zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 3 - ThS. Nguyễn Phương (ĐH Ngân hàng TP. Hồ Chí Minh)

Chia sẻ: Thanh Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Báo xấu

200
lượt xem 30
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Xác suất thống kê - Chương 3: Các phân phối xác suất thông dụng" cung cấp cho người học các kiến thức: Phân phối nhị thức, phân phối siêu bội, phân phối Poisson, phân phối chuẩn, phân phối chi bình phương, phân phối Student, phân phối Fisher. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 3 - ThS. Nguyễn Phương (ĐH Ngân hàng TP. Hồ Chí Minh)

Chương 3: CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Khoa Giáo dục cơ bản Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog@wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 27 tháng 1 năm 2015 1
1 Phân phối nhị thức 2 Phân phối siêu bội 3 Phân phối Poisson 4 Phân phối chuẩn 5 Phân phối chi bình phương 6 Phân phối Student 7 Phân phối Fisher
Phân phối nhị thức Dãy phép thử Bernoulli Dãy n phép thử được gọi là dãy phép thử Bernoulli nếu: - Các phép thử độc lập với nhau. - Xác suất biến cố A xảy ra trong mỗi phép thử là như nhau, P(A) = p. Công thức Bernoulli Xác suất để biến cố A xuất hiện k lần trong n phép thử, được ký hiệu Pn (k) và xác định bởi công thức Pn (k) = Ckn pk qn−k k = 0, . . . , n
Phân phối nhị thức Định nghĩa X có phân phối nhị thức với tham số n, p, kí hiệu là X ∼ B(n, p), nếu tập giá trị của X là X(Ω) = {0, 1, . . . , n} và P(X = k) = Ckn pk qn−k , k ∈ X(Ω) (1) Ví dụ Một phân xưởng có 10 máy hoạt động độc lập. Xác suất để trong 1 ngày mỗi máy bị hỏng là 0,1. a) Tính xác suất trong 1 ngày có 2 máy bị hỏng. b) Tính xác suất trong 1 ngày có không quá 2 máy bị hỏng.
Phân phối nhị thức Tính chất Nếu X ∼ B(n, p) thì i) E(X) = np; Var(X) = np(1 − p) = npq; ii) np − q ≤ Mod(X) ≤ np + p; iii) với x, h là 2 số nguyên dương thì P(x ≤ X ≤ x + h) = P(X = x) + P(X = x + 1) + . . . + P(X = x + h) Ví dụ Một phân xưởng có 100 máy hoạt động độc lập. Xác suất trong một ca sản xuất mỗi máy bị hỏng là như nhau và bằng 2%. Gọi X là số máy bị hư trong một ca sản xuất. a) Tính E(X), Var(X). b) Nếu mỗi kỹ sư có thể sửa chữa tối đa được 2 máy bị hỏng trong 1 ca sản xuất thì nhà máy cần bố trí trực sửa chữa mỗi ca bao nhiêu kỹ sư là hợp lý nhất. 5
Phân phối siêu bội Ví dụ Trong bình có 10 viên bi trong đó có 6 viên bi trắng và 4 viên bi đen. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi, nếu gọi X là số viên bi trắng có trong 3 bi lấy ra thì giá trị có thể của biến ngẫu nhiên X là 0, 1, 2, 3. Xác suất để lấy được 1 bi trắng là C16 C24 P(X = 1) = C310 Xác suất lấy được k viên bi trắng Ck6 C3−k 4 P(X = k) = C310 trong đó k = 0, 1, 2, 3.
Phân phối siêu bội Mô hình tổng quát Tổng quát, một tập T gồm có N phần tử, trong đó có NA phần tử có tính chất A và N − NA phần tử không có tính chất A. Từ tập T ta lấy ngẫu nhiên n phần tử (lấy một lần n phần tử hoặc lấy n lần không hoàn lại mỗi lần một phần tử). Gọi X là số phần tử có tính chất A có trong n phần tử chọn ra từ tập T . Khi đó X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị k sao cho  0 ≤ k ≤ NA   n − (N − NA ) ≤ k ≤ n   Nếu kí hiệu k1 = max{0, n − (N − NA )} và k2 = min(n, NA ) thì miền giá trị của X là S = {k ∈ N : k1 ≤ k ≤ k2 } và CkNA Cn−k N−NA P(X = k) = , k∈S CnN 7
Phân phối siêu bội Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nguyên dương k ∈ S với xác suất tương ứng CkNA Cn−k N−NA P(X = k) = , k∈S (2) CnN thì ta gọi X có phân phối siêu bội với tham số N, NA , n, kí hiệu X ∼ H(N, NA , n). Ví dụ Một hộp chứa 8 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 4 quả cầu. Gọi X là số quả cầu trắng lấy được. Tính xác suất a) Lấy được ít nhất 1 quả cầu trắng. b) Lấy được 2 quả cầu trắng. 8
Phân phối siêu bội Tính chất Nếu biến ngẫu nhiên X ∼ H(N, NA , n)thì NA i) E(X) = np với p = ; N N−n ii) Var(X) = npq với q = 1 − p. N−1 Ví dụ Một hộp chứa 8 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 4 quả cầu. Gọi X là số quả cầu trắng lấy được. Tính E(X), Var(X). Ví dụ Một trò chơi có 3 quân bài đỏ và 5 quân bài đen, bốc ngẫu nhiên ra 3 quân bài. Nếu bốc được quân bài đỏ thì được 7 USD, nếu bốc phải quân bài đen thì mất 5 USD. Tính số tiền trung bình người chơi có thể thu được trong một lần chơi. 9
Phân phối siêu bội Xấp xỉ phân phối siêu bội bằng phân phối nhị thức NA Định lí: Nếu X ∼ H(N, NA , n), n cố định, N → ∞ và → p (p , 0, p , 1) thì N F X → B(n, p) Ý nghĩa trong thực hành 1. Nếu X ∼ H(N, NA , n), nếu N khá lớn; n rất nhỏ so với N thì NA P(X = k) ≈ Ckn pk qn−k p = . N Công thức xấp xỉ khá tốt khi n < 0, 05N. 2. Khi N khá lớn so với n. Việc lấy ra n phần tử từ tổng thể N phân tử theo phương thức: có hoàn lại hay không hoàn lại, được coi là như nhau. Ví dụ Một lô hàng có 1000 sản phẩm, có tỷ lệ sản phẩm loại A là 80%. Lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất có 7 sản phẩm loại A trong 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra. 10
Phân phối Poisson Định nghĩa Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị nguyên dương k, (k = 0, 1, 2, . . .) với xác suất λk e−λ P(X = k) = , k = 0, 1, 2, 3, . . . k! Thì biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số λ , ký hiệu X ∼ P(λ). Ví dụ Cho X ∼ P(4). Tính a) P(X = 3) b) P(X = 6, 5) c) P(X > 2) 11
Phân phối Poisson Tính chất Nếu X ∼ P(λ) thì i) E(X) = Var(X) = λ; ii) λ − 1 ≤ mod(X) ≤ λ. Trong thực tế, phân phối Poisson dùng để chỉ số lần biến cố A xảy ra trong một khoảng thời gian, không gian nhất định, với tham số λ là số lần biến cố A xảy ra trung bình trong khoảng thời gian đó. Ví dụ Ở một tổng đài điện thoại các cuộc gọi đến một cách ngẫu nhiên, độc lập và trung bình có 10 cuộc gọi trong 1 phút. Giả sử số cuộc gọi đến tổng đài trong 1 phút có phân phối Poisson tìm xác suất để: a) Có đúng 5 cuộc gọi đến trong 1 phút. b) Có ít nhất 2 cuộc gọi trong 1 phút. 12
Phân phối Poisson Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối Poisson Định lí: Cho Xn ∼ B(n, p). Nếu số phép thử n → ∞ và xác suất P(A) → 0 sao cho np = λthì F Xn → P(λ) Ý nghĩa trong thực hành λk e−λ 1. Nếu X ∼ B(n, p), nếu n khá lớn, p khá bé thì P(X = k) = với k! λ = np. Công thức xấp xỉ khá tốt khi n > 50; p < 0, 1. 2. Do n lớn, p rất bé, từ định lí ngày người ta còn nói luật phân phối Poisson là luật phân phối của biến cố hiếm. Ví dụ Xác suất để một máy sản xuất ra một phế phẩm là 0,1%. Cho máy sản xuất 1000 sản phẩm. Tính xác suất có đúng 2 phế phẩm.
Phân phối chuẩn Định nghĩa Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng (−∞, +∞) được gọi là có phân phối chuẩn tham số µ, σ nếu hàm mật độ xác suất có dạng (x − µ)2 1 − f(x) = √ e 2σ2 σ 2π trong đó µ, σ là hằng số và σ > 0, µ ∈ (−∞, +∞), ký hiệu X ∼ N(µ, σ2 ) Tính chất Biến ngẫu nhiên X ∼ N(µ, σ2 ), ta có i) E(X) = Mod(X) = Med(X) = µ. ii) Var(X) = σ2 .
Phân phối chuẩn Ví dụ Đồ thị của hàm mật độ của X ∼ N(4, 1) Trong trường hợp µ = 0, σ = 1, ta có 15
Phân phối chuẩn Định nghĩa (Phân phối chuẩn tắc) Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng (−∞, +∞) được gọi là có phân phối chuẩn tắc tham số µ = 0, σ = 1 nếu hàm mật độ xác suất (hay còn được là hàm Gauss) có dạng x2 1 − f(x) = √ e 2 2π ký hiệu X ∼ N(0, 1) Đồ thị của hàm Gauss
Phân phối chuẩn Hàm Laplace Z t 1 x2 ϕ(t) = √ e− 2 dx 0 2π Giá trị của hàm Laplace là diện tích của miền sau Giá trị của hàm Laplace có thể tra "Bảng 2" (Trang 231 - SGK) . 17
Phân phối chuẩn Đồ thị của hàm Laplace 18
Phân phối chuẩn Tính chất (Hàm Gauss và hàm Laplace) i) f(−x) = f(x), ii) ϕ(−x) = −ϕ(x), ∀x, iii) ϕ(−∞) = −0, 5 và ϕ(+∞) = 0, 5 Khi tính toán làm tròn đến số lẻ thứ 5, ta có i) f(x) ≈ 0, x ≥ 4, 76 ii) ϕ(x) ≈ 0, 5, x ≥ 4, 42 Định lý Nếu X ∼ N(0; 1) thì i) P(a ≤ X ≤ b) = ϕ(b) − ϕ(a) ii) P(|X| ≤ ) = 2ϕ() Định lý X ∼ N(µ; σ2 ) ⇔ aX + b ∼ N(aµ + b; (aσ)2 ) (a , 0).
Phân phối chuẩn Hệ quả Nếu X ∼ N(µ; σ2 ) thì X−µ i) ∼ N(0; 1) σ b−µ a−µ ii) P(a ≤ X ≤ b) = ϕ( ) − ϕ( ) σ σ iii) P(|X − µ| ≤ ) = 2ϕ σ x − µ 1 iv) Hàm phân phối xác suất F(x) = + ϕ 2 σ Ví dụ Cho X ∼ N(1; 0, 52 ). Tính các xác suất sau a) P(−5 ≤ X < 1, 23) b) P(|X − 1| < 0, 64) c) P(X < 2, 1)

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.