Bai tập chương 4
Bài 4.1. Hãy xây dựng một ánh xạ tuyến tính f:R3→R2thỏa điều kiện
f(1,−1,1) = (1,0) và f(1,1,1) = (0,1).
Bài 4.2. Trong không gian vectơ R2xét các họ vectơ
u1= (1,−1), u2= (−1,2), u3= (0,−1) và
v1= (1,0), v2= (0,1), v3= (1,1).
Tồn tại hay không một toán tử tuyến tính ftrong R2thỏa mãn f(ui) = vi,∀i=
1,2,3.
Bài 4.3. Cho f:R3→R3là ánh xạ tuyến được xác định bởi
f(x1, x2, x3) = (x1−x2+ 2x3, x1−x2+ 3x3,3x1−3x2+ 8x3).
a) Chứng minh rằng flà một toán tử tuyến tính trong R3.
b) Tìm điều kiện của a, b, c ∈Rsao cho vectơ u= (a, b, c)nằm trong Imf. Từ
đó hãy tìm hạng của f.
c) Tìm điều kiện của a, b, c ∈Rsao cho vectơ u= (a, b, c)nằm trong ker f. Tìm
một cơ sở cho không gian con ker f.
Bài 4.4. Tìm một toán tử tuyến tính trong R3sao cho Imf=h(1,0,−1),(2,1,1)i.
Bài 4.5. Cho ánh xạ tuyến tính f:R3→R2được định nghĩa bởi
f(x1, x2, x3) = (x1+x2,2x3−x1).
a) Tìm ma trận biểu diễn fđối với cặp cơ sở chính tắc của R3và R2.
b) Tìm ma trận biểu diễn fđối với cặp cơ sở
B= (u1= (1,0,−1), u2= (1,1,0), u3= (1,0,0)) và
B0= (v1= (1,1), v2= (1,0)).
Bài 4.6. Giả sử toán tử tuyến tính ftrong không gian R3có ma trận biểu diễn
trong cơ sở chính tắc là
A=
1 3 2
0 1 1
−1 2 3
.
Hãy tìm một cơ sở cho Imfvà một cơ sở cho ker f.
1
Bài 4.7. Cho flà toán tử tuyến tính trong không gian vectơ R2được xác định bởi
f(x1, x2) = (−x2,2x1)
và B0là cơ sở chính tắc của R2.
a) Tìm ma trận biểu diễn ftrong B0.
b) Tìm ma trận biểu diễn ftrong cơ sở được sắp
B= (u1= (1,1), u2= (−1,2)).
Bài 4.8. Cho flà toán tử tuyến tính trong không gian R3được xác định bởi
f(x1, x2, x3) = (3x2+x1,−2x2+x3,−x2+ 2x3+ 4x1).
a) Tìm ma trận biểu diễn ftrong cơ sở chính tắc của R3.
b) Tìm ma trận biểu diễn ftrong cơ sở
B= (u1= (−1,2,1), u2= (0,1,1), u3= (0,−3,−2)).
Bài 4.9. Cho ánh xạ tuyến tính ftừ R3vào R2, được xác định như sau:
f(x1, x2, x3)=(x1+ 2x2−3x3,2x1+x3)
a)Tìm cơ sở và số chiều của không gian Kerf và Imf.
b)Cho A= (u1= (1,1,1), u2= (1,0,1), u3= (1,1,0)) và B= (v1= (1,1), v2=
(1,2)). Tìm ma trận biểu diễn ánh xạ ftheo cặp cơ sở A,B(kí hiệu [f]A,B).
Bài 4.10. Cho flà toán tử tuyến tính trong R3với
f(x1, x2, x3) = (2x1, x1+x2,3x1+x2−x3).
a) Xét xem fcó khả nghịch không? Nếu fkhả nghịch hãy tìm f−1.
b) Chứng minh rằng (f2−Id)(f−2Id) = 0.
Bài 4.11. Cho flà toán tử tuyến tính trong không gian vectơ R2được xác định
bởi
f(x1, x2)=(−x2,2x1)
và B0là cơ sở chính tắc của R2.
a) Tìm ma trận biểu diễn ftrong B0.
b) Tìm ma trận biểu diễn ftrong cơ sở được sắp
B= (u1= (1,1), u2= (−1,2)).
c) Tìm tất cả các số thực α∈Rsao cho toán tử tuyến tính (f−αId)khả nghịch.
2
Bài 4.12. Cho flà toán tử tuyến tính trong không gian R3được xác định bởi
f(x1, x2, x3) = (3x2+x1,−2x2+x3,−x2+ 2x3+ 4x1).
a) Tìm ma trận biểu diễn ftrong cơ sở chính tắc của R3.
b) Tìm ma trận biểu diễn ftrong cơ sở
B= (u1= (−1,2,1), u2= (0,1,1), u3= (0,−3,−2)).
c) Chứng minh rằng fkhả nghịch và tìm f−1.
3