zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Bài tập môn Toán: Nguyên hàm tích phân

Chia sẻ: Vu Manh Tuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Báo xấu

356
lượt xem 101
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đây là bài tập nguyên hàm tích phân gửi đến các bạn học sinh tham khảo để củng cố kiến thức toán 12.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập môn Toán: Nguyên hàm tích phân

Nguyeãn Phuù Khaùnh - Ñaø Laït http://toanthpt.net/ BAØI TAÄP NGUYEÂN HAØM TÍCH PHAÂN BAØI TAÄP 1: Chöùng minh raèng F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a;b) baèng ñònh nghóa: x2 - x 2 + 1 2 2 (x 2 - 1) 1.CMR haøm soá : F(x) = ln laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = treân R x4 + 1 x2 + x 2 + 1 ⎧ x 2 (x ln x - 1) ⎧ xlnx khi x > 0 khi x > 0 ⎪ 2. CMR haøm soá : F(x) = ⎨ laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = ⎨ 4 ⎩0 khi x = 0 ⎪0 khi x = 0 ⎩ 1 ⎧2 ⎪ x sin khi x ≠ 0 3. . CMR haøm soá : F(x) = ⎨ x laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá ⎪0 khi x = 0 ⎩ 1 1 ⎧ ⎪ 2xsin - cos khi x ≠ 0 f(x) = ⎨ x x treân R ⎪0 khi x = 0 ⎩ ⎧ ex khi x ≥ 0 ⎧ ex khi x ≥ 0 ⎪ laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = 4. . CMR haøm soá : F(x) = ⎨ 2 ⎨ ⎩ 2x + 1 khi x < 0 ⎪ x + x + 1 khi x < 0 ⎩ treân R BAØI TAÄP 2: Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa tham soá F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a;b) b c 1.Xaùc ñònh a; b; c ñeå haøm soá F(x) = (a + 1)sinx + sin 2x + sin 3x laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá 2 3 f (x) = cosx treân R ÑS: a = b = c = 0 2. .Xaùc ñònh a; b; c ñeå haøm soá F(x) = (ax 2 + bx + c)e- x laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = (x 2 - 3x + 2)e- x 3 3. .Xaùc ñònh a; b; c ñeå haøm soá F(x) = (ax + bx + c) 2x - 3 vôùi x > 2 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá 2 20x 2 - 30x + 7 f(x) = 2x - 3 ⎧ 2x khi x ≤ 1 ⎧ x2 khi x ≤ 1 4. Xaùc ñònh a; b ñeå haøm soá F(x) = ⎨ laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = ⎨ ⎩ 2 khi x > 1 ⎩ ax + b khi x > 1 treân R ⎧ ex - 1 khi x ≠ 0 ⎪ 5. Xaùc ñònh a; b ñeå haøm soá F(x) = ⎨ x laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá ⎪a khi x = 0 ⎩ ⎧ (x - 1)ex + 1 khi x ≠ 0 ⎪ f(x) = ⎨ x2 ⎪b khi x = 0 ⎩ 1
Nguyeãn Phuù Khaùnh - Ñaø Laït http://toanthpt.net/ 4sinx + 3cosx 6. Cho haøm soá y = f(x) = . Xaùc ñònh caùc haèng soá a ñeå sin x + 2cosx 4sinx + 3cosx = a(sinx + cosx) + b(cosx - 2sinx) . Töø ñoù tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) BAØI TAÄP 3: Tính nguyeân haøm cuûa haøm soá: dx 1 dx ∫ 1 + sinx ∫ ∫ x.lnx.ln(lnx); x > 1 I1 = Q1 = dx M1 = 2x + 1 + 3 - 2x I 2 = ∫ 8cos 3 x. sin xdx 1 2 ∫1+e Q2 = ∫ 2 M2 = dx dx x - 4x + 3 x tgx ∫ cos3 x dx I3 = ex 4x 3 - 9x - 1 ∫ e x + e- x dx Q3 = ∫ M3 = dx 4x 2 - 9 1 ∫ sinx.cos2 xdx I4 = 1 2 x + 1 - 5x - 1 Q4 = ∫ dx M4 = ∫ dx ( ) 2 10 x 1 x+ x +1 2 ∫ cos4 xdx I5 = M 5 = ∫ e3x - 2 dx ∫ x ( 1 - 3x ) 2008 Q5 = dx 1 x+1 ∫ sin 4 xdx I6 = ∫ x(xe M6 = dx x2 + 1) x ∫ (1 - x ) Q6 = dx sinx + cosx 2006 ∫ 5 sinx - cosx dx 1 I7 = M7 = ∫ dx sinx.cos 3 x I 8 = ∫ 8cos 2 x. sin 3 xdx sinx + cosx M8 = ∫ dx 3 + sin2x ∫ ( sin x + cos6 x ) dx I9 = 6 BAØI TAÄP 4: Tính tích phaân π 4 ⎛π ⎞ π K1 = ∫ sin 2 ⎜ - x ⎟ dx 2 1 4 ∫x L1 = - 1 dx 2 ⎝4 ⎠ Q1 = ∫ dx 0 π⎞ 0 cosx.sin ⎛ x + -2 π ⎜ 4⎟ 5 1 2 ⎝ ⎠ ∫ ∫ L2 = dx K2 = sin 7x. sin 2xdx x+2 + x-2 π 2 π 1 3 - ∫ 2 Q2 = dx 4 ∫x π⎞ L3 = - 3x + 2 dx 2 ⎛ π sinx.sin ⎜ x + ⎟ π 2 π⎞ ⎛ 6⎠ K 3 = ∫ sin x. cos ⎜ x - ⎟ dx 6 2 ⎝ -1 4⎠ ⎝ 0 2
Nguyeãn Phuù Khaùnh - Ñaø Laït http://toanthpt.net/ π π ∫ sin x - cosx dx L4 = K4 = ∫ cos 3 x. cos 5xdx π cos2x 2 0 0 ∫ cosx + 1dx Q3 = π π ∫ L5 = 1 - sin2xdx sin 2 x 3 0 ∫ cos6 x dx K5 = 2 x+1 0 Q4 = ∫ 2 dx π 2π x + xlnx 6 ∫ L6 = 1 + sinxdx 1 π e 2 + lnx 0 1 4 ∫ Q5 = dx ∫ cos4 x dx K6 = π 2x sin 3 x 2 1 0 ∫ 1 + cos2 x dx L7 = 1 Q6 = ∫ e x dx 0 0 BAØI TAÄP 5:Tích phaân ñoåi bieán cô baûn π π 10 2x 4sinx sin 2x ∫ 6 2 I1 = dx ∫ 2 sin ∫ ( sinx + cosx ) T1 = dx A1 = dx x + x2 + 1 x + cos 2 x 3 2 0 0 0 7 x3 3 tg 4 x ∫ 1 I2 = dx 1 2+x ∫ T2 = dx ∫4-x A2 = ln dx x +1 3 2 cos 2x 2-x 2 0 0 0 1 π I3 = ∫ x x + 1dx 3 2 22 2 ∫ A3 = x x 2 + 1dx T3 = ∫ cos 3 x. sin 2 xdx 0 0 0 BAØI TAÄP 6 : Tích phaân ñoåi bieán π π π 1 sinx + 7cosx + 6 sin x3 3 3 2 ∫ cosx + 2 dx ∫ cosx.sin x dx ∫ 4sinx + 3cosx + 5 dx G1 = T1 = I1 = 4 0 π 0 6 2 π ∫ m - x xdx I2 = ln 3 3sinx + 4cosx 1 2 ∫ 3sin x + 4cos x ∫ T= dx G= dx 0 2 2 ex + 1 0 0 BAØI TAÄP 7: Tích phaân ñoåi bieán chöùa haøm höõu tæ 2 1 π ∫x I1 = dx cos x 3 ∫ sin I1 = dx x2 + 1 1 x − 5 sin x + 6 2 π 8 1 6 ∫x I2 = dx π x2 + 1 cos x 3 3 ∫ 11 - 7sinx I2 = dx 4 1 - cos 2 x ∫x I3 = dx π x2 + 9 6 7 3
Nguyeãn Phuù Khaùnh - Ñaø Laït http://toanthpt.net/ BAØI TAÄP 8: 2 ∫ max ( f(x); g(x) ) dx trong ñoù f(x) = x 1 . Tính tích phaân T = vaø g(x) = 3x - 2 2 0 πx ⎧ ⎪ cos khi x ≤ 1 2 2. Cho haøm soá f(x) = ⎨ Xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá treân toaøn truïc soá . töø ñoù tính tích ⎪x-1 khi x > 1 ⎩ 3 ∫ f(x)dx phaân −2 π ⎧ ⎪ sinx khi x ≤ 2 ⎪ 3. . Cho haøm soá f(x) = ⎨ Xeùt ñònh a; b ñeå haøm soá treân toaøn truïc soá . töø ñoù tính tích phaân π ⎪ ax + b khi x > ⎪ 2 ⎩ 2π 3 ∫ f(x)dx 0 1 ∫ f(x)dx = 4 4. Tìm caùc haèng soá a; b ñeå f(x) = a.sinπx + b thoûa maõn f(1) = 2 vaø 0 1 a b + 2 thoûa maõn f'(x) = - 4 vaø ∫ f(x)dx = 2 - 3ln2 5. Tìm caùc haèng soá a; b ñeå f(x) = 2 + x x 1 2 3π 2 ∫ f(x) + f(- x) = 2 - 2cos2x , ∀x ∈ R. Tính tích phaân I = f(x)dx . 6. Cho f(x) lieân tuïc treân R vaø thoûa maõn : 3π - 2 HD: Ñaët x = - t 7. Cho hai haøm soá f(x) = 3x - x - 4x +1 vaø g(x) = 2x 3 + x 2 - 3x - 1 3 2 2 ∫ f(x) - g(x)dx a. Giaûi baát phöông trình f(x) ≥ g(x) b. Tính tích phaân T = -1 8. Cho hai haøm soá f ( x) = 4cosx + 3sinx vaø g(x) = cosx + 2sinx π g(x) 4 ∫ f(x) dx a. Tìm A, B ñeå g(x) = Af(x) + Bf'(x) b. Tính tích phaân T = 0 π 1 4 9. Tìm a, b ñeå cosx = a ( cosx + sinx ) + b ( cosx - sinx ) Töø ñoù tính tích phaân I = ∫ 1 + tgx dx 0 sinx 10. . Cho haøm soá f(x) = sinx + cosx π ⎛ cosx - sinx ⎞ 3 b. Tính tích phaân T = ∫ f(x)dx a. Tìm A, B ñeå f(x) = A + B ⎜ ⎟ ⎝ cosx + sinx ⎠ 0 4
Nguyeãn Phuù Khaùnh - Ñaø Laït http://toanthpt.net/ sin2x 11. Cho haøm soá f(x) = ( 2 + sinx ) 2 0 A.cosx B.cosx ∫ f(x)dx a. Tìm A, B ñeå f(x) = + b. Tính tích phaân T = 2 + sinx ( 2 + sinx ) 2 π - 2 12. Cho haøm soá f(x) = sin 2 2x. cos 4x π f(x) 2 ∫e a. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa f(x) b. Tính tích phaân T = dx +1 x π - 2 2b ⎛π⎞ ∫ adx = 1 13. Tìm a, b ñeå f(x) = a.sin2x - bcos2x thoûa maõn f' ⎜ ⎟ = - 2 vaø ⎝2⎠ a 2π ∫ f(x)dx = 3 14. Tìm a, b ñeå f(x) = a.sin2x + b thoûa maõn f'(0) = 4 vaø 0 BAØI TAÄP 9 : Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñaëc bieät : π π x = a sin t ; - ≤t≤ hoaëc x = a cos t ; 0 ≤ t ≤ π 2 2 1 3 2 F = ∫ x 1 - xdx 1 2 2 ∫ ∫ I= dx K= 1 - x 2 dx 0 (1 - x ) 3 2 1 0 π 2 cos x 2 ∫ G= dx 1 2 ∫ L= 4 - x dx 2 7 + cos2x 1 3 ∫ 0 J= dx -1 (1 - x ) 3 π 2 0 cos x + sinx 4 3 ∫ H= dx 1 2 ∫ M= dx 3 + sin2x 0 (4 - x ) 3 2 1 BAØI TAÄP 10 : Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñaëc bieät : a a π π π x= ;- ≤t≤ vaø t ≠ 0 hoaëc x = ; 0 ≤ t ≤ π vaø t ≠ sin t 2 2 cos t 2 4 2 1 2 x2 - 1 ∫ K= dx ∫ J= dx 3 x2 - 4 ∫ I= dx x3 x x2 - 1 2 x3 1 2 3 BAØI TAÄP 11 : Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñaëc bieät : π π x = atgt ; -
Nguyeãn Phuù Khaùnh - Ñaø Laït http://toanthpt.net/ 1 1 + x2 1 x 3 9 + 3x 2 ∫ ∫x M1 = dx T= dx ∫ I= dx 1 + x4 + x2 + 1 4 x2 0 6+ 10 1 2 2 1 3 ∫x K= dx 1 x2 - 1 ∫ J= 3 + x 2 dx ∫ M2 = dx x -1 2 x4 + 1 2 0 0 3 3 1 x4 + 1 1 1 ∫x K= 1 + x 2 dx ∫ M3 = dx Z=∫ 4 dx x6 + 1 x + x2 + 1 1 0 0 1 1 1 3 ∫ (x L= dx ∫x M2 = dx + 1 )( x + 2 ) 2 2 +1 3 0 0 BAØI TAÄP 12 : Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñaëc bieät : x = acos2t hoaëc x = acost 1 0 1 1-x a+x ∫ ∫ W= dx I= dx 1+x 2 ∫ K= dx a-x (1 + x ) 5 1-x 0 -a -1 0 2+x ∫ J= dx 2-x -2 π B AØI TAÄP 13 : Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñaëc bieät : x = a + ( b - a ) sin t; 0 ≤ t ≤ 2 2 3 3 a+b 1 ∫ ( x - 1)( 5 - x )dx ∫ M= dx J= 2 ∫ ( x - a )( b - x )dx; 0 < a < b I= ( - 4 + 5x - x ) 3 2 2 2 3a + b 4 B AØI TAÄP 14 : Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñaëc bieät: Ñaët t = x + a + x + b hoaëc t = - x - a + - x - b 2 5 1 1 1 ∫ ( x - 1)( 9 - x )dx ∫ I1 = dx ∫ ( x + 1)( x + 8 ) dx K= Q= (x + 1)(x + 2) 0 3 0 −3 1 ∫ I2 = dx (x + 1)(x + 2) -5 x B AØI TAÄP 15 : Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñaëc bieät: ñaët t = tg 2 2π π 1 2 3 2 ∫ sinx + cosx + 1 dx ∫ 2sinx - cosx + 1 dx I1 = I1 = 0 π 2 6
Nguyeãn Phuù Khaùnh - Ñaø Laït http://toanthpt.net/ a ∫ f(x)dx ñaët x = - t B AØI TAÄP 16: Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñaëc bieät: -a 1 1 cos x π ∫ ∫1 ex + 1 dx I1 = x 2006 sin xdx I1 = x + cosx 2 ∫ M1 = dx π 4 - sin x −1 2 − π 1 − 1 - x2 2 ∫ cos nx. cos mxdx I2 = ∫ I2 = dx 1 x 4 + sinx 1 + 2x ∫ x 2 + 1 dx M2 = −π −1 π 1 x3 −1 ∫ I3 = sin nx. sin mxdx ∫ I= dx 1 x2 + 1 2 ∫ M3 = (ex . sin x + ex x 2 )dx −π −1 sin 2 x π ∫ ln ( x + ) 2 −1 I =∫ x dx I= x + 1 dx 2 2 +1 −π -2 π 2 π ∫ f(x)dx ñaët x = 2 - t B AØI TAÄP 17 : Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñaëc bieät: 0 π π ∫ I2 = cos nx. cos mxdx 2 I1 = ∫ cos 2 x. cos 2 2xdx −π 0 B AØI TAÄP 18 : Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñaëc bieät 2π b π ∫ f(x)dx ñaët x = π - t ∫ ∫ xf(x)dx ñaët x = a + b - x ; f(x)dx ñaët x = 2 π - t 0 0 a 2π 2π π sin ( sin x + nx ) dx I1 = ∫ x. sin x. cos 2 xdx ∫ ∫ x. cos H1 = K1 = xdx 3 0 0 0 B AØI TAÄP 19:Tích Phaân töøng phaàn π π π 3 2 2 ∫ (x + 1 ) sin xdx I1 = ∫ x.sinxdx Q1 = ∫ x.cos 2 xdx T1 = 2 0 0 0 π π π x 2 3 2 T2 = ∫ x. sin 2 xdx Q2 = ∫ x 2 .sinxdx ∫ cos xdx I2 = 2 0 0 π 4 1 π Q3 = ∫ x.tg 2 xdx 2 eπ T3 = ∫ x 2 cos xdx ∫ cos(lnx)dx I3 = 0 0 0 7
Nguyeãn Phuù Khaùnh - Ñaø Laït http://toanthpt.net/ π π π x. cos x 2 2 x + sinx 3 ∫ ( 2x - 1) cos xdx ∫ 1 + sin x dx Q4 = I4 = 2 ∫ T4 = dx 2 cos 2 x 0 0 0 π π π cosx 2 4 x + sinx 4 ∫ I 5 = ∫ x.(2 cos 2 x - 1)dx Q5 = dx ∫ 1 + cosx dx T5 = 7 + cos2x 0 0 0 Ñaët t = sinx hoaëc sinx = 2sint π π I 6 = ∫ x.cos 4 x.sin 3 xdx 2 T6 = ∫ cos x. ln(cos x + 1)dx 0 0 e ln x ln 2 e ∫ ( x ln x ) 2 ∫ ( x + 1) ∫ I1 = dx N1 = x.e− x dx I1 = dx 2 1 0 1 e 1 1 I 2 = ∫ x. ln(x 2 + 1)dx N 2 = ∫ x .e dx 2 2 −x ln x ∫ I2 = dx x2 0 0 1 e 1 ln ( x + 1 ) ∫ ( 1 - ln x ) 2 ∫ ( x + 1) 2 I3 = dx N3 = .e dx 2 2x ∫ I3 = dx x2 1 0 1 e e ( ) dx I 4 = ∫ ln xdx N 4 = ∫ x. ln xdx 3 2 x. ln x + x 2 + 1 3 ∫ I= 1 1 x2 + 1 1 B AØI TAÄP 20:Tích phaân töøng phaàn daïng keát hôïp e2 π π 1 ⎛ ⎞ ∫⎜ 2 T= lnx + ⎟ dx 2 G1 = ∫ e . sin 3xdx E1 = ∫ e . cos 3xdx 2x -x 2 lnx ⎠ ⎝ 2e 0 0 π π eπ 2 G2 = ∫ e2x . sin 2 xdx E = ∫ e-x . sin 3xdx ∫ cos(ln x)dx E2 = 0 0 0 π H = ∫ ex . sin 2 ( πx ) dx 0 B AØI TAÄP 21 : Baøi taäp ñoåi bieán – töøng phaàn π2 3 π ⎛π⎞ ∫ sin ⎜2⎟ I1 = xdx 2 ⎝⎠ 2 K1 = ∫ esin x sin x. cos 3 xdx ∫ I= sin 3 xdx 0 0 0 π3 π ∫ sin I2 = xdx 1 3 sin 3 x - sinx 2 ⎛ ⎞ x 1 9 ∫ K2 = cot gx.dx F1 = ∫ ⎜ 3 x + + ⎟dx 0 sin 3 x ⎜ 4x - 1 ⎟ sin ( 2x + 1 ) 2 5 0⎝ ⎠ π 3 B AØI TAÄP 22 :Tích phaân töøng phaàn daïng khoù 8
Nguyeãn Phuù Khaùnh - Ñaø Laït http://toanthpt.net/ π π e ln 1 + ln x 3 2 x 2 sin x ∫ 2 4 T1 = dx H 1 = ∫ ln ( 1 + tgx ) dx ∫π 1 + 2 x dx F1 = x 1 0 - 2 B AØI TAÄP 23: Giaûi phöông trình: x 1 x x 1 + lnt ∫ 1 - t2 dt = 0 ∫ t dt = 0 ∫ et - 1dt = 0 1 0 0 e x 1 x ∫ (e + e-2t )dt = 1 ∫ dt = tgx 2t x 1 ∫ (2 ln 2 - 2t + 2 )dt = 2 x2 - x + t -1 (1 - t ) 3 2 0 2 0 0 x 3⎞ x ⎛ ln 7dt = 6log 7 ( 6x - 5 ) ; x ≥ 1 ∫ ⎜ 4 sin t - 2 ⎟dt = 0 4 ∫7 t -1 0⎝ ⎠ 0 x ∫ cos ( t - x )dt = sinx 2 0 ( ) x t ∫ dt = 6 - 2x 1 + 2 1 - x 2 B AØI TAÄP 24: Giaûi phöông trình aån x 1-t 1+ 1-t 2 2 3 2 B AØI TAÄP 25: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình: ( m + 1) t2 - 2m ( t + 1 ) x x ∫ (t b. 3 ∫ t 2 dt = 3 3 3x - 2 + 1 a. =0 + 2t )( t 2 - 2mt - 2m ) 2 −1 1 ⎛ ⎞ x x dt t-1 c. x + 1 + m x - 1 = ( m + 1 ) ⎜ ∫ ∫ + 1⎟ d. x - 1 = dt ⎜ ⎟ t2 - 1 t 2 - 2t + m 2 ⎝ ⎠ 0 2 B AØI TAÄP 26: Giaûi caùc baát phöông trình 2 ( x - 1) + 1 2 + lnx x dt dt ∫ ∫ ∫ a. ln3 3 t dt ≤ x 2 - 4x + 3 b. < t 2t 3 x lnx - e 4 x x 5t 2 - 16t + 20 1 1 ∫ ( cost - sint )dt + 1 c. ∫ 2 dt ≤ 0 d. + ≤ 0 ( t - 4 )( t - 5t + 4 ) 2 2 2 2 cos x 2 sin x 0 B AØI TAÄP 27: x x ∫ ( 3t + 1 )dt - 6m ∫ tdt ≤ 3m + m - 2x nghieäm ñuùng vôùi x ∈ [ 0,1] 1. Tìm m ñeå baát phöông trình 2 2 3 0 m 0 1 ∫ (t - mt 2 - t - m )dt ≤ nghieäm ñuùng vôùi x ∈ [ - 1,1] 3 2. Tìm m ñeå baát phöông trình 4 x x ∫ (3 - 3 t )dt > 2m ( 3 x + 1 ) + 3 nghieäm ñuùng vôùi moïi x 3. Tìm m ñeå baát phöông trình 2 ln 3 2t 0 9

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.