Bài toán về cực trị - GV. Nguyễn Vũ Minh

Chia sẻ: Nguyen Thi Tuyet Minh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

248
lượt xem 30
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Bài toán về cực trị" tóm lược nội dung cần thiết, đồng thời cung cấp các bài toán về cực trị nhằm giúp các bạn hệ thống kiến thức và vận dụng tốt trong việc giải bài tập. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài toán về cực trị - GV. Nguyễn Vũ Minh

GV. Nguyễn Vũ Minh Cực Trị VẤN ĐỀ 03 : BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ + Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x 0 nếu y '(x 0 ) = 0 . + Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x 0 nếu đạo hàm y ' đổi dấu từ + sang – khi đi qua x 0 . + Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x 0 nếu đạo hàm y ' đổi dấu từ – sang + khi đi qua x 0 . Các phương pháp tìm cực trị của hàm số Phương pháp 1. B1 : Tìm f ' ( x ) . B2 : Tìm các điểm x i ( i = 1, 2,...) mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm. B3 : Lập bảng xét dấu f ' ( x ) . Nếu f ' ( x ) đổi dấu khi x qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i . Phương pháp 2. B1 : Tìm f ' ( x ) . giải phương trình f ' ( x ) = 0 tìm các nghiệm x i ( i = 1, 2,...) . B2 : Tính f '' ( x i ) . nếu f '' ( x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x i . nếu f '' ( x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x i . Cho hàm số y = f ( x ) ,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ: − Nghiệm của phương trình f ' ( x ) = 0 là hoành độ của điểm cực trị. ⎧ f ' ( x0 ) = 0 ⎪ − Nếu ⎨ f '' ( x ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x = x 0 . ⎪ 0 ⎩ ⎧ f ' ( x0 ) = 0 ⎪ − Nếu ⎨ f '' ( x ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = x 0 . ⎪ 0 ⎩ Chú ý: + Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp. ⎧a ≠ 0 ⇔⎨ + Hàm số y = f ( x ) có 2 cực trị ⎩Δ y' > 0 Đt : 0914449230 1 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV. Nguyễn Vũ Minh Cực Trị + So sánh nghiệm pt f(x) = 0 với số 0 ⎧Δ > 0 ⎪ x1 < x 2 < 0 ⇔ ⎨ P > 0 ⎪S < 0 ⎩ ⎧Δ > 0 ⎪ 0 < x1 < x 2 ⇔ ⎨ P > 0 ⎪S > 0 ⎩ x1 < 0 < x 2 ⇔ P < 0 + So sánh nghiệm pt f(x) = 0 với số α Nếu phương trình bậc hai g ( x ) = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thì khi đặt t = x − α thì phương trình đã cho sẽ trở thành g (t ) = 0 có 2 nghiệm t1,t2 với t1 = x1 − α và t2 = x2 − α Chi tiết : - Nếu định tham số m để pt g ( x ) = 0 có 2 nghiệm x1, x2 > α thì khi trở thành phương ⎧Δ > 0 ⎪ g(t) = 0 thì sẽ có 2 nghiệm t1, t2 > 0 sau đó chỉ cần 3 điều kiện sau ⎨S > 0 trình ⎪P > 0 ⎩ ⎧Δ > 0 ⎪ hay có thể ngược lại ⎨S < 0 cho trường hợp t1, t2 < 0 ⎪P > 0 ⎩ - Nếu định tham số m để pt g ( x ) = 0 có 2 nghiệm x1 < α < x2 thì khi trở thành phương c trình g(t) = 0 thì sẽ có 2 nghiệm t1 < 0 < t2 sau đó chỉ cần điều kiện sau P = t1t 2 = < 0 a 3 2 Ví dụ . Tìm cực trị của hàm số y = 2x + 3x − 36x − 10 Phương pháp I. Phương pháp II. TXĐ: R TXĐ: R 2 y' = 6x 2 + 6x − 36 y' = 6x + 6x − 36 ⎡x = 2 y' = 0 ⇔ 6x 2 + 6x − 36 = 0 ⇔ ⎢ ⎣ x = −3 x y' y -∞ -∞ + -3 0 71 2 0 + +∞ +∞ ⎡x = 2 y' = 0 ⇔ 6x 2 + 6x − 36 = 0 ⇔ ⎢ ⎣ x = −3 y”= 12x + 6 y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yct = - 54 y’’(-3) = - 30 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -3 và ycđ =71 - 54 Vậy x = -3 là điểm cực đại và ycđ =71 x = 2 là điểm cực tiểu và yct = - 54 Đt : 0914449230 2 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV. Nguyễn Vũ Minh Cực Trị Bài 1 : Tìm cực trị các hàm số sau (dấu hiệu 1): 3 2 3 2 a) y = − x + 6x +1 b) y = −2x + 3x + 12x − 5 x 2 − 2x + 2 4 2 c) y = x − 2x + 3 d) y = x −1 Bài 2 : Tìm cực trị các hàm số sau (dấu hiệu 2): x3 + x 2 + 3x − 1 a) y = − b) y = 2 cos 2x − 5 3 1 2 y = cos x + cos 2x 0; π ] d) c) y = 3cosx − sin x trên [ 2 Bài 3 : Tỉm để hàm số sau có cực đại và cực tiểu 3 2 2 a) y = ( m + 2 ) x + 3x + mx + 2m 3 2 2 2 b) y = x − 3 ( m + 1) x + 2 ( m + 7m + 2 ) x + 2m x3 2 2 c) (soạn) y = + x + m x + 5 ( ĐS : −1 < m < 1 ) 3 x3 7 2 2 ( ĐS : m < ) d) (soạn) y = + x + ( 2m − 2 ) x + 3 9 3 3 2 x x e) (soạn) y = + ( m − 2 ) − mx + 8m ( ĐS : m > 0 ) 3 2 x3 m 2 4 f) (soạn) y = − x + ( 2m − 3) x + 8m ( ĐS : m < 2 ∨ m > 6 ) 3 2 x3 4 2 2 g) (soạn) y = + 2x + ( −m + 2m + 3) x + m ( ĐS : m ≠ 1 ) 3 x3 2 h) (soạn) y = ( m + 2 ) + ( m − 4 ) x + x 3 3 x 2 2 2 ∨m> k) (soạn) y = − ( 2m + 1) x + ( 4m + 3) x + 8 ( ĐS : m < − ) 2 2 3 x3 m 2 Bài 4 : Cho hàm số y = − x + ( m − 1) x + 2 . 3 2 a/ Tìm m để hàm số có 2 cực trị. 2x1.x 2 + 3 b/ Gọi x1, x2 là hoành độ điểm cực trị . Tìm tham số m để x 2 + x 2 + 2 x .x + 1 = 1 ( 1 2 ) 1 2 c/ (soạn) Gọi x1, x2 là hoành độ điểm cực trị . Tìm tham số m để 3 Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV. Nguyễn Vũ Minh Cực Trị 3 2 2 Bài 5 : Cho hàm số y = x + 2 ( m − 1) x + ( m − 4m + 1) x + 2 . 1 1 1 Tìm m để hàm số có 2 cực trị có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x + x = 2 ( x1 + x 2 ) 1 2 3 2 2 Bài 6 : Cho hàm số y = x + 2 ( m − 1) x + ( m − 4m + 1) x + 2 . 1 1 1 Tìm m để hàm số có 2 cực trị có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x + x = 2 ( x1 + x 2 ) 1 2 2x1.x 2 + 3 1 =− 2 x1 + x 2 + 2 ( x1.x 2 + 1) 2 2 (ĐS m = -2 ) 2 3 2 2 2 (1), m là Bài 7 (Khối D – 2012): Cho hàm số y = x – mx – 2(3m – 1)x + 3 3 tham số thực. Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x1.x2 + 2(x1 + x2) = 1 Bài 8 : CMR hàm số 2 3 x − (m + 2)x 2 + (m − 3)x + 2m 2 luôn luôn có 2 cực trị 3 1 3 5 6 2 2 b) y = x + mx + ( m − 4 ) x + m luôn luôn có cực đại và cực tiểu 3 4 3 2 2 10 8 c) y = − x + 3mx + 3 (1 − m ) x + m − 7m luôn luôn có cực đại và cực tiểu a) y = 3 2 d) y = x − ( m − 1) x + ( m − 3) x + 1 3 5 luôn luôn có cực đại và cực tiểu 4 Bài 9 : Tìm m để hàm số 4 2 2 a/ (Khối B – 2002) y = mx + ( m − 9 )x + 10 có ba cực trị 4 2 b/ y = x − 2( m + 1 )x + m có ba cực trị 4 2 2 c/ y = x − 2m x + 1 có ba cực trị 4 2 4 d/ y = x − 2mx + 2m + m có ba cực trị 4 2 e/ y = x + ( m + 1) x − 1 có ba cực trị 4 2 f/ y = x − ( 2m + 5) x + 2 có ba cực trị 4 2 g/ y = ( m − 1) x − ( m + 1) x − 2 có ba cực trị m y = − x 4 + ( m + 1) x 2 − ( m − 1) có ba cực trị h/ 4 4 2 2 k/ y = f ( x ) = x + 2 ( m − 2 ) x + m − 5m + 5 có ba cực trị Đt : 0914449230 4 Email : ngvuminh249@yahoo.com GV. Nguyễn Vũ Minh Cực Trị Bài 10 : Tìm m để hàm số 3 2 2 a/ (TN–THPT – 2005) y = x − 3mx + ( m − 1) x + 2 đạt cực đại tại x = 2 3 2 b/ (TN–THPT – 2011) y = x − 2x + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1 3 2 c/ y = x − mx + ( m − 1) x + 2 đạt cực tiểu tại x = 1 1 2 ( m − 2 ) x 3 + ( 3m + 4 ) x 2 + mx đạt cực tiểu tại x = 1 2 3 2 e/ y = x − 3x + 3mx + 3m + 4 đạt cực trị tại x = 2 ? Cực trị đó là cực đại hay cực tiểu ? 3 2 f/ (Soạn) y = x − ( m + 3 ) x + mx + m + 2 đạt cực tiểu tại x = 2 (ĐS : m = 0 ) d/ y = 2 3 2 g/(Soạn) y = − ( m + 5m ) x + 6mx + 6x − 6 đạt cực đại tại x = 1 (ĐS : m = 1 ) h/(Soạn) y = ( 2m + 1) x − 3mx + 4m + 2 đạt cực đại tại x = –1 (ĐS : m = –2 ) Bài 11 : Tìm m để hàm số 1 3 1 2 a/ Đồ thị hàm số y = x − mx + (2m − 1)x + 2 có hai điểm cực trị dương ( < m ≠ 1 ) 3 2 3 2 b/ (Cao Đẳng – 2009) y = f(x) = x − (2m − 1)x + (2 − m)x + 2 có cực đại và cực tiểu có hoành độ dương ( m − 2 ) x 3 − (m + 1)x 2 + (2m − 6)x + 8 y= c/ có cực đại và cực tiểu có hoành độ 3 dương. (ĐS : 3 < m < 11 ) Bài 12: Tìm m để hàm số 1 3 (2m + 3) 2 x + (m 2 + 2m + 2)x + 11 có cực trị có hoành độ x1, x2 thỏa a/ y = x − 3 2 mãn x1 =2x2 (ĐS : m = 0, 6 ) 1 3 (3m + 2) 2 x + m 2 x + 15 có cực đại và cực tiểu có hoành độ x1, b/ (soạn) y = x − 3 2 (ĐS : m = 6 ) x2 thỏa mãn x1 =9x2 1 3 2 c/ (soạn) y = x − (m + 1)x + (2m + 1)x +1 có cực đại và cực tiểu có hoành độ x1, 3 4 2 x2 thỏa mãn x2 =9x1 4 m = 4, − ) (ĐS : 9 Đt : 0914449230 5 Email : ngvuminh249@yahoo.com