Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Dạng toàn phương

Chia sẻ: HidetoshiDekisugi HidetoshiDekisugi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Dạng toàn phương. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: các khái niệm cơ bản; phép biến đổi tuyến tính; đưa dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc; dấu của dạng toàn phương; các dạng bài tập chính;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Dạng toàn phương

Chƣơng 4 DẠNG TOÀN PHƢƠNG
1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Các khái niệm Định nghĩa 1: Một tổng có dạng 𝑛 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 (1) 𝑖,𝑗 =1 Trong đó 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 , ∀𝑖, 𝑗 = 1, 𝑛, 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝑅, gọi là một dạng toàn phƣơng của các biến 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 .
Ma trận của dạng toàn phƣơng (1) là 𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 = ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 Nhận xét: • 𝐴 = 𝐴′. • Thông thƣờng DTP đƣợc cho dƣới dạng 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 𝑖≤𝑗 Khi đó các phần tử của ma trận 𝐴 đƣợc xác 𝑏 ị𝑗 định bởi 𝑎𝑖𝑖 = 𝑏𝑖𝑖 và 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 = 2
Ví dụ 1: Tìm ma trận của dạng toàn phƣơng sau: a) 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 = 𝑥12 + 6𝑥1 𝑥2 + 3𝑥22 b) 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = −𝑥12 + 2𝑥1 𝑥2 + 𝑥2 𝑥3 + 𝑥22 + 3𝑥32
Định nghĩa 2:  Hạng của DTP:Hạng của dạng toàn phƣơng là hạng của ma trận của dạng toàn phƣơng đó.  Dạng toàn phƣơng đƣợc gọi là suy biến nếu hay .  Dạng toàn phƣơng đƣợc gọi là không suy biến nếu 𝑟 𝐴 =𝑛 hay
1.2. Dạng toàn phƣơng chính tắc, chuẩn tắc.  Dạng toàn phƣơng chính tắc: Dạng toàn phƣơng chính tắc là dạng toàn phƣơng có dạng 𝑛 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑘𝑖 𝑥𝑖2 (2) 𝑖=1  Dạng toàn phƣơng chuẩn tắc: Dạng toàn phƣơng chính tắc đƣợc gọi là dạng toàn phƣơng chuẩn tắc nếu chỉ nhận các giá trị
Ví dụ 2: 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥12 − 8𝑥22 + 𝑥32 là dạng toàn phƣơng chính tắc. 1 0 0 Ma trận: 𝐴 = 0 −8 0 0 0 1 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥12 − 𝑥22 là dạng toàn phƣơng chuẩn tắc. 1 0 0 Ma trận: 𝐴 = 0 −1 0 0 0 0
1.3. Phép biến đổi tuyến tính Đặt , suy ra . Khi đó, (1) trở thành Định nghĩa 3: Cho ma trận . Phép biến đổi tuyến tính không suy biến từ biến X sang biến Y là: Khi đó, dạng toàn phƣơng (3) trở thành: 𝐹 𝑌 = 𝑌 ′ 𝐵𝑌, 𝐵 = 𝑆′𝐴𝑆
Ví dụ 3: DTP chính tắc 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑛𝑖=1 𝑘𝑖 𝑥𝑖2 có thể đƣa về DTP chuẩn tắc bằng phép đặt 𝑦1 = 𝑘1 𝑥1 𝑦2 = |𝑘2 |𝑥2 ………. 𝑦𝑛 = |𝑘𝑛 | 𝑥𝑛
2. ĐƢA DTP VỀ DTP CHÍNH TẮC, CHUẨN TẮC. 1. Phương pháp giá trị riêng Phương pháp 2. Phương pháp Jacobi 3. Phương pháp Lagrange
2.1. Phƣơng pháp giá trị riêng Xét dạng toàn phƣơng (1) Định thức gọi là phƣơng trình đặc trƣng (ẩn k) của (1) Định lý: Giả sử là các nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng của dạng toàn phƣơng (1) (kể cả nghiệm 0 và nghiệm bội). Khi đó, dạng toàn phƣơng chính tắc của (1) là
Ví dụ 4: Tìm các giá trị riêng và đƣa dạng toàn phƣơng sau về dạng toàn phƣơng chính tắc 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 = 3𝑥12 + 𝑥32 + 2𝑥2 𝑥3 + 4𝑥3 𝑥4
2.2. Phƣơng pháp Jacobi Cho ma trận 𝑎𝑖𝑗 𝑛×𝑛 Các định thức con chính đầu của A là
 Định lý Jacobi: Nếu ma trận của một DTP có Di  0i  1,2,...n thì DTP chính tắc của nó là  Định lý Jacobi mở rộng: Nếu r(A)=k và D1, D2 ,...Dk  0, Dk 1  Dk 2  ...  Dn  0 thì dạng toàn phƣơng chính tắc của nó là 𝐺 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 2 𝐷2 2 D3 2 D𝑘 2 = 𝐷1 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + ⋯ + 𝑦𝑘 𝐷1 D2 D𝑘−1
Ví dụ 5: Đƣa DTP sau về DTP chính tắc D1  1, D2  3, D3  8 D1  1, D2  1, D3  0
Định luật quán tính Số các hệ số mang dấu dƣơng, số hệ số mang dấu âm và số hệ số bằng không của dạng toàn phƣơng chính tắc nhận đƣợc là không đổi khi ta đƣa một DTP về DTP chính tắc bằng các phƣơng pháp khác nhau.
2.3. Phƣơng pháp Lagrange a) Trƣờng hợp 𝒂𝒊𝒊 ≠ 𝟎. Giả sử 𝒂𝟏𝟏 ≠ 𝟎 𝑛 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 𝑖,𝑗 =1 𝑛 𝑎𝑖1 = 𝑎11 𝑥12 + 2𝑥1 𝑥𝑖 + những số hạng không chứa 𝑥1 𝑎11 𝑖=2 𝑛 2 𝑎𝑖1 = 𝑎11 𝑥1 + 𝑥𝑖 + 𝑔(𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 ) 𝑎11 𝑖=2
Đặt 𝑛 𝑎𝑖1 𝑦1 = 𝑥1 + 𝑥𝑖 𝑎11 𝑖=2 𝑦2 = 𝑥2 ………. 𝑦𝑛 = 𝑥𝑛 Khi đó 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝐺(𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ) = 𝑎11 𝑦12 + 𝑔(𝑦2 , 𝑦3 , … , 𝑦𝑛 ) Vậy chỉ cần xét tiếp dạng toàn phƣơng của n – 1 biến 𝑔(𝑦2 , 𝑦3 , … , 𝑦𝑛 ). Tiếp tục quá trình trên nhận đƣợc kết quả sau n – 1 bƣớc.
b. Trƣờng hợp 𝒂𝒊𝒊 = 𝟎, ∀𝒊 = 𝟏, 𝒏 và có 𝒂𝒊𝒋 ≠ 𝟎 𝑎𝑖𝑗 ≠ 0. Giả sử 𝑎12 ≠ 0 Trƣờng hợp này có thể đƣa về dạng a) bằng cách đặt 𝑥1 = 𝑦1 + 𝑦2 𝑥2 = 𝑦1 − 𝑦2 𝑥3 = 𝑦3 ………. 𝑥𝑛 = 𝑦𝑛
Nhận xét: - Phƣơng pháp lagrang tuy chậm nhƣng chắc chắn đƣa đƣợc dạng toàn phƣơng về dạng chính tắc. - Trong quá trình biến đổi phải chú ý ở mỗi bƣớc biến đổi tất cả các tích chéo của 1 biến nào đó sẽ biến mất. - Trong quá trình biến đổi chú ý giữ nguyên số biến.