Bài toán về cực trị - GV. Nguyễn Vũ Minh

GV. Nguyễn Vũ Minh<br /> <br /> Cực Trị<br /> <br /> VẤN ĐỀ 03 : BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ + Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x 0 nếu y '(x 0 ) = 0 . + Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x 0 nếu đạo hàm y ' đổi dấu từ + sang – khi đi qua x 0 . + Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x 0 nếu đạo hàm y ' đổi dấu từ – sang + khi đi qua x 0 . Các phương pháp tìm cực trị của hàm số Phương pháp 1. B1 : Tìm f ' ( x ) . B2 : Tìm các điểm x i ( i = 1, 2,...) mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm. B3 : Lập bảng xét dấu f ' ( x ) . Nếu f ' ( x ) đổi dấu khi x qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i . Phương pháp 2. B1 : Tìm f ' ( x ) . giải phương trình f ' ( x ) = 0 tìm các nghiệm x i ( i = 1, 2,...) . B2 : Tính f '' ( x i ) . nếu f '' ( x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x i . nếu f '' ( x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x i . Cho hàm số y = f ( x ) ,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ: − Nghiệm của phương trình f ' ( x ) = 0 là hoành độ của điểm cực trị. ⎧ f ' ( x0 ) = 0 ⎪ − Nếu ⎨ f '' ( x ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x = x 0 . ⎪ 0 ⎩<br /> <br /> ⎧ f ' ( x0 ) = 0 ⎪ − Nếu ⎨ f '' ( x ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = x 0 . ⎪ 0 ⎩ Chú ý: + Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp. ⎧a ≠ 0 ⇔⎨ + Hàm số y = f ( x ) có 2 cực trị ⎩Δ y' > 0<br /> Đt : 0914449230<br /> 1<br /> <br /> Email : ngvuminh249@yahoo.com<br /> <br /> GV. Nguyễn Vũ Minh<br /> <br /> Cực Trị<br /> <br /> + So sánh nghiệm pt f(x) = 0 với số 0<br /> ⎧Δ > 0 ⎪ x1 < x 2 < 0 ⇔ ⎨ P > 0 ⎪S < 0 ⎩<br /> <br /> ⎧Δ > 0 ⎪ 0 < x1 < x 2 ⇔ ⎨ P > 0 ⎪S > 0 ⎩<br /> <br /> x1 < 0 < x 2 ⇔ P < 0<br /> <br /> + So sánh nghiệm pt f(x) = 0 với số α Nếu phương trình bậc hai g ( x ) = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thì khi đặt t = x − α thì phương trình đã cho sẽ trở thành g (t ) = 0 có 2 nghiệm t1,t2 với t1 = x1 − α và t2 = x2 − α<br /> Chi tiết : - Nếu định tham số m để pt g ( x ) = 0 có 2 nghiệm x1, x2 > α thì khi trở thành phương<br /> <br /> ⎧Δ > 0 ⎪ g(t) = 0 thì sẽ có 2 nghiệm t1, t2 > 0 sau đó chỉ cần 3 điều kiện sau ⎨S > 0 trình ⎪P > 0 ⎩ ⎧Δ > 0 ⎪ hay có thể ngược lại ⎨S < 0 cho trường hợp t1, t2 < 0 ⎪P > 0 ⎩<br /> - Nếu định tham số m để pt g ( x ) = 0 có 2 nghiệm x1 < α < x2 thì khi trở thành phương c trình g(t) = 0 thì sẽ có 2 nghiệm t1 < 0 < t2 sau đó chỉ cần điều kiện sau P = t1t 2 = < 0 a<br /> 3 2 Ví dụ . Tìm cực trị của hàm số y = 2x + 3x − 36x − 10 Phương pháp I. Phương pháp II. TXĐ: R TXĐ: R 2 y' = 6x 2 + 6x − 36 y' = 6x + 6x − 36<br /> <br /> ⎡x = 2 y' = 0 ⇔ 6x 2 + 6x − 36 = 0 ⇔ ⎢ ⎣ x = −3<br /> x y' y -∞ -∞ + -3 0 71 2 0 + +∞ +∞<br /> <br /> ⎡x = 2 y' = 0 ⇔ 6x 2 + 6x − 36 = 0 ⇔ ⎢ ⎣ x = −3<br /> <br /> y”= 12x + 6 y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yct = - 54 y’’(-3) = - 30 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -3 và ycđ =71<br /> <br /> - 54<br /> <br /> Vậy x = -3 là điểm cực đại và ycđ =71 x = 2 là điểm cực tiểu và yct = - 54<br /> Đt : 0914449230<br /> 2<br /> <br /> Email : ngvuminh249@yahoo.com<br /> <br /> GV. Nguyễn Vũ Minh<br /> <br /> Cực Trị<br /> <br /> Bài 1 : Tìm cực trị các hàm số sau (dấu hiệu 1): 3 2 3 2 a) y = − x + 6x +1 b) y = −2x + 3x + 12x − 5<br /> <br /> x 2 − 2x + 2 4 2 c) y = x − 2x + 3 d) y = x −1 Bài 2 : Tìm cực trị các hàm số sau (dấu hiệu 2): x3 + x 2 + 3x − 1 a) y = − b) y = 2 cos 2x − 5 3 1 2 y = cos x + cos 2x 0; π ] d) c) y = 3cosx − sin x trên [ 2 Bài 3 : Tỉm để hàm số sau có cực đại và cực tiểu 3 2 2 a) y = ( m + 2 ) x + 3x + mx + 2m<br /> 3 2 2 2 b) y = x − 3 ( m + 1) x + 2 ( m + 7m + 2 ) x + 2m<br /> <br /> x3 2 2 c) (soạn) y = + x + m x + 5 ( ĐS : −1 < m < 1 ) 3 x3 7 2 2 ( ĐS : m < ) d) (soạn) y = + x + ( 2m − 2 ) x + 3 9 3 3 2 x x e) (soạn) y = + ( m − 2 ) − mx + 8m ( ĐS : m > 0 ) 3 2 x3 m 2 4 f) (soạn) y = − x + ( 2m − 3) x + 8m ( ĐS : m < 2 ∨ m > 6 ) 3 2 x3 4 2 2 g) (soạn) y = + 2x + ( −m + 2m + 3) x + m ( ĐS : m ≠ 1 ) 3 x3 2 h) (soạn) y = ( m + 2 ) + ( m − 4 ) x + x 3 3 x 2 2 2 ∨m> k) (soạn) y = − ( 2m + 1) x + ( 4m + 3) x + 8 ( ĐS : m < − ) 2 2 3 x3 m 2 Bài 4 : Cho hàm số y = − x + ( m − 1) x + 2 . 3 2<br /> <br /> a/ Tìm m để hàm số có 2 cực trị.<br /> <br /> 2x1.x 2 + 3 b/ Gọi x1, x2 là hoành độ điểm cực trị . Tìm tham số m để x 2 + x 2 + 2 x .x + 1 = 1 ( 1 2 ) 1 2 c/ (soạn) Gọi x1, x2 là hoành độ điểm cực trị . Tìm tham số m để<br /> 3<br /> <br /> Đt : 0914449230<br /> <br /> Email : ngvuminh249@yahoo.com<br /> <br /> GV. Nguyễn Vũ Minh<br /> <br /> Cực Trị<br /> <br /> 3 2 2 Bài 5 : Cho hàm số y = x + 2 ( m − 1) x + ( m − 4m + 1) x + 2 . 1 1 1 Tìm m để hàm số có 2 cực trị có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x + x = 2 ( x1 + x 2 ) 1 2<br /> 3 2 2 Bài 6 : Cho hàm số y = x + 2 ( m − 1) x + ( m − 4m + 1) x + 2 . 1 1 1 Tìm m để hàm số có 2 cực trị có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x + x = 2 ( x1 + x 2 ) 1 2<br /> <br /> 2x1.x 2 + 3 1 =− 2 x1 + x 2 + 2 ( x1.x 2 + 1) 2 2<br /> <br /> (ĐS m = -2 )<br /> <br /> 2 3 2 2 2 (1), m là Bài 7 (Khối D – 2012): Cho hàm số y = x – mx – 2(3m – 1)x + 3 3<br /> tham số thực. Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x1.x2 + 2(x1 + x2) = 1 Bài 8 : CMR hàm số<br /> 2 3 x − (m + 2)x 2 + (m − 3)x + 2m 2 luôn luôn có 2 cực trị 3 1 3 5 6 2 2 b) y = x + mx + ( m − 4 ) x + m luôn luôn có cực đại và cực tiểu 3 4 3 2 2 10 8 c) y = − x + 3mx + 3 (1 − m ) x + m − 7m luôn luôn có cực đại và cực tiểu<br /> <br /> a) y =<br /> <br /> 3 2 d) y = x − ( m − 1) x + ( m − 3) x +<br /> <br /> 1 3<br /> <br /> 5 luôn luôn có cực đại và cực tiểu 4<br /> <br /> Bài 9 : Tìm m để hàm số 4 2 2 a/ (Khối B – 2002) y = mx + ( m − 9 )x + 10 có ba cực trị 4 2 b/ y = x − 2( m + 1 )x + m có ba cực trị<br /> 4 2 2 c/ y = x − 2m x + 1 có ba cực trị 4 2 4 d/ y = x − 2mx + 2m + m có ba cực trị<br /> <br /> 4 2 e/ y = x + ( m + 1) x − 1 có ba cực trị<br /> <br /> 4 2 f/ y = x − ( 2m + 5) x + 2 có ba cực trị 4 2 g/ y = ( m − 1) x − ( m + 1) x − 2 có ba cực trị m y = − x 4 + ( m + 1) x 2 − ( m − 1) có ba cực trị h/ 4 4 2 2 k/ y = f ( x ) = x + 2 ( m − 2 ) x + m − 5m + 5 có ba cực trị<br /> <br /> Đt : 0914449230<br /> <br /> 4<br /> <br /> Email : ngvuminh249@yahoo.com<br /> <br /> GV. Nguyễn Vũ Minh<br /> <br /> Cực Trị<br /> <br /> Bài 10 : Tìm m để hàm số 3 2 2 a/ (TN–THPT – 2005) y = x − 3mx + ( m − 1) x + 2 đạt cực đại tại x = 2<br /> 3 2 b/ (TN–THPT – 2011) y = x − 2x + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1 3 2 c/ y = x − mx + ( m − 1) x + 2 đạt cực tiểu tại x = 1<br /> <br /> 1 2 ( m − 2 ) x 3 + ( 3m + 4 ) x 2 + mx đạt cực tiểu tại x = 1 2 3 2 e/ y = x − 3x + 3mx + 3m + 4 đạt cực trị tại x = 2 ? Cực trị đó là cực đại hay cực tiểu ? 3 2 f/ (Soạn) y = x − ( m + 3 ) x + mx + m + 2 đạt cực tiểu tại x = 2 (ĐS : m = 0 )<br /> d/ y =<br /> 2 3 2 g/(Soạn) y = − ( m + 5m ) x + 6mx + 6x − 6 đạt cực đại tại x = 1<br /> <br /> (ĐS : m = 1 )<br /> <br /> h/(Soạn) y = ( 2m + 1) x − 3mx + 4m + 2 đạt cực đại tại x = –1 (ĐS : m = –2 ) Bài 11 : Tìm m để hàm số 1 3 1 2 a/ Đồ thị hàm số y = x − mx + (2m − 1)x + 2 có hai điểm cực trị dương ( < m ≠ 1 ) 3 2 3 2 b/ (Cao Đẳng – 2009) y = f(x) = x − (2m − 1)x + (2 − m)x + 2 có cực đại và cực tiểu có hoành độ dương ( m − 2 ) x 3 − (m + 1)x 2 + (2m − 6)x + 8 y= c/ có cực đại và cực tiểu có hoành độ 3 dương. (ĐS : 3 < m < 11 ) Bài 12: Tìm m để hàm số 1 3 (2m + 3) 2 x + (m 2 + 2m + 2)x + 11 có cực trị có hoành độ x1, x2 thỏa a/ y = x − 3 2 mãn x1 =2x2 (ĐS : m = 0, 6 ) 1 3 (3m + 2) 2 x + m 2 x + 15 có cực đại và cực tiểu có hoành độ x1, b/ (soạn) y = x − 3 2 (ĐS : m = 6 ) x2 thỏa mãn x1 =9x2 1 3 2 c/ (soạn) y = x − (m + 1)x + (2m + 1)x +1 có cực đại và cực tiểu có hoành độ x1, 3<br /> 4 2<br /> <br /> x2 thỏa mãn x2 =9x1<br /> <br /> 4 m = 4, − ) (ĐS : 9<br /> <br /> Đt : 0914449230<br /> <br /> 5<br /> <br /> Email : ngvuminh249@yahoo.com<br /> <br />