 2 x 2 sin2 x − 4 sin xcosx + 5cos 2 x BiÕt d(f(x)) víi f(x) lμ mét hμm l−îng gi¸c bÊt k× nμo ®ã . cos3 + 1 1 VD . Chän f(x) = sinx + tgx ⇒ d ( f ( x ) ) = cosx + = 2 cos2 x cos x Trang 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 17 ___________________
  19. 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 ( sin x + tgx ) ( cos3 x + 1) ∫ Nh− vËy ta cã thÓ ra mét bμi to¸n t×m nguyªn hμm nh− sau : dx cos2 x §Ó t¨ng ®é khã cña bμi to¸n b¹n cã thÓ thùc hiÖn mét vμi phÐp biÕn ®æi vÝ dô : ( sin x + tgx ) ( cos3 x + 1) sin x (1 + cosx ) ( cos3 x + 1) ⎛ 1⎞ = sin x (1 + cosx ) ⎜ 1 + = ⎟ ⎝ cos3 x ⎠ 2 3 cos x cos x ⎛ 1⎞ Tõ ®ã ta cã bμi to¸n t×m nguyªn hμm : ∫ sin x (1 + cosx ) ⎜ 1 + ⎟ dx ⎝ cos3 x ⎠ DÜ nhiªn ®Ó cã mét bμi t×m nguyªn hμm nh×n ®Ñp m¾t l¹i phô thuéc vμo viÖc chän hμm f(x) vμ kh¶ n¨ng biÕn ®æi l−îng gi¸c cña b¹n ! 1 1 4 VD . T«i chän hμm sè : f(x) = tgx – cotgx ⇒ d ( f ( x ) ) = + = , nh− vËy t«i cã thÓ ra mét bμi cos2 x sin2 x sin2 2x ( tgx - cotgx )2007 ∫ to¸n nh×n “ t¹m ®−îc “ nh− sau : T×m hä nguyªn hμm : dx sin 2 2x NÕu thÊy ch−a hμi lßng ta thö biÕn ®æi tiÕp xem sao ? ( tgx - cotgx ) 2007 cos 2 x − sin2 x 2cos2x 22007 cos2007 2x Ta cã : tgx − cot gx = = ⇒ = 2 sin2009 2x sin x.cosx sin 2x sin 2x cos2007 2x VËy b¹n sÏ cã mét bμi to¸n míi : T×m hä nguyªn hμm : ∫ dx .. Cã thÓ b¹n sÏ thÊy buån khi bμi to¸n nμy l¹i sin 2009 2x cã c¸ch gi¶i ng¾n h¬n con ®−êng chóng ta ®i ! Nh−ng dÉu sao còng ph¶i tù an ñi m×nh : “ Thùc ra trªn mÆt ®Êt lμm g× cã ®−êng ..” ☺ Chẳng lẽ chúng ta không thu lượm được điều gì chăng ? Nhưng tôi lại có suy nghĩ khác, biết đâu những nhà viết sách lại xuất phát từ những ý tưởng như chúng ta …??? Hãy thử xét sang một dạng toán khác : C. T¹o ra d(u(x)) ®Ó tÝnh tÝch ph©n . π 4 dx ∫ cosx VD . TÝnh tÝch ph©n : 0 ∫ f ( u ( x ) )u'( x ) dx = ∫ f ( u )du Râ rμng bμi to¸n kh«ng xuÊt hiÖn d¹ng : VËy ®Ó lμm ®−îc bμi to¸n, mét ph−¬ng ph¸p ta cã thÓ nghÜ ®Õn lμ t¹o ra d( u(x)) nh− sau : π π π π cosxdx 6 d ( sin x ) 1 1 − sin x 6 6 dx 11 ∫ cosx = ∫ cos2 x = ∫ 1 − sin2 x = 2 ln 1 + sin x 6 = 2 ln 3 0 0 0 0 B¹n cã nghÜ r»ng m×nh còng cã kh¶ n¨ng s¸ng t¹o ra d¹ng to¸n nμy ! T¹o d(sinx) cosxdx . tg 4 x dx dx 1. ∫ 4 2. ∫ ∫ cos dx 3. 3 sin xcosx cosx x sin2 x cos2 xdx dx 4. ∫ 5. ∫ ∫ dx 6. cosx cos3x 3 5 sin xcosx −sinxdx . T¹o d(cosx) π cos3 x 2 dx dx 1. ∫ 2. ∫ 3 ∫ sin5 x dx 3. sin xcosx sin x π 4 Trang 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 18 ___________________
  20. 12 ∫ Ph¹m Kim Chung bµi gi¶ng tÝch ph©n Tr−êng THPT §Æng Thóc Høa 2007 4 sin3 x dx dx ∫ 1 + cosx 5. ∫ 4. ∫ 6. sin x ( cos3 x − 1) sin xcos 6 x 1 T¹o d(tgx) dx . cos2 x π π sin2 x 4 4 dx 1. ∫ tg 3 xdx 2. ∫ ∫ ( sin x ) dx 3. ( cosx )3 0 1 + cos x 3 2 0 1 dx ∫ ( sin x − 2cosx ) 5. ∫ 4. ∫ tg 8 xdx dx 6. 2 sin2 x − 5 sin xcosx − 3cos2 x 2 1 − T¹o d(cotgx) dx . sin 2 x π ( cotg5x ) 10 2 1 ∫ ( sin 5x )8 2. ∫ 1. ∫ cotg 3 xdx dx dx 3. sin2 x − 2cos 2 x π 4 1 dx 4. ∫ ∫ sin dx 5. sin 4 x 2n x 11 x x T¹o d( tg ) dx . < PhÐp ®Æt Èn phô t= tg > . x 2 cos2 2 2 2 dx 1 dx 1. ∫ 2. ∫ ∫ 2 sin x + 5cosx + 3 dx 3. 2cos3x + 7 sin 3x 3 sin x + cosx 7 sin x − 5cosx sin x − cosx + 1 5. ∫ 4. ∫ dx ( 3 sin x + 4cosx ) sin x + 2cosx + 3 2 D. s¸ng t¹o bμi tËp NÕu ®−îc phÐp hái, t«i sÏ hái r»ng b¹n cã c¶m thÊy nhµm ch¸n khi b¹n cø suèt ngµy «m lÊy mét cuèn s¸ch tham kh¶o vµ lµm hÕt bµi tËp nµy ®Õn bµi tËp kh¸c, mµ ®«i lóc b¹n vÉn c¶m gi¸c r»ng kh¶ n¨ng gi¶i to¸n cña m×nh kh«ng giái lªn. Cßn t«i ®am mª m«n To¸n tõ khi t«i biÕt thÕ nµo lµ s¸ng t¹o .. B¹n cã muèn thö xem m×nh cã kh¶ n¨ng s¸ng t¹o hay kh«ng ? Dï kh¶ n¨ng s¸ng t¹o bµi tËp ®−îc xuÊt ph¸t tõ nh÷ng b¶n chÊt rÊt s¬ ®¼ng, cã thÓ b¹n s¸ng t¹o mét bµi to¸n mµ b¹n ®· b¾t gÆp ë mét cuèn s¸ch nµo ®ã.. nh−ng dÉu sao nã vÉn mang “ d¸ng dÊp “ cña b¹n . T«i m¹n phÐp t− duy ®Ó cïng tham kh¶o cho “ vui “ ! T«i sÏ lÊy mét hμm sè f(x) nμo ®ã mμ t«i thÝch, råi ®¹o hμm ®Ó t×m d(f(x)) . h T«i chän : f ( x ) = sin4 x + cos4 x , f' ( x ) = 4 ( sin3 xcosx − cos3 x sin x ) = 2.sin 2x ( sin2 x − cos 2 x ) = − sin 4x π 2 sin4x ∫ sin x + cos xdx Mét bμi to¸n ®¬n gi¶n ®−îc t¹o ra : TÝnh 4 4 0 Mét bμi to¸n nh×n kh¸ ®Ñp m¾t, b¹n ®· gÆp ë ®©u ch−a ? NÕu gÆp bμi to¸n nμy tr−íc khi b¹n biÕt s¸ng t¹o b¹n gi¶i quyÕt nã nh− thÕ nμo ? §Ó t¨ng kh¶ n¨ng “ ®¸nh lõa trùc gi¸c “ b¹n cã thÓ t¹o mÉu sè thμnh mét hμm sè hîp nμo ®ã quen thuéc , vÝ dô : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau : π π π 2 2 2 sin4x sin4x sin4x ∫ ∫ cos 2 ( sin x + cos x )dx ∫ dx dx 1. 2. 3. ( sin x + cos x ) 2007 4 4 4 4 4 4 sin x + cos x 0 0 0 Trang 0974.337.449 ___________________________ Th¸ng 12 – n¨m 2007 19 ___________________
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.05: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2022
304 tài liệu
925 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2