Bài tiểu luận: Các công thức tích phân Cauchy

Chia sẻ: Trương Văn đại | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

241
lượt xem 32
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài tiểu luận "Các công thức tích phân Cauchy" giới thiệu đến các bạn cách xây dựng công thức tích phân Cauchy và một số hệ quả của nó. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu tham khảo hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tiểu luận: Các công thức tích phân Cauchy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN TIỂU LUẬN MÔN GIẢI TÍCH PHỨC ĐỀ TÀI CÁC CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY ĐẮK LẮK, NĂM 2016
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN TIỂU LUẬN MÔN GIẢI TÍCH PHỨC ĐỀ TÀI CÁC CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. THÁI THUẦN QUANG ĐẮK LẮK, NĂM 2016
DANH SÁCH HỌC VIÊN THỰC HIỆN 1q Huỳnh Đậu Mai Phương 2q Đinh Như Mạnh Hùng 3q Hoàng Văn Phung 4q Nguyễn Hồng Quân 5q Mai Đức Chung 6q Lê Hồ Quang Minh 7q Bùi Nguyễn Luân 8q Trần Kông Long 9q Vi Ánh Mừng i
MỤC LỤC Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt iii Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 2 2 Các công thức tích phân Cauchy 5 Kết Luận 11 ii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT N : t Tập hợp các số tự nhiên N u 1, 2, . . . N0 : Yt u Tập hợp các số N0 N 0 E : Đối ngẫu đại số của E E1 : Đối ngẫu topo của E Eco1 : Không gian E 1 với topo compact mở p q B a, r : Hình cầu mở tâm a bán kính r p q B a, r : Hình cầu đóng tâm a bán kính r l1 : Không gian Banach các dãy số phức khả tổng tuyệt đối c0 : Không gian Banach các dãy số phức hội tụ về không c0 : Tập các dãy số thực dương hội tụ về không intU : Phần trong của U U : Bao đóng của U XK : Không gian Banach sinh bởi K X p P E, F q : Không gian các đa thức từ E vào F p Hb E, F q : Không gian các hàm chỉnh hình bị chặn trên các tập bị chặn của E giá trị trong F H pU q : Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị vô hướng H pU, F q : Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị trong F NpNq : Tập các đa chỉ số tr. : Trang iii
Mở đầu Trong tiểu luận này chúng ta sẽ được biết cách xây dựng công thức tích phân Cauchy và một số hệ quả của nó. 1
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng ta sẽ trình bày một số kết quả cần thiết, liên quan đến nội dung chính của tiểu luận. Định nghĩa 1.0.1. Giả sử E, F là các không gian Banach còn m N. Ánh P xạ A : E m Ñ F gọi là m- tuyến tính nếu nó tuyến tính theo từng biến. Nghĩa là với mọi ap qP a1 , a2 , ..., am ¤ ¤ E m và mọi 1 j m, các ánh xạ Ej Q xj Ñ Apa1 , ..., aj 1 , xj , aj 1 , ..., am q là tuyến tính. p q p q Kí hiệu: La m E, F và L m E, F lần lượt là các không gian vectơ các ánh xạ m- tuyến tính và m- tuyến tính liên tục từ E m vào F tương ứng. Với P p q A La m E, F , xác định }A} sup }Apx1, ..., xmq} : xj P E, }xj } ¤ 1, 1 ¤ j ¤ m và gọi là chuẩn (suy rộng) của A. p q p q p q p q Khi m 1, ta viết La 1 E, F La E, F và L 1 E, F L E, F . Khi F K p m viết La E, K q p q p m La E và L E, Km q p q m L E . Cuối cùng khi m 1, sẽ p q viết như thông thường La E # E ,L E p q E . Định nghĩa 1.0.2. Ánh xạ P : E Ñ F gọi là đa thức m-thuần nhất (thuần nhất bậc m)nếu tồn tại A P La pm E, F q sao cho P pxq Axm @x P E . p q Kí hiệu: Pa m E, F không gian vec tơ các đa thức m- thuần nhất từ E p q tới F và P m E, F là không gian con gồm các đa thức m- thuần nhất liên tục 2
của Pa pmE, F q. Đối với mỗi P P PapmE, F q, đặt }P } sup }P pxq} : x P E, }x} ¤ 1 và gọi là chuẩn ( suy rộng) của P . Khi F p q pmE q và P pmE, Kq P pmE q. K ta viết Pa m E, K Pa Định nghĩa 1.0.3. Chuỗi lũy thừa từ E tới F tại điểm a P E là chuỗi có 8 ° dạng Pm px aq, ở đây Pm P Pa pm E, F q với mọi m P N0 . m 0 8 ° 8 ° Chú ý rằng chuỗi lũy thừa p aq có thể viết như Pm x p aqm, ở Am x m 0 m 0 đây Am P pLsa m E, F q, Apm Pm. Định nghĩa 1.0.4. Giả sử U là tập mở trong E. Ánh xạ f : U F gọi là Ñ P chỉnh hình hay giải tích nếu với mọi a U tồn tại trong hình cầu B a, r U p q P p và một dãy các đa thức Pm P m E, F sao cho q 8 ¸ p q f x p aq Pm x m0 hội tụ đều với x P Bpa, rq. Kí hiệu: HpU, F q là không gian véc tơ các ánh xạ chỉnh hình từ U vào F . Khi F C ta viết HpU, Cq HpU q. Dãy pPm q trong định nghĩa là được xác định duy nhất bởi f và a, ta kí hiệu Pm P m f paq với mọi m P N0 . Chuỗi 8 ° P m f paqpx aq như thông thường gọi là chuỗi Taylor của f tại a. Ta kí hiệu m 0 Am f paq là phần tử duy nhất thuộc Ls pm E, F q thỏa mãn A{ m f paq P m f paq. °8 Định lí 1.0.5. Cho R là một bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa m0 Pm px aq. khi đó: (a) R xác định bởi công thức Cauchy- Hadamard mlim 1 Ñ8 R sup }Pm } 1 m ¯ pa; rq khi 0 ¤ r R. (b) Chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều trên B Bổ đề 1.0.6. Cho pcm q8m0 là một dãy trong F . Nếu có r ¡ 0 thỏa mản °8 m0 cm λ 0 với mọi λ P K với |λ| ¤ r thì cm 0 với mọi m P N0 m 3
°8 Mệnh đề 1.0.7. Cho m0 Pm x p q °8 m m0 Am x là một chuỗi lũy thừa từ E ¡ vào F với bán kính hội tụ R 0. Lấy e1 , . . . , en E với e1 ... P en 1, } } } } tập hợp cα m! α! Am eα1 1 . . . eαnn với mỗi α pα1 , . . . , αnqP Nn0 với α | | m. khi đó ta có 8 ¸ ¸ p Pm ξ1 e1 ... ξn en q cα ξ1α1 . . . ξnαn m0 α mỗi khi ξ1 | | ... ξn | | R{e. Cả hai chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều với | | ξ1 ... ξn | |¤ r khi 0 ¤ r R {e Bổ đề 1.0.8. Cho Cα P F cho mổi bộ α pα1 , . . . , αn q P Nn0 . Nếu có ° r ¡ 0 thỏa mản chuỗi α cα λα1 . . . λαn hội tụ tuyệt đối tại không khi |λ1 | ¤ 1 n r, . . . , |λn | r, thì cα 0 vơi mọi α Mệnh đề 1.0.9. P pE; F q H pE; F q Mệnh đề 1.0.10. Cho pfm q là một dãy trong E 1 hội tụ đến không. nếu chúng ta đặt 8 ¸ f x p q pϕmpxqqm với mọi x PE m 0 thì f P H pE q Mệnh đề 1.0.11. Cho U là một tập con mở của E và a E. Với mổi P P p q Ñ f H U ; F cho fa : U a F được định nghĩa bằng fa t f a t với pq p q P mọi t U a ta có: P p q (a) fa H U a; F và P m fa t pq P m f a t với mọi t U a và p q P P m N0 (b) ánh xạ f Ñ fa là một vectơ không gian đẳng cấu giữa H U ; F và p q p U a; F q Hệ quả 1.0.12. Cho µ là một độ đo Borel hữu hạn trên một không gian p q Hausdorff compact X. Cho fn là một dãy ánh xạ liên tục từ X vào Y mà hội tụ đều trên X đến một ánh xạ f . Khi đó f liên tục và » » f dµ nlim Ñ8 fn dµ A A với mổi A P° 4
Chương 2 Các công thức tích phân Cauchy P Định lí 2.0.13. Cho U là tập con mở của E, f H U, F , a U, t E và p q P P ¡ P r 0 sao cho a ζt U với mọi ζ 4 P p q ¯ 0, r khi đó, với mổi λ 4 0; r ta P p q có công thức tích phân Cauchy » p q 1 f a p ζtq f a λt 2πi |ζ |r ζ λ dζ P Chứng minh. Nếu ψ F 1 thì hàm g ζ p q p q ψ f a ζt là hàm chỉnh hình trên p q ¯ 0; r . Bằng công thức tích phân Cauchy đối với một lân cận của đỉa đóng 4 hàm chỉnh hình một biến phức ta có: ψ f pa λt q gpλq» 2πi 1 g ζ pq » | ζ |r ζ λ dζ 1 p ψ f a ζt q 2πi |ζ |r ζ λ dζ với mổi λ P 4p0; rq. Vì F 1 tách điểm của F đòi hỏi kết luận sau Hệ quả 2.0.14. Cho U là một tập con mở của E, và cho f H U; F . P p q P P Cho a U, t E và r ¡ 0 sao cho a ζt U với mọi ζ 4 P ¯ 0; r . Với mỗi P p q P p q λ 4 0; r ta có khai triển chuổi dạng 8 ¸ p f a λt q cm λm m 0 Ở đây » cm 1 f a λt dζ p q 2πi |ζ |r ζ m 1 Chuỗi này hội tụ tuyệt đối và đều với λ S r | |¤ 5
Chứng minh. Với λ | | |ζ | r ta có f pa ζtq 8 f pa ζtq ¸ f pa ζtq ζ λ ζ ζ λ λm ζm 1 ζ m 0 và vì f là bị chặn trên ta ζt : |ζ | ru, chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều đối với |ζ | r và |λ| ¤ s r. Bằng hệ quả (1.0.12) ta có thể tích phân từng số hạng để nhận được: » 8 » p f a q ¸ ζt λm f pa ζtq |ζ |r ζ λ dζ m 0 | ζ | r ζ m 1 dζ Chuỗi cuối cùng hội tụ tuyệt đối và đều đối với λ | | ¤ s. Áp dụng định lí (2.0.13) ta có điều phải chứng minh. Hệ quả 2.0.15. Cho U là tập con mở của E, f H U ; F , a U, t E vàP p q P P ¡ P r 0 sao cho a ζt U với mọi ζ 4 P p q ¯ 0; r . Khi đó với mỗi m N0 ta có P công thức tích phân Cauchy: » P mf a tp qp q 1 f a ζt p dζ q 2πi |ζ |r ζ m 1 Chứng minh. Vì f là chỉnh hình ta có khai triển chuổi dạng 8 ¸ 8 ¸ p f a λt q m p qp q P f a λt λm P m f a t p qp q m0 m 0 với λ| |¤ , ¡0 đủ nhỏ. Bằng cách so sánh khai triển chuỗi này với khai triển chuỗi có được từ hệ quả (2.0.14) và áp dụng bổ đề (1.0.6) có bất đẳng thức Cauchy. Hệ quả 2.0.16. Cho L là tập con mở của E, f H U ; F , a U, t E vàP p q P P ¡ P r 0 sao cho a ζt U với mọi ζ 4 P p q ¯ 0; r . Khi đó với mỗi m N0 ta có P bất đẳng thức Cauchy: }P mf paqptq} ¤ rm sup }f pa ζt q} |ζ |r Hệ quả 2.0.17. Nếu P P P pmE; F q thì với a, t P E chúng ta có công thức tích phân » P tpq 1 P a ζtpdζ q 2πi |ζ |1 ζ m 1 6
Chứng minh. Từ mệnh đề (1.0.9), P m P a t p qp q P ptq. Áp dụng hệ quả (2.0.15) ta có điều cần chứng minh P p q Hệ quả 2.0.18. Cho P P m E; F . Nếu P bị chặn bởi c trên một hình cầu p q mở B a; r thì P đồng thời bị chặn bởi c trên hình cầu B 0; r . p q Bây giờ ta sẽ áp dụng các kết quả trên vào việc nghiên cứu hạn chế của ánh xạ chỉnh hình trên không gian con n- chiều. Trước hết ta đưa vào một số khái niệm sau: Một đa đĩa trong Cn là tích các đĩa trong C. Một đa đĩa mở với tâm a p q a1 , . . . , an và đa bán kính r p q r1 , . . . , rn sẽ được kí hiệu là 4n a; r . p q Đa đĩa đóng sẽ được kí hiệu là 4 p q ¯ n a; r và được xác định 4n pa; rq tz P Cn : |zj aj | rj với j 1, . . . , nu 4¯ n pa; rq tz P Cn : |zj aj | ¤ rj với j 1, . . . , nu nếu a 0 p0, . . . , 0q và r 1 p1, . . . , 1q thì chúng ta viết đơn giản 4n p0; 1q 4n và 4 ¯ n p0; 1q 4 ¯ n . Tập hợp tz P Cn : |zj aj | rj với j 1, . . . , nu thì chứa trong biên B 4n pa; rq của 4n pa; rq và được kí hiệu là Bo 4n pa; rq và được gọi là biên đóng của đa đĩa 4n pa; rq Định lí 2.0.19. Cho U là một tập con mở của E, và cho f P H pU ; F q. cho a P U, t1 , . . . , tn P E và r1 , . . . , rn ¡ 0 sao cho a ζ1 t1 . . . ζn tn P U với mọi ζP4 ¯ n p0; rq. Khi đó với mỗi λ P 4n p0; rq ta có công thức tích phân Cauchy » f pa ζ1 t1 . . . ζn tn q f pa λ1 t1 . . . λn tn q 1 p2πiqn B 4 p0;rq pζ1 λ1q . . . pζn λnq dζ1 . . . ζn o n Chứng minh. Vì đa đĩa 4 ¯ n p0; rq là compact, nếu tồn tại R1 ¡ r1 , . . . , Rn ¡ rn sao cho a ζ1 t1 . . . ζn tn P U với mọi ζ P 4n p0; Rq. Nếu ψ P F 1 thì hàm số g pζ1 , . . . , ζn q ψ f pa ζ1 t1 . . . ζn tn q với ζ P 4n p0; Rq là chỉnh hình theo từng biến ζ1 , . . . , ζn khi cố định các biến còn lại. Áp dụng liên tiếp công thức tích phân Cauchy cho hàm chỉnh hình của một biến phức ta được công thức 7
ψ f pa λ1 t1 ... λn tn q » » » p qn1 dζ1 dζ2 ψ f pa ζ1 t1 . . . ζn tn q dζ 2πi |ζ1 |r1 ζ1 λ1 |ζ2 |r2 ζ2 λ2 |ζn |rn n ζn λn vơi mổi λ P 4n p0; rq. Vì hàm số pζ1, . . . , ζnq Ñ ψ pζf pa λ ζq1t. 1. . pζ. . . λζnqtnq 1 1 n n là liên tục trên tập compact Bo 4n pa; rq, định lí Fubini cho phép chúng ta thay thế tích phân lặp bằng một đa tích phân. Và vì F 1 tách điểm, ta có kết quả sau Hệ quả 2.0.20. Cho U là một tập con mở của E, f H U; F , a P p q P U, t1 , . . . , tnP E và r1 , . . . , rn ¡ 0 sao cho a ζ1 t1 . . . ζn tn U với P mọi ζ 4 P p q P p q ¯ n 0; r . Khi đó với mọi λ 4n 0; r tồn tại khai triển chuỗi có dạng ¸ α p f a λ1 t1 ... λn tn q cα λ1 1 . . . λαnn α trong đó » cα p qn 1 p f a ζ1 t1 . . . ζn tn q dζ α1 1 1 . . . dζn 2πi Bo 4n p0;rq ζ1 . . . ζnαn 1 chuỗi bội này tụ tuyệt đối và đều với λ P 4¯ np0; sq trong đó 0 ¤ sj rj với mọi j. Chứng minh. Chứng minh tương tự hệ quả (2.0.14). Thật vậy nếu λj | | |ζj | rj với j 1, . . . , n thì chúng ta có thể viết f pa λ1 t1 . . . λn tn q ¸ α p q pζ1 λ1q . . . pζn λnq α λ1 f a ζ1 t1 . . . ζn tn 1 . . . λαnn α1 1 ζ1 . . . ζnαn 1 và chuỗi bội này hội tụ tuyệt đối và đều với ζj rj và λj || | sj rj . Bằng | |¤ cách lấy tích phân từng số hạng của chuỗi này, ta có được kết luận sau từ định lí (2.0.19) Định lí 2.0.21. Cho U là một tập con mở của E, F H U; F , a P p q P U, t1 , . . . , tnP E và r1 , . . . , rn ¡0 sao cho a ζ1 t1 . . . ζn tn U với P mọi ζ 4 P p q P ¯ n 0; r . Khi đó với mỗi m No và mỗi đa chỉ số α Nn với α o m P | | chúng ta có công thức tích phân Cauchy » m pq α1 A f a t1 . . . tn αn p q α! p f a ζ1 t1 . . . ζn tn dζ1 . . . dζn q m! 2πi n Bo 4n p0;rq ζ1α1 1 . . . ζnαn 1 8
Chứng minh. Bởi mệnh đề (1.0.7) ta có khai triển chuỗi 8 ¸ f a p λ1 t1 ... λn tn q p qp P m f a λ1 t1 ... λn tn q m0 ¸ cα λα1 1 . . . λαnn α trong đó cα m! α! Am f paqtα1 1 . . . tαnn P với mổi α Nn0 với α | | m. Chuỗi bội này hội tụ tuyệt đối và đều trên một p q ¯ n 0; . Sau đó so sánh chuỗi mở rộng này với chuỗi mở rộng đa đĩa phù hợp 4 được cho bằng hệ quả (2.0.20), áp dụng của bổ đề (1.0.8) ta có điều cần chứng minh. Hệ quả 2.0.22. Cho A LS P pmE; F q và cho P A¯ P P pmE; F q.khi đó với P mọi a, t1 , . . . , tn E và mọi α P Nn0 với |α| m chúng ta có công thức phân cực » Atα1 1 . . . tαnn p qn α! p P a ζ1 t1 . . . ζn tn q dζ α1 1 1 . . . dζn m! 2πi |ζj |1 ζ1 . . . ζnαn 1 Chứng minh. Áp dụng hệ quả (2.0.21) với f P Ta nhắc lại điều sau một tập A trong E có chứa gốc thì gọi là cân nếu P P ζx A với mổi x A và mổi ζ trong mổi đĩa đơn vị đóng 4.¯ Nếu a A thì P A gọi là a-cân bằng. Nếu tập A a là cân bằng Định lí 2.0.23. Cho U là một tập con mở a-cân bằng của E, và cho f P p q P H U ; F . khi đó với mọi tập compact K U tồn tại lân cận V của K trong U sao cho chuỗi Taylor của f tại một hội tụ đến f đều trên V đủ nhỏ. Chứng minh. Cho K là một tập con compact của U . khi đó tập hợp A ta p aq : x P K, ζ P 4¯ u ζ x là chứa trong U , và f hội tụ trên A. Vì K compact nên ta có thể tìm được ¡ r l và một lân cận V của K trong U sao cho tập hợp B ta p aq : x P V, ζ P 4¯ p0; rqu ζ x 9
cũng chứa trong U , và f hội tụ trên B. Vì thế chúng ta có thể viết 8 r f a p qs ¸ ζ x a f ra ζ px aqs ζ 1 m 0 ζm 1 và chuỗi này hội tụ tuyệt đối và đều với x P V và |ζ | r sau khi tích phân qua vòng tròn |ζ | r và áp dụng công thức tích phân Cauchy (2.0.13) và (2.0.15) ta kết luận 8 ¸ p q f x p qp aq P mf a x m 0 và chuỗi này là hội tụ tuyệt đối và đều với x PV 10
Kết Luận Như vậy chúng tôi đã trình bày xong công thức tích phân Cauchy và một số hệ quả của nó trong không gian Banach. Tuy nhiên do thời gian có hạn và lượng kiến thức còn tương đối hẹp nên tiểu luận chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý từ quý Thầy, Cô và bạn đọc. Cuối cùng chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy, PSG. TS Thái Thuần Quang đã tận tìn chỉ dạy cho chúng em. 11
TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J. Mujica (1986), Complex analysis in Banach spaces, North-Holland Math. Studies, 120. 12