Bài toán về cực trị đại số

Chia sẻ: Sun Andy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

250
lượt xem 40
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệ tham khảo về một số bài toán về cực trị đại số trong các đề thi tuyển sinh đại học gần đây

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài toán về cực trị đại số

1 TÌM GTLN VÀ GTNN A. Kiến thức cơ bản: Công cụ để tìm GTLN - GTNN của một hàm số (hay một biểu thức) thường là: 1) Sử dụng các bất đẳng thức có tên gọi đã biết. 2) Sử dụng một số bđt đơn giản để đánh giá. 3) Đặt ẩn phụ, đưa về các dạng quen thuộc. 4) Qui về một biến để sử dụng phương pháp dùng đạo hàm. 5) Lượng giác hóa. 6) Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. B. Một số ví dụ x y VD1: Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa: x + y + z = 1. Tìm GTNN của P  xyz 1 1 Giải: Ta có: 1  ( x  y )  z  2 ( x  y ) z  ( x  y ) z   ( x  y) z  2 4 2 2  1  4( x  y ) z  ( x  y )  4( x  y ) z  4.(2 xy ) z  16 xyz x y   16 xyz x  y  z x  y  1 / 4 Suy ra minP = 16 đạt được  x  y  x  y  z  1 z  1 / 2  VD2: Tìm GTLN của biểu thức yz x  1  zx y  2  xy z  3 p xyz Giải: ĐK: x  1, y  2, z  3 (1) y2 x 1 z 3 Viết lại : P    x y z Cách 1. Ta có: x 1 1 x  ( x  1)  1  2 x 1   x 3 y2 1 y  ( y  2)  2  2 2( y  2)   y 22 z3 1 z  ( z  3)  3  2 3( z  3)   z 23 1 1 1 , với mọi x,y,z thỏa (1). Suy ra P    2 22 23 1
2 63 2 2 3 1 1 1 Nên MaxP = đạt được khi    2 22 23 12 x = 2, y = 4, z = 6. Cách 2: x 1 , x  1;  Xét hàm số: f ( x )  x Tính f / ( x) , giải phương trình f / ( x) = 0, lập BBT suy ra Maxf(x) = 1/2. Tương tự cho hai biểu thức còn lại …  VD3: Cho ba số thực dương x, y, z thỏa: x  y  z  . Tìm GTLN của biểu thức: 2 P  tan x. tan y  1  tan y tan z  1  tan z tan x  1 Giải:   , ta có: tan( x  y )  tan  z  Từ: x  y  z    2 2  (1)  tan x. tan y  tan y. tan z  tan z. tan x  1 Đặt a = tanx, b = tany, c = tanz. Ta có P  ab  1  bc  1  ca  1    P 2  ab  bc  ca  3  2 (ab  1)(bc  1)  (bc  1)(ca  1)  (ca  1)(ab  1)  ab  1  bc  1 bc  1  ca  1 ca  1  ab  1  8  P 2  4  2     4  2.  12 2 2 2 2   P2 3  MaxP  2 3  ab  bc  ca  1 / 3 * Chú ý: ba số thực x, y, z cho trong bài toán có thể thay bằng ba góc A/2, B/2, C/2 của tam giác một tam giác ABC nào đó. VD4: Tìm GTNN của hàm số: y  log x 2 1 (3  x 2 )  log 3 x 2 ( x 2  1) Giải: TXĐ: D   3; 3  \  2 ;0 Đặt: t  log x 1 (3  x 2 ) . 2 1 1 Ta có y  t   t  2 t t Suy ra miny = 2 đạt được  t  1  ... VD5: Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa: x+y+z = 4 Tìm GTLN của biểu thức: P  2x  1  3 y  1  4z  1 Giải: Áp dụng bất đẳng thức BCS, ta có: 183  2. 2 P2  x  1/ 2  3. y  1/ 3  2. z  1/ 4  (2  3  4)(x  y  z  1/ 2  1/ 3  1/ 4)  4 2
3 183 Suy ra MaxP =  x  ..... 2 VD6: Cho hai số thực x, y thỏa: x2 + y2 = 1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 2( x 2  6 xy ) P 1  2 xy  2 y 2 Giải: Cách 1. * Nếu: y = 0, ta có x =  1  P  2 . (1) 2 x 1 * Nếu: y  0  x 2  y 2  1     1  (2)  y2  y  x2 x 2 2  6.  y y   2 Chia cả tử và mẫu của P cho y ta được: P  (3) 1 x  2.  2 2 y y 2(t 2  6t ) x Từ (2) và (3), đặt t  , ta có: P   f (t ) t 2  2t  3 y Xét hàm số f(t), tính f’(x), lập BBT, tìm GTLN, NN của f(t), ta được Maxf(t) = 3  ... , min(t) = - 6  .... (4). Kết hợp với (1), suy ra GTLN, NN của P. * Chú ý: có thể dùng phương pháp miền giá trị để tìm GTLN, NN của f(t). Cách khác (Phương pháp lượng giác hóa): Đặt x = cos; y = sin (0   < 2) 2(cos2   6sin  cos ) 1  cos 2  6 sin 2 P= = 2 1  2sin  cos   2sin  2  sin 2  cos 2  (P – 6)sin2 - (P + 1)cos2 = 1 – 2P (1) (1) cú nghiệm  (P – 6)2 + (P + 1)2  (1 – 2P)2  P2 + 3P – 18  0  6  P  3  max P = 3 và min P = 6. x2  y2 VD7 . Cho hai số x, y thỏa: x > y và x.y = 2008. Tìm GTNN của biểu thức P  x y ( x  y ) 2  2 xy 2 xy 4016 HD: Ta có P   x y  x y x y x y x y Vì x – y > 0, áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương, ta có P  2 4016  8 251 4016 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  y   x  y  4 251 , kết hợp x. y = 2008 để x y tìm x,y. C. Bài tập 3
4 Bài 1. Cho hai số thực x, y thỏa: x+y = 1. Tìm GTLN của. P  x 3  y 3  3( x 2  y 2 )  3( x  y ) Bài 2. Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y = 5/4. Tìm GTNN của biểu thức; 41 A  x 4y Bài 3. Gọi A, B, C là ba góc của tam giác ABC. A B C a) Tìm GTLN của P  sin sin sin 2 2 2 1 1 1 b) Tìm GTLN của: Q   A B C sin sin sin 2 2 2 Bài 4. Cho ba số thực a, b, c thỏa 0 < a, b, c < 1 và ab + bc + ca = 1. Tìm GTNN của biểu thức a b c P   2 2 1 c2 1 a 1 b Bài 5. Cho hai số thực không âm x, y. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: ( x  y )(1  xy ) P (1  x) 2 (1  y ) 2 Bài 6. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa abc = 1. Tìm GTNN của a3 b3 c3 P   (1  b)(1  c) (1  c )(1  a ) (1  a )(1  b) Bài 7. Cho ba số x, y, z thỏa: ( x  1) 2  ( y  3) 2  ( z  1) 2  7 . Tìm GTLN của biểu thức: P  x y z Hướng dẫn giải (GTLN,GTNN) Bài 1. Từ x+y=1 suy ra y = 1-x. Thay vào P, dùng đạohàm. Bài 2. Cách 1. Đưa A về 1 biến, Dùng đạo hàm. Cách 2. A  4  1  x  y  5   4  x    1  y   5  ...      x 4y 4 x   4y 4  Bài 3. 4
5 A B C1 a) Chứng minh P  sin sin sin  2 2 28 b) Áp dung bđt Cauchy và câu a.  x y z Bài 4. Đặt a  tan , b  tan , c  tan , 0  x, y, z  2 2 2 2 có: tan tan  tan tan  tan tan  1  tan  tan  tan z   1  tan x tan z x y y z z x y x Ta  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x z tan  tan 2  1  cot y  tan x  z   tan   y   x  y  z   2      x z y 2 2 2  2 2 2222 1  tan tan tan 2 2 2 Suy ra x, y, z là ba góc của một tam giác nhọn. z x y 2 tan 2 tan 2 tan Nên: 2 2  tan x  tan y  tan z 2  2P   z x y 2 2 2 1  tan 1  tan 1  tan 2 2 2 áp dụng đẳng thức: tan x  tan y  tan z  tan x tan y tan z và bđt Cauchy, ta có 33 2p  2  Bài 5. Đặt x = tgu, y = tgv với u, v  [0; ) . 2 (tgu  tgv)(1  tgutgv) sin(u  v)cos(u  v) sin2u  sin2v 1 = = = P (1  tgu)2 (1  tgv)2 (sinu  cosu)2 (sin v  cos v)2 2 (1  sin2u)(1  sin2v) 1 1 1     2  1  s in2v 1  s in2u  1 1 1 1    khi u  và v = 0  x = 1 và y = 0, Pmax =   2  1  0 1 1  4 4  1 1 1 1    khi u = 0 và v   x = 0 và y = 1 Pmin =   4 2  1 1 1  0  4 Cỏch khỏc : x  x 2 y  y  xy2 x(1  y 2 )  y(1  x 2 ) x(1  2y  y 2 )  y(1  2x  x 2 ) P=   (1  x) 2 (1  y)2 (1  x) 2 (1  y)2 (1  x) 2 (1  y)2 x y , mà 0  a 2  1 (a  0) =  (1  x) 2 (1  y) 2 (1  a) 4 1 1 nờn : Pmax  khi x = 1 ; y = 0 và Pmin =  khi x = 0 ; y = 1. 4 4 Bài 6. a3 b3 1 b 1 c 1 c 1 a 3a 3b Tương tự: Ta có:  3.3 .....   3.3 .....      (1  b)(1  c ) (1  c )(1  a) 8 8 4 8 8 4 c3 1 a 1 b 3c  3.3 .....    (1  a)(1  b) 8 8 4 1 3 1 3 3 Cộng ba bđt ta được: P  (a  b  c)   3.3 abc    .... 2 4 2 4 4 ………………………………………………………………… 5
6 Một số bài toán về cực trị đại số trong các đề thi TSĐH gần đây. Bài 1(A-2006) . Cho hai số thực x, y khác 0, thay đổi thỏa điều kiện (x+y)xy = x2 + y2 – xy 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 3 3 x y Bài 2(B-2006) Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm GTNN của biểu thức P  ( x  1)2  y 2  ( x  1)2  y 2  y  2 Bài 3 (B-2008) Cho các số thực x, y thay đổi thỏa x2 + y2 = 1. Tìm GTLN- 2( x 2  6 xy ) GTNN của biểu thức: P 1  2 xy  2 y 2 Bài 4 (D-2008) cho các số thực không âm thay đổi, tìm GTLN-GTNN của biểu thức: ( x  y )(1  xy ) P (1  x 2 )(1  y 2 ) Bài 5 (B-2009) Cho các số thực x, y thay đổi thỏa (x + y)3 + 4xy  2. Tìm GTNN của biểu thức: A  3( x 4  y 4  x 2 y 2 )  2( x 2  y 2 )  1 Bài 6(D-2009) cho các số thực không âm thay đổi thỏa x + y = 1. Tìm GTLN- GTNN của biểu thức: S  (4 x 2  3 y )(4 y 2  3 x)  25 xy …………………………………………………………………………………………… …………….. 6