Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 7: Kiểm định giả thuyết thống kê

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:81

Thêm vào BST

Báo xấu

185
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung chương 7 sẽ cho chúng ta biết khái niệm của giả thiết thống kê, tiêu chuẩn kiểm định giả thiết thống kê, miền bác bỏ giả thuyết, giá trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 7: Kiểm định giả thuyết thống kê

Giảng viên: Chu Bình Minh Bài giảng Xác suất thống kê Nam Dinh,Februay, 2008
PHẦN 2 THỐNG KÊ TOÁN CHÖÔNG 7: KIEÅM ÑÒNH GIAÛ THIEÁT THOÁNG KEÂ
1. KHÁI NIỆM CHUNG
1.1 GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ a, Định nghĩa Giả thuyết thống kê là giả thuyết về dạng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên, về các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên hoặc về tính độc lập của các biến ngẫu nhiên. Giả thuyết đưa ra gọi là biến ngẫu nhiên gốc ký hiệu là 𝐻0 . Khi đưa ra một giả thuyết gốc, người ta còn nghiên cứu một mệnh đề mâu thuẫn với nó gọi là giả thuyết đối (hay đối thuyết) và ký hiệu là 𝐻1 để khi 𝐻0 bị bác bỏ thì thừa nhận 𝐻1 . Cặp 𝐻0 và 𝐻1 gọi là cặp giả thuyết thống kê.
1.1 GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ Ví dụ Khi nghiên cứu nhu cầu thị trường về một loại hàng hóa nào đó. Ta có thể đưa ra các cặp giả thuyết thống kê như sau:  𝐻0 : Nhu cầu X của thị trường tuân theo quy luật phân phối chuẩn 𝐻1 : Nhu cầu X của thị trường không tuân theo quy luật phân phối chuẩn  𝐻0 : Nhu cầu trung bình của thị trường về loại hàng hóa này là μ = 1000 đơn vị / tháng 𝐻1 : μ > 1000 đơn vị /tháng, 𝐻1 : μ < 1000 đơn vị / tháng hoặc 𝐻1 : μ ≠ 1000 đơn vị / tháng  𝐻0 : Nhu cầu X của thị trường và thu nhập Y của khách hàng độc lập nhau 𝐻1 : Nhu cầu X của thị trường và thu nhập Y của khách hàng phụ thuộc nhau
1.1 GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ Vì các giả thuyết thống kê có thể đúng hoặc sai nên cần kiểm định, tức là tìm ra kết luận về tính thừa nhận được hay không thừa nhận được của giả thuyết đó. Việc kiểm định này gọi là kiểm định thống kê vì nó dựa vào thông tin thực nghiệm của mẫu để kết luận.
1.1 GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ b, Phương pháp chung Trước hết, giả sử 𝐻0 đúng và từ đó dựa vào thông tin m ẫu rút ra từ tổng thể tìm được một biến cố A nào đó sao cho xác suất xảy ra của A bằng α bé đến mức có thể coi A không xảy ra trong một phép thử. Lúc đó trên m ột mẫu cụ thể thực hiện phép thử với biến cố A, nếu A xảy ra thì chứng tỏ 𝐻0 sai và bác bỏ nó, còn nếu A không xảy ra thì chưa có cơ sở để bác bỏ 𝐻0 .
1.2 TIÊU CHUẨN KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ Cho θ là tham số của X, ta cần kiểm định 𝐻0 : 𝜃 = 𝜃0 Từ biến ngẫu nhiên gốc X trong tổng thể lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n 𝑊 = (𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 ) Và chọn lập thống kê: 𝐺 = 𝑓(𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 , 𝜃0 ) Với 𝜃0 là tham số liên quan đến giả thuyết cần kiểm định. Điều kiện đặt ra đối với G là nếu 𝐻0 đúng thì quy luật phân phối xác suất của G hoàn toàn xác định. Thống kê G gọi là tiêu chuẩn kiểm định.
1.3 MIỀN BÁC BỎ GIẢ THUYẾT. Do đã xác đ ịnh được quy luật phân phối xác suất của G nên với một xác suất khá bé α cho trước có thể tìm được miền 𝑊𝛼 tương ứng sao cho với điều kiện giả thuyết 𝐻0 đúng thì xác suất G nhận giá trị tại miền 𝑊𝛼 bằng α. Điều kiện này được viết như sau: 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0 ) = 𝛼
1.3 MIỀN BÁC BỎ GIẢ THUYẾT. Biến cố (𝐺 ∈ 𝑊𝛼 ) đóng vai trò như biến cố A nói trên và vì α khá bé nên có thể coi như không xảy ra trong m ột phép thử. Giá trị α gọi là m ức ý nghĩa của kiểm đ ịnh và m iền 𝑊𝛼 gọi là m iền bác b ỏ giả thuyết 𝐻0 . Các giá trị còn lại của G thuộc m iền 𝑊𝛼 gọi là m iền không bác b ỏ giả thuyết hay đôi khi còn g ọi là m iền thừa nhận giả thuyết. Điểm giới hạn phân chia giữa m iền bác b ỏ và m iền thừa nhận g ọi là giá trị tới hạn.
1.4 GIÁ TRỊ QUAN SÁT CỦA TIÊU CHUẨN KIỂM ĐỊNH Thực hiện một phép thử với mẫu ngẫu nhiên ta được mẫu cụ thể 𝑤 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) và qua đó tính được giá trị cụ thể của tiêu chuẩn kiểm định G 𝐺𝑞𝑠 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑛𝑛 , 𝜃0 ) Giá trị này gọi là giá trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định.
1.5 QUY TẮC KIỂM ĐỊNH THỐNG KÊ Sau khi đã tính được giá trị 𝐺𝑞𝑠 , ta so sánh giá trị này với miền bác b ỏ 𝑊𝛼 và kết luận theo quy tắc: 1. Nếu 𝐺𝑞𝑠 ∈ 𝑊𝛼 thì kết luận 𝐻0 sai, do đó bác b ỏ 𝐻0 và thừa nhận 𝐻1 . 2. Nếu 𝐺𝑞𝑠 ∉ 𝑊𝛼 thì kết luận chưa có cơ sở bác b ỏ 𝐻0 (thực tế là thừa nhận 𝐻0 ).
1.6 SAI LẦM LOẠI MỘT VÀ SAI LẦM LOẠI HAI. Sai lầm loại 1: Bác bỏ 𝐻0 trong khi 𝐻0 đúng. Ta thấy nếu 𝐻0 đúng thì 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 ) = 𝛼 nhưng khi 𝐺 ∈ 𝑊𝛼 thì lập tức bác bỏ 𝐻0 . Như vậy ta có thể mắc phải sai lầm loại 1 với xác suất bằng α. Sai lầm loại 2: Thừa nhận 𝐻0 trong khi 𝐻0 sai hay 𝐺𝑞𝑠 ∉ 𝑊𝛼 trong khi 𝐻1 đúng. Giả sử xác suất mắc sai lầm loại 2 là β. 𝑃(𝐺 ∉ 𝑊𝛼 /𝐻1 ) = 𝛽
1.6 SAI LẦM LOẠI MỘT VÀ SAI LẦM LOẠI HAI. Suy ra: 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻1 ) = 1 − 𝛽 1-β gọi là lực kiểm định. Quan hệ giữa kiểm định giả thuyết và các loại sai lầm cho trong bảng: Tình huống 𝐻0 đúng 𝐻0 sai Quyết định Quyết định đúng Sai lầm loại 1 Bác bỏ 𝐻0 xác suất bằng 1- xác suất bằng α β Quyết định Không bác bỏ Sai lầm loại 2 xác đúng xác suất 𝐻0 suất bằng β bằng 1- α
1.6 SAI LẦM LOẠI MỘT VÀ SAI LẦM LOẠI HAI. Ta thấy sai lầm loại một và sai lầm loại hai mâu thuẫn nhau, tức ta cùng một kích thước mẫu n thì không thể cùng giảm cả hai loại sai lầm. Do vậy trong thực tế thì với α cho trước người tasex tìm miền 𝑊𝛼 sao cho β là nhỏ nhất.
2.KIỂM ĐỊNH THAM SỐ
2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN. Giả sử b iế n ng ẫu nhiê n g ố c X tro ng t ổ ng th ể p hân p h ố i chu ẩn 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) nhưng chưa b iế t μ. Nế u có cơ sở đ ể g iả thuyế t rằng g iá trị của nó b ằng 𝜇0 ta đ ưa ra g iả t huyế t th ố ng kê 𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0 . Để kiể m đ ịnh g iả thuyế t trê n, t ừ tổ ng th ể ta lập m ẫu: 𝑊 = (𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 ) Để chọ n th ống kê G ta xé t hai trường h ợ p .
2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN. a, Đã biết phương sai 𝜎 2 . Chọn 𝑋 − 𝜇0 𝐺= 𝑛 𝜎 Giả sử nếu 𝐻0 đúng tức là 𝜇 = 𝜇0 thì 𝑋−𝜇 𝐺=𝑈= 𝑛 ~ 𝑁(0,1) 𝜎 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0 ) = 𝛼 Để tìm miền bác bỏ 𝑊𝛼 ta xét các trường hợp.
2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN. Trường hơp 1: 𝐻0 : 𝜇 = 𝜇0 ; 𝐻1 : 𝜇 > 𝜇0 Với 𝛼 cho trước có thể tìm được cặp giá trị 𝛼1 , 𝛼2 sao cho 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼 và tương ứng ta tìm được cặp giá trị 𝑢1−𝛼 1 , 𝑢𝛼 2 thoả mãn: 𝑃 𝐺 < 𝑢1−𝛼 1 = 𝛼1 𝑃 𝐺 > 𝑢𝛼 2 = 𝛼2 𝑋 −𝜇 0 Do 𝐺 ∈ 𝑊𝛼 tức là thừa nhận 𝐻1 hay 𝜇 > 𝜇0 nên 𝐺 = 𝑛= 𝜎 𝜇 −𝜇 0 𝑛 > 0, và 𝛼1 nhỏ nên 𝜎
2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN. 𝑢1−𝛼 1 = −𝑢𝛼 1 < 0 , do vậy trường hợp 𝑃 𝐺 < 𝑢1−𝛼 1 = 0 suy ra 𝛼2 = 𝛼. Vậy 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0 ) = 𝑃 𝐺 > 𝑢𝛼 = 𝛼 Ta thu được miền bác bỏ bên phải là: 𝑋 − 𝜇0 𝑊𝛼 = 𝐺 = 𝑛: 𝐺 > 𝑢𝛼 = (𝑢𝛼 ; +∞) 𝜎