Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện kỹ năng cho học sinh giải bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

41
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của đề tài là với mong muốn sẽ giúp các em học sinh, đặc biệt là đối tượng học sinh học ở mức độ khá, giỏi kể cả trung bình có thể giải được các bài toán về cực trị của hàm số chứ dấu giá trị tuyệt đối một cách trôi chảy, có đáp án chính xác và nhanh thông qua việc biết phân loại bài toán và tìm phương pháp giải.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện kỹ năng cho học sinh giải bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

MỤC LỤC I. ĐẶT VẤN ĐỀ……...………………………………………….… 1 II. NỘI DUNG.....………………….………………………………. 1 1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ……. 1 …………....... 2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh 5 nghiệm …………………………………………………….. 5 3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề………………… 5 3.1. Một số dấu hiệu nhận biết nhanh về số cực trị của hàm 5 số………………………………………………………… 6 3.2. Phương pháp ghép bảng biến thiên để giải nhanh các bài 6 toán cực trị của hàm số hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối.. 3.3. Các dạng bài toán ………………………………………. Bài toán 1: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt đối khi cho hàm số ……………………………… Bài toán 2: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt đối khi cho bảng biến thiên, bảng xét dấu của ……... Bài toán 3: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt đối khi cho đồ thị ………………………………………... 4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm ……………………….. III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ …………………………………… Tài liệu tham khảo ………………………………………………… 1
I. ĐẶT VẤN ĐỀ Mỗi giáo viên dạy toán ở trường THPT luôn trăn trở, suy nghĩ tìm mọi biện pháp tối ưu để truyền đạt cho học sinh những kiến thức cơ bản cốt lõi nhất để giúp các em đáp ứng chuẩn kiến thức kỹ năng và làm bài thi một cách trôi chảy, giúp học sinh luyện thi vào các trường Đại học có kết quả tốt nhất. Trong các kì thi THPT quốc gia những năm gần đây và năm 2020 gọi là kì thi Tốt nghiệp THPT, bài toán tìm cực trị của hàm số là một dạng bài toán thường gặp trong các đề thi THPT quốc gia môn Toán với các mức độ từ dễ đến khó, trong đó bài toán tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường xuất hiện trong các đề thi tương đối khó. Vì vậy để giải được dạng toán này chúng ta cần tìm hiểu bản chất, phân loại các bài toán cũng như xây dựng phương pháp tư duy giải toán đặc trưng cho loại toán. Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải bài toán tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, biết khai thác các giả thiết của bài toán để tìm lời giải. Trong đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy, biết phân loại theo các dạng toán để tìm phương pháp giải là một điều cần thiết. Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng và giải toán. Với mong muốn sẽ giúp các em học sinh, đặc biệt là đối tượng học sinh học ở mức độ khá, giỏi kể cả trung bình có thể giải được các bài toán về cực trị của hàm số chứ dấu giá trị tuyệt đối một cách trôi chảy, có đáp án chính xác và nhanh thông qua việc biết phân loại bài toán và tìm phương pháp giải, tôi đã chọn đề tài "Rèn luyên kỹ năng cho học sinh giải bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối" Trong đề tài này tôi không có tham vọng nêu ra phương pháp để giải được tất cả các bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối mà chỉ mạnh dạn nêu lên một số phương pháp mà chúng tôi đã áp dụng trong quá trình giảng dạy và ôn thi cho học sinh. Coi đó là kinh nghiệm qua một số ví dụ minh hoạ, với mong muốn góp phần tạo ra và phát triển phương pháp dạy học toán học đạt hiệu quả cao hơn qua các bài giảng. 2
II. NỘI DUNG 1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm: 1.1. Cực trị của hàm số a. Định nghĩa Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng (có thể là ; là ) và điểm . +) Nếu tồn tại số sao cho với mọi và thì ta nói hàm số đạt cực đại tại . +) Nếu tồn tại số sao cho với mọi và thì ta nói hàm số đạt cực tiểu tại . * Chú ý +) Nếu hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại thì được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là , còn điểm được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số. +) Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số. b. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị * Định lí 1: Giả sử hàm số đạt cực trị tại điểm . Khi đó nếu hàm số có đạo hàm tại thì . c. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị * Định lí 2: Giả sử hàm số liên tục trên và có đạo hàm trên hoặc trên , với . +) Nếu trên khoảng và trên thì là một điểm cực đại của hàm số . +) Nếu trên khoảng và trên thì là một điểm cực tiểu của hàm số . Minh họa bằng bảng biến thiến 3
* Chú ý +) Giá trị cực đại (cực tiểu) của hàm số nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trên tập xác định của nó. +) Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng hoặc hàm số không có đạo hàm. Ngược lại, đạo hàm có thể bằng tại điểm nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm . * Định lí 3: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp hai trong khoảng với . Khi đó: +) Nếu thì là điểm cực tiểu. +) Nếu thì là điểm cực đại. 1.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ a. Định nghĩa: +) Hàm số với tập xác định gọi là hàm số chẵn nếu thì và +) Hàm số với tập xác định gọi là hàm số lẻ nếu thì và b. Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ. Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng 1.3. Một số hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp và cách vẽ đồ thị của các hàm số đó a. Hàm số Ta có: Nhận xét: Hàm số luôn nhận giá trị không âm Cách vẽ đồ thị: +> Vẽ đồ thị của hàm số +> Gọi là phần đồ thị nằm phía trên trục hoành của +> Gọi là phần đồ thị đối xứng với phần nằm phía dưới trục hoành của qua trục . +> Vậy đồ thị hàm số gồm và Nhận xét: Đồ thị hàm số luôn nằm trên trục hoành b. Hàm số 4
Ta có: Nhận xét: Hàm số là hàm số chẵn Cách vẽ đồ thị: +> Vẽ đồ thị của hàm số +> Gọi là phần đồ thị nằm phía bên phải trục tung của +> Gọi là phần đồ thị đối xứng với qua trục . +> Vậy đồ thị hàm số gồm và Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng c. Hàm số Cách vẽ đồ thị: Cách 1: +> Vẽ đồ thị của hàm số +> Từ đồ thị của hàm số ta suy ra đồ thị của hàm số +> Từ đồ thị của hàm số ta suy ra đồ thị của hàm số Cách 2: +> Vẽ đồ thị của hàm số +> Từ đồ thị của hàm số ta suy ra đồ thị của hàm số +> Từ đồ thị của hàm số ta suy ra đồ thị của hàm số 2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Với xu thế giáo dục phát triển năng lực học sinh một cách toàn diện, và đổi mới thi cử, đánh giá của ngành giáo dục, đặc biệt là việc thi và đánh giá năng lực học sinh bằng phương pháp thi trắc nghiệm. Yêu cầu số lượng câu hỏi lớn, nội dung thi phủ rộng cả chương trình học. Vì vậy việc làm phong phú hệ thống câu hỏi và bài tập là điều hết sức cần thiết. Với bài toán tìm cực trị của hàm số khi xuất hiện trong các đề thi ở mức độ 1 và mức độ 2 học sinh thường đi theo các bước của quy tắc tìm cực trị của hàm số, nhưng với những bài toán tìm cực trị của hàm số ở mức độ khó hơn nếu chỉ áp dụng quy tắc tìm cực trị thì học sinh thường lúng túng, cách giải quyết vấn đề dài dòng, mất thời gian. Trong nhiều trường hợp bài làm sẽ rơi vào bế tắc không giải được. Đặc biệt các bài toán tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và điều đó càng bất lợi khi các bài kiểm tra thi cử dưới dạng trắc nghiệm: số lượng câu hỏi nhiều, thời gian làm bài bị rút ngắn lại. Chính vì lẽ đó tôi đã tìm tòi nghiên cứu để phân loại các bài toán tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và áp dụng các phương pháp đó vào 5
giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia và ôn thi tốt nghiệp THPT hiện nay và bồi dưỡng học sinh khá giỏi, học sinh dự thi học sinh giỏi trường, giỏi tỉnh. Dưới đây là một số phương pháp cụ thể. 3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề 3.1. Một số dấu hiệu nhận biết nhanh về số cực trị của hàm số +> Số điểm cực trị của hàm đa thức bằng tổng số nghiệm đơn và số nghiệm bội lẻ của phương trình +> Số điểm cực trị của hàm số bằng 2 lần số điểm cực trị dương của hàm số cộng với 1. +> Số điểm cực trị của hàm số bằng tổng số điểm cực trị của hàm số với số nghiệm đơn và số nghiệm bội lẻ của phương trình . 3.2. Phương pháp ghép bảng biến thiên để giải nhanh các bài toán cực trị của hàm số hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số Bước 2: Lập bảng biến thiên của các hàm số và Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa với và với Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận 3.3. Các dạng bài toán Bài toán 1: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt đối khi cho hàm số Bài toán 1.1: Sử dụng các tính chất 3.1 để giải nhanh các bài toán cực trị. +> Giải phương trình . Xét xem các nghiệm của phương trình là nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ, nghiệm bội chẵn. +> Sử dụng các tính chất ở mục 3.1 để kết luận. Ví dụ 1. Cho hàm số có . Số điểm cực trị của hàm số là. A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Ta có 6
Trong đó: +> là nghiệm bội 2 nên không đổi dấu khi qua +> là nghiệm đơn và là nghiệm bội 3 đổi dấu khi qua 2 điểm nên hàm số có 2 điểm cực trị trong đó có 1 điểm cực trị dương. Do khi và hàm là hàm chẵn nên hàm số có 3 điểm cực trị. Ví dụ 2. Cho hàm số có . Số điểm cực trị của hàm số là. A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Ta có Trong đó: +> là nghiệm bội 4 nên không đổi dấu khi qua +> là nghiệm đơn và là nghiệm bội 3 đổi dấu khi qua 3 điểm nên hàm số có 3 điểm cực trị trong đó có 2 điểm cực trị dương. Do khi và hàm là hàm chẵn nên hàm số có 5 điểm cực trị. Ví dụ 3. Cho ham sô co đao ham Sô điêm c ̀ ́ ́ ̣ ̀ ́ ̉ ực tri cua ham sô la: ̣ ̉ ̀ ́ ̀ A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn B Ta co: . ́ ̉ ̉ ́ ̉ ̉ ực tri . Do chi đôi dâu khi đi qua điêm nên ham sô co 1 điêm c ̀ ́ ́ ̣ ̀ ̀ ̀ ́ ̃ ̀ ́ ́ ̉ ực tri .̣ Ma nêu va la ham sô chăn nên ham sô co 1 điêm c ̀ ́ Ví dụ 4. Cho ham sô co đao ham ̀ ́ ́ ̣ ̀ ́ ́ ̀ ́ ̉ ực tri?̣ ̀ . Ham sô co nhiêu nhât bao nhiêu điêm c A. 5. B. 6. C. 12. D. 11. Lời giải Chọn D Ta co: . ́ Bảng biến thiên của hàm số 7
Tư bang biên thiên ta thây ham sô co 5 điêm c ̀ ̉ ́ ́ ̀ ́ ́ ̉ ực tri và ph ̣ ương trình co tôi đa 6 ́ ́ ̣ ̣ nghiêm phân biêt. ́ ̀ ́ ́ ́ ̉ ực tri.̣ Do đo ham sô co tôi đa điêm c Ví dụ 5. Cho hàm số có đạo hàm với mọi . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị? A. . B. 7. C. . D. . Lời giải Chọn C Do tính chất đối xứng qua trục của đồ thị hàm số nên hàm số có điểm cực trị khi hàm số có điểm cực trị dương. Ta có: Do là nghiệm bội 2 và là nghiệm đơn âm nên hàm số có điểm cực trị dương khi phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. Giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị là: . Số giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị là . 8
Ví dụ 6. Cho hàm số liên tục trên , biết và . Gọi là tập hợp các giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị. Tổng tất cả các phần tử của bằng A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Ta có , vì Nên TXĐ: Bảng biến thiên của hàm Từ bảng biến thiên ta thấy để hàm số có điểm cực trị thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm phân biệt. Khi đó ta có Vì nguyên nên . Suy ra Vậy tổng các phần tử của bằng Bài toán 1.2: Sử dụng phương pháp ghép bảng biến thiên kết hợp với các tính chất 3.1 để giải nhanh các bài toán cực trị. Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số Bước 2: Lập bảng biến thiên của các hàm số và Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa với và với 9
Trong đó: +> , , …, , là các điểm biên của tập xác định D, là các điểm cực trị của hàm số . (Nếu thì còn có thêm nghiệm của phương trình , hay thì còn có thêm số 0) +> Ở dòng thứ 2 ta điền các giá trị . Trên mỗi khoảng hoặc điền các số , , …, , trong đó , , …, là các điểm mà tại đó , không xác định; là các điểm cực trị của hàm số . Có thể dùng mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của hàm số +> Ở dòng 3 xét chiều biến thiên của hàm số dựa vào bảng biến thiên bằng cách hoán đổi đóng vai trò của và đóng vai trò của Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số để kết luận. (Kết hợp với các tính chất 3.1 để có kết luận thỏa mãn yêu cầu bài toán đặt ra) Ví dụ 7. Cho hàm số có . Số điểm cực tiểu của hàm số là. A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B. Đặt Bảng biến thiên của hàm số 10
Ta có: Bảng biến thiên của hàm số Bảng biến thiên của hàm số Dựa vào bảng biến thiên của hàm số thì hàm số có 3 điểm cực tiểu. Ví dụ 8. Cho hàm số xác định và liên tục trên , có . Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu ? A. 2. B. 5. C. 7. D. 4. Lời giải Chọn D. Đặt Ta có: Bảng biến thiên của hàm số 11
Bảng biến thiên của hàm số Bảng biến thiên của hàm số Dựa vào bảng biến thiên của hàm số thì hàm số có 4 điểm cực tiểu. Ví dụ 9. Cho hàm số liên tục trên và có và . Số điểm cực trị của hàm số là A. 2. B. 4. C. 3. D. 5. Lời giải Chọn C. Xét hàm số Đặt Bảng biến thiên của hàm số 12
Bảng biến thiên của hàm số Bảng biến thiên của Dựa vào bảng biến thiên của thì hàm số có 2 điểm cực trị. Mà nên phương trình chỉ có một nghiệm đơn Vậy hàm số có 3 điểm cực trị. Bài toán 2: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt đối khi cho bảng biến thiên, bảng xét dấu của Ví dụ 1.Cho hàm số có đạo hàm trên và bảng biến thiên của hàm số như hình vẽ. 13
Hàm số có bao nhiêu cực trị? A. B. . C. D. Lời giải Chọn B Đồ thị hàm số có được từ đồ thị hàm số bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số sang phải đơn vị và lên trên đơn vị. Suy ra bảng biến thiên của hàm số Dựa vào bảng biến thiên của hàm số suy ra hàm số có 2 cực trị và 1 nghiệm đơn nên hàm số có 3 điểm cựu trị. Ví dụ 2. Cho hàm số có và đạo hàm liên tục trên và có bảng xét dấu như hình sau Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 3. C. 5. D. 7. Lời giải Chọn C Xét hàm số Ta có 14
. Mà nên dựa vào bảng xét dấu của ta suy ra . . Bảng biến thiên của hàm số Dựa vào bảng biến thiên của hàm số suy ra hàm số có 3 điểm cực trị. Ta có nên phương trình có hai nghiệm đơn và 1 nghiệm bội chẵn. Vậy có cực trị. Ví dụ 3. Cho hàm số có đạo hàm trên và có bảng xét dấu hàm số như sau: Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại. A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B. Đặt Ta có: Bảng biến thiên của hàm số 15
Bảng biến thiên của hàm số Bảng biến thiên của hàm số Dựa vào bảng biến thiên của hàm số thì hàm số có 3 điểm cực đại. Ví dụ 4. Cho hàm số xác định và liên tục trên , có bảng xét dấu của như sau Số điểm cực trị của đồ thị hàm số là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Đặt Ta có: 16
Bảng biến thiên của hàm số Bảng biến thiên của hàm số Dựa vào bảng biến thiên của thì hàm số có 13 điểm cực trị Suy ra đồ thị hàm số có 13 điểm cực trị (Tịnh tiến đồ thị hàm số lên trên 2021 đơn vị thì số điểm cực trị không thay đổi). Ví dụ 5. Cho hàm số xác định và liên tục trên và có bảng xét dấu của như sau: Xét hàm số . Gọi là tập hợp các điểm cực trị của hàm số . Tổng giá trị tất cả các phần tử của là A. . B. . C. . D. 5. Lời giải Chọn A Ta có Do 17
Bảng xét dấu của Bảng biến thiên của hàm số Bảng biến thiên của hàm số Bảng biến thiên ta thấy hàm số 18
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có 5 điểm cực trị. Hàm số đạt cực trị tại các điểm tương ứng với Suy ra . Vậy tổng các phần tử của bằng 10 Bài toán 3: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt đối khi cho đồ thị Ví dụ 1. Cho hàm số là một hàm đa thức có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số là A. 3. B. 5. C. 7. D. 9. Lời giải Chọn C Từ đồ thị của hàm số ta có bảng biến thiên 19
Đặt Ta có: Bảng biến thiên của hàm số Bảng biến thiên của hàm số Vậy hàm số có 7 điểm cực trị. Ví dụ 2. Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây. 20