Bài giảng Toán cao cấp C2: Phần 2 - Trường ĐH Võ Trường Toản

Chia sẻ: Lôi Vô Kiệt | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:72

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp C2 đưa vào nhiều ví dụ và bài tập ứng dụng trong kinh tế để sinh viên làm quen với việc sử dụng công cụ toán học trong lĩnh vực kinh tế. Nối tiếp phần 1, phần 2 của tập bài giảng Toán cao cấp C2 này cung cấp cho sinh viên những nội dung về: Phép tính tích phân hàm một biến; Phương trình vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp C2: Phần 2 - Trường ĐH Võ Trường Toản

Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Nội dung chương này bao gồm các kiến thức về nguyên hàm, tích phân xác định, tích phân suy rộng và các ứng dụng của tích phân. 3.1 Nguyên hàm và tích phân bất định 3.1.1 Nguyên hàm Định nghĩa 3.1 Hàm số F ( x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên khoảng ( a, b ) nếu x  ( a, b ) thì F ' ( x ) = f ( x ) . Hàm số F ( x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên đoạn  a, b  nếu F ' ( x ) = f ( x ) x  ( a, b ) và F+' ( a ) = f ( a ) , F−' ( b ) = f ( b ) . Ví dụ 3.1 x3 • Hàm số F ( x) = là nguyên hàm của hàm f ( x ) = x 2 trong khoảng bất 3 kỳ vì F ( x) = x2 , x. • Hàm số F ( x) = sin x là nguyên hàm của hàm f ( x) = cos x trong khoảng bất kỳ vì F ( x) = cos x, x. 1 1 • Hàm số F ( x) = là nguyên hàm của hàm f ( x) = − 2 trong khoảng bất x x 1 kỳ không chứa 0 vì F ( x) = − 2 , x  0. x Định lí 3.1 Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có nguyên hàm trên đoạn đó. Định lí 3.2 Nếu hàm số f ( x ) có nguyên hàm trên đoạn  a, b  thì a) F ( x ) + C , với C là một hằng số tùy ý cũng là nguyên hàm của f ( x ) . b) Mọi nguyên hàm của hàm số f ( x ) đều có dạng F ( x ) + C . Chứng minh. a) F ( x ) + C là nguyên hàm của f ( x ) vì  F ( x ) + C  = F  ( x ) = f ( x), x   a, b  .   b) Giả sử G ( x ) là một nguyên hàm khác của f ( x ) trên đoạn  a, b  . Ta có G( x) = f ( x); F  ( x ) = f ( x), x  a, b   G( x) − F ( x) = G( x) − F  ( x ) = 0, x  a, b  G( x) − F ( x) = C ( C là hằng số)  G( x) = F ( x) + C . ∎ Việc tìm nguyên hàm của hàm số còn được gọi là phép lấy tích phân của hàm số đó. 45
3.1.2 Tích phân không xác định a) Định nghĩa 3.2 Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên khoảng ( a, b ) được gọi là tích phân không xác định (hay tích phân bất định) của f ( x) . Kí hiệu:  f ( x ) dx . Khi đó, nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì  f ( x ) dx = F ( x ) + C . Trong đó,  là dấu tích phân, f ( x ) là hàm dưới dấu tích phân, f ( x ) dx là biểu thức dưới dấu tích phân, x là biến tích phân, C là hằng số tích phân. b) Các tính chất đơn giản (  f ( x ) dx ) = f ( x ) . ' • d (  f ( x ) dx ) = f ( x ) dx . ' • •  f ' ( x ) dx = f ( x ) + C hay  df ( x ) dx = f ( x ) + C . •  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx với k là hằng số khác 0. • Nếu f ( x ) , g ( x ) có nguyên hàm trên khoảng ( a, b ) thì   f ( x )  g ( x )dx =  f ( x ) dx   g ( x ) dx, x  ( a, b ) .   Ví dụ 3.2  ( x − 2x + 4) dx = 4 − x + 4x + C. x4 • 3 2  2  2 2 4 •   x+  3 x dx =  x dx +  3 x dx = x x + 3 3 x + C.  1  1 •   cos x + sin  2  dx =  cos x dx +  2 dx = sin x − cot x + C. x sin x c) Các công thức tính tích phân cơ bản  dx = x + C  cos xdx = sin x + C x+1 dx  x dx =  + 1 + C, (   1)  cos2 x = tan x + C  dx dx  x = ln x + C , x  0  sin 2 x = − cot x + C 46
 e dx = e +C x−a x x dx 1  x − a 2a x + a + C 2 2 = ln ax dx 1 x  a dx = ln a + C, 0  a  1 x x 2 +a 2 = arctan + C a a  sin xdx = − cos x + C  dx = arcsin x + C = − arccos x + C 1− x 2 e ax dx = 1 ax a e +C ( a  0)  x +a dx 2 2 ( ) = ln x + x 2 + a 2 + C ( a  0)  cos dx 2 x = tan x + C  dx x2 − a2 ( ) = ln x + x 2 − a 2 + C ( a  0) dx 1 a2 x  sin 2 x = − cot x + C  a 2 − x 2 dx = x a 2 − x 2 + arcsin + C , ( a  0 ) 2 2 a 1 1 a2  sin axdx = − a cos ax + C ,  a 2 + x 2 dx = 2 x a 2 + x 2 + ln x + a 2 + x 2 + C , 2 ( a  0) ( a  0) 1 1 a2  cos axdx = a sin ax + C ,  x 2 − a 2 dx = 2 x x 2 − a 2 − ln x + x 2 − a 2 + C , 2 ( a  0) ( a  0) 3.1.3 Các phương pháp tính tích phân a) Phương pháp tích phân từng phần Định lí 3.3 Cho u = u ( x ) , v = v ( x ) là hai hàm số có đạo hàm u ( x ) , v ( x ) liên tục trên khoảng ( a, b ) và u ( x ) v ( x ) có nguyên hàm. Khi đó, u ( x ) v ( x ) cũng có nguyên hàm và  u ( x ) v ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) −  u ( x ) v ( x ) dx . (3.1) Vì du = u ( x ) dx, dv = v ( x ) dx nên (3.1) thường được viết dưới dạng  udv = uv −  vdu . (3.2) Công thức (3.2) được gọi là công thức tích phân từng phần. Nó được sử dụng khi tích phân ở vế trái của (3.2) khó lấy tích phân nhưng ở vế phải dễ lấy tích phân. 47
Ví dụ 3.3 Tính I =  x ln xdx .  dx u = ln x du = x  Đặt   .  dv = xdx  x2 v=   2 x2 1 x2 x2 Khi đó I = ln x −  xdx = ln x − + C . 2 2 2 4 Nhận xét Các tích phân dạng x ln x dx,  x k sin ax dx,  x k eax dx,  x k cos ax dx có k thể tìm nhiều lần. Do đó, các tích phân dạng  P ( x ) ln x dx,  P ( x ) sin ax dx,  P ( x ) cos ax dx,  P ( x ) e ax dx,... trong đó P ( x ) là đa thức có thể tính được nhờ tính tích phân từng phần. Ví dụ 3.4 Tính I =  e x sin x dx . u = sin x du = cos x dx Đặt   . dv = e dx v = e x x Khi đó: I =  e x sin x dx = e x sin x −  e x cos x dx. Tích phân từng phần lần 2: Ta tính I1 =  e x cos x dx. u = cos x du = − sin x dx Đặt   .  dv = e x dx v = e x Khi đó: I1 =  e x cos x dx = e x cos x +  e x sin x dx = e x cos x + I . Vậy I =  e x sin x dx = e x sin x −  e x cos x dx I = ex sin x − ex cos x − I  2 I = e x sin x − e x cos x + C  I = ( e x sin x − e x cos x ) + C. 1 2 b) Phương pháp đổi biến số Định lí 3.4 Nếu  f ( x)dx = F ( x) + C thì  f (t )  ' (t ) dt = F (  (t )) + C với (t ) là hàm có đạo hàm liên tục. Phương pháp đổi biến số được sử dụng ở 2 dạng sau đây: • Giả sử ta đã biết nguyên hàm của f ( x) là  f ( x)dx = F ( x) + C (3.3) 48
và ta cần tính  g ( x)dx . Giả sử tích phân này có thể biểu diễn dưới dạng  g ( x)dx = f ( x)  ' ( x ) dx . (3.4) Khi đó, theo Định lí 3.4 ta được  g ( x)dx =F (  ( x )) + C . Một cách hình thức thì khi có (3.4) ta đặt u = ( x) , suy ra du = ( x)dx . Do đó theo (3.3) ta có  g ( x)dx = f (u)dx = F (u) + C . Thay u = ( x) ta được kết quả cần tìm  g ( x)dx =F (  ( x ) ) + C . • Khi đặt x =  ( t ) , trong đó  ( t ) là hàm số liên tục và có hàm ngược t = ( x ) , ta có thể biểu diễn tích phân dưới dạng  f ( x)dx =  f (t )(t )dt . Nếu nguyên hàm của f  (t ) (t ) là G(t ) thì  f ( x)dx = G(t ) + C = G(( x)) + C . Ví dụ 3.5 a) Tính I =  sin 2 x cos3 xdx . Đặt t = sin x  dt = cos xdx . Khi đó: I =  sin 2 x cos3 xdx =  sin 2 x cos x(1 − sin 2 x) dx t3 t5 =  t (1 − t ) dt = − + C 2 2 3 5 sin 3 x sin 5 x = − + C. 3 5 dx b) Tính I =  . 1 + ex 2tdt dx 2dt Đặt t = 1 + e x  t 2 = 1 + e x  dx = , = 2 . t −1 1 + ex t −1 2 dt t −1 1 + ex −1 Khi đó: I = 2 2 = ln + C = ln +C . t −1 t +1 1 + ex + 1 49
Ví dụ 3.6 Tính I =  1 − x2 dx ( x  1) .    Đặt x = sin t ,  −  t    dx = cos tdt .  2 2 Khi đó I =  1 − x 2 dx =  1 − sin 2 t cos t dt 1 t 1 = 2  (1 + cos 2t )dt = 2 + 4 sin 2t + C = 1 2 ( arcsin x + x 1 − x 2 + C. ) Chú ý a) Thường thì cùng với phép đổi biến số, ta phải áp dụng những phương pháp khác để đi đến kết quả cuối cùng. Ví dụ 3.7 Tính I =  x 5e x dx . 3 Đặt t = x3  dt = 3x2dx . 1 t Ta có: I =  x5e x dx =  x 2 x 3e x dx = 3 3 3 te dt . Tích phân từng phần u = t du = dt đặt   . dv = e dt v = e t t Vậy I = 3 ( 3 ) te −  et dt = ( tet − et ) + C = e x ( x 3 − 1) + C . 1 t 1 1 3 3 b) Đôi khi chúng ta chỉ cần sử dụng tính chất của tích phân và các tích phân của các hàm số sơ cấp đơn giản để tính tích phân dx Ví dụ 3.8 Tính I =  . sin x cos 2 x 2 Ta có dx sin 2 x + cos 2 x I = = dx sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x dx dx = 2 +  2 = tan x − cot x + C. cos x sin x 3.1.4 Tích phân hàm hữu tỉ P ( x) P ( x) Ta xét tích phân dạng I = trong đó là hàm hữu tỉ, Q ( x) Q ( x) P ( x ) , Q ( x ) là các đa thức với hệ số thực. Giả sử bậc của P ( x ) nhỏ hơn bậc của Q ( x ) . Nếu bậc của P ( x ) lớn hơn bậc của Q ( x ) thì chia P ( x ) cho Q ( x ) ta được 50
P ( x) R ( x) = S ( x) + Q ( x) Q ( x) trong đó bậc của R ( x ) nhỏ hơn bậc của Q ( x ) . Việc lấy tích phân của S ( x ) rất dễ dàng. Vấn đề còn lại là lấy tích phân của hàm hữu tỉ có bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu. Trước hết ta xem xét phương pháp phân tích một phân thức hữu tỉ phức tạp thành các phân thức đơn giản hơn. Định lí 3.5 Giả sử P ( x ) và Q ( x ) là các đa thức với hệ số thực và bậc của P ( x ) nhỏ hơn bậc của Q ( x ) thì i) Q ( x ) có thể được phân tích thành tích của một hằng số k với các thừa số là nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai không có nghiệm thực. ...( x 2 + p1x + q1 ) ( x 2 + p2 x + q2 )   Q ( x ) = k ( x − a1 ) ( x − a2 )   bậc của Q ( x ) là  +  + ... + 2 + 2 . P ( x) ii) Hàm hữu tỉ có thể được phân tích thành tổng các phân thức đơn Q ( x) giản. ( x − a) của Q ( x ) , sự phân tích  • Tương ứng với mỗi nhị thức bậc nhất chứa một tổng các phân thức có dạng A1 A2 A + + ... +  . x − a ( x − a )2 ( x − a) ( )  • Tương ứng với mỗi tam thức bậc hai x 2 + px + q của Q ( x ) , sự phân tích chứa một tổng các phân thức có dạng M1 x + N1 M 2 x + N2 M  x + N + + ... + . ( x2 + px + q ) ( x2 + px + q ) ( x2 + px + q ) 2 2  Việc tìm các hằng số A1 , A2 ,..., A , M 1 , M 2 ,..., M  , N1 , N 2 ,..., N  sẽ được xác định bằng phương pháp hệ số bất định. Chú ý • Từ Định lí 3.5 ta thấy nếu Q ( x ) là đa thức bậc n của x và vì đa thức bậc n có tối đa n nghiệm nên nó được phân tích dưới dạng Q ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + .... + a1 x + a0 ... ( x 2 + p1 x + q1 ) ( x 2 + p2 x + q2 ) ....   = an ( x − a1 ) ( x − a2 )   51
với  +  + ... +  +  = n . P ( x) A A2 A Khi đó: = 1 + + ... + + ... Q ( x ) x − a1 ( x − a1 ) 2 ( x − a1 )  B1 B2 B + + + ... + + ... x − a2 ( x − a2 ) 2 ( x − a2 )  M1 x + N1 M 2 x + N2 M  x + N + + + ... + + ... ( ) x 2 + px + q ( x 2 + px + q )2 ( x 2 + px + q )  • Phương pháp hệ số bất định: Qui đồng mẫu số các phân thức ở vế phải của () rồi khử mẫu số hai vế. Ta được một hằng đẳng thức mà hai vế là các đa thức. Đồng nhất hệ số của các lũy thừa cùng bậc của x ở hai vế, ta xác định được hệ số cần tìm hoặc sau khi có đẳng thức giữa hai đa thức, ta cho các giá trị khác nhau của biến x , thuận lợi nhất là chọn các giá trị là nghiệm của Q ( x ) . 7x − 4 Ví dụ 3.9 Phân tích hàm hữu tỉ thành tích các phân thức đơn giản x − 3x + 2 3 hơn. 7x − 4 7x − 4 A B C Ta có: = = + + x − 3x + 2 ( x + 2 )( x − 1) 3 2 x − 1 ( x − 1) 2 x+2  ( B + C ) x 2 + ( A + B − 2C ) x + 2 A − 2B + C = 7 x − 4 B + C = 0 A = 1     A + B − 2C = 7   B = 2 . 2 A − 2 B + C = −4 C = −2   7x − 4 1 2 2 Vậy = + − . x − 3x + 2 ( x − 1) 3 2 x −1 x + 2 Tính tích phân hàm hữu tỉ đơn giản Adx dx a)  x − a = A x − a = A ln x − a + C . Adx A = A ( x − a ) dx = ( x − a ) + C. −k 1− k b)  ( x − a) k 1− k dx c)  ax 2 + bx + c .  b  b2 − 4ac  2 Ta có ax + bx + c = a  x +  − 2    2a  4a 2  52
dx 1 dx 1 du • Nếu b2 − 4ac = 0 thì  ax 2 =  + bx + c a  b  2 =  2 a u x+   2a  1 1 2  b  =− +C = − +C = − + C ,  u = x + , du = dx  . au  b  2ax + b  2a  ax +   2a  • Nếu b2 − 4ac  0 thì dx 1 dx  ax 2 =  + bx + c a  b  b2 − 4ac 2  x+  −  2a  4a 2 1 du 1 u = a  u 2 + m2 = am arctan m + C 2 2ax + b  b 4ac − b2  = arctan + C ,  u = x + , du = dx, m 2 = . 4ac − b2 4ac − b2  2a 4a 2  • Nếu b2 − 4ac  0 thì d 1 dx 1 u−m  ax2 + bx + c a u − m2 2am u + m + C =  2 = ln 1 2ax + b − b 2 − 4ac = ln + C, 2am 2ax + b + b 2 − 4ac  b 4ac − b 2   u = x+  du = dx, m 2 = .  2a 4a 2  dx Ví dụ 3.10 Tính I =  . x + x +1 2  1 dx+  Ta có I =  2 dx = dx =  2 x + x +1  2 1 3  1  3 2 2 x+  + x+  +   2 4  2  2  1 x+ = 2 arctan 2 + C = 2 arctan 2 x + 1 + C . 3 3 3 3 2 53
dx Ví dụ 3.11 Tính I =  . 3x − 2 x − 1 2 Ta có dx 1 dx I = =  3x − 2 x − 1 3  2 2 1  2 2 x −  −   3  3  1 2 x− − x −1 = . ln  1 3 3 3 1 + C = ln +C . 3 4  1 2 4 3x + 1 x− +  3 3 Hoặc phân tích 1 1 A B = = + 3x − 2 x − 1 ( x − 1)( 3x + 1) x − 1 3x + 1 2  1  A=   1 = A ( 3 x + 1) + B ( x − 1)   4 . B = − 3   4 dx 1 dx 3 dx 1 x −1 Vậy I =  =  −  = ln + C. 3x − 2 x − 1 4 x − 1 4 3x + 1 4 3x + 1 2 Mx + N d) I =  dx . ax 2 + bx + c ( 2ax + b ) +  N −  . M Mb Phân tích Mx + N =   2a  2a  M 2ax + b  Mb  dx Khi đó, I = 2a  ax 2 + bx + cdx +  N − 2a   ax 2 + bx + c .   2ax + b •  ax 2 + bx + c dx = ln ax 2 + bx + c + C . dx •  ax 2 + bx + c tính như ở mục (c). x −1 Ví dụ 3.12 Tính I =  dx. x + x +1 2 1 3 1 3 Ta có x − 1 = ( 2 x + 1) − = ( 2 x + 1) − . 2 2 2 2 Khi đó 54
 1 dx+  2x + 1 = ln ( x 2 + x + 1) −   1 3 dx 1 3 2 I=  2 dx −  2 2 x + x +1 2 x + x +1 2 2  2 1 3 x+  +  2 4 2x + 1 = ln ( x 2 + x + 1) − 3 arctan 1 +C. 2 3 dx e) I n =  . ( x 2 + m2 ) n Ta có dx 1 x 2 + m2 − x 2 1 dx 1 x 2dx In =  = 2 dx = 2  m ( x 2 + m2 )n−1 m2  ( x 2 + m2 )n − . (x + m2 ) ( x 2 + m2 ) n n 2 m 1 xd ( x + m ) 2 2 x 2 dx Tính  =  . (x + m2 ) 2 ( x 2 + m 2 )n 2 n Đặt u = x  du = dx d ( x 2 + m2 ) 1 dv = v=− (x ) ( n − 1) ( x 2 + m2 ) 2 n n −1 2 +m x 2 dx x 1 dx  2  ( n − 1) ( x 2 + m2 )n−1 =− + . (x 2 +m ) 2 n 2 ( n − 1) ( x 2 + m ) 2 n −1 x 2n − 3 Vậy I n = − + I n−1 . 2m 2 ( n − 1) ( x 2 + m ) 2 n −1 2m 2 ( n − 1) Ta đưa việc tính I n về việc tính I n −1 . Do đó từ tích phân ban đầu dx 1 x I1 =  = arctan + C. x +m 2 2 m m ta có thể tính I 2, I 3, ..., I n ,.... 3.1.5 Tích phân một số hàm vô tỉ Để tính được tích phân các hàm số vô tỉ, người ta tìm một biến số mới t = ( x) sao cho biểu thức dưới dấu tích phân trở thành hữu tỉ đối với biến t . Bây giờ, ta xét một số lớp các hàm có thể hữu tỉ hóa bằng cách đó.  ax+b  a) Tích phân dạng I =  R  x, n  dx trong đó R là ký hiệu hàm hữu tỉ;  cx + d  n = 2,3,...; a, b, c, d cho trước. ax+b ax+b dt n − b Đặt t = t = nn x= = (t ) và dx = (t )dt . cx + d cx + d a − ct n 55
 ax+b  Ta có I =  R  x, n  dx =  R ( (t ), t ) (t )dt trong đó tích phân cuối  cx + d  cùng là tích phân của hàm hữu tỉ. dx Ví dụ 3.13 I =  . x − 3x + 2 3 t3 − 2 Đặt t = 3 3x + 2  t 3 = 3x + 2  x =  dx = t 2dt . 3 t 2 dt Khi đó: I = 3 3 . t − 3t − 2 3t 2 3t 2 A B C Phân tích 3 = = + + t − 3t − 2 ( t − 2 )( t + 1) 2 t − 2 t + 1 ( t + 1)2  3t 2 = A( t + 1) + B ( t − 2)( t + 1) + C ( t − 2) 2 4 5  A = , B = , C = −1. 3 3 Vậy 4 dt 5 dt dt I= 3  t − 2 + 3  t + 1 −  ( t + 1)2 4 5 1 = ln t − 2 + ln t + 1 − +C 3 3 t +1 4 5 1 = ln 3 3x + 2 − 2 + ln 3 3 x + 2 + 1 − 3 + C. 3 3 3x + 2 + 1  ax+b p ax+b  b) Tích phân dạng I =  R  x, m , ,...  dx .  cx + d cx + d  ax+b Đặt t = n với n là bội số chung nhỏ nhất của m, p,…và dùng phép cx + d ax+b đổi biến t = n ta đưa tích phân trên về tích phân của hàm hữu tỉ. cx + d xdx Ví dụ 3.14 Tính I =  . 3 x2 − 4 x Đặt t = 12 x  x = t12  dx = 12t11dt. Ta có x = t12 = t 6 3 x 2 = 3 t 24 = t 8 4 x = t12 = t 3 . 56
Khi đó 12t17 dt 12t14 dt  t4   t10 t 5 1  I = = 5 = 12  t 9 + t 4 + 5  dt = 12  + + ln t 5 − 1  + C. t −t 8 3 t −1  t −1   10 5 5  ( ) c) Tích phân dạng I =  R x, ax 2 + bx + c dx, ( a  0 ) .  b  b2 − 4ac  2 Ta có: ax + bx + c = a  x +  − 2 .    2a  4a 2   b b2 − 4ac • Nếu b − 4ac  0 . Đặt u = x + , m = 2 2 . 2a 4a 2 ax 2 + bx + c = a . u 2 − m 2 , ( a  0 ) ax 2 + bx + c = −a . m 2 − u 2 , ( a  0 ) . • Nếu b2 − 4ac  0 khi đó tam thức bậc hai ax2 + bx + c cùng dấu với a . Mặt khác, để căn có nghĩa thì tam thức phải dương, do đó a  0 .Ta có b b2 − 4ac ax 2 + bx + c = a . u 2 + m2 với u = x + , m2 = − . 2a 4a 2 Như vậy tích phân đã cho sẽ được đưa về một trong ba tích phân sau ( I1 =  R1 u, u 2 + m2 du, ) I =  R ( u, 2 1 u − m )du, 2 2 I =  R ( u, 3 1 m − u )du. 2 2 Để tính các tích phân trên ta thực hiện lần lượt các phép thế sau u = m tan t đối với I1 m u= đối với I 2 cos t u = m sin t đối với I 3 . dx Ví dụ 3.15 Tính I =  . ( x +a 2 2 )    adt Đặt x = a tan t , t   − ,   dx = .  2 2 cos2t cos 2 t dt dt Khi đó: I =  dt =  = a 1 + tan 2 t cos 2 t 1 cos t cos 2 t dt  t  = = ln tan  +  + C.   2 2 sin  t +   2 57
3.1.6 Tích phân hàm lượng giác a) Phương pháp chung x Tính tích phân dạng I =  R ( sin x,cos x ) dx . Ta đặt t = tan , −   x   . 2 2t 1− t2 2dt Ta có sin x = , cos x = , dx = . 1+ t 2 1+ t 2 1+ t2  2t 1 − t 2  2dt Khi đó, I =  R  ,  .  1+ t2 1+ t2 1+ t2 Rõ ràng, biểu thức dưới dấu tích phân ở vế phải là hữu tỉ đối với t . dx Ví dụ 3.16 Tính I =  . 1 + cos x x 2dt 1− t2 Đặt t = tan và dx = , cos x = . 2 1+ t2 1+ t2 x Khi đó, I =  dt = t + C = tan + C . 2 b) Trong một số trường hợp có thể tính tích phân nhanh hơn bằng cách sử dụng các phép thế khác như sau • Nếu R ( − sin x,cos x ) = −R ( sin x,cos x ) thì ta đặt t = cos x. sin 3 xdx Ví dụ 3.17 Tính I =  . 1 + cos2 x Hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ theo sin x. Đặt t = cos x  dt = − sin xdx. Khi đó I = sin 3 xdx (1 − cos2 x ) sin xdx = (1 − t 2 ) ( −dt ) 1 + cos 2 x   1+ t2 = 1 + cos 2 x  2  =  1 − 2  dt = t − 2arctan t + C.  1+ t  Nếu R ( sin x, − cos x ) = −R ( sin x,cos x ) thì đặt t = sin x. cos xdx Ví dụ 3.18 Tính I =  . 1 + sin 2 x Hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ theo cos x . Đặt t = sin x  dt = cos xdx. dt I = = arctan t + C = arctan ( sin x ) + C . 1+ t2 • Nếu R ( sin x,cos x ) = R ( − sin x, − cos x ) thì đặt t = tan x . 58
dx Ví dụ 3.19 Tính I =  . sin x cos3 x dx Đặt t = tan x  dt = cos 2 x  dx 4 tan x cos x = 1 tan x (1 + tan 2 x ) cos2 x dx 1+ t2  1 1 1  dt =   t +  dt = t 2 + ln t + C = tan 2 x + ln tan x + C . t  t 2 2 • Các tích phân dạng  cos ax sin bxdx,  cos ax cos bxdx,  sin ax sin bxdx. Để tính các tích phân này ta dùng các công thức biến đổi sau 1 cos ax cos bx = cos ( a + b ) x + cos ( a − b ) x  2  1 sin ax sin bx = − cos ( a + b ) x − cos ( a − b ) x  2  1 sin ax cos bx = sin ( a + b ) x + sin ( a − b ) x  . 2  Ví dụ 3.20 Tính I =  cos x cos3xdx . Ta có 1 1 1 I =  cos x cos3 x dx = ( cos 4 x + cos 2 x ) dx = sin 4 x + sin 2 x + C. 2 8 4 3.2 Tích phân xác định 3.2.1 Bài toán diện tích hình thang cong Tính diện tích hình phẳng giới hạn phía trên bởi đường cong liên tục y = f ( x ) , phía dưới là trục Ox và hai bên là hai đường thẳng x = a, x = b (a  b). Ta gọi hình phẳng loại này là hình thang cong. y A B O a b x Hình 3.1 Để tính diện tích hình thang cong aABb, ta chia  a, b  một cách tùy ý thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia 59
a = x0  x1  ...  xk  xk +1  ....  xn = b. Ký hiệu độ dài các đoạn  xk −1 , xk  là xk ( k = 1,2,..., n ) . Như vậy hình thang cong cũng được chia thành n hình thang cong nhỏ. Trên mỗi đoạn  xk −1 , xk  lấy điểm  k bất kỳ ( k = 1,2,..., n ) . Nếu f không đổi trên các đoạn này thì giá trị của hàm số trên đó là f (k ) . Khi đó ta có các hình chữ nhật đáy là xk và chiều cao là f (k ) . y f ( k ) B A O a b x xk −1 k xk Hình 3.2 Diện tích của các hình chữ nhật này là f (k ) . xk và tổng diện tích của chúng là n Sn =  f (k )xk = f (1 )x1 + f (2 )x2 + ... + f ( n )xn . k =1 Khi f ( x ) thay đổi trên các đoạn  xk −1 , xk  ( k = 1,2,..., n ) , nếu độ dài của chúng càng nhỏ, nghĩa là xk → 0 khi k →  thì tích f (k ) . xk xấp xỉ với diện tích hình thang cong có đáy là xk . Khi đó S n là một xấp xỉ của diện tích S hình thang cong đã cho. Sự xấp xỉ này càng chính xác khi xk càng nhỏ. Gọi d n = max xk . Theo nhận xét trên, khi d n → 0 (hay n →  ) thì giới 1k n hạn của tổng S n chính là diện tích của hình thang cong đã cho. Định nghĩa diện tích S của hình thang cong đã cho bằng giới hạn của tổng S n khi d n → 0 , không phụ thuộc cách chia  a, b  và cách lấy điểm  k . Ta có n S = lim Sn = lim  f ( k ) xk . n→ d →0 k =1 3.2.2 Định nghĩa tích phân xác định Bài toán diện tích hình thang cong là một trong các bài toán cơ bản dẫn đến khái niệm tích phân xác định. Trong bài toán hình thang cong, f ( x ) là hàm 60
số liên tục và không âm trên  a, b . Bây giờ, ta sẽ đề cập đến khái niệm tích phân xác định của hàm số f ( x ) bất kỳ xác định trên  a, b . Định nghĩa 3.3 Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên đoạn  a, b  . Chia đoạn  a, b  thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia a = x0  x1  ...  xn = b . Các đoạn nhỏ  xk −1 , xk  có độ dài xk = xk − xk −1 , k = 1,2,...n. Đặt d = ma x xk . 1 k  n n Trên mỗi đoạn xk ta lấy một điểm  k tùy ý. Lập tổng I n =  f ( k ) xk . Nếu k =1 tồn tại giới hạn lim I n = I không phụ thuộc vào cách chia đoạn  a, b  và cách n → lấy điểm  k thì I được gọi là tích phân xác định của f ( x ) trên  a, b  . Khi đó ta b nói f ( x ) khả tích trên  a, b  . Kí hiệu: I =  f ( x )dx . a Trong đó:  a, b  là đoạn lấy tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f ( x ) là hàm dưới dấu tích phân và x là biến tích phân, f ( x ) dx là biểu thức dưới dấu tích phân. Chú ý b a • Nếu a = b thì  f ( x )dx =  f ( x )dx = 0. a a • Khi định nghĩa tích phân xác định ta coi a  b . Nếu a  b thì ta định nghĩa b a  f ( x )dx = −  f ( x )dx. a b b •  f ( x )dx nếu có chỉ phụ thuộc vào hàm số f ( x ) , hai cận a, b của tích a phân, không phụ thuộc vào biến tích phân. Tức là b b  f ( x )dx =  f (t )dt. a a • Theo định nghĩa tích phân xác định thì diện tích hình thang cong trong bài toán diện tích cơ bản được tính n b S = lim  f ( k ) xk =  f ( x )dx. d →0 k =1 a 61
3.2.3 Điều kiện khả tích Định lí 3.6 (Điều kiện cần) Hàm số y = f ( x ) khả tích trên  a, b  thì nó bị chặn trên đoạn đó. Định lí 3.7 (Điều kiện đủ) Hàm số y = f ( x ) xác định trên đoạn  a, b , f ( x ) khả tích trên  a, b  nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện dưới đây: + f ( x ) liên tục trên  a, b; + f ( x ) đơn điệu và bị chặn trên  a, b; + f ( x ) bị chặn và chỉ có hữu hạn điểm gián đoạn trên  a, b . 3.2.4 Tính chất của tích phân xác định Định lí 3.8 Nếu f ( x ) = C , x   a, b với C là hằng số thì f ( x ) khả tích trên  a, b và b  f ( x ) dx = C ( b − a ) . a Định lí 3.9 Giả sử f và g là các hàm số khả tích trên  a, b  . Khi đó b b b a)   f ( x )  g ( x ) dx =  f ( x ) dx   g ( x ) dx . a   a a b) Nếu C là hằng số thì Cf ( x) khả tích trên  a, b  và b b  Cf ( x )dx = C  f ( x ) dx. a a c) Nếu f ( x)  0 ( f ( x)  0) x  a, b thì   b b   f ( x ) dx  0   f ( x ) dx  0  . a a  d) Nếu f ( x )  g ( x ) ( f ( x )  g ( x ) ) , x   a, b  thì b b b b   f ( x ) dx   g ( x ) dx   f ( x ) dx   g ( x ) dx  . a a a a  e) Ta có f ( x) khả tích trên  a, b  và b b  f ( x ) dx   f ( x ) dx. a a f) Nếu f ( x ) là hàm lẻ thì 62
a  f ( x ) dx = 0. −a g) Nếu f ( x ) là hàm chẵn thì a a  f ( x ) dx = 2 f ( x ) dx . −a 0 b h) Nếu m  f ( x)  M x  a, b thì m(b − a)   f ( x ) dx  M ( b − a ) .   a Định lí 3.10 Nếu hàm số f ( x ) khả tích trên mỗi đoạn  a, c  và c, b ( a  c  b ) thì nó khả tích trên  a, b  và b c b  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx . a a c Hệ quả Nếu a  c1  c2  ...  cn  b và hàm số f ( x ) khả tích trên mỗi đoạn  a, c1  , c1, c2 ,..., cn , b thì nó khả tích trên  a, b và b c1 c2 b  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx + ... +  f ( x ) dx . a a c1 cn 3.2.5 Liên hệ giữa nguyên hàm và tích phân xác định Giả sử hàm số f ( x ) liên tục trên  a, b và a  x  b . Khi đó, f ( x ) cũng x liên tục nên khả tích trên  a, x  , nghĩa là tồn tại tích phân  f (u )du. a Với mỗi x   a, b , tích phân trên có giá trị xác định, vì thế tích phân x  f (u )du cho ta một hàm số theo biến x , xác định trên  a, b . a x Ký hiệu F ( x) =  f (u ) du . a x Định lí 3.11 Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên  a, b  thì hàm số F ( x) =  f (u ) du là a một nguyên hàm của f ( x ) trên đoạn đó, tức là x  F '( x) =   f (u )du  = f ( x) . a  63
Định lí 3.12 (Công thức Newton - Leibniz) Nếu G ( x ) là một nguyên hàm trong các nguyên hàm của hàm số f ( x ) liên tục trên  a, b  thì b  f ( x ) dx = G ( b ) − G ( a ) . a Chứng minh. x Hàm số f ( x ) liên tục trên  a, b . Theo Định lí 3.9 thì F ( x ) =  f ( u ) du a cũng là một nguyên hàm của f trên  a, b  . Do đó, G( x) = F ( x) + C . a Thay x = a vào biểu thức G( x) = F ( x) + C và vì F (a) =  f ( u ) du = 0 . a Ta có G(a) = C . Thay x = b vào biểu thức G( x) = F ( x) + C ta được a G (b) = F (b) + C  F (b) =  f ( u ) du = G (b) − G (a ) . ∎ a Công thức trong Định lí 3.12 gọi là công thức Newton – Leibniz. Chú ý Ta có thể dùng ký hiệu G( x) a = G(b) − G(a) . b 1 Ví dụ 3.21 Tính I =  x 3dx 0 1 1 41 1 1 Ta có I =  x 3dx = x = −0 = . 0 4 0 4 4 3.2.6 Hai phương pháp tính tích phân a) Phương pháp tích phân từng phần Giả sử u ( x), v( x) là các hàm số khả vi, liên tục trên  a, b  . Khi đó ta có b b  u ( x).v( x)dx = u ( x).v( x) −  u( x).v( x)dx. b a a a Thật vậy, trong phần tích phân bất định ta đã có  uvdx = uv −  uvdx. Ta ký hiệu ( x) =  u.vdx . 64