Báo cáo khoa học: "xác định độ dày của lớp vỏ tròn xoay"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

51
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tóm tắt:Đề tài đã giải một lớp bài toán ng-ợc, xác định hàm độ dày của các vỏ tròn xoay nh- vỏ parabol, vỏ cầu chịu tải đối xứng trục. Ph-ơng trình vi tích phân tổng quát xác định hình dạng đ-ờng sinh và độ dày vỏ đã đ-ợc đ-a ra. Nghiệm của ph-ơng trình hàm độ dày đã đ-ợc tính bằng ph-ơng pháp nửa giải tích và số. Các thí dụ số đã đ-ợc thực hiện cho vỏ Parabol chịu tải phân bố đều, tác dụng vuông góc lên mặt vỏ, vỏ cầu ngâm trong chất lỏng, vỏ tròn...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo khoa học: "xác định độ dày của lớp vỏ tròn xoay"

x¸c ®Þnh ®é dμy cña líp vá trßn xoay TS. Ph¹m hång nga Bé m«n To¸n Khoa Khoa häc c¬ b¶n Tr−êng §¹i häc GTVT Tãm t¾t:§Ò tμi ®· gi¶i mét líp bμi to¸n ng−îc, x¸c ®Þnh hμm ®é dμy cña c¸c vá trßn xoay nh− vá parabol, vá cÇu chÞu t¶i ®èi xøng trôc. Ph−¬ng tr×nh vi tÝch ph©n tæng qu¸t x¸c ®Þnh h×nh d¹ng ®−êng sinh vμ ®é dμy vá ®· ®−îc ®−a ra. NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh hμm ®é dμy ®· ®−îc tÝnh b»ng ph−¬ng ph¸p nöa gi¶i tÝch vμ sè. C¸c thÝ dô sè ®· ®−îc thùc hiÖn cho vá Parabol chÞu t¶i ph©n bè ®Òu, t¸c dông vu«ng gãc lªn mÆt vá, vá cÇu ng©m trong chÊt láng, vá trßn xoay khi quay mét cung cÇu cã t©m c¸ch trôc z mét kho¶ng a quanh oz. C¸c hμm ®é dμy nhËn ®−îc b»ng c¸c ch−¬ng tr×nh tÝnh to¸n vμ kÕt qu¶ cho d−íi d¹ng b¶ng sè c¸c gi¸ trÞ rêi r¹c hoÆc ®å thÞ. C¸c kÕt qu¶ cã thÓ dïng ®Ó tham kh¶o trong thiÕt kÕ vá máng. Summary: The paper has solved the diverse problem of identifying thickness function of the revolution parabola, sphere shells under axisysmetrical load. The general integro- differential equations for determining the meridian form and the shell thickness are obtained. Solution to differential equations for the thickness is calculated by semi-analytical and numerical methods. Numerical solutions are given to the parabola under external pressure, the sphere in the fluid and for the shell, which is obtained by revolution of the sphere arc in CBA distance a from axis Oz. The thick - ness functions are calculated by programming and results are illustrated in the graph forms or in the numerical tables. These results may be used in the thin shell design. i. c¸c ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña lý thuyÕt phi m«men cña vá máng ®μn håi chÞu t¶i träng cã ®èi xøng trôc Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng cã d¹ng: [ 1] ⎧ dTs sin θ + (Tϕ − Ts ) +X=0 ⎪ ⎪ ds r ⎨ (1) T ⎪ Ts + ϕ = Z ⎪ R1 R 2 ⎩ Víi Ts vµ Tϕ lµ lùc mµng, R1, R2 lµ b¸n kÝnh cong cña vá, θ lµ gãc gi÷a ®−êng sinh vµ trôc Oz, X, Z lµ thµnh phÇn cña t¶i träng ngoµi, r lµ b¸n kÝnh cña ®−êng trßn vÜ tuyÕn. §èi víi vá trßn xoay, chóng ta cã: [1] cos θ dr dθ 1 1 = − sin θ = = ; ; ds R1 ds R 2 r
d⎛1 ⎞ ⎛1 1 ⎞ sin θ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜R − R ⎟ r (2) ds ⎜ R 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝2 1⎠ Do ®ã, quan hÖ gi÷a biÕn d¹ng nhá vµ chuyÓn dÞch lµ: ⎧ du w ⎪ ε s = ds + R (3) ⎪ 1 ⎨ ⎪ ε = − sin θ u + w ⎪ϕ ⎩ r R2 Theo ®Þnh luËt Hook, chuyÓn dÞch εs theo ph−¬ng tiÕp tuyÕn cña ®−êng sinh vµ εϕ lµ chuyÓn dÞch theo ph−¬ng vu«ng gãc víi ®−êng sinh. Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh c©n b»ng mµng lµ: ⎧ 1 ⎪ε s = Eh (Ts − νTϕ ) ⎪ ⎨ (4) ⎪ε = 1 (T − νT ) ⎪ ϕ Eh ϕ s ⎩ Víi E lµ m«®un ®µn håi, ν lµ hÖ sè Poisson vµ h lµ ®é dµy cña vá máng. ii. ph−¬ng tr×nh vi ph©n x¸c ®Þnh hμm ®é dμy cña vá ®μn håi Tõ ®iÒu kiÖn øng suÊt uèn b»ng 0, nghÜa lµ sù thay ®æi ®é cong cña vá b»ng 0, ta cã: d dw u χs = − − )=0 ( ds ds R 1 sin θ dw u χϕ = − )=0 , ( CBA r ds R 1 dw u − = 0. do ®ã ds R1 ThÕ vµo ph−¬ng tr×nh biÕn d¹ng vµ sö dông ®¼ng thøc h×nh häc (2): dε ϕ dw u − (ε ϕ − ε s ) sin θ − ( − ) cos θ = 0 r ds ds R1 Tõ ®iÒu kiÖn øng suÊt uèn b»ng 0, ta cã: dε ϕ dr − (ε ϕ − ε s ) =0⇒ r ds ds (5) d(rε ϕ ) = εs. dr Trong ®iÒu kiÖn kh«ng cã m«men cña vá (b¸n kÝnh cong b»ng 0), ®©y lµ liªn hÖ c¬ b¶n ®Ó thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi tÝch ph©n ®Ó x¸c ®Þnh ®é dµy vµ h×nh d¹ng h×nh häc cña vá. NghiÖm tæng qu¸t cña hÖ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng (1) cã d¹ng: [1]
⎡ ⎤ ⎛ ⎞ r ⎜ ⎟ 1⎢ X ∫⎜Z + ⎥η Ts = C+ ⎟ rdr r⎢ ⎥ ⎜ −1⎟ η2 (6) ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ro ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ r ⎥ dη ⎜ ⎟ X ∫⎜Z + T ϕ = Zr η + ⎢ C + ⎟ rdr ⎢ ⎥ dr ⎜ −1⎟ η2 ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ro 1 Víi η = = sec θ ®−îc dïng ®Ó x¸c ®Þnh h×nh d¹ng cña vá. cos θ H»ng sè C cã thÓ thu ®−îc tõ ®iÒu kiÖn biªn cña vá nh− sau: Trªn biªn r = r0 , tõ (6) thµnh phÇn cña lùc th¼ng ®øng cã d¹ng: C = Ts r0 cos θ 0 , 0 (6a) Trªn biªn r = r1, nÕu Q lµ tæng hîp lùc cña c¸c thµnh phÇn th¼ng ®øng vµ ®èi xøng trôc víi ®é lín pz, song song víi Oz th× ®iÒu kiÖn c©n b»ng sÏ lµ: 2 π C = 2 π Ts r0 cos θ 0 = − Q 0 (6b) Q = 2 π r1p z ⇒ C = − r1p z Ph−¬ng tr×nh vi ph©n x¸c ®Þnh ®é dµy cña vá nhËn ®−îc tõ viÖc thay (4) vµo (5) (T s ) ( )⎤ ⇒ d⎡r 1 − υ Tϕ = Tϕ − ν Ts dr ⎢ hE ⎥ (8) ⎣ ⎦ hE Ts − ν Tϕ ( )− 1 dh 1 1 d = + Tϕ − ν Ts − ν T s dr r ( Tϕ − ν Ts ) h dr r Tϕ Tõ ®ã, ®é dµy lµ: CBA ⎡ r T − νT ⎤ r Tϕ − νTs ∫ ϕ exp ⎢− dr ⎥ s h(r ) = h0 (9) ⎢ r(Tϕ − νTs ) ⎥ r 0 Tϕ − νTs 0 0 ⎣ r0 ⎦ Víi Ts vµ Tϕ x¸c ®Þnh tõ (6). ThÕ (6) vµo (4) vµ (5), ta cã ph−¬ng tr×nh vi tÝch ph©n x¸c ®Þnh h×nh d¹ng vá: ⎡ ⎞⎤ ⎛ d2η ⎟⎥ dη ⎛ rdh ⎞ ⎜ 2 r2X + r ⎢I⎜1 − ⎟ + ⎜ 2r Z + + r 2I ⎟ ⎥. ⎢⎝ hdr ⎠ ⎜ η − 1 ⎟ ⎥ dr dr 2 2 ⎢ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎡ ⎤ ⎛ rν dh r 2 νZ ⎞ dh dX ⎥ η ⎢2r 2 Z − r 3 Z + I⎜ − 1⎟ − + r3 =0 ⎢ dr ⎥ hdr ⎝ h dr ⎠ η2 − 1 ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ r víi: ⎜ ⎟ X ∫ r⎜ Z + I= ⎟dr + C ⎜ − 1⎟ η2 ⎝ ⎠ ro Chó ý r»ng nÕu h×nh d¹ng ®−êng sinh η vµ c¸c thµnh phÇn t¶i träng ngoµi X, Z lµ cho tr−íc, th× ph−¬ng tr×nh (8) còng cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh trùc tiÕp tõ ph−¬ng tr×nh vi ph©n tæng qu¸t nµy. Trªn thùc tÕ, c¸c néi lùc (6) phô thuéc vµo h×nh d¹ng ®−êng sinh η vµ c¸c thµnh phÇn
ngo¹i lùc X, Z. Chóng cã thÓ ®−îc biÓu diÔn d−íi d¹ng gi¶i tÝch chØ trong nh÷ng tr−êng hîp cã thÓ lÊy ®−îc tÝch ph©n b»ng ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch. Chóng ta sÏ xem xÐt gi¸ trÞ ®é dµy cña c«ng thøc (9) víi c¸c t¶i träng vµ c¸c lo¹i vá cã h×nh d¹ng h×nh häc kh¸c ë phÇn sau. III. x¸c ®Þnh ®é dμy h = h(r) cña vá cÇu h×nh d¹ng kh¸c nhau, chÞu t¶i träng kh¸c nhau a. XÐt vá cÇu B¸n kÝnh R, ng©m trong n−íc víi khèi l−îng riªng cña n−íc lµ γ vµ a lµ chiÒu cao cña cét n−íc ®Õn biªn trªn cña vá cÇu (H.1), khi ®ã ngo¹i lùc ®−îc tÝnh theo [5]: pz = γ (a + R - Rsinθ) X = -γ (a + R - Rsinθ) cosθ. Z = -γ (a + R - Rsinθ) sinθ. Víi α + θ = π/2. R2 − r 2 R §èi víi h×nh cÇu, ta cã: η = , dη/dr = - R/r2 ; sin θ = R r Thay c¸c gi¸ trÞ nµy vµo (6), lÊy tÝch ph©n, néi lùc cã d¹ng: ⎧ ⎫ R⎪ ⎡ r 2 − R2 ⎤ ⎪ Ts (r) = γR⎢(a + R) R2 − r 2 + ⎥ + C⎬ 2⎨ r⎪⎢ 2⎥⎪ ⎩⎣ ⎦⎭ CBA (10) Tϕ ( r ) = γ [ a + R − −r ] R −r − Ts (r ) 2 2 2 2 R Chó ý, lùc Ts trªn biªn r0 = R lµ: Ts0 = Ts (R)= C/R (10a) MÆt kh¸c, h»ng sè C cã thÓ x¸c ®Þnh tõ (6b): C = − r1p z (10b) víi pz lµ ®é lín cña lùc trªn biªn r = r1: p z = γ (a + R - Rcos α 1 ) 2 ⎛r ⎞ cos α 1 = 1− ⎜ 1 ⎟ ⎝R ⎠ Tõ ®ã, kÕt hîp víi (10a, 10b) h»ng sè C vµ Ts0 sÏ ®−îc x¸c ®Þnh. Hµm h(r) cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c¸ch thay (10), (6) vµo (9) vµ lÊy tÝch ph©n b»ng c«ng thøc gÇn ®óng Simpson. Gi¸ trÞ hµm sè h(r) ®−îc x¸c ®Þnh b»ng d¹ng sè rêi r¹c. VÝ dô sè ®−îc cho bëi c¸c th«ng sè h×nh häc vµ t¶i träng sau: r0 = R = 1,3m ; h0 = 0,01m; γ = 9810 N/m3; a = 1m; r1 = r( α 1) = 0,5m; ν = 0,33; C= -5395.5 T0s = - 4150.38N/m, Tϕ0 = 4150.38N/m. C¸c kÕt qu¶ sè vµ ®å thÞ biÓu diÔn trong h×nh 1.
r(m) h(r) (m) z 0,5 0,06408 0,54 0,05759 0,58 0,05186 a r1 0,62 0,04673 0,66 0,0421 0,7 0,03789 α α1 0,74 0,03401 R ro 0,78 0,03042 0,82 0,02707 0,86 0,02393 0,9 0,02097 0,07 0,94 0,01816 0,06 0,98 0,01549 0,05 0,04 1,02 0,01293 h(r) 0,03 1,06 0,01048 0,02 1,1 0,00812 0,01 0 1,14 0,00583 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,18 0,00362 r 1,22 0,00144 H×nh1. Chó ý r»ng, trong tr−êng hîp nµy, khi vá ®−îc ng©m trong chÊt láng, gi¸ trÞ ®é dµy gi¶m tõ biªn trªn ®Õn biªn d−íi cña vá. b. XÐt vá cÇu b¸n kÝnh CBA R c¸ch trôc Oz ®o¹n a (h×nh 2). Vá cÇu chÞu t¶i träng ph©n bè ®Òu víi ®é lín p, vu«ng gãc víi bÒ mÆt cña vá. Trong tr−êng hîp nµy, c¸c ®Æc tr−ng h×nh häc sÏ lµ: [1] R cos θ − a r R1 = R; R 2 = = cos θ cos θ ; dη = − 1 R R ⇒η= = cos θ r + a (r + a ) 2 dr C¸c thµnh phÇn ngo¹i lùc cã d¹ng: Z = p = const , X = 0, C = T s0 r0 ( r0 + a ) R Khi ®ã, néi lùc cña vá, theo (6) lµ: 0 r (r + a ) Rp Ts = ( r 2 − r0 ) + Ts 0 0 2 2 r (r + a ) R [pR − Ts ] r Tϕ = r+a ThÕ vµo (9), ta cã thÓ tÝnh ®−îc hµm ®é dµy h(r). VÝ dô sè minh ho¹ cho lo¹i vá nµy cã c¸c th«ng sè h×nh häc vµ t¶i träng nh− sau: r0 = 0,5m r1=1.6 m, h0 = 0,02m R = 3,1m , a= 1,5 m ν = 0,33 r ∈ [0,5m; 1,6m], 2 Ts0 = 0 ( N/m) p = -2100000 N/m
h(r)(m) θ ro r(m) 0.5550000000 0.0233096138 r p 0.6100000000 0.0266222915 r2 0.6650000000 0.0299178952 0.7200000000 0.0331816247 R 0.7750000000 0.0364025094 0.8300000000 0.0395724707 r1 0.8850000000 0.0426856398 a 0.9400000000 0.0457378510 0.9950000000 0.0487262607 1.0500000000 0.0516490563 h 0.08 1.1050000000 0.0545052310 0.07 1.1600000000 0.0572944091 0.06 1.2150000000 0.0600167080 0.05 1.2700000000 0.0626726298 1.3250000000 0.0652629739 0.04 1.3800000000 0.0677887690 0.03 1.4350000000 0.0702512171 0.02 r 1.4900000000 0.0726516493 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.5449999999 0.0749914903 H×nh 2. 1.5999999999 0.0772722296 KÕt qu¶ trong h×nh 2 cho thÊy ®é dµy trªn biªn R gÊp kho¶ng 3 lÇn so víi ®é dµy trªn biªn r = r0. IV. X¸c ®Þnh ®é dμy h = h(r) cña vá cã ®−êng sinh d¹ng parabol chÞu t¶i CBA träng ®Òu, ®é lín p, vu«ng gãc víi bÒ mÆt cña vá XÐt vá parabol, cã ph−¬ng tr×nh ®−êng sinh lµ (H.3) [5]: r2 = 2a(h1-z ) (11) Víi a lµ tham sè cña parabol, h1 lµ chiÒu cao cña cung parabol. Chó ý r»ng nÕu z lµ kho¶ng c¸ch theo trôc Oz cña vá trßn xoay th× liªn hÖ gi÷a r vµ z cã dr = ± η2 − 1 d¹ng: (12) dz 1 − ⎛ 2⎞ a2 dη a2 2 ⎜1 + a ⎟ tõ (10) vµ (11) ta cã: 1+ 2 , (13) η= =− 3 ⎜ 2⎟ dr r ⎝ r⎠ r Trong tr−êng hîp nµy, c¸c thµnh phÇn ngo¹i lùc cã d¹ng: Z = p = const , X = 0, C=0 (14) ThÕ (13) vµ (14) vµo (6), néi lùc trong parabol sÏ lµ: p2 Ts = a + r2 2 p a 2 + 2r 2 Tϕ = 2 a2 + r 2 Do ®ã, hµm ®é dµy h(r) cã thÓ tÝnh b»ng tÝch ph©n sè theo (9). VÝ dô nµy nh»m x¸c ®Þnh ®é dµy h(r) cña vá parabol víi c¸c th«ng sè h×nh häc vµ t¶i träng sau:
r0 = 2,4m; h0 = 0,03m; a = 2,1m; r1 = 0,5m; ν = 0,3; p = 475000 N/m2, Ts0 = 0 (N/m) Gi¸ trÞ h(r) cho trong h×nh 3. r(m) h(r)(m) z 2.3050000000 0.0272576333 θ r1 2.2100000000 0.0246650866 r θ 2.1150000000 0.0222208825 R2 p 2.0200000000 0.0199234126 1.9250000000 0.0177709148 1.8300000000 0.0157614459 ro 1.7350000000 0.0138928526 1.6400000000 0.0121627376 1.5450000000 0.0105684247 h 1.4500000000 0.0091069218 0.03 1.3550000000 0.0077748841 0.025 1.2600000000 0.0065685804 0.02 1.1650000000 0.0054838652 0.015 1.0700000000 0.0045161621 0.01 0.9750000000 0.0036604628 0.8800000000 0.0029113500 0.005 0.7850000000 0.0022630490 0 r 0.6900000000 0.0017095163 0.5 1 1.5 2 0.5950000000 0.0012445694 H×nh 3. 0.5000000000 0.0008620598 Chó ý r»ng ®é dµy trªn biªn R = r0 lín h¬n ®é dµy trªn biªn R = r1 (r1 < r0). Bµi to¸n t−¬ng tù cã thÓ gi¶i b»ng lËp tr×nh tÝnh to¸n trªn m¸y tÝnh. CBA iv. KÕt luËn §Ò tµi ®· t×m ra ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®Ó x¸c ®Þnh hµm ®é dµy cña vá máng ®µn håi d−íi t¸c dông cña t¶i träng ®èi xøng trôc. Ph−¬ng tr×nh ®−îc gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p nöa gi¶i tÝch vµ sè. Hµm ®é dµy cña vá máng ®µn håi nh− d¹ng parabol, d¹ng cÇu ng©m trong n−íc, d¹ng cÇu c¸ch trôc Oz mét kho¶ng b»ng a, chÞu c¸c t¶i träng kh¸c nhau thu ®−îc kÕt qu¶ d−íi d¹ng b¶ng sè vµ ®å thÞ. NghiÖm cña bµi to¸n cã thÓ ®−îc sö dông cho c¸c thiÕt kÕt kÕt cÊu vá máng. Tµi liÖu tham kh¶o [1]. Ambarshumal. A.C. Theory of anisotropic shell. Moscow. 1966, p. 384. [2]. Martunhenco M.D, Ngo Huong Nhu. Determine forms of thermoelastic shell of revolution, made of non - linear materials. Report. Scien Acad. BSSR, 1987, V. 31. N. 7, p. 619 – 622. [3]. Ngo Huong Nhu. The forms of the shell with zero bending stresses subjected to hydrostatic pressure and other loads, Journal of Mechanics, NCNST of Vietnam T 19, 1997, N. 2, p. 39-43. [4]. Ngo Huong Nhu, Pham Hong Nga. The varying thickness rules of the revolution shells subjected to combine external loads. Proceedings of the seventh national congress on mechanics. Ha Noi, 2002, V.3 p. 403-409. [5]. A.A.Umanskii. Designer Handbook, calculate - theoretical, V2. Construction literature publisher, Moscow 1973♦