Bất đẳng thức AM - GM, tư duy dồn biến - Đoàn Trí Dũng

ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI<br /> <br /> thptquocgia123.blogspot.com<br /> <br /> Tư duy Dồn Biến trong Bất Đẳng Thức<br /> <br /> 24H HỌC TOÁN - CHIẾN THẮNG 3 CÂU PHÂN LOẠI<br /> Giáo viên: Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải<br /> BÀI 6: AM – GM Dồn biến<br /> <br /> I. Giới thiệu cơ bản về bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):<br /> <br /> <br /> <br /> a  b  2 ab , a, b  0<br /> <br /> <br /> 2<br /> Bất đẳng thức Cauchy cho hai số: <br /> . Đẳng thức xảy ra khi a  b .<br /> ab<br /> ab  <br /> , a , b<br /> <br /> <br /> <br />  2 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> a  b  c  3 3 abc , a ,b ,c  0<br /> <br /> <br /> 3<br /> Bất đẳng thức Cauchy cho ba số: <br /> . Đẳng thức xảy ra khi a  b  c<br />  abc <br /> , a , b , c  0<br /> abc  <br /> <br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Bất đẳng thức Cauchy tổng quát cho n số không âm:<br /> a  a  ...  a  nn a a ...a , a , a ,...a  0<br /> n<br /> 1 2<br /> n<br /> 1 2<br /> n<br />  1 2<br /> <br /> n<br /> . Đẳng thức xảy ra khi a1  a2  ...  an<br /> <br />  a  a  ...  an <br /> , a1 , a2 ,...an  0<br /> a1a2 ...an   1 2<br /> <br /> n<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> II. Các hệ quả của bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):<br /> <br /> <br /> a2  b2  2ab, a,b <br /> <br /> <br /> <br /> a  b  2ab, a,b  . Đẳng thức xảy ra khi a  b .<br /> <br /> <br /> <br /> ab<br /> ab  <br />  , a,b <br />  2 <br /> <br /> <br /> <br /> a3  b3  c 3  3abc, a,b,c  0 . Đẳng thức xảy ra khi a  b  c .<br /> <br /> <br /> <br /> abc<br /> abc  <br />  , a,b,c  0 . Đẳng thức xảy ra khi a  b  c .<br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3  ab  bc  ca    a  b  c   3 a2  b2  c 2 , a , b, c  . Đẳng thức xảy ra khi a  b  c .<br /> <br /> <br /> <br /> a3  b3  ab  a  b  , a, b  0 . Đẳng thức xảy ra khi a  b .<br /> <br /> <br /> <br /> a2 b2<br />   a  b, a , b  0 . Đẳng thức xảy ra khi a  b .<br /> b a<br /> <br /> 2<br /> <br /> . Đẳng thức xảy ra khi a  b .<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> . Đẳng thức xảy ra khi a  b .<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> IV. Sử dụng bất đẳng thức AM – GM đưa về biến cần tìm:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Bài 1: Cho các số thực x , y thỏa mãn x  y  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của: P  2 x3  y 3  3 x  y .<br /> Bài 2: Cho các số thực x , y dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P <br /> <br /> Bài 3: Cho các số thực dương x , y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> 8 xy x2  y 2<br /> <br /> <br /> <br /> 8 x y .<br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> 9x y x  y<br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> xy<br /> <br /> Bài 4: Cho a, b, c thỏa mãn c  0, a  c , b  c . Tìm giá trị lớn nhất của: P  c  a  c   c  b  c   2a2b2<br /> Bài 5: Cho các số thực a, b, c  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P <br /> <br /> ab bc ca<br />   2 abc<br /> c<br /> a b<br /> <br /> Bài 6: Cho a, b, c độ dài 3 cạnh một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:<br /> <br /> P<br /> <br /> 1<br />  a2 b2 c 2  abc  1 .<br /> a  b  c  b  c  a  c  a  b <br /> <br /> <br /> Bài 7: Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn xyz  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:<br /> <br /> P  x4 y  y 4 z  z4 x  3 3 xy  yz  zx<br /> Bài 8: Cho các số thực a, b, c dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P <br /> <br /> a2  bc b2  ca c 2  ab<br /> <br /> <br />  44 a  b  c<br /> bc<br /> ca<br /> ab<br /> <br /> Bài 9: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:<br /> <br /> P<br /> <br /> a<br /> 1 b<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> b<br /> 1 c<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> c<br /> 1 a<br /> <br />  a  b  c .<br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> Bài 10: Cho các số thực dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của: P <br /> <br /> a3<br /> a 2  b2<br /> <br /> <br /> <br /> b3<br /> b2  c 2<br /> <br /> <br /> <br /> c3<br /> c 2  a2<br /> <br />  abc<br /> <br /> Bài 11: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:<br /> <br /> P<br /> <br /> a1<br /> b2  1<br /> <br /> <br /> <br /> b1<br /> c2  1<br /> <br /> <br /> <br /> c 1<br /> a2  1<br /> <br /> a  b  c<br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> 54<br /> <br /> Bài 12: Cho các số thực dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của: P <br /> <br /> a<br /> b  ab<br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> b<br /> c  bc<br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> c<br /> a  ca<br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> 3 3 3 3<br />  <br /> 2 a b c<br /> <br /> Bài 13: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:<br /> 1  a 1  b 1  c a  b  c<br /> P<br /> <br /> <br /> <br /> 1 b 1 c 1 a<br /> 6<br /> <br /> 2<br /> <br /> ĐÁP ÁN<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Bài 1: Cho các số thực x , y thỏa mãn x  y  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  2 x3  y 3  3 x  y .<br /> Phân tích<br /> <br /> <br /> Biến cần đưa về: x  y .<br /> <br /> <br /> <br /> Chiều đánh giá cần có: P  .<br /> <br /> <br /> <br /> Chiều cần đánh giá cần tìm: x3  y 3  f  x  y  .<br /> <br /> Biến đổi biểu thức: x3  y 3   x  y   3xy  x  y  , do đó nếu muốn sử dụng đánh giá<br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x3  y 3  x  y , ta sẽ cần xy  x  y .<br /> <br /> <br /> <br />  x  y<br /> Đánh giá cần tìm: xy <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> .<br /> <br /> 4<br /> <br /> Bài giải<br /> Ta có: x  y   x  y   3xy  x  y <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br />  x  y<br /> . Ta có đánh giá: xy <br /> 4<br /> <br /> x  y   x  y   3xy  x  y    x  y  <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3 x  y<br /> 4<br /> <br /> 3<br /> <br /> x y<br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x  y . Vậy: P  2 x  y<br /> <br /> <br /> <br /> Xét hàm số f t <br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> . Do đó:<br /> <br /> x  y<br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> 4<br /> <br /> 3<br /> <br /> x  y<br /> xy <br /> <br /> 3<br /> <br /> 3 xy .<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1 3<br /> 3t 2<br /> 3<br /> t  3 t , t  0 . Ta có: P  f  x  y  . Vì: f '  t  <br /> <br />  0  t2 t  1  t  1 .<br /> 2<br /> 2 2 t<br /> <br /> Do đó ta có bảng biến thiên:<br /> <br /> t<br /> <br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> f t <br /> <br /> <br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Từ bảng biến thiên, ta thấy f t  <br /> khi x  y <br /> <br /> 5<br /> 2<br /> <br /> 5<br /> 5<br /> , t   0;   . Vậy P  f  x  y    . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> .<br /> 2<br /> <br /> Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của P là <br /> <br /> 1<br /> 5<br /> tại x  y  .<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> Bài 2: Cho các số thực x , y dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P <br /> <br /> Phân tích<br /> <br /> <br /> Biến cần đưa về: x  y .<br /> <br /> <br /> <br /> Chiều đánh giá cần có: P  .<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Chiều cần đánh giá cần tìm: xy x2  y 2  f  x  y  .<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> 8 xy x2  y 2<br /> <br /> <br /> <br /> 8 x y .<br /> <br />