Bài giảng Toán cao cấp C2: Phần 1 - Trường ĐH Võ Trường Toản

Chia sẻ: Lôi Vô Kiệt | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp C2 là công cụ nhằm cung cấp cho sinh viên những kiến thức toán cần thiết để học được các kiến thức chuyên ngành. Bài giảng gồm 4 chương và được chia thành 2 phần, phần 1 này cung cấp cho sinh viên những nội dung về: Hàm số – Giới hạn – Liên tục; Phép tính vi phân hàm một biến. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp C2: Phần 1 - Trường ĐH Võ Trường Toản

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC VOÕ TRÖÔØNG TOAÛN Bài giảng môn học TOÁN CAO CẤP C2 (Dành cho sinh viên các ngành Kinh tế) Biên soạn: ThS. Phạm Thanh Dược Hậu Giang, 2019
LỜI NÓI ĐẦU Toán cao cấp C2 là môn học công cụ nhằm cung cấp cho sinh viên các ngành Kin Tế những kiến thức toán cần thiết để học được các kiến thức chuyên ngành. Bài giảng gồm 4 chương Chương 1: Hàm số – Giới hạn – Liên tục Chương 2: Phép tính vi phân hàm một biến Chương 3: Phép tính tích phân hàm một biến Chương 4: Phương trình vi phân. Trong các Chương 1, 2, 3 có một số kiến thức sinh viên đã được học ở trung học phổ thông nên có những phần chúng tôi yêu cầu sinh viên tự nghiên cứu. Yêu cầu cơ bản của chúng tôi là sinh viên hiểu rõ các khái niệm và vận dụng được các công thức, kết quả vào bài tập. Vì vậy trong bài giảng này chúng tôi bỏ qua phần trình bày các chứng minh quá phức tạp. Bên cạnh đó, chúng tôi đã đưa vào nhiều ví dụ và bài tập ứng dụng trong kinh tế để sinh viên làm quen với việc sử dụng công cụ toán học trong lĩnh vực kinh tế. Cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Cơ bản đã nhiệt tình quan tâm giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình biên soạn. Dù đã cố gắng nhưng chắc chắn bài giảng không tránh khỏi sai sót. Chúng tôi rất mong nhận được và chân thành biết ơn những ý kiến đóng góp của người đọc cả về nội dung lẫn hình thức. Tác giả i
MỤC LỤC Chương 1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN - LIÊN TỤC ................................. . 1 1.1 Hàm số ........................................................................................................... . 1 1.2 Giới hạn dãy số .............................................................................................. . 5 1.3 Giới hạn hàm số ............................................................................................. . 9 1.4 Đại lượng vô cùng bé và đại lượng vô cùng lớn............................................ 14 1.5 Hàm số liên tục .............................................................................................. 16 1.6 Bài tập Chương 1 ........................................................................................... 21 Chương 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN ..................... 23 2.1 Đạo hàm ......................................................................................................... 23 2.2 Vi phân ........................................................................................................... 27 2.3 Ứng dụng của đạo hàm trong toán học .......................................................... 33 2.4 Ứng dụng của đạo hàm trong phân tích kinh tế ............................................. 38 2.5 Bài tập Chương 2 ........................................................................................... 41 CHƯƠNG 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN ......... 45 3.1 Nguyên hàm và tích phân bất định ................................................................ 45 3.2 Tích phân xác định ......................................................................................... 59 3.3 Tích phân suy rộng......................................................................................... 67 3.4 Ứng dụng của tích phân trong kinh tế............................................................ 75 3.5 Ứng dụng hình học của tích phân xác định ................................................... 76 3.6 Bài tập Chương 3 ........................................................................................... 86 Chương 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .............................................. 91 4.1 Khái niệm mở đầu .......................................................................................... 91 4.2 Phương trình vi phân cấp 1 ............................................................................ 91 4.3 Mô hình vi phân trong kinh tế ..................................................................... 100 ii
4.4 Phương trình vi phân cấp 2 .......................................................................... 103 4.5 Bài tập Chương 4 ......................................................................................... 113 Tài liệu tham khảo .............................................................................................. 116 iii
Chương 1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN - LIÊN TỤC Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về hàm số, các tính chất của hàm số, các hàm số sơ cấp cơ bản. Khái niệm giới hạn dãy số, đặc biệt là giới hạn của hàm số và các tính chất của hàm số có giới hạn cũng được xem xét chi tiết ở đây. Hàm số liên tục là vấn đề không thể thiếu trong bất kỳ giáo trình Toán cao cấp nào, đọc giả có thể tìm thấy ở đây gần như đầy đủ các vấn đề liên quan đến tính liên tục của hàm số. 1.1 Hàm số 1.1.1 Ánh xạ Định nghĩa 1.1 Ánh xạ từ tập X vào tập Y là một quy luật tương ứng f sao cho với mỗi phần tử x có một phần tử tương ứng duy nhất y  Y . Kí hiệu f : X → Y . Khi đó, X được gọi là miền xác định của ánh xạ và f ( X ) =  y Y : y = f ( x), x  X  gọi là miền giá trị của ánh xạ. Định nghĩa 1.2 Cho ánh xạ f : X → Y , với X ,Y   , khi đó: f là một đơn ánh  f ( x) = f ( y) thì x = y , x, y  X f là một toàn ánh  f ( X ) = Y f là một song ánh  f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh. Nếu f là một song ánh thì ứng với mỗi phần tử y  Y , có một phần tử duy nhất x  X . Khi đó ánh xạ đi từ Y vào X xác định bởi f ( x) = y được gọi là ánh xạ ngược của f và kí hiệu là f −1 . Rõ ràng f −1 là song ánh và f −1 ( x ) = y  y = f ( x ) . 1.1.2 Hàm số Định nghĩa 1.3 Cho tập X  . Ta gọi ánh xạ f : X → là hàm số thực. Tập X được gọi là miền xác định và tập Y = f ( X ) =  f ( x) : x  X  được gọi là miền giá trị của hàm số. Ký hiệu bởi một trong các dạng sau: f : X → hay x y = f ( x) . Ví dụ 1.1 Hàm số y = 1 − x 2 có miền xác định là [-1;1] và miền giá trị là [0;1] . Định nghĩa 1.4 Đồ thị của hàm số y = f ( x ) với miền xác định D là tập hợp những điểm có tọa độ ( x; f ( x)) trong mặt phẳng tọa độ với x  D . 1
1.1.3 Tính chất của hàm số a) Hàm số chẵn, lẻ Giả sử D là tập đối xứng với gốc tọa độ, nghĩa là x  D thì − x  D . Định nghĩa 1.5 Cho hàm số f xác định trên tập D đối xứng, khi đó: f gọi là hàm số chẵn nếu, x  D ta đều có f ( x) = f (− x) . f gọi là hàm số lẻ nếu, x  D ta đều có f ( x) = − f (− x) . Ví dụ 1.2 Các hàm số y = x , y = cos x, y = x 4 + 2 x 2 là các hàm số chẵn. Các hàm số y = sin x, y = x 3 là các hàm số lẻ. Nhận xét 1.1 Đồ thị hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng và đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. b) Hàm số tuần hoàn Định nghĩa 1.6 Cho hàm số f xác định trên tập D thỏa x  t  D, x  D . Ta nói f là tuần hoàn nếu tồn tại số t  0 sao cho f ( x + t ) = f (t ), x  D . Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn đẳng thức trên được gọi là chu kỳ của hàm số. Ví dụ 1.3 Các hàm số y = sin x, y = cos x tuần hoàn với chu kỳ 2 và các hàm số y = tan x, y = cot x tuần hoàn với chu kỳ  . c) Hàm số đơn điệu Định nghĩa 1.7 Hàm số y = f ( x ) được gọi là tăng (đồng biến) trên D nếu với mọi x1 , x2  D, x1  x2 thì f ( x1 )  f ( x2 ) và tăng nghiêm ngặt trên D nếu x1 , x2  D, x1  x2 thì f ( x1 )  f ( x2 ) . Hàm số f được gọi là giảm (nghịch biến) trên D nếu với mọi x1 , x2  D, x1  x2 thì f ( x1 )  f ( x2 ) và giảm nghiêm ngặt trên D nếu x1 , x2  D, x1  x2 thì f ( x1 )  f ( x2 ) . Hàm số tăng hay giảm được gọi chung là hàm số đơn điệu. d) Hàm số bị chặn Định nghĩa 1.8 Nếu tồn tại số M sao cho f ( x)  M , x  D thì hàm số f ( x ) được gọi là bị chặn trên trên D. Tương tự, nếu tồn tại số m sao cho f ( x)  m, x  D thì hàm số f ( x ) được gọi là bị chặn dưới trên D. Hàm số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới thì gọi là bị chặn. Ví dụ 1.4 Hàm số y = cos x bị chặn trên , vì −1  cos x  1. 2
1.1.4 Hàm số hợp Định nghĩa 1.9 Cho y = f (u) là hàm số theo biến u và u = g ( x) là hàm số theo biến x. Khi đó, hàm số y = f (u) = f [ g ( x)] được gọi là hàm số hợp của biến x. Kí hiệu f g . Vậy ( f g )( x) = f [g( x)] . Ví dụ 1.5 Cho f ( x ) = x 2 + 1 và g ( x) = 2 x − 3. Khi đó, ( f g )( x) = f [g( x)] = f (2 x − 3) = (2 x − 3) 2 + 1 = 4 x 2 − 12 x + 10 và ( g f )( x) = g[f ( x)] = g ( x 2 + 1) = 2( x 2 + 1) − 3 = 2 x 2 − 1. 1.1.5 Hàm ngược Định nghĩa 1.10 Cho hàm số f xác định trên tập D và có miền giá trị là tập T. Giả sử f là song ánh. Khi đó f −1 là một song ánh từ tập T lên tập D. Ta gọi f −1 là hàm số ngược của hàm f. Nhận xét 1.2 Nếu f −1 là hàm ngược của hàm f thì f cũng là hàm ngược của f −1 . Đồ thị của hàm số đã cho và hàm ngược của nó đối xứng nhau qua đường thẳng y = x . 1.1.6 Các hàm số sơ cấp cơ bản Định nghĩa 1.11 Các hàm số sơ cấp cơ bản là các hàm số: a) Hàm số hằng: y = c, c là hằng số. Hàm số hằng có tập xác định là và tập giá trị {c} . b) Hàm số lũy thừa: y = x  (   ) Miền xác định của hàm số lũy thừa khác nhau với những  khác nhau. Nhưng hàm y = x  trong mọi trường hợp đều xác định với mọi giá trị x  0. Đồ thị hàm y = x  luôn đi qua điểm (1;1) , sẽ đi qua gốc tọa độ nếu   0 và không qua gốc tọa độ nếu   0. c) Hàm số mũ: y = a x ( a  0, a  1) . Số a được gọi là cơ số của hàm số mũ. Hàm số mũ có tập xác định là và miền giá trị là (0, +) . • Nếu a  1 : hàm số đồng biến. • Nếu 0  a  1: hàm số nghịch biến. • Đồ thị luôn đi qua (0;1) . Nếu a  0, b  0, x, y là các số thực bất kỳ thì: 1 • a 0 = 1, a x  0, x • a−x = x a • (a ) = a x y xy • Nếu a = 1 thì a x = 1x = 1, x. ax • a x+ y = a x .a y • a x− y = y a • ( ab) = a .b x x x 3
d) Hàm số logarit: Hàm số mũ y = a x là một song ánh từ lên (0, +) với a  0, a  1 , do đó nó có hàm ngược gọi là hàm Logarit. Kí hiệu là y = loga x . Số a được gọi là cơ số của hàm số logarit. • Tập xác định là (0, +) . • Miền giá trị là . • Nếu a  1: hàm số đồng biến • Nếu 0  a  1: hàm số nghịch biến. Nếu 0  a  1,0  b  1 , ta có: • loga a x = x, x  • a loga x = x, x  0 • loga ( xy ) = loga x + loga y,( x, y  0) • loga x  =  loga x, x  0 log b x • log a x = • loga 1 = 0 log b a x • loga   = loga x − loga y,( x, y  0)  y e) Hàm lượng giác • Hàm số y = sin x có tập xác định là , miền giá trị là [-1,1] , là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kỳ 2 . • Hàm số y = cos x có tập xác định là , miền giá trị là [-1,1] , là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kỳ 2 .  • Hàm số y = tan x có tập xác định là x  + k , k  , miền giá trị là 2 , là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kỳ  . • Hàm số y = cot x có tập xác định là x  k , k  , miền giá trị là , là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kỳ  . f) Hàm lượng giác ngược    • Nếu ta hạn chế trên  − ,  thì hàm số y = sin x tăng nghiêm ngặt.  2 2 Do đó nó có hàm số ngược và kí hiệu là x = arcsin y . Hàm số x = arcsin y có tập    xác định là [-1,1] , miền giá trị là  − ,  . Ta qui ước viết y = arcsin x .  2 2 • Nếu ta hạn chế trên 0, thì hàm số y = cos x giảm nghiêm ngặt. Do đó nó có hàm số ngược và kí hiệu là x = arccos y . Hàm số x = arccos y có tập xác định là [-1,1] , miền giá trị là 0, . Ta qui ước viết y = arccos x . 4
   • Nếu ta hạn chế trên  − ,  thì hàm số y = tan x tăng nghiêm ngặt.  2 2 Do đó nó có hàm số ngược và kí hiệu là x = arctan y . Hàm số x = arctan y có    tập xác định là , miền giá trị là  − ,  . Ta qui ước viết y = arctan x .  2 2 • Nếu ta hạn chế trên (0, ) thì hàm số y = cot x giảm nghiêm ngặt. Do đó nó có hàm số ngược và kí hiệu là x = arccot y . Hàm số x = arccot y có tập xác định là , miền giá trị là (0, ) . Ta qui ước viết y = arccot x . 1.1.7 Hàm sơ cấp Hàm f được gọi là hàm sơ cấp nếu f được cho bởi một công thức duy nhất trong đó có hữu hạn các phép toán hàm (tổng, hiệu, tích, thương và hợp các hàm) tác động lên một số hữu hạn của hàm sơ cấp cơ bản. Ví dụ 1.6 a) f ( x) = 2 x + x 2 + 1 là hàm sơ cấp.  x, khi x  0 b) g ( x) =  2 không là hàm sơ cấp.  x , khi x  0 1.1.8 Một số hàm số trong phân tích kinh tế 1. Hàm sản xuất: Q = f ( L), Q là lượng sản phẩm, L là lao động. 2. Hàm doanh thu: R = R(Q) . 3. Hàm chi phí: C = C (Q) . 4. Hàm lợi nhuận:  = (Q) . 5. Hàm cung: Qs = S ( p), p là giá. 6. Hàm cầu: Qd = D( p) . 1.2 Giới hạn dãy số 1.2.1 Khái niệm về dãy số Định nghĩa 1.12 Cho hàm số u(n) xác định trên * . Khi cho n lần lượt các giá trị 1, 2,…, n,... thì các giá trị hàm số tương ứng u(1), u(2),..., u(n),... lập thành dãy số. Đặt u1 = u(1), u2 = u(2),..., un = u(n),... ta được dãy số u1 , u2 ,..., un ,... và kí hiệu là un  . Các số ui , i = 1,2,... được gọi là số hạng của dãy, un gọi là số hạng tổng quát của dãy. Dãy hoàn toàn được xác định khi biết số hạng tổng quát của nó. 5
Định nghĩa 1.13 Dãy un  được gọi là bị chặn nếu tồn tại số M > 0 sao cho n  * , un  M . Dãy un  được gọi là bị chặn trên (hay bị chặn dưới) nếu tồn tại số M sao cho un  M (un  M ). Một dãy vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn. Dãy un  được gọi là dãy tăng (tăng nghiêm ngặt) nếu un  un+1 (un  un+1 ), n . Dãy un  được gọi là dãy giảm (giảm nghiêm ngặt) nếu un  un+1 (un  un+1 ), n . Dãy tăng hoặc giảm gọi chung là dãy đơn điệu. Ví dụ 1.7 1 a) Dãy un = là dãy giảm và bị chặn. n b) Dãy un = n2 là dãy tăng, bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên. c) Dãy un = (−1)n là dãy không tăng cũng không giảm. 1.2.2 Cấp số cộng Định nghĩa 1.14 Dãy số xn  được gọi là cấp số cộng với công sai d nếu n  1, xn = xn−1 + d . Tính chất 1.1 xn = x1 + (n − 1)d Kí hiệu Sn = x1 + x2 + ... + xn là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số n n cộng, ta có: Sn = ( x1 + xn ) =  2 x1 + (n − 1)d  . 2 2 Ví dụ 1.8 (Bài toán lãi đơn) Nếu ta cho vay một khoảng vốn v0 với lãi suất mỗi kỳ là r trong vòng n kỳ và cuối mỗi kỳ lãi được rút, chỉ để lại vốn cho kỳ sau thì lãi gọi là lãi đơn. Sau kỳ đầu lợi tức là v0 r , tổng giá trị đạt được là v1 = v0 + v0 r. Sau n kỳ lợi tức là I n = n(v0 r ) và tổng giá trị đạt được là vn = v0 + I n = v0 (1 + nr ). Ta thấy vn là cấp số cộng với d = v0 r, v1 = v0 + v0 r. Chẳng hạn cho vay một lượng vốn là 20 triệu đồng với lãi suất 1%/tháng (lãi đơn) thì sau 2 năm tổng giá trị đạt được là v24 = 20(1 + 24.1%) = 24,8 (triệu đồng). 6
1.2.3 Cấp số nhân Định nghĩa 1.15 Dãy số xn  được gọi là cấp số nhân với công bội q nếu n  1, xn = xn−1.q. Tính chất 1.2 xn = x1.qn−1. Kí hiệu Sn = x1 + x2 + ... + xn là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số 1 − qn nhân, ta có: Sn = x1 . ,( q  1) . 1− q Sn = nx1 ,( q = 1). Ví dụ 1.9 (Bài toán lãi kép) Nếu ta cho vay một khoảng vốn v0 với lãi suất mỗi kỳ là r trong vòng n kỳ và cuối mỗi kỳ lãi được nhập vào vốn để tính lãi cho kỳ sau thì lãi gọi là lãi kép. Sau kỳ đầu lợi tức là v0 r , tổng giá trị đạt được là v1 = v0 + v0 r. Sau n kỳ vn = v0 (1 + r )n . Ta thấy vn là cấp số nhân với q = 1 + r, v1 = v0 (1 + r ). Trong thực tế ta thường gặp các bài toán sau: Bài toán 1: Biết v0 , n, r tìm vn . Ta có vn = v0 (1 + r )n . Đầu tư 100 triệu trong 5 năm với lãi suất kép 8%/năm tính theo quý. Khi đó ta có lãi suất kép là 2%/quý, 5 năm ta có n = 5.4 = 20 kỳ. Tổng giá trị là v20 = 100(1 + 2%)20  148,59 triệu. vn Bài toán 2: Biết v0 , n, vn tìm r . Ta có r = n − 1. v0 Chẳng hạn gởi tiết kiệm 600 triệu, sau 4 năm thu được 800 triệu với lãi suất định kỳ nửa năm là r , tìm r. 800 Ta có n = 4.2 = 8  r = 8 − 1  0,037 . 600 Vậy lãi suất kép là 7,4%/ năm tính theo mỗi 6 tháng. vn ln v0 Bài toán 3: Biết v0 , r, vn tìm n. Ta có n = ln(1 + r ) Với lãi kép 8%/ năm tính theo quý, cho vay 500 triệu. Tìm thời gian tối thiểu để có tổng giá trị đạt được 700 triệu. 700 ln Ta có n = 500  17 quý. ln(1 + 2%) 7
1.2.4 Giới hạn dãy số Định nghĩa 1.16 Số a được gọi là giới hạn của dãy un  nếu với mọi   0 cho trước thì tồn tại số nguyên dương N 0 sao cho với mọi n  N 0 thì un − a  . Kí hiệu lim un = a hoặc un → a . n → Dãy số có giới hạn gọi là dãy số hội tụ, ngược lại gọi là dãy số phân kì. n+2 1 Ví dụ 1.10 Ta có lim = . Thật vậy, với   0 cho trước, xét n→ 2n + 1 2 n+2 1 3 13  1  3  − = n  − 2  . Vậy   0, chọn N 0 =   − 2   2n + 1 2 4n + 2 4  4    n+2 1 thì với mọi n  N 0 ta có −  . 2n + 1 2 Định lí 1.1 Dãy tăng và bị chặn trên thì có giới hạn. Dãy giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn. n  1 Ví dụ 1.11 Xét dãy số un =  1 +  . Người ta chứng minh được rằng un là dãy  n n  1 tăng và bị chặn trên. Theo Định lý 1.1 thì un  hội tụ và gọi e = lim 1 +  . Và n→  n người ta cũng chứng minh được rằng e là số vô tỉ và e  2,718281828459... Cũng như số  , số e đóng vai trò quan trọng trong toán học. Người ta gọi log e x là logarit Neper hay logarit tự nhiên của x và kí hiệu là ln x . Định nghĩa 1.17 Dãy un  dần đến vô cùng nếu cho trước M  0 thì tồn tại số nguyên dương N 0 sao cho với mọi n  N 0 thì un  M . Kí hiệu: lim un =  n → hoặc un →  . Ví dụ 1.12 Ta có lim (2n + 1) = . Thật vậy, với M  0 cho trước, xét n → M −1  M − 1 2n + 1  M  n  . Vậy M  0 , chọn N 0 =  thì với mọi 2  2   n  N 0 ta có 2n + 1  M . 1.2.5 Các tính chất của dãy hội tụ Định lí 1.2 (i) Giới hạn của dãy (nếu có) là duy nhất. (ii) Nếu dãy có giới hạn thì nó bị chặn. Định lí 1.3 Giả sử un  , vn  là hai dãy hội tụ. Khi đó: (i) Nếu un = vn , n thì lim un = lim vn . n → n → 8
(ii) Nếu un  vn , n thì lim un  lim vn . n → n → Định lí 1.4 Giả sử un  , vn  là hai dãy hội tụ và C là hằng số. Khi đó: (i) lim (un + vn ) = lim un + lim vn . n → n → n → (ii) lim Cun = C lim un . n → n → (iii) lim (un .vn ) = lim un . lim vn . n → n → n → un n → un lim (iv) lim = nếu lim vn  0. n → vn lim vn n → n → (v) Nếu un  hội tụ thì  un  cũng hội tụ và lim un = lim un . n → n → Định lí 1.5 (giới hạn kẹp giữa) Cho 3 dãy số un  , vn , wn  . Nếu un  vn  wn và lim un = lim wn = a thì lim vn = a . n → n → n → Ví dụ 1.13 Chứng minh rằng: lim n n = 1, n  1. n → Với n  1, theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 2 n + (n − 2) 2 2 2 1  n n = n n . n .1...1  = +1−  + 1. n n n n  2  Mà lim  + 1 = 1 nên theo Định lí 1.5 thì ta có điều phải chứng minh. n →  n  1.3 Giới hạn hàm số 1.3.1 Giới hạn tại một điểm Khái niệm lân cận Cho số thực x0 , mỗi khoảng dạng ( x0 − , x0 + ) với   0 được gọi là một lân cận của x0 . Định nghĩa 1.18 Cho hàm số f ( x ) xác định trong lận cận điểm x0 , x  x0 . Hàm số f ( x ) được gọi là có giới hạn L (hữu hạn) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy xn  hội tụ về x0 thì dãy  f ( xn ) luôn hội tụ về L. Kí hiệu lim f ( x ) = L. x → x0 1 Ví dụ 1.14 Xét hàm số f ( x ) = x sin trên (−1,1) . Hàm số này không xác định x tại điểm x0 = 0 . Ta có: lim f ( x ) = 0. Thật vậy, xn , xn  0 hội tụ đến 0 thì x →0 0  f ( xn )  xn . Vì lim xn = 0 nên lim f ( x ) = 0. n → x →0 9
Từ định nghĩa ta thấy rằng nếu có hai dãy xn , x 'n cùng hội tụ về x0 nhưng lim f ( xn )  lim f ( x 'n ) thì không tồn tại giới hạn của f ( x ) khi x dần về x0 . n → n → 1 Ví dụ 1.15 Xét hàm số f ( x ) = cos . Hàm số này không xác định tại điểm x x0 = 0 . Ta sẽ chứng minh rằng hàm số này không có giới hạn khi x dần về 0. Xét hai dãy sau đây: 1 • Dãy xn  với xn =  f ( xn ) = 0, n  lim f ( xn ) = 0.  n → + 2n  2 1 • Dãy  xn  với xn =      f ( xn ) = 1, n  lim f ( xn ) = 1. 2n n→ Vậy không tồn tại giới hạn của f ( x ) khi x dần về 0. Định nghĩa 1.19 Hàm số y = f ( x ) có giới hạn L khi x dần về x0 , nếu   0 bé tùy ý thì tồn tại   0 sao cho nếu 0  x − x0   thì f ( x) − L   . x2 − 4 Ví dụ 1.16 Chứng minh rằng: lim = 4. x→2 x − 2 x2 − 4 Thật vậy,   0, − 4    x − 2   . Chọn = thì khi x−2 x2 − 4 x2 − 4 x−2  − 4   . Vậy lim = 4. x−2 x→2 x − 2 Định nghĩa 1.20 (Giới hạn vô cùng) Hàm số y = f ( x ) có giới hạn bằng dương vô cùng khi x dần tới x0 nếu lim xn = x0 thì lim f ( xn ) = + . Kí hiệu n → n→ lim f ( x ) = + . x→ x0 Tương tự ta cũng có định nghĩa của hàm số có giới hạn bằng âm vô cùng khi x dần tới x0 nếu lim xn = x0 thì lim f ( xn ) = − . Kí hiệu lim f ( x ) = − . n → n→ x→ x0 1 Ví dụ 1.17 lim = + x→1 ( x − 1) 2 Định nghĩa 1.21 (Giới hạn tại vô cùng) Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a, +) . Ta nói rằng f có giới hạn là L khi x dần đến + nếu với mọi dãy số ( xn ) trong khoảng mà lim xn = + thì lim f ( xn ) = L . Kí hiệu: lim f ( x ) = L . n → n→ x →+ Các giới hạn lim f ( x ) = L , lim f ( x ) = + , lim f ( x ) = − , x →− x →+ x →+ lim f ( x ) = + , lim f ( x ) = − được định nghĩa tương tự. x →− x →− 10
Ví dụ 1.18 2 a) lim = 0. x →− x2 b) lim x 3 = + . x→+ Ví dụ 1.19 Một công ty dự tính rằng khi dùng x triệu đồng để quảng cáo một 900 loại sản phẩm thì lợi nhuận y (triệu đồng) được tính bởi hàm y ( x ) = 600 − . x+5 a) Tìm lim y ( x ) và lim y ( x ) . x →0 x →+ b) Hiện công ty đang chi 40 triệu đồng cho quảng cáo. Hỏi có nên tăng số tiền này lên 50 triệu đồng hay không? Giải.  900  900 a) Ta có lim y ( x ) = lim  600 −  = 600 − = 420 x →0 x →0  x +5 5  900  và lim y ( x ) = lim  600 −  = 600 − 0 = 600 . x →+ x →+  x +5 600 580 560 540 520 500 480 460 440 420 20 40 Hình 1.1 Đồ thị hàm lợi nhuận y( x) b) Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy hàm y( x) tăng và y( x)  600, x  0 . Vì y(40) = 580 và y(50)  583,6 nên y(50) − y(40)  3,6 triệu đồng. Hiệu số này nhỏ hơn 10 triệu chi cho quảng cáo nên việc chi thêm tiền cho quảng cáo là không có lợi. 1.3.2 Giới hạn một phía + Định nghĩa 1.22 Cho x dần về x0 và x  x0 ,( x → x0 ) . Khi đó, nếu f ( x ) dần tới một số xác định thì số đó được gọi là giới hạn phải của f ( x ) tại x0 . Kí hiệu: lim f ( x ) . + x → x0 11
− Tương tự, cho x dần về x0 và x  x0 ,( x → x0 ) , thì ta có giới hạn trái của f ( x ) tại x0 . Kí hiệu: lim− f ( x ) . x → x0 Ví dụ 1.20 Cho hàm số − x + 1, khi x  0 f ( x) =  2 .  x + 1, khi x  0 Tính lim f ( x ) , lim f ( x) . + − x→0 x→0 Giải. Ta có lim+ f ( x ) = lim+ ( x 2 + 1) = 1 và lim f ( x) = lim( − x + 1) = 1 . − − x →0 x →0 x→0 x→0 Định lí 1.6 Hàm số f ( x ) có giới hạn tại x0 khi và chỉ khi nó có giới hạn trái, giới hạn phải tại x0 và hai giới hạn này bằng nhau. sin x Ví dụ 1.21 Xét giới hạn hàm số f ( x) = tại x0 = 0 . Ta có: x sin x sin x lim f ( x ) = lim+ = 1 và lim f ( x ) = lim− = −1 . Hai giới hạn này khác x→0+ x→0 x x→0 − x→0 − x nhau nên hàm số đã cho không có giới hạn khi x dần về 0. 1.3.3 Tính chất của hàm số có giới hạn Định lí 1.7 (i) Nếu f ( x) = C thì lim f ( x) = C với C là hằng số. x → x0 (ii) Giới hạn của hàm số (nếu có) là duy nhất. (iii) Nếu lim f ( x)  0 ( lim f ( x)  0) thì tồn tại lân cận N ( x0 ) của x0 x → x0 x → x0 để f ( x )  0 ( f ( x )  0, töông öùng), x  N ( x0 ) . (iv) Nếu có N ( x0 ) để f ( x )  0 ( f ( x )  0), x  N ( x0 ) và tồn tại giới hạn của f ( x ) tại x = x0 thì lim f ( x)  0 ( lim f ( x)  0, töông öùng) . x → x0 x → x0 Định lí 1.8 Giả sử các hàm số f ( x ) , g ( x) đều có giới hạn khi x → x0 ( x0 có thể hữu hạn hoặc vô hạn). Khi đó, (i) lim  f ( x )  g ( x ) = lim f ( x )  lim g ( x ) . x → x0 x → x0 x → x0 (ii) lim  f ( x ). g ( x ) = lim f ( x). lim g ( x) . x → x0 x → x0 x → x0 lim f ( x )  f ( x )  x → x0 (iii) lim   = lim g ( x ) với mẫu số khác 0. x → x0  g ( x )  x→ x 0 (iv) lim f ( x ) = lim f ( x ) . x → x0 x → x0 12
Định lí 1.9 Nếu hàm số sơ cấp f ( x ) xác định tại x0 và lân cận của nó thì lim f ( x ) = f ( x0 ) . x → x0 1.3.4 Các dạng vô định 0  Giới hạn của hàm số có các dạng vô định sau: , ,0.,  − ,00 ,0 , 0 ,1. 0  Phương pháp khử: P( x )  (i) Dạng lim (dạng ), với P, Q là hai đa thức theo x. Chia cả tử x→ Q ( x )  và mẫu cho x có số mũ cao nhất trong hai đa thức đó. P( x ) 0 (ii) Dạng lim (dạng ), với P, Q là hai đa thức theo x có nghiệm x→ x0 Q ( x ) 0 chung x0 . Ta phân tích thừa số chứa nghiệm ( x − x0 ) để đơn giản. (iii) Nhân lượng liên hiệp để khử dạng vô định chứa căn. Ví dụ 1.22 2 1+ x + 2x 2 x = 1. a) lim = lim x →+ 2 x − 1 2 x →+ 1 2− 2 2 x x2 − 1 x +1 1 b) lim 2 = lim = . x→1 x + 2 x − 3 x→1 x + 3 2 1+ x − 2 1+ x − 4 1 1 c) lim = lim = lim = . x→3 x−3 x→3 ( x − 3)( 1 + x + 2) x→3 ( 1 + x + 2) 4 sin 3x 3 sin 3x 3 d) lim = lim . = . x→0 7 x x→0 7 3x 7 Xét giới hạn lim  f ( x )  trong đó lim f ( x ) = 1 và lim g ( x ) = + . g( x) x → x0 x→ x0 x → x0 lim g ( x ) f ( x )−1 Ta có lim  f ( x ) = e x→ x0 g( x) . x→ x0 1 sin x 1 (1+sin x −1) e) lim (1 + sin x ) = e lim lim x x →0 x =e x →0 x = e. x→0 1.4 Đại lượng vô cùng bé và đại lượng vô cùng lớn 1.4.1 Đại lượng vô cùng bé a. Định nghĩa 1.23 Hàm số ( x) được gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB) khi x dần về x0 nếu lim ( x ) = 0 . Ở đây x0 hữu hạn hoặc vô hạn. x→ x0 1 Ví dụ 1.23 sin x là VCB khi x dần về 0, là VCB khi x dần về  . x 13
b. Tính chất (i) Tích của một VCB với hằng số là một VCB. (ii) Tổng, tích của hai VCB là một VCB. (iii) Tích của một VCB với một đại lượng bị chặn là một VCB. sin x 1 Ví dụ 1.24 lim = lim .sin x = 0 (vì −1  sin x  1 do đó sin x là đại x→+ x x→+ x lượng bị chặn). c. So sánh các VCB Định nghĩa 1.24 Cho ( x), ( x) là hai VCB khi x dần về x0 . Giả sử tồn tại ( x ) lim = k . Khi đó, x→ x0 ( x ) (i) Nếu k = 0 thì ( x) được gọi là VCB bậc cao hơn ( x ) khi x dần về x0 và kí hiệu là ( x) = o(( x)) . (ii) Nếu 0  k  + thì ( x) và ( x) được gọi là hai VCB cùng bậc. Đặc biệt, khi k = 1 thì ( x) và ( x) được gọi là hai VCB tương đương và kí hiệu là ( x) ( x) . Chú ý Định nghĩa vẫn đúng cho trường hợp x →  . Định lí 1.10 Nếu ( x), ( x), 1 ( x), 1 ( x) là những VCB khi x → x0 và ( x )  ( x) ( x) 1 ( x), ( x) 1 ( x) trong quá trình đó thì lim = lim 1 . x → x0 ( x ) x → x0  ( x ) 1 Khi x dần về x0 ta có các VCB sau là tương đương: sin x x, tan x x, arcsin x x, (1 + x ) − 1   x,( ) , x2 arctan x x, ln( x + 1) x, ( e x − 1) x, (1 − cos x ) . 2 Ví dụ 1.25 sin 3x 3x 3 a) lim = lim = . x→0 e 4 x − 1 x→0 4 x 4 1 3x  3x  3 x 8 + 3x − 2 23 1+ −2 1 +  − 1 = lim  3 8 8  8 b) lim 4 = lim = lim 4 = . x→0 16 + 5 x − 2 x→0 5x x→0 1 x→0 5 x 5 24 1+ −2  5x  4 16 1 +  − 1 32  16  Định lí 1.11 (Qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao) Giả sử ( x), ( x) là hai VCB trong cùng quá trình nào đó, ( x) và ( x) đều là tổng của một số hữu hạn các VCB. 14
( x ) Khi đó giới hạn của tỉ số bằng giới hạn của tỉ số hai VCB bậc thấp nhất ở ( x ) tử số và mẫu số. sin x + 2sin 2 x + x 3 sin x Ví dụ 1.26 lim = lim =1. x→0 x + 3sin x + 4 x 2 4 x→0 x 1.4.2 Đại lượng vô cùng lớn a. Định nghĩa 1.25 Hàm số ( x) được gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCB) khi x dần về x0 nếu lim ( x ) = + . Ở đây x0 hữu hạn hoặc vô hạn. x → x0 1  Ví dụ 1.27 Khi x dần về 0 thì , cot x là những VCL. Khi x dần về thì tan x x 2 là một VCL. b. Tính chất (i) Tích của hai VCL là một VCL. (ii) Tổng của một VCL với một đại lượng bị chặn là một VCL. (iii) Nghịch đảo của VCL là VCB và ngược lại. c. So sánh các VCL Định nghĩa 1.26 Cho ( x), ( x) là hai VCL khi x dần về x0 . Giả sử tồn tại ( x ) lim = k . Khi đó, x→ x0 ( x ) (i) Nếu k = 0 thì ( x) được gọi là VCL bậc thấp hơn ( x ) khi x dần về x0 . (ii) Nếu 0  k  + thì ( x) và ( x ) được gọi là hai VCL cùng bậc. Đặc biệt, khi k = 1 thì ( x) và ( x ) được gọi là hai VCL tương đương và kí hiệu là ( x) ( x) . Chú ý Định nghĩa vẫn đúng cho trường hợp x →  . Định lí 1.12 Nếu ( x), ( x), 1 ( x), 1 ( x) là những VCL khi x → x0 và ( x )  ( x) ( x) 1 ( x), ( x) 1 ( x) trong quá trình đó thì lim = lim 1 . x → x0 ( x ) x → x0  ( x ) 1 Định lí 1.13 (Qui tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp) Giả sử ( x), ( x) là hai VCL trong cùng quá trình nào đó, ( x) và ( x ) đều là tổng của một số hữu hạn các VCL. ( x ) Khi đó giới hạn của tỉ số bằng giới hạn của tỉ số hai VCL bậc cao nhất ở ( x ) tử số và mẫu số. x5 + x3 + x − 1 x5 Ví dụ 1.28 lim = lim 6 = 0 . x→+ 2 x 6 − 3x 2 − sin 3 x x→+ 2 x 15