zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp A1 - Trường CĐ Công nghiệp Huế (2015)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Báo xấu

8
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung bài giảng Toán cao cấp A1 gồm có: giới hạn và liên tục; phép tính vi phân của hàm một biến số; phép tính tích phân của hàm một biến; đại số tuyến tính; phép tính vi phân của hàm hai biến số;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp A1 - Trường CĐ Công nghiệp Huế (2015)

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ  BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1 Th.S. NGUYỄN HOÀNG ANH KHOA Huế, tháng 09 năm 2015
Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1 Hàm số 1.1.1. Định nghĩa Cho X, Y là tập con khác rỗng của R. Ánh xạ f : X  Y, x  y = f(x) được gọi là hàm số. x được gọi là biến độc lập y = f(x) được gọi là giá trị của hàm f tại x X được gọi là tập xác định của hàm f. Quy ước Người ta thường viết gọn hàm số bởi đẳng thức y = f(x). Tập xác định D là tập các giá trị x sao cho f(x) có nghĩa Tập giá trị T = f(D) = {f(x) | x  D} Hàm số ngược Cho hàm số f : X  Y, x  y = f(x) Nếu mỗi y thuộc Y đều tồn tại duy nhất x thuộc x sao cho f(x) = y. Khi đó hám số g:YX y  x = g(y) gọi là hàm số ngược của hàm f, kí hiệu g = f –1 Chú ý: Nếu f có hàm ngược thì:  f(x) = y  f – 1(y) = x  f – 1(f(x)) = x và f(f – 1(x))= x Định lí: Nếu f : D  T = f(D) đơn điệu trên D thì f có ánh xạ ngược f – 1 : T  D 1.1.2. Các hàm số sơ cấp cơ bản 1) Hàm lũy thừa y = x (  R*) 2) Hàm mũ y = ax (a > 0, a  1) 3) Hàm logarit y = logax (a > 0, a  1) 4) Các hàm lượng giác 5) Các hàm lượng giác ngược   a) Hàm số sin :  ;   [–1; 1] tăng nên có hàm số ngược.  2 2 Ký hiệu là y = arcsin x. Vậy hàm    arcsin: [  1;1]    ;   2 2 x  y  arcsinx trong đó siny = x, gọi là hàm ắc-sin. 1
Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa b) Hàm số y = cos x Hàm ắc-cô-sin là hàm arccos: [  1;1]   0;   x  y  arccosx trong đó cosy = x c) Hàm số y = tanx Hàm ắc-tang là hàm    arctan: R    ;   2 2 x  y  arctan x trong đó tany = x d) Hàm số y = cotx Hàm ắc-cô-tang là hàm arccot: R   0;  x  y  arccotx trong đó coty = x  3    1  2 Ví dụ: arcsin      ; arctan1  ; arccos      2  3 4  2 3 1.2 Dãy số 1.2.1 Định nghĩa dãy số, dãy con, giới hạn. Cho X, Y là hai tập khác rỗng một quy tắc f đặt tương ứng mỗi phần tử x  X với một và chỉ một phần tử y  Y gọi là một ánh xạ. Ký hiệu f : X  Y, x  y  f (x) Hay f :X  Y x  y  f (x) Ánh xạ u : N*  R , n  u(n) gọi là một dãy số Để đơn giản ta ký hiệu un = u(n). Dãy số có thể viết theo thứ tự tăng dần của chỉ số n chẳng hạn: u1; u2; u3;...; un; ... Ký hiệu dãy số u là (un)n N * hoặc gọn hơn là (un)n hay (un). Dãy con 2
Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Giới hạn của dãy số Định nghĩa 1 Dãy số (un) gọi là dần về a (hay có giới hạn a hay hội tụ về a) nếu  > 0, n0  N sao cho n>n0 thì |un – a| < . Kí hiệu: lim u n  a , limun = a hay un  a. n  Định nghĩa 2 (Giới hạn vô hạn) Cho dãy số (an)n . – Nếu với mọi M > 0 lớn tuỳ ý, tồn tại n0  N sao cho an > M  n > n0 thì ta nói dãy (an)n có giới hạn cộng vô cùng. Ký hiệu: liman = +  hay an + . – Nếu với mọi M > 0 lớn tuỳ ý, tồn tại n0  N sao cho an < – M  n > n0 thì ta nói dãy (an)n có giới hạn trừ vô cùng. Ký hiệu: liman = –  hay an – . Chú ý:  limC = C (C là hằng số) 1  lim  = 0 (với  > 0) n  limqn = 0 (với |q| < 1) 1  limun =  thì lim  0 un 1.2.2. Tính chất của dãy hội tụ Định lí 1 Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất Định lí 2 Mọi dãy hội tụ đều bị chặn Định lí 3 Nếu (an)n là dãy tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ. Nếu (an)n là dãy giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ. Định lí 4 Cho (an)n và (bn)n là hai dãy hội tụ. Khi đó, ta có: i) lim(an  bn) = liman  limbn ii) lim(anbn) = liman.limbn a lim a n iii) Nếu limbn  0 thì lim n  b n lim b n iv) Nếu an ≤ bn với mọi n > n0 thì liman ≤ limbn Hệ quả: Nếu an ≤ bn  cn và liman = limcn = L thì limbn = L 1.3. Giới hạn của hàm số 1.3.1. Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0 (có thể trừ điểm x0). Số L được gọi là giới hạn của hàm số y = f(x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn)n , xn  x0 sao cho khi limxn = x0 thì limf(xn) = L. Khi đó, ta viết . 3
Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Một số giới hạn cần nhớ  lim C  C lim x  x 0 lim arctan x   xx0 xx 0 x  2 sinx e 1 x ln(1  x) lim 1 ; lim 1; lim 1 x 0 x x 0 x x 0 x Tính chất Định lí 1: Giới hạn của hàm số y = f(x) khi x  x0 (nếu có) là duy nhất. Định lí 2: Nếu f(x)  g(x) x  U0 và lim f (x)  L , lim g(x)  L' thì L  L'. xx0 xx 0 Định lí 3: (nguyên lý kẹp) Nếu h(x)  f(x)  g(x) x  U0 và lim h(x)  lim g(x)  L thì lim f (x)  L xx 0 x x0 xx 0 Định lí 4: Giả sử lim f (x)  a ; lim g(x)  b . Khi đó: xx 0 xx 0 i) lim  f (x)  g(x)   a  b xx0 ii) lim  f (x).g(x)  a.b xx 0 f (x) a iii) Nếu b  0 thì lim  x  x 0 g(x) b 1.2.2 Vô cùng bé, vô cùng lớn a) Vô cùng bé Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0. Hàm f gọi là một vô cùng bé (VCB) khi x  x0 nếu lim f (x)  0 . xx 0 Giả sử f(x) và g(x) là các VCB khi x  x0, khi đó: f (x) – Nếu lim  0 thì ta nói f(x) là VCB bậc cao hơn so với g(x) hay g(x) là x  x 0 g(x) VCB bậc thấp hơn so với f(x) khi x  x0. Kí hiệu f(x) = o(g(x)) f (x) – Nếu lim  1 thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB tương đương khi xx0 và x  x 0 g(x) ký hiệu là f(x) ~ g(x). f (x) – Nếu lim  A  R* thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi xx0 x  x 0 g(x) 0 Ứng dụng VCB tương đương để khử dạng vô định   . 0 i) Nếu f(x) là VCB khi xx0 thì f(x) + o(f(x)) ~ f(x) khi xx0. f (x) F(x) ii) Nếu f(x) ~ F(x) và g(x) ~ G(x) khi x  x0 thì lim  lim . x  x 0 g(x) x  x 0 G(x) 4
Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa b) Vô cùng lớn Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0. Hàm f gọi là một vô cùng lơn (VCL) khi x  x0 nếu lim | f (x) |  . xx 0 Giả sử f(x) và g(x) là các VCL khi x  x0, khi đó: f (x) – Nếu lim   thì ta nói f(x) là VCL bậc cao hơn so với g(x) hay g(x) là xx 0 g(x) VCL bậc thấp hơn so với f(x) khi x  x0. Kí hiệu f(x) >> g(x) f (x) – Nếu lim  1 ta nói f(x) và g(x) là hai VCL tương đương khi xx0 và ký x x 0 g(x) hiệu là f(x) ~ g(x).  Ứng dụng VCL tương đương để khử dạng vô định   .  i) Nếu f(x) >> g(x) khi xx0 thì f(x) + g(x) ~ f(x) khi xx0. f (x) F(x) ii) Nếu f(x) ~ F(x) và g(x) ~ G(x) khi x  x0 thì lim  lim . x  x 0 g(x) x  x 0 G(x) Chú ý: Khi x  +∞ ta có: ax >> xn >> lnx với a > 1, n > 0. 1.4 Hàm số liên tục 1.4.1 Định nghĩa f liên tục tại x0  lim f (x)  f (x 0 ) xx0 f liên tục trên (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x  (a;b) f liên tục trên [a;b] nếu nó liên tục trên (a;b) và lim f (x)  f (a); lim f (x)  f (b) x a x b 1.4.2 Tính chất Định lí: Mọi hàm số sơ cấp đều liên trên từng khoảng xác định của nó. Định lí: Nếu f là hàm liên tục trên [a; b] thì f nhận mọi giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của nó trên [a; b]. 5
Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Bài tập chương 1 1.1. Tính giới hạn của dãy (un) biết (n  1) n  3 u1  0 a) lim b)  n 3  3n 2  10 u n 1  2  u n 1.2. Tính các giới hạn: x2  3 x6 sinx  t anx a) A = lim b) B = lim x 2 x2 x 0 x3 1.3. Xét tính liên tục các của hàm số: 1  cosx  x 2 ,x  0  1  x.sin , x  0 a) f (x)   b) f (x)   x  1 ,x  0 0 ,x  0  2 6
Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ 2.1. Đạo hàm 2.1.1. Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a; b) ta nói rằng hàm số f(x) khả vi tại f (x)  f (x 0 ) điểm x0  (a, b) nếu tồn tại giới hạn lim  A. x x 0 x  x0 Số A nói trên được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x 0. Ký hiệu f’(x0). Nếu hàm số f(x) khả vi tại mọi điểm x  (a, b) thì ta nói rằng f(x) khả vi trong khoảng (a; b). Nhận xét: Nếu đặt  x = x – x0 thì biểu thức định nghĩa trở thành f (x 0  x)  f (x 0 ) f '(x 0 )  lim x  0 x 2.1.2 Công thức tính đạo hàm a. Các quy tắc tính đạo hàm a. (u + v) = u + v b. (u – v) = u – v c. (uv) = uv + vu  u  uv  vu d.    với v  0. v v2 e. [f(u(x))]  = f (u(x)).u(x) b. Đạo hàm của hàm số ngược Định lí: Giả sử f: (a; b)  (c; d) là một song ánh liên tục, g = f 1 : (c; d)  (a; b) là hàm số ngược của nó, đặt y0 = f 1 (x0). Nếu f có đạo hàm tại y0  (a; b) và f’(y0)  0 1 thì f 1 có đạo hàm tại x0 và f (x 0 )  1 . f '(y 0 )   Ví dụ: y = arcsinx là hàm số ngược của x=siny, –
Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa c. Đạo hàm của các hàm cơ bản  x  '  α.x α α 1  u  '  α.u '.u α α 1 e '  e x x  e  '  u '.e u u  a  '  a ln a x x  a  '  u '.a .ln a u u  ln x  '  1 x  ln u  ' u'  u  log x  '  x.ln1 a a  log a u  '  u.ln u' a  sin x  '  cos x  sin u  '  u '.cos u  cos x  '   sin x  cos u  '   u '.sin u  tan x  '   tan u  '  2  u '.1  tan 2 u  1 u'  1  tan 2 x cos x2 cos u  cot x  '  2   1  cot 2 x   cot u  '  2  u '.1  cot 2 u  1 u ' sin x sin u  arcsin x  '   arcsin u  '  1 u' 1  x2 1  u2 1 u '  arccos x  '   arccos u  '  1 x 2 1  u2  arc tan x  '   arc tan u  '  1 u' 1 x 2 1  u2 1 u '  arccot x  '   arccot u  '  1 x 2 1  u2 2.1.3. Đạo hàm cấp cao Cho hàm số f(x) xác định, liên tục trong khoảng (a, b), giả sử f(x) khả vi tại mọi điểm x  (a, b); khi đó, hàm đạo hàm f’(x) cũng có thể khả vi và đạo hàm của f’(x) được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x), kí hiệu f’’(x), cứ tiếp tục suy diễn như thế chúng ta có thể định nghĩa đạo hàm cấp n. Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a; b), f(x) được gọi là khả vi n lần trong (a, b) nếu f là khả vi (n–1) lần trong (a; b) và đạo hàm cấp (n–1) của f cũng khả vi. Khi đó đạo hàm cấp n của f được định nghĩa bởi hệ thức: f (n ) (x)  f (n 1) (x)  ' Ví dụ 1: Tính đạo hầm cấp 3 của các hàm số sau tại điểm x = 0. a) y = arctanx b) y = arcsinx c) y = ln(1 + x) d) y = 3 3x  1 8
Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Ví dụ 2: Chứng minh a)  e  b)  ln(1  x)  (1) n 1.(n  1)! x (n ) e  x (n ) (1  x)n   c)  sinx  d)  cosx   cos  x  n     sin  x  n  (n ) (n)  2  2 2.2. Vi phân 2.2.1. Định nghĩa, ý nghĩa hình học quan hệ với đạo hàm Từ định nghĩa, một hàm số f(x) khả vi tại x, ta có f(x+x) – f(x) = f’(x) x + o(x) Tích số f’(x) x được gọi là vi phân của f tại điểm x, ký hiệu là df(x). Vậy df (x)=f’(x) x Đặc biệt, nếu xét hàm số f(x) = x thì dx=(1).x, nghĩa là dx=x. Do vậy công thức vi phân có thể viết dạng df(x) =f’(x)dx 2.2.2. Vi phân cấp cao Vi phân cấp hai của hàm số f(x) tại một điểm nào đó (nếu có) là vi phân của df (vi phân df bây giờ được gọi là vi phân cấp một), nếu ký hiệu vi phân cấp hai là d 2 f, thì theo định nghĩa d2f(x) = d(df(x)) Tổng quát, vi phân cấp n của y=f(x), kí hiệu là dny hay dnf(x) là vi phân của vi phân cấp (n –1): dny = d(d dn–1y) 2.3. Các định lí 2.3.1 Định lý Fermat Nếu hàm f đạt cực trị tại c và f khả vi tại c thì f’(c) = 0. 2.3.2 Định lý Rolle Cho hàm f liên tục trên [a,b] và khả vi trong (a,b). Nếu f(a)=f(b) thì tồn tại c thuộc (a,b) sao cho f’(c) = 0. 2.3.3 Định lý Lagrange Cho hàm f liên tục trên [a,b] và khả vi trong (a,b). Khi đó, tồn tại c thuộc (a,b) sao cho: f (b)  f (a ) f’(c) = ba 2.4. Công thức TayLor Nếu hàm số f(x) có đạo hàm đến cấp n trên [a;b] và có đạo hàm đến cấp (n+1) trên (a;b) thì x, x0  (a;b) tồn tại c = x0 + t(x–x0) với 0 < t < 1 sao cho f (x 0 ) f (n) (x 0 ) f (n 1) (c) f (x)  f (x 0 )  (x  x 0 )  ...  (x  x 0 )n  (x  x 0 ) n 1 1! n! (n  1)! 9
Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Đặc biệt, khi x0 = 0 ta có f (0) f (n) (0) n f (n 1) (c) n 1 f (x)  f (0)  x  ...  x  x 1! n! (n  1)! công thức trên gọi là công thức Mac Laurin Hơn nữa, nếu M sao cho |f(n+1)(x)| < M, x(a,b). Khi x  0, ta có f (0) f (n ) (0) n f (x)  f (0)  x  ...  x  o(x n ) 1! n! Ví dụ 3: Chứng minh. Khi x  0 ta có x2 x3 xn a) e x  1  x    ...   o(x n ) 2! 3! n! x 2 x3 x4 n 1 x n b) ln(1  x)  x     ...  (1) .  o(x n ) 2 3 4 n x3 x5 x7 x 2n 1 c) sinx  x     ...  ( 1) n .  o(x 2n 1 ) 3! 5! 7! (2n  1)! x2 x4 x6 n x 2n d) cosx  1     ...  (1) .  o(x 2n ) 2! 4! 6! (2n)! 0  2.5. Quy tắc L’Hospital (Khử dạng vô định và ) 0  f (x) f (x) Nếu lim f (x)  limg(x)  0 ( hoặc ∞ ) và lim  A  R thì lim A x a x a x a g(x) x a g(x) Chú ý: Phương pháp khử dạng vô định 00; 0; 1 lim u(x) v(x)  e x a lim v(x).ln u( x) x a 10
Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Bài tập chương 2 2.1. Tính các giới hạn sau: arctan(x  1) 1  2x  1 a) lim b) lim x 1 x2 1 x 0 sin 3x ln x 2  2 e 2x  e x c) lim d) lim x e x  e x  0 ln(1  x ) 1 sin x lim x e) lim f) x 2 2 x  x   x 1   cot3 x   sin x g) lim cos x h) lim 1  x 3 x 0 x 0 2 2  2 2x  2 3x  x  2   x  i) lim   k) lim   x   x 2  1  x   x 2  1 2.2. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm x0 = 0 (nếu có).   arctan x e 2x  cos x   ,x0   a) f (x )   2x b) f (x )     , x 0  1  x   ,x 0  2 , x0  2   e 2x  e x   1  cos x    , x 0 c) f (x )   x d) f (x )   , x 0  x2    1 1 , x0  , x 0  2  11
Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG 3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 3.1. Nguyên hàm, tích phân bất định 3.1.1. Nguyên hàm Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b), hàm số F(x) xác định trong (a, b) gọi là một nguyên hàm của f(x) nếu F’(x) = f(x) với mọi x  (a, b). Ví dụ. x4  x4  ' là nguyên hàm của x với mọi x  R vì    x 3 . 3 4  4  x4  x4  ' + 10 là nguyên hàm của x3, với mọi x  R vì   10   x 3 . 4  4  x4  x4  '  C là nguyên hàm của x3, C là hằng số bất kỳ vì   C   x 3 4  4  Định lí sau đây tổng quát hóa các ví dụ trước. Định lí 1. Giả sử F(x) khả vi trong (a, b) và F(x) là nguyên hàm của f(x) với mọi x  (a, b). Khi đó: i) Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x) với mọi x  (a, b). ii) Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) với mọi x  (a, b) đều có dạng F(x) + C . 3.1.2. Tích phân bất định a. Định nghĩa Từ Định lí trên ta thấy rằng nếu biết F(x) là một nguyên hàm của f(x), x  (a, b), thì biết vô số nguyên hàm khác của f(x) và các nguyên hàm đó có dạng F(x) + C với C là hằng số tùy ý; họ vô số nguyên hàm của f(x) đó, x  (a, b) được gọi là tích phân bất định của f(x), x  (a, b) và ký hiệu là  f (x)dx : = F(x) + C. Ký hiệu  gọi là dấu tích phân; x gọi là biến lấy tích phân; f(x) là hàm số lấy tích phân; f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân. Trở lại ví dụ trên ta có:  x dx  x4 3 C 4 b. Tính chất Nếu F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của f(x) và g(x), x  (a, b) thì   Af (x)  Bg(x)  dx = A  f (x)dx  B  g(x)dx = AF(x) + BG(x) + C. với A, B là hai hằng số tùy ý. 12
Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG 3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 3.1. Tích phân bất định 3.1.1. Định nghĩa. Tính chất a) Nguyên hàm Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b), hàm số F(x) xác định trong (a, b) gọi là một nguyên hàm của f(x) nếu F’(x) = f(x) với mọi x  (a, b). Ví dụ. x4  x4  ' là nguyên hàm của x3 với mọi x  R vì    x 3 . 4  4  x4  x4  ' + 10 là nguyên hàm của x , với mọi x  R vì   10   x 3 . 3 4  4  x4  x4  '  C là nguyên hàm của x3, C là hằng số bất kỳ vì   C  x 3 4  4  Định lí sau đây tổng quát hóa các ví dụ trước. b) Định lí 1. Giả sử F(x) khả vi trong (a, b) và F(x) là nguyên hàm của f(x) với mọi x  (a, b). Khi đó: i) Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x) với mọi x  (a, b). ii) Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) với mọi x  (a, b) đều có dạng F(x) + C . b. Tích phân bất định a. Định nghĩa Từ Định lí trên ta thấy rằng nếu biết F(x) là một nguyên hàm của f(x), x  (a, b), thì biết vô số nguyên hàm khác của f(x) và các nguyên hàm đó có dạng F(x) + C với C là hằng số tùy ý; họ vô số nguyên hàm của f(x) đó, x  (a, b) được gọi là tích phân bất định của f(x), x  (a, b) và ký hiệu là  f (x)dx : = F(x) + C. Ký hiệu  gọi là dấu tích phân; x gọi là biến lấy tích phân; f(x) là hàm số lấy tích phân; f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân. Trở lại ví dụ trên ta có:  x dx  4  C 3 x4 b. Tính chất Nếu F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của f(x) và g(x), x  (a, b) thì   Af (x)  Bg(x)  dx = A  f (x)dx  B g(x)dx = AF(x) + BG(x) + C. với A, B là hai hằng số tùy ý. 12
Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa 3.1.2. Bảng công thức cơ bản Từ bảng đạo hàm các hàm số thông dụng ta suy ra bảng tích phân, gọi là bảng tích phân cơ bản.  x dx    1  C ,   1  x 1  x  ln x  C dx  e dx  e C x x  a dx  ln a  C x ax  sin x.dx   cos x  C  cos x.dx  sin x  C  sin 2 x dx   (1  cot x)dx   cotgx  C 1 2  cos2 x dx   (1  tan x)dx  tan x  C 1 2  x 2  1  arctan x  C dx  1  x 2  arcsin x  C dx  x 2  a 2  a arctan a  C dx 1 x  a 2  x 2  arcsin a  C dx x  dx  ln x  x 2  a 2  C x2  a2 3.1.3. Các phương pháp tính tích phân bất định a. Phương pháp phân tích dẫn đến tích phân cơ bản Ví dụ: i) I =  dx =  (x.x 1 2  x 1 2 )dx   x1 2dx   x 1 2dx  x x  2 x  C . x 1 2 x 3 ii) I =   1  x2   1  x 2 dx  x  arctan x  C x2 1  x2  1  1  dx  dx   1  1  x2 13
Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa b. Phương pháp đổi biến số Trong nhiều trường hợp, khi tính  f ( x)dx ; nếu để biến tích phân là x thì không thấy được tích phân cần tính đó gần với dạng tích phân cơ bản nào (để có thể áp dụng được tích phân cơ bản), khi đó ta tìm cách đổi sang biến mới, để hy vọng với biến mới thì tích phân cần tính gần với tích phân cơ bản hơn. Không có một quy tắc cụ thể nào giúp ta thực hiện phép đổi biến thích hợp được, tuy nhiên cũng có thể phát biểu một cách tổng quát về quy tắc của phép đổi biến, đó là mệnh đề: Mệnh đề Nếu biết rằng  g(t)dt = G(t) + C thì  g(w(x))w ' (x)dx = G(w(x)) + C (trong đó các hàm số g(t), w(x), w’(x) đều được giả thiết là những hàm số liên tục). Trong nhiều trường hợp, để tiện lợi, ta thường thực hiện phép đổi biến t: = w(x), và khi đó biểu thức dưới dấu tích phân trở thành f(x)dx = g(w(x))w’(x)dx Khi đó tìm được nguyên hàm G(t), chỉ cần thay t bởi w(x) và ta có:  f (x)dx =  g(t)dt = G(w(x)) + C. c. Phương pháp tích phân từng phần  udv  uv   vdu Ví dụ: i) Tính I =  ln xdx . 1 Đặt u = lnx; dv = dx, khi đó: du = dx ; v = x. x I =  ln xdx = xlnx –  dx = x(lnx–1) + C ii) Tính I =  arctan xdx . 1 Đặt u = arctanx; dv = dx và có: du = dx; v = x. 1 x2 1 x xdx 1 I = x.arctanx – = x.arctanx – ln(x2 +1) + C. 2 2 iii) Tính I =  x cos xdx Đặt u = x, dv = cosxdx; ta có: du = dx; v = sinx và được: I = xsinx –  sin xdx = xsinx + cosx + C iv) Tính I =  (3x  1)e x dx Đặt u = 3x +1, dv = exdx; ta có: du = 3dx; v = ex. 14
Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa I = (3x+1)ex –  3e x dx = (3x+1)ex – 3ex + C = (3x – 2)ex + C 3.1.4. Tích phân của một số hàm hữu tỉ, lượng giác, vô tỉ a. Tích phân của hàm hữu tỷ - Tích phân của các phân thức đơn giản  x  a dx  ( x  a) A A I. II. k dx x  (x Mx  N Mx  N III. dx IV. dx 2  px  q 2  px  q ) m p2 trong đó A, M, N, a, p, q  R; k, m nguyên dương, ngoài ra ta giả thiết q  > 0. 4 Trước hết, ta thấy rằng hai dạng I và II đã quen thuộc:  x  a dx  xa A dx =A = Aln x  a + C  ( x  a) dx = A  A dx A 1 = . + C (k  1) k ( x  a) k k  1 ( x  a ) k 1 Muốn tính các tích phân dạng III và IV, chúng ta biểu diễn x 2 + px + q dưới dạng  p2  x + px + q =  x     q   . p 2 2  2  4  p2 p2 p2 Theo giả thiết, q – > 0 nên ta đặt a = q – 2 , với a = q . 4 4 4 p Bây giờ thực hiện phép đổi biến x + = t; dx = dt 2 x2 + px + q = t2 + a2, Mx + N = Mt +  N  Mp  .  2  Khi đó tích phân dạng III sẽ là  Mp  Mt   N    x 2  px  q dx =  t 2  a 2 dt = 2 t  2 Mx  N  2  M 2tdt  Mp  dt N  2 a 2 2  t  a2 M 1 Mp  t = ln(t 2  a 2 )   N   arctg + C 2 a 2  a Cùng với phép đổi biến như trên, tích phân dạng IV sẽ là:  Mp  Mt   N    ( x 2  px  q)m  (t 2  a 2 )m dt = = 2  (t  2 Mx  N  2  M 2tdt  Mp  dt dx = N  2 a )2 m  2  (t  a 2 ) m Có thể tính tích phân thứ nhất của vế phải bằng cách đổi biến đặt u = t2 + a2  2tdt = du  (t  m  2tdt du 1 1 1 1 . m1 + C =  . 2 +C 2 a )2 m u m 1 u m  1 (t  a 2 ) m1 15
Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa  (t dt và đặt t = a.tanu 2  a 2 )m Định lí Mọi đa thức bậc n, với hệ số thực: Q(x) = a0  a1 x  ...  an x n ; an  0 đều có thể phân tích thành tích các thừa số là nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai không có nghiệm thực trong đó có thể có những thừa số trùng nhau: Q(x) = an ( x  a ) ( x  b) ...( x 2  px  q)  ...( x 2  lx  s) Trong đó a, b,… R: p 2 – 4q < 0, ..., l2 – 4s < 0 và     ...  2(   ...  )  n . P(x) Khi đó phân thức thực sự tương ứng có thể phân tích thành tổng các phân Q(x) thức tối giản: P(x) A A2 A  1   ...   Q(x) x  a (x  a) 2 (x  a) B B2 B  1   ...   ...  x  b (x  b) 2 (x  b) M x  N1 M x  N2 M x  N  21  2 2  ...  2   x  px  q (x  px  q) 2 (x  px  q) P x  Q1 P x  Q2 P x  Q  21  22  ...  2   ..... x  lx  s (x  lx  s) 2 (x  lx  s) trong đó A1, ..., A  , B1, ..., B , ..., M1, N1, ..., M  , N  , P1, Q1, ..., P , Q  là các hằng số được xác định theo phương pháp hệ số bất định mà chúng ta sẽ giới thiệu qua các ví dụ dưới đây. x2  2 x  6 (a) Phân tích thành tổng các phân thức tối giản. ( x  1)( x  2)( x  4) Từ Định lí đại số trên ta có: x2  2 x  6 A B C    ( x  1)( x  2)( x  4) x 1 x  2 x  4 x2  2 x  6 3 7 5 Đs: =   ( x  1)( x  2)( x  4) x 1 x  2 x  4 x2  1 (b) Phân tích thành tổng các phân thức tối giản. ( x  1)3 ( x  3) Dùng Định lí đại số trên ta có: x2  1 A B C D =    ( x  1) ( x  3) 3 x  3 ( x  1) 3 ( x  1) 2 x 1 16
Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa b. Tích phân các biểu thức lượng giác Giả sử cần tính tích phân I =  R(sin x, cos x)dx trong đó R(u, v) là một biểu thức hữu tỷ đối với u và v, nghĩa là khi tính giá trị của R(u, v) chỉ cần thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân và chia đối với các biến: x 2dt 2t 1 t2 t = tan , –  < x <   x = 2arctant; dx = (chú ý: sinx= ; cosx= ) 2 1 t2 1 t 2 1 t2 Do đó, có thể đưa tích phân I về dạng  2t 1  t 2  2dt I =  R , 2   1 t 1 t 1 t 2 2 và rõ ràng đây là biểu thức dưới dấu tích phân là hữu tỷ đối với t. c. Tích phân các biểu thức dạng  R( x,  2  x 2 )dx và  R( x, x 2   2 ) dx . Ta để ý rằng hàm dưới dấu các tích phân trong cả hai tích phân  R( x,  2  x 2 )dx và  R( x, x 2   2 ) dx không hữu tỷ đối với biến x (vì x còn chứa trong dấu căn thức), nhưng R(u, v) thì lại hữu tỷ đối với u và v, do vậy muốn tính các loại tích phân đó người ta tìm cách đổi biến hoặc đồng thời đổi biến và tích phân từng phần với hy vọng, với biến mới thì biểu thức dưới dấu tích phân trở nên hữu tỷ đối với biến mới; trong trường hợp này, người ta tìm cách khử căn thức. Chẳng hạn: với tích phân  R( x, x 2   2 ) dx người ta thường dùng phép biến đổi x:=  tgt. Với tích phân  R ( x,  2  x 2 )dx người ta thường dùng phép đổi biến x:=  sint, hay x:=  cost.  Với tích phân  R( x, x 2   2 ) dx người ta thường dùng phép đổi biến x:= cos t  a2  x2 Ví dụ: Tính I = dx , a > 0. x   Thực hiện phép đổi biến x:= asint; –  t  , khi đó dx = acostdt; 2 2 a 2  x 2  a cos t  a cos t , vì cost  0. Vậy: I =  a dt  a  dt  a   a  sin t.dt = cos 2 t 1  sin 2 t dt sin t sin t sin t t 1 cos t = a ln tg + acost + C = a ln  + acost + C 2 sin t sin t a  a2  x2 = a ln + a 2  x 2 + C. x 17
Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa 3.2. Tích phân xác định 3.2.1. Định nghĩa Cho hàm số f(x) và bị chặn trong khoảng đóng [a, b], chia [a, b] thành những khoảng nhỏ bởi các điểm a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b, trong mỗi khoảng [xi–1;xi] lấy một điểm i tùy ý sao cho: xi 1  i  xi (i = 1, 2, ..., n) và lập tổng  :=  f ( )x n i i i 1 với xi : xi  xi 1 ( i = 1, n ) Dĩ nhiên tổng  là một số xác định; số đó phụ thuộc i và phụ thuộc cách chọn phân điểm a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. Nếu khi n tăng vô hạn (n   ) sao cho max i :  ,   0 ; với i : xi ( i = 1, n ),  1i  n có giới hạn (hữu hạn) I, và giới hạn I này không phụ thuộc cách chọn điểm i , và không phụ thuộc cách chọn phân điểm a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. lim   I  0 ( n  ) thì I được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) lấy trên khoảng đóng [a, b] và ký hiệu là I =  f (x)dx b a Khi đó ta cũng nói rằng hàm số f(x) khả tích trên [a, b], [a, b] là khoảng lấy tích phân, a là cận dưới, b là cận trên của tích phân, x là biến số lấy tích phân và f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân. Một số lớp hàm khả tích Định lí 1. Nếu f(x) liên tục trong [a, b] thì f(x) khả tích trên [a, b]. Định lí 2. Nếu f(x) bị chặn trong [a, b] và có một số hữu hạn điểm gián đoạn trong [a, b] thì f(x) khả tích trên [a, b]. Định lí 3. Nếu f(x) bị chặn và đơn điệu trong [a, b] thì khả tích trong [a, b]. 3.2.2. Tính chất của tích phân xác định Tính chất 1. (i) Có thể đưa thừa số là hằng số ra ngoài dấu tích phân:  C. f ( x)dx = C  f ( x)dx b b a a (ii) Tích phân của tổng hai hàm số bằng tổng hai tích phân:   f ( x)  g ( x) dx =  f (x)dx +  g ( x)dx b b b a a a 18

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.